Bài tập: Định giá hợp đồng kỳ hạn và hợp đồng tương lai

Danh sách các câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết và bài tập tự luận lượng hóa giúp củng cố kiến thức về giá và giá trị hợp đồng kỳ hạn, kỹ thuật bootstrapping đường cong lãi suất kỳ hạn, cơ chế mark-to-market của tương lai và định giá hợp đồng FRA.

---

1. Câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết

Bài 1.1: Phân bổ biến động giá trị hợp đồng kỳ hạn

• Nguồn: Schweser L1, Reading 70.

• Đề bài: Hai bên ký kết một hợp đồng kỳ hạn 1 năm để mua bán 100 cổ phiếu với mức giá chốt là 72 USD. Ngay sau khi ký kết, giá cổ phiếu cơ sở tăng lên 74 USD. Mức tăng giá này tạo ra giá trị dương cho bên nào:

  • (A) Bên mua (long position).
  • (B) Bên bán (short position).
  • (C) Không bên nào, do giá chốt hợp đồng không đổi.

• Đáp án: A.

• Giải thích:

  Đáp án và Giải thích chi tiết

  • Đáp án đúng: (A) Bên mua (long position).
  • Giải thích: Mặc dù giá chốt trong hợp đồng giữ nguyên ở mức 72 USD, việc giá cổ phiếu cơ sở tăng lên 74 USD khiến bên mua được hưởng trạng thái có lãi chưa thực hiện (do có quyền mua cổ phiếu trị giá 74 USD với giá chỉ 72 USD). Giá trị hợp đồng của bên mua chuyển sang mức dương (lãi), đối xứng với bên bán chịu khoản lỗ chưa thực hiện tương ứng (giá trị hợp đồng âm). (Xem thêm tại 01_gia-va-gia-tri-forward.md)

Bài 1.2: Kỳ hạn hiệu lực của lãi suất kỳ hạn

• Nguồn: Schweser L1, Reading 70.

• Đề bài: Lãi suất kỳ hạn $2\text{y}3\text{y}$ đại diện cho lãi suất của một khoản vay danh nghĩa bắt đầu từ:

  • (A) 2 năm nữa và kết thúc vào thời điểm 3 năm nữa kể từ hôm nay.
  • (B) 2 năm nữa và kết thúc vào thời điểm 5 năm nữa kể từ hôm nay.
  • (C) 3 năm nữa và kết thúc vào thời điểm 5 năm nữa kể từ hôm nay.

• Đáp án: B.

• Giải thích:

  Đáp án và Giải thích chi tiết

  • Đáp án đúng: (B) 2 năm nữa và kết thúc vào thời điểm 5 năm nữa kể từ hôm nay.
  • Giải thích: Trong ký hiệu lãi suất kỳ hạn $x\text{y}y\text{y}$, con số đầu ($x$) là thời gian chờ cho tới khi khoản vay bắt đầu, con số sau ($y$) là thời hạn vay thực tế. Khoản vay bắt đầu sau 2 năm và kéo dài trong 3 năm, tức là sẽ kết thúc vào thời điểm cuối năm thứ 5 ($2+3=5$). (Xem thêm tại 02_forward-rate-va-fra.md)

Bài 1.3: Giới hạn chiết xuất lãi suất kỳ hạn từ đường lãi suất giao ngay

• Nguồn: Schweser L1, Reading 70.

• Đề bài: Nếu có dữ liệu lãi suất giao ngay kỳ hạn 1, 2 và 3 năm, nhà phân tích ít có khả năng chiết xuất được lãi suất kỳ hạn ngầm định nào nhất sau đây:

  • (A) Lãi suất kỳ hạn 1 năm bắt đầu sau 1 năm ($F_{1,1}$).
  • (B) Lãi suất kỳ hạn 1 năm bắt đầu sau 2 năm ($F_{2,1}$).
  • (C) Lãi suất kỳ hạn 2 năm bắt đầu sau 2 năm ($F_{2,2}$).

• Đáp án: C.

• Giải thích:

  Đáp án và Giải thích chi tiết

  • Đáp án đúng: (C) Lãi suất kỳ hạn 2 năm bắt đầu sau 2 năm ($F_{2,2}$).
  • Giải thích: Lãi suất kỳ hạn $2\text{y}2\text{y}$ (bắt đầu sau 2 năm và kéo dài 2 năm) đòi hỏi thông tin lãi suất giao ngay kết thúc tại năm thứ 4 ($2+2=4$). Do chúng ta chỉ có dữ liệu lãi suất giao ngay tối đa đến kỳ hạn 3 năm, không thể xác định được $F_{2,2}$. Các lãi suất kỳ hạn ở lựa chọn (A) và (B) đều kết thúc chậm nhất vào năm thứ 3 nên hoàn toàn tính toán được. (Xem thêm tại 02_forward-rate-va-fra.md)

Bài 1.4: Giá kỳ hạn lý thuyết hợp lý

• Nguồn: Schweser L1, Reading 71.

• Đề bài: Để hợp đồng kỳ hạn trên một tài sản cơ sở không có chi phí hay lợi ích nắm giữ có giá trị bằng 0 tại thời điểm khởi tạo, giá kỳ hạn chốt trước phải bằng:

  • (A) Giá giao ngay kỳ vọng của tài sản cơ sở tại ngày đáo hạn.
  • (B) Giá trị tương lai của giá giao ngay hiện tại tính theo lãi suất phi rủi ro.
  • (C) Hiện giá của giá giao ngay kỳ vọng trong tương lai.

• Đáp án: B.

• Giải thích:

  Đáp án và Giải thích chi tiết

  • Đáp án đúng: (B) Giá trị tương lai của giá giao ngay hiện tại tính theo lãi suất phi rủi ro.
  • Giải thích: Theo nguyên lý phi chênh lệch giá, để giá trị ban đầu của hợp đồng bằng 0 ($V_0=0$), giá kỳ hạn phải bằng giá giao ngay gộp lãi kép đến ngày đáo hạn: $F_0(T)=S_0(1+R_f{)}^T$. Việc lệch khỏi mức giá này sẽ lập tức tạo cơ hội chênh lệch giá không rủi ro cho các arbitrageurs. (Xem thêm tại 01_gia-va-gia-tri-forward.md)

Bài 1.5: Ảnh hưởng của tương quan lãi suất đến giá tương lai

• Nguồn: Schweser L1, Reading 71.

• Đề bài: Để hợp đồng tương lai trở nên hấp dẫn hơn và có mức giá cao hơn so với hợp đồng kỳ hạn tương đương, lãi suất thị trường phải:

  • (A) Hoàn toàn không tương quan với giá hợp đồng tương lai.
  • (B) Tương quan dương với giá hợp đồng tương lai.
  • (C) Tương quan âm với giá hợp đồng tương lai.

• Đáp án: B.

• Giải thích:

  Đáp án và Giải thích chi tiết

  • Đáp án đúng: (B) Tương quan dương với giá hợp đồng tương lai.
  • Giải thích: Khi giá tương lai tương quan dương với lãi suất, các khoản lãi thu được hàng ngày qua mark-to-market sẽ phát sinh vào đúng thời điểm lãi suất thị trường cao, cho phép tái đầu tư ở mức sinh lợi lớn. Ngược lại, khi vị thế bị lỗ hàng ngày, lãi suất thị trường thấp giúp giảm chi phí cơ hội của dòng tiền nộp thêm. Thuộc tính tối ưu dòng tiền này khiến nhà đầu tư sẵn sàng trả mức giá tương lai cao hơn giá kỳ hạn. (Xem thêm tại 03_forward-vs-futures.md)

---

2. Bài tập tự luận và tính toán thực tế

Bài 2.1: Tính toán giá trị hợp đồng kỳ hạn giữa kỳ

• Nguồn: Ví dụ tự dựng.

• Đề bài: Một hợp đồng kỳ hạn 1 năm mua cổ phiếu có giá chốt là 52.00 USD, giá giao ngay hiện tại là 50 USD, lãi suất phi rủi ro là 4%/năm. Sau 6 tháng, giá cổ phiếu cơ sở tăng lên 53 USD và lãi suất phi rủi ro vẫn duy trì ở mức 4%. Hãy xác định giá trị thị trường của hợp đồng đối với bên mua tại thời điểm này.

• Đáp án: Lãi 2.01 USD.

• Giải thích:

  Đáp án và Lời giải chi tiết

  Các bước tính toán chi tiết:

  1. Xác định thời gian còn lại tới đáo hạn:$$T-t=1-0.5=0.5\text{ năm}$$
  2. Áp dụng công thức định giá trị hợp đồng kỳ hạn mua giữa kỳ:$$V_t(T)=S_t-F_0(T)(1+R_f{)}^{-(T-t)}$$
  3. Thay số và tính toán:$$V_t(0.5)=53-52\times (1.04{)}^{-0.5}\approx 53-52\times 0.9806=53-50.99=2.01\text{ USD}$$

  Giá trị vị thế mua kỳ hạn tại thời điểm 6 tháng đạt mức dương $2.01$ USD (lãi chưa thực hiện). (Xem thêm tại 01_gia-va-gia-tri-forward.md)

Bài 2.2: Tính toán lãi suất kỳ hạn ngầm định từ đường lãi suất giao ngay

• Nguồn: Ví dụ tự dựng.

• Đề bài: Cho biết lãi suất giao ngay kỳ hạn 1 năm là $Z_1=1.5\mathrm{\%}$ và lãi suất giao ngay kỳ hạn 3 năm là $Z_3=2.5\mathrm{\%}$ (lãi kép hàng năm). Hãy tính toán lãi suất kỳ hạn ngầm định cho khoản vay kỳ hạn 2 năm bắt đầu sau 1 năm ($F_{1,2}$).

• Đáp án: 3.00%.

• Giải thích:

  Đáp án và Lời giải chi tiết

  Các bước tính toán chi tiết:

  1. Thiết lập phương trình phi chênh lệch giá cho khoản đầu tư 3 năm:$$(1+Z_3{)}^3=(1+Z_1)(1+F_{1,2}{)}^2$$
  2. Thay số và tính toán:$$(1.025{)}^3=(1.015)\times (1+F_{1,2}{)}^2⟹1.0769=1.015\times (1+F_{1,2}{)}^2$$$$(1+F_{1,2}{)}^2=\frac{1.0769}{1.015}\approx 1.0610$$$$1+F_{1,2}=\sqrt{1.0610}\approx 1.0300⟹F_{1,2}\approx 3.00\mathrm{\%}/\text{năm}$$

  Lãi suất kỳ hạn ngầm định $1\text{y}2\text{y}$ là $3.00\mathrm{\%}$/năm. (Xem thêm tại 02_forward-rate-va-fra.md)

Bài 2.3: Tính toán dòng tiền kết toán hợp đồng FRA

• Nguồn: Ví dụ tự dựng.

• Đề bài: Một hợp đồng FRA $3\text{m}9\text{m}$ (kỳ hạn vay 6 tháng bắt đầu sau 3 tháng) trên số gốc danh nghĩa 1,000,000 USD chốt lãi suất kỳ hạn ở mức 1.3%/năm. Tại ngày kết toán sau 3 tháng, lãi suất tham chiếu thị trường (MRR) kỳ hạn 6 tháng thực tế là 1.5%/năm. Hãy tính toán số tiền bên mua FRA (bên trả cố định) nhận được.

• Đáp án: Nhận 992.56 USD.

• Giải thích:

  Đáp án và Lời giải chi tiết

  Các bước tính toán chi tiết:

  1. Xác định kỳ hạn vay thực tế: $D=180$ ngày (hoặc hệ số phân bổ thời gian $180/360=0.5$ năm).
  2. Khoản lãi tiết kiệm thực tế phát sinh tại cuối kỳ vay (đáp ứng chênh lệch lãi suất $1.5\mathrm{\%}-1.3\mathrm{\%}=0.2\mathrm{\%}$):$$\text{Interest Savings}=(0.015-0.013)\times 0.5\times 1,000,000=1,000\text{ USD}$$
  3. Chiết khấu khoản lãi này về thời điểm đầu kỳ vay (ngày kết toán FRA sau 3 tháng) bằng chính lãi suất thị trường thực tế $1.5\mathrm{\%}$:$$\text{Payment}=\frac{1,000}{1+0.015\times 0.5}=\frac{1,000}{1.0075}\approx 992.56\text{ USD}$$

  Bên mua FRA sẽ nhận được khoản thanh toán bù trừ ròng bằng tiền mặt là $992.56$ USD. (Xem thêm tại 02_forward-rate-va-fra.md)

Bài 2.4: Lượng hóa độ lệch lồi giữa FRA và hợp đồng tương lai

• Nguồn: Ví dụ tự dựng.

• Đề bài: Hãy so sánh dòng tiền hoàn trả của vị thế mua hợp đồng tương lai lãi suất vốn danh nghĩa 1 triệu USD, kỳ hạn 6 tháng, giá chốt 97.50 (lãi suất 2.5%) với hợp đồng FRA tương đương khi lãi suất tham chiếu thực tế biến động lên mức 2.51% và giảm xuống mức 2.49%. Giải thích nguyên nhân dẫn đến chênh lệch giữa hai công cụ.

• Đáp án: Futures biến động đối xứng (+50 USD và -50 USD); FRA biến động bất đối xứng (+49.3803 USD và -49.3852 USD).

• Giải thích:

  Đáp án và Lời giải chi tiết

  Các bước tính toán chi tiết:

  1. Xác định giá trị BPV của hợp đồng tương lai lãi suất:$$\text{BPV}=1,000,000\times 0.5\times 0.01\mathrm{\%}=50\text{ USD}$$
     • Khi lãi suất lên $2.51\mathrm{\%}$ (giá giảm về 97.49), vị thế mua tương lai chịu lỗ đúng $50$ USD.
     • Khi lãi suất xuống $2.49\mathrm{\%}$ (giá tăng lên 97.51), vị thế mua tương lai lãi đúng $50$ USD. Dòng tiền hoàn trả của tương lai hoàn toàn đối xứng.
  2. Tính toán giá trị hoàn trả của hợp đồng FRA tương đương chốt ở lãi suất $2.50\mathrm{\%}$:
     • Khi lãi suất lên $2.51\mathrm{\%}$: bên mua FRA lãi ròng chênh lệch $1$ bp, quy về hiện giá:$${\text{Payment}}_{\text{up}}=\frac{50}{1+\frac{0.0251}{2}}\approx 49.3803\text{ USD}$$
     • Khi lãi suất xuống $2.49\mathrm{\%}$: bên mua FRA lỗ ròng chênh lệch $1$ bp, quy về hiện giá:$${\text{Payment}}_{\text{down}}=\frac{-50}{1+\frac{0.0249}{2}}\approx -49.3852\text{ USD}$$
  3. Giải thích: FRA sử dụng cơ chế chiết khấu mẫu số bằng chính mức lãi suất tham chiếu thực tế ${\text{MRR}}_T$. Cấu trúc này làm giảm mức lỗ của FRA khi lãi suất tăng (chỉ lỗ $49.3803$ USD so với mức lỗ $50$ USD của tương lai) và tăng mức lời khi lãi suất giảm. Thuộc tính bất đối xứng có lợi này (độ lồi) làm giá trị của FRA cao hơn tương lai, tạo ra độ lệch lồi (convexity bias). (Xem thêm tại 03_forward-vs-futures.md)

---

3. Câu hỏi đọc hiểu đồ thị

Bài 3.1: Phân tích điểm hòa vốn giữa kỳ trên đồ thị

• Nguồn: Ví dụ tự dựng.

• Đề bài: Trong đồ thị biểu diễn giá trị hợp đồng kỳ hạn theo giá giao ngay, tại sao điểm hòa vốn (điểm cắt trục hoành) của đường giá trị giữa kỳ lại nằm lệch sang trái so với giá chốt kỳ hạn?

• Đáp án:

  Đáp án và Giải thích chi tiết

  • Cơ chế: Phương trình giá trị hợp đồng giữa kỳ là $V_t=S_t-F_0(1+R_f{)}^{-(T-t)}$. Điểm hòa vốn xuất hiện khi giá trị hợp đồng bằng 0 ($V_t=0$), tương đương với:$$S_t=F_0(1+R_f{)}^{-(T-t)}=\text{PV}(F_0)$$
  • Lý giải: Do thời hạn hợp đồng vẫn còn ($T-t>0$), hiện giá của giá chốt $\text{PV}(F_0)$ luôn nhỏ hơn giá trị danh nghĩa của giá chốt $F_0$ do tác động chiết khấu thời gian của lãi suất phi rủi ro. Vì vậy, giá giao ngay $S_t$ chỉ cần tăng đến mức $\text{PV}(F_0)$ là vị thế mua đã hòa vốn, kéo điểm hòa vốn dịch sang bên trái trục hoành. (Xem thêm tại 01_gia-va-gia-tri-forward.md)

Bài 3.2: Đối chiếu đồ thị dòng tiền giữa kỳ hạn và tương lai

• Nguồn: Ví dụ tự dựng.

• Đề bài: Giải thích sự khác biệt về hình học giữa đường biểu diễn giá trị hợp đồng kỳ hạn (trơn, liên tục) và các cột biểu diễn dòng tiền hợp đồng tương lai trên đồ thị MTM.

• Đáp án:

  Đáp án và Giải thích chi tiết

  • Đường biểu diễn của hợp đồng kỳ hạn: Do hợp đồng kỳ hạn không có dòng tiền thanh toán giữa kỳ, giá trị của hợp đồng ($V_t$) được tích lũy liên tục theo giá giao ngay của tài sản, tạo ra đường biểu diễn trơn và dốc liên tục qua các ngày giao dịch.
  • Các cột biểu diễn của hợp đồng tương lai: Cơ chế mark-to-market buộc sàn phải thực hiện thanh toán lỗ/lãi bằng tiền mặt cuối mỗi ngày. Toàn bộ phần chênh lệch giá trị phát sinh trong ngày được rút ra hoặc nộp thêm (biểu diễn bằng các cột đơn lẻ hàng ngày) và đưa giá trị vị thế tương lai về 0. Tổng chiều cao của các cột này qua các ngày sẽ tương đương với giá trị tích lũy cuối cùng của hợp đồng kỳ hạn. (Xem thêm tại 03_forward-vs-futures.md)