📐 Forward rate và FRA — lãi suất kỳ hạn ngầm và hợp đồng chốt trước lãi

Hôm nay anh biết lãi suất gửi 2 năm là 2% và gửi 3 năm là 3%. Một ngân hàng hỏi anh: lãi suất cho khoản vay 1 năm bắt đầu từ cuối năm thứ 2 nên là bao nhiêu thì công bằng? Anh trả lời được con số đó chỉ từ hai lãi suất giao ngay kia không?

Lãi suất giao ngay hôm nay đã ngầm chứa kỳ vọng về lãi suất tương lai: nếu gửi thẳng 3 năm phải cho cùng kết quả với gửi 2 năm rồi tái đầu tư 1 năm, thì cái lãi suất 1 năm tương lai đó bị ép về đúng một mức — gọi là forward rate ngầm. Chốt trước mức ấy thành hợp đồng chính là FRA, công cụ ngân hàng dùng để khoá chi phí lãi vay tương lai.

File này dựng hai thứ: cách rút implied forward rate (lãi suất kỳ hạn ngầm) từ các spot rate, và cấu trúc của FRA — ai trả gì, tiền thanh toán tính sao, dùng để làm gì.

Ký hiệu trong file

Format English — tiếng Việt (nghĩa). Bản gom toàn cụm xem concept.md.

forward rate — forward rate — lãi suất kỳ hạn: lãi suất cho một khoản vay bắt đầu trong tương lai.
xAyB hoặc Fx,y — forward rate notation — ký hiệu lãi suất kỳ hạn: x là số kỳ chờ tới lúc bắt đầu vay, y là độ dài khoản vay.
implied forward rate — implied forward rate — lãi suất kỳ hạn ngầm: forward rate phi chênh lệch rút từ spot rate.
Zn — spot rate — lãi suất giao ngay: lợi suất trái phiếu không coupon đáo hạn sau n năm (lãi kép hằng năm).
FRA — forward rate agreement — hợp đồng lãi suất kỳ hạn: chốt trước một lãi suất cho khoản vay danh nghĩa tương lai.
MRR — market reference rate — lãi suất thị trường tham chiếu mà FRA bám theo.
notional principal — notional principal — vốn danh nghĩa: số gốc dùng tính tiền lãi, không trao tay thật.
fixed-rate payer — fixed-rate payer — bên trả lãi cố định, cũng là bên mua (long) FRA.
floating-rate payer — floating-rate payer — bên trả lãi thả nổi theo MRR thực hiện.

1. Bức tranh tổng — từ spot rate ra forward rate ra FRA

1.1. Câu hỏi lõi

⚙️ Cơ chế: file đi một mạch ba bước:

Spot rate là đầu vào — lãi suất giao ngay cho từng kỳ hạn, đọc từ đường lãi suất không coupon hôm nay. Mục 2.1.
Forward rate là cái rút ra — lãi suất kỳ hạn ngầm cho khoản vay tương lai, ép bởi điều kiện phi chênh lệch giữa hai chiến lược gửi. Mục 2.
FRA là hợp đồng đóng gói — chốt trước forward rate đó thành cam kết, dùng phòng hộ rủi ro lãi suất. Mục 3.

1.2. Ký hiệu forward rate

⚙️ Cơ chế: ký hiệu phải nói rõ hai thứ — chờ bao lâu mới bắt đầu vay, và vay trong bao lâu.

xAyB (đọc x-y) — chờ x kỳ rồi vay y kỳ. Ví dụ 1y1y là lãi suất khoản vay 1 năm bắt đầu sau 1 năm; 2y1y là khoản vay 1 năm bắt đầu sau 2 năm.
Dạng F viết gọn — F1,1 trùng 1y1y; F2,1 trùng 2y1y; 3y2y là khoản vay 2 năm bắt đầu sau 3 năm.
Cho lãi suất thị trường tiền tệ — 3m6m là lãi suất kỳ hạn 6 tháng bắt đầu sau 3 tháng.

⚠️ Bẫy đọc ký hiệu: số đầu là chờ bao lâu, số sau là vay bao lâu, không phải năm bắt đầu và năm kết thúc. 2y3y là khoản vay 3 năm bắt đầu sau 2 năm, tức trải từ năm 2 tới năm 5, không phải khoản vay từ năm 2 tới năm 3.

2. Implied forward rate — lãi suất kỳ hạn ngầm

2.1. Điều kiện phi chênh lệch

⚙️ Cơ chế: một forward rate ngầm là mức làm hai chiến lược gửi tiền cho cùng kết quả cuối kỳ:

Chiến lược nối — gửi từ hôm nay tới ngày bắt đầu forward, rồi tái đầu tư tiếp trong kỳ của forward.
Chiến lược thẳng — gửi thẳng từ hôm nay tới hết kỳ của forward.

Hai chiến lược cùng điểm đầu cùng điểm cuối nên phải cho cùng giá trị, nếu không sẽ có cơ hội kiếm tiền miễn phí. Với khoản vay 1 năm bắt đầu sau 1 năm:

(1 + Z_{2})^{2} = (1 + Z_{1}) (1 + F_{1, 1})

Biến (trái sang phải):
- Z2 — 2-year spot rate — lãi suất giao ngay 2 năm; vế trái là gửi thẳng 2 năm.
- Z1 — 1-year spot rate — lãi suất giao ngay 1 năm.
- F1,1 — 1y1y forward rate — lãi suất kỳ hạn ngầm cho khoản vay 1 năm bắt đầu sau 1 năm.

Công thức này nói gì: gửi thẳng 2 năm (vế trái) phải bằng gửi 1 năm rồi cuộn tiếp 1 năm ở lãi suất kỳ hạn (vế phải). Giải ra F1,1 chính là forward rate ngầm — mức duy nhất khiến hai cách ngang giá.

2.2. Ví dụ rút F2,1 từ Z2 và Z3

🔍 Ví dụ Schweser: hai trái phiếu không coupon, một đáo hạn 2 năm với Z2 = 2%, một đáo hạn 3 năm với Z3 = 3%. Tìm lãi suất kỳ hạn 1 năm bắt đầu sau 2 năm, F2,1.

⚙️ Cơ chế: gửi thẳng 3 năm ở Z3 phải bằng gửi 2 năm ở Z2 rồi cuộn năm thứ ba ở F2,1.

(1 + Z_{3})^{3} = (1 + Z_{2})^{2} (1 + F_{2, 1})

Tính từng vế:
- Gửi 100 đô hai năm ở 2%: $100 (1, 02)^{2} = 104, 04$ đô (Schweser answer key).
- Gửi 100 đô ba năm ở 3%: $100 (1, 03)^{3} = 109, 27$ đô (Schweser answer key).
- Forward rate ngầm: $F_{2, 1} = \frac{109, 27}{104, 04} - 1 = 5, 03 %$ (Schweser answer key).
Số này nghĩa là gì: thị trường ngầm định lãi suất 1 năm cho năm thứ ba ở mức 5,03%. Đó là mức làm người gửi bàng quan giữa khoá 3 năm ở 3% hay khoá 2 năm ở 2% rồi gửi tiếp năm cuối.

💡 Ý nghĩa: đường spot rate dốc lên (2% rồi 3%) ngầm chứa kỳ vọng lãi suất ngắn hạn tương lai cao hơn hiện tại (5,03% > 3%). Forward rate là cách bóc kỳ vọng tương lai ra khỏi giá hôm nay.

⚠️ Bẫy tầm với dữ liệu: chỉ rút được forward rate nằm trong tầm spot rate đang có. Có Z1, Z2, Z3 (tới 3 năm) thì rút được F1,1, F1,2, F2,1 — đều kết thúc trong năm thứ 3. Không rút được F2,2 vì nó kéo tới năm thứ 4, vượt dữ liệu (Schweser answer key, LOS 70.b).

3. FRA — hợp đồng lãi suất kỳ hạn

3.1. Cấu trúc ai trả gì

⚙️ Cơ chế: FRA là một forward trên lãi suất. Hai bên chốt trước forward rate cho một khoản vay danh nghĩa tương lai:

Fixed-rate payer (bên mua, long) — trả lãi cố định bằng forward rate đã chốt, nhận lãi thả nổi theo MRR thực hiện.
Floating-rate payer — trả lãi thả nổi theo MRR thực hiện, nhận lãi cố định.
Chỉ trao tay phần ròng — không vay thật số gốc, chỉ thanh toán chênh lệch lãi trên vốn danh nghĩa.

🔍 Cách nhận diện lời lỗ: bên trả cố định lời khi MRR thực hiện cao hơn forward rate đã chốt — vì họ chốt được lãi rẻ trong khi thị trường đã lên. Ngược lại lỗ khi MRR thực hiện thấp hơn.

3.2. Tiền thanh toán tính sao

⚙️ Cơ chế: xét FRA 3m6m (lãi suất 6 tháng, bắt đầu sau 3 tháng) trên vốn danh nghĩa 1 triệu đô, forward rate chốt 1,3%. Lúc thanh toán sau 3 tháng, bên trả cố định nhận (hoặc trả) hiện giá của chênh lệch lãi:

thanh toán = \frac{(MRR thực hiện - forward rate) / 2 \times vốn danh nghĩa}{1 + MRR thực hiện / 2}

Biến (trái sang phải):
- MRR thực hiện — realized MRR — lãi suất 6 tháng quan sát được lúc thanh toán (dạng thập phân hằng năm).
- forward rate — lãi suất cố định đã chốt trong FRA.
- chia 2 — quy lãi suất hằng năm về kỳ 6 tháng (vì MRR niêm yết theo năm).
- vốn danh nghĩa — số gốc tính lãi.
- mẫu số $1 + MRR / 2$ — chiết khấu về đầu kỳ 6 tháng, vì tiền lãi tiết kiệm rơi vào cuối kỳ nhưng thanh toán FRA ở đầu kỳ.

Công thức này nói gì: chênh lệch lãi hai bên trên kỳ 6 tháng là phần tiền tiết kiệm cuối kỳ; chia mẫu số để kéo nó về hiện giá tại lúc thanh toán đầu kỳ.

🔍 Ví dụ Schweser: MRR 6 tháng quan sát sau 3 tháng là 1,5%, cao hơn forward rate 1,3%, nên bên trả cố định lời.

Tiền lãi tiết kiệm cuối kỳ: $(0,015 - 0,013) / 2 \times 1,000,000 = 1,000$ đô (ví dụ tự dựng từ số nguồn).
Thanh toán đầu kỳ (chiết khấu ở 1,5%): $\frac{1,000}{1 + 0,015 / 2} = 992, 56$ đô (ví dụ tự dựng).
Số này nghĩa là gì: bên trả cố định nhận về 992,56 đô — đúng hiện giá khoản lãi rẻ mà họ khoá được so với thị trường đã lên.

⚠️ Bẫy chiết khấu ở chính MRR thực hiện: mẫu số dùng MRR thực hiện, không phải forward rate. Đây là mầm của hiện tượng convexity bias bàn ở file 03 — chiết khấu ở chính lãi suất vừa đổi làm tiền trả cho tăng lãi và giảm lãi không đối xứng.

3.3. Công dụng của FRA

💡 Ý nghĩa: FRA chủ yếu để quản lý rủi ro lãi suất, hai vai trò chính:

Phòng hộ tài sản nợ nhạy lãi — định chế tài chính dùng FRA khoá trước chi phí lãi vay hoặc lợi tức cho vay tương lai, giảm biến động khi lãi suất dao động.
Viên gạch của interest rate swap — một FRA tương đương một kỳ của swap; nối nhiều kỳ lại thành swap nhiều kỳ, công cụ chính để nhà đầu tư và bên phát hành quản lý rủi ro lãi suất dài hạn.

4. Liên hệ bức tranh gốc

Forward rate là price của một forward trên lãi suất — đúng tinh thần forward price ở file 01, chỉ thay tài sản bằng lãi suất; điều kiện phi chênh lệch ép nó về đúng một mức từ các spot rate.
FRA là forward rate đóng gói thành hợp đồng — bên trả cố định khoá lãi, lời khi MRR thực hiện vượt mức chốt, lỗ khi thấp hơn; chỉ trao phần ròng đã chiết khấu.
Vì sao quan trọng cho anh: forward rate là cách thị trường nhúng kỳ vọng lãi suất tương lai vào đường lãi suất hôm nay — một đặc trưng sạch cho mô hình lãi suất, và là cầu nối thẳng sang interest rate swap. Việc chiết khấu ở chính MRR thực hiện gieo sẵn tính phi đối xứng dẫn vào convexity bias ở file 03.

✅ Tự kiểm nhanh

Ký hiệu 2y3y nghĩa là gì? → Khoản vay 3 năm bắt đầu sau 2 năm, trải từ năm 2 tới năm 5. (mục 1.2)
Implied forward rate định nghĩa thế nào? → Mức làm chiến lược gửi nối và gửi thẳng cho cùng kết quả cuối kỳ. (mục 2.1)
Rút F2,1 từ Z2 = 2%, Z3 = 3% ra bao nhiêu? → $109, 27 / 104, 04 - 1 = 5, 03 %$ . (mục 2.2)
Có spot rate tới 3 năm thì rút được forward rate nào, không rút được nào? → Rút F1,1, F1,2, F2,1; không rút F2,2 vì nó vượt năm thứ 3. (mục 2.2)
Trong FRA bên trả cố định lời khi nào? → Khi MRR thực hiện cao hơn forward rate đã chốt. (mục 3.1)
Vì sao tiền thanh toán FRA phải chiết khấu? → Vì lãi tiết kiệm rơi cuối kỳ còn thanh toán ở đầu kỳ; chiết khấu ở chính MRR thực hiện. (mục 3.2)
FRA dùng để làm gì? → Phòng hộ rủi ro lãi suất tài sản nợ và làm viên gạch của interest rate swap. (mục 3.3)

📐 Forward rate và FRA — lãi suất kỳ hạn ngầm và hợp đồng chốt trước lãi ​

Ký hiệu trong file ​

1. Bức tranh tổng — từ spot rate ra forward rate ra FRA ​

1.1. Câu hỏi lõi ​

1.2. Ký hiệu forward rate ​

2. Implied forward rate — lãi suất kỳ hạn ngầm ​

2.1. Điều kiện phi chênh lệch ​

2.2. Ví dụ rút F2,1 từ Z2 và Z3 ​

3. FRA — hợp đồng lãi suất kỳ hạn ​

3.1. Cấu trúc ai trả gì ​

3.2. Tiền thanh toán tính sao ​

3.3. Công dụng của FRA ​

4. Liên hệ bức tranh gốc ​

✅ Tự kiểm nhanh ​