Cụm Portfolio Mathematics — Toán danh mục

Cụm này lắp các viên gạch của cụm 02 (phương sai, hiệp phương sai, tương quan) và cụm 03 (kỳ vọng, xác suất) thành lợi nhuận và rủi ro ở mức danh mục nhiều tài sản. Điểm lõi cần thấm: lợi nhuận danh mục cộng tuyến tính, nhưng rủi ro thì không — và chính chỗ đó sinh ra lợi ích đa dạng hóa. Nó trả lời ba câu:

• Gộp nhiều tài sản thì lợi nhuận và rủi ro ra sao? → toán danh mục (nhóm 1).

• Hai tài sản đi cùng nhau, đo từ mô hình xác suất thế nào? → hiệp phương sai từ xác suất (nhóm 2).

• Chọn danh mục nào để ít rơi dưới ngưỡng nhất? → tiêu chí Roy (nhóm 3).

• Nguồn: Schweser 2025 L1 Book 1, Reading 5 (Portfolio Mathematics).

• Vòng: đây là vòng 1 theo quy trình sinh nội dung — phần văn bản để hiểu. Code + test + lab là vòng 2, làm sau.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Màu — node xanh đậm = đầu vào (tài sản + trọng số); xanh nhạt = công cụ tính; xanh lá = quyết định chọn danh mục theo tiêu chí Roy (chỗ nối ra hành động).
• Mạch chính — trọng số và hiệp phương sai gặp nhau ở Portfolio variance; phương sai cùng kỳ vọng dẫn tới tỷ số an toàn và lựa chọn danh mục.

Glossary nhãn chart (English → tiếng Việt):

• Assets and weights — các tài sản và tỷ trọng vốn đặt vào mỗi tài sản.
• Portfolio expected return — kỳ vọng lợi nhuận danh mục.
• Covariance and correlation — hiệp phương sai và tương quan giữa các tài sản.
• Portfolio variance — phương sai (rủi ro) của danh mục.
• Diversification effect — lợi ích đa dạng hóa: rủi ro danh mục co lại khi tương quan thấp.
• Safety-first ratio — tỷ số an toàn trước hết (Roy).
• Shortfall risk — rủi ro rơi xuống dưới ngưỡng mục tiêu.
• Roy safety-first choice — chọn danh mục theo tiêu chí Roy.

---

1. Lợi nhuận và rủi ro danh mục

1.1 Kỳ vọng lợi nhuận danh mục — portfolio expected return

$$E(R_p)=\sum _{i=1}^n{w}_{i}E(R_i)$$

• Biến:
  • $w_i$ — tỷ trọng vốn đặt vào tài sản $i$.
  • $E(R_i)$ — kỳ vọng lợi nhuận tài sản $i$.
• Ý nghĩa:
  • Kỳ vọng danh mục = trung bình có trọng số kỳ vọng từng tài sản — cộng tuyến tính, đơn giản.
  • Trái ngược với rủi ro: lợi nhuận cộng thẳng được, nhưng phương sai thì không (cần thêm hiệp phương sai) — đây là gốc của đa dạng hóa.

1.2 Trọng số danh mục — portfolio weights

$$w_i=\frac{{\text{MV}}_i}{\sum _{j=1}^n{\text{MV}}_j}$$

• Biến:
  • ${\text{MV}}_i$ — giá trị thị trường đang nắm ở tài sản $i$.
  • Mẫu số — tổng giá trị thị trường của cả danh mục.
• Ý nghĩa:
  • Tỷ trọng vốn ở mỗi tài sản; tổng mọi trọng số $=1$.
  • Là biến quyết định của nhà quản lý: chọn bộ $w$ để cân lợi nhuận và rủi ro.

1.3 Phương sai danh mục — portfolio variance

$${\sigma }_p^2=w_A^2{\sigma }_A^2+w_B^2{\sigma }_B^2+2w_A{w}_B\text{Cov}(R_A,R_B)$$

Thay $\text{Cov}(R_A,R_B)={\rho }_{AB}{\sigma }_A{\sigma }_B$ thì viết theo tương quan:

$${\sigma }_p^2=w_A^2{\sigma }_A^2+w_B^2{\sigma }_B^2+2w_A{w}_B{\rho }_{AB}{\sigma }_A{\sigma }_B$$

• Biến:
  • $w_A,w_B$ — trọng số hai tài sản.
  • ${\sigma }_A^2,{\sigma }_B^2$ — phương sai từng tài sản.
  • $\text{Cov}(R_A,R_B)$ hoặc ${\rho }_{AB}$ — chiều và độ chặt hai tài sản đi cùng nhau.
• Ý nghĩa:
  • Rủi ro danh mục không phải trung bình rủi ro từng tài sản — có thêm số hạng hiệp phương sai.
  • Hiệp phương sai (hay tương quan) càng thấp → phương sai danh mục càng nhỏ: đây là lợi ích đa dạng hóa.
  • Với ${\rho }_{AB}<1$, rủi ro danh mục nhỏ hơn trung bình có trọng số của hai độ lệch chuẩn — gộp tài sản ít liên quan làm êm đường tiền.
• Số phần tử phải ước lượng: với $n$ tài sản có $n$ phương sai (đường chéo ma trận) và ${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$ hiệp phương sai độc nhất → bùng nổ theo $n^2$ khi danh mục lớn.

---

2. Hiệp phương sai từ phân phối xác suất chung

$$\text{Cov}(R_A,R_B)=\sum _s{p}_s[R_{A,s}-E(R_A)][R_{B,s}-E(R_B)]$$

• Biến:
  • $p_s$ — xác suất trạng thái kinh tế $s$.
  • $R_{A,s},R_{B,s}$ — lợi nhuận của A và B trong trạng thái $s$.
• Ý nghĩa:
  • Phiên bản nhìn-tới của hiệp phương sai: cân theo xác suất trạng thái thay vì đếm quan sát quá khứ (khác phiên bản mẫu ở cụm 02).
  • Cùng ý nghĩa "chiều hai tài sản đi cùng nhau", nhưng dựng từ mô hình xác suất nên khớp với kỳ vọng và phương sai của cụm 03.
  • Chia cho ${\sigma }_A{\sigma }_B$ ra tương quan, đưa về khoảng $[-1,+1]$ để so sánh.

---

3. Rủi ro hụt mục tiêu và tiêu chí Roy

3.1 Rủi ro hụt mục tiêu — shortfall risk

• Định nghĩa: xác suất lợi nhuận (hoặc giá trị) danh mục rơi xuống dưới một mức mục tiêu trong một kỳ.
• Ý nghĩa:
  • Đo riêng rủi ro "thua dưới ngưỡng", sát tâm lý nhà đầu tư hơn phương sai — họ chỉ sợ rơi dưới mức chấp nhận, không ngại lãi vượt.
  • Là đại lượng mà tiêu chí Roy tìm cách tối thiểu hóa.

3.2 Tỷ số an toàn trước hết — safety-first ratio (Roy)

$$\text{SFRatio}=\frac{E(R_p)-R_L}{{\sigma }_p}$$

• Biến:
  • $E(R_p)$ — kỳ vọng lợi nhuận danh mục.
  • $R_L$ — ngưỡng tối thiểu chấp nhận được (threshold).
  • ${\sigma }_p$ — độ lệch chuẩn danh mục.
• Ý nghĩa:
  • Số đơn vị độ lệch chuẩn từ kỳ vọng xuống tới ngưỡng — càng lớn thì kỳ vọng càng xa vùng nguy hiểm.
  • Cùng dạng với Sharpe, nhưng mẫu trừ đi ngưỡng tối thiểu $R_L$ thay cho lãi phi rủi ro.

3.3 Tiêu chí Roy — chọn danh mục

$$P(R_p<R_L)=F(-\text{SFRatio})$$

• Biến: $F$ — hàm phân phối tích lũy chuẩn (tra bảng z); dùng khi giả định lợi nhuận phân phối chuẩn.
• Ý nghĩa:
  • Tiêu chí: chọn danh mục có SFRatio lớn nhất → đó là danh mục có xác suất rơi dưới ngưỡng nhỏ nhất.
  • Công thức nối SFRatio (khoảng cách tới ngưỡng) với shortfall risk (xác suất thật) qua phân phối chuẩn.
  • Quy việc chọn danh mục thành một con số xếp hạng được, thay vì cảm tính.

---

4. Node ghép ra chiến lược

• Phương sai danh mục + tương quan → biên hiệu quả, CAPM — nền của lý thuyết danh mục hiện đại (cụm Portfolio Part I, II).
• Tỷ số Roy → chọn danh mục theo rủi ro hụt mục tiêu — gần với quản trị rủi ro thực tế (đặt ngưỡng thua tối đa).
• Hiệp phương sai từ xác suất → khớp mô hình kịch bản — dùng chung khung với cụm 03.
• Tổ hợp nhiều alpha — chính là bài toán chọn trọng số danh mục; alpha tương quan thấp với nhau = đa dạng hóa, giảm rủi ro tổng.

---

5. Bài tập có lời giải

Đề + lời giải tách riêng để concept.md gọn như formula sheet: xem bai-tap.md (gồm ví dụ Roy safety-first lấy từ Schweser + ví dụ phương sai danh mục và hiệp phương sai tự dựng, đồng thời là mầm test vòng 2).

---

6. Liên hệ bức tranh gốc

• Cụm này là nơi mọi viên gạch trước ráp lại: phương sai và tương quan (cụm 02) cộng kỳ vọng và xác suất (cụm 03) thành rủi ro/lợi nhuận mức danh mục.
• Bài học lõi: rủi ro không cộng tuyến tính — hiệp phương sai là chỗ đa dạng hóa sinh ra, và là lý do gộp tài sản ít liên quan tốt hơn dồn vào một chỗ.
• Kết nối strategy: combine nhiều tín hiệu/alpha chính là bài toán trọng số danh mục ở đây; tối thiểu hóa rủi ro hụt mục tiêu là cách đặt bài chọn danh mục theo ngưỡng thua chấp nhận được.