Cụm Probability Trees — Cây xác suất và kỳ vọng có điều kiện

Cụm này chuyển từ mô tả dữ liệu đã có (cụm 02) sang mô hình xác suất nhìn tới: khi chưa có số liệu, ta đặt xác suất cho từng kịch bản rồi tính ra kỳ vọng và rủi ro. Nó trả lời ba câu:

Trung bình kỳ vọng là bao nhiêu? → kỳ vọng (nhóm 1).
Một bài nhiều giai đoạn tính xác suất thế nào? → cây xác suất (nhóm 2).
Có tin mới thì cập nhật niềm tin ra sao? → Bayes (nhóm 3).

Đây là lớp suy luận xác suất — nền cho định giá (giá = kỳ vọng dòng tiền), cho rủi ro danh mục nhìn tới, và cho việc cập nhật xác suất kịch bản theo tín hiệu.

Nguồn: Schweser 2025 L1 Book 1, Reading 4 (Probability Trees and Conditional Expectations).
Vòng: đây là vòng 1 theo quy trình sinh nội dung — phần văn bản để hiểu. Code + test + lab là vòng 2, làm sau.

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

Màu — node xanh đậm = đầu vào (phân phối xác suất); xanh nhạt = công cụ tính; xanh lá = Bayes, kết quả cập nhật niềm tin (chỗ nối ra chiến lược).
Hai nhánh — nhánh trái (kỳ vọng, phương sai, cây) tính con số kỳ vọng; nhánh phải (xác suất có điều kiện → Bayes) tính cập nhật xác suất.

Glossary nhãn chart (English → tiếng Việt):

Probability distribution — phân phối xác suất: các kịch bản kèm xác suất.
Expected value — kỳ vọng: trung bình có trọng số xác suất.
Variance and std — phương sai và độ lệch chuẩn: rủi ro quanh kỳ vọng.
Probability tree — cây xác suất: sơ đồ nhánh nhiều giai đoạn.
Conditional probability — xác suất có điều kiện: xác suất A khi đã biết B.
Conditional expectation — kỳ vọng có điều kiện: kỳ vọng khi đã biết một sự kiện.
Multiplication rule — quy tắc nhân: xác suất hai biến cố cùng xảy ra.
Total probability rule — quy tắc xác suất toàn phần: gộp xác suất qua mọi kịch bản.
Bayes formula — công thức Bayes: cập nhật xác suất theo bằng chứng mới.

1. Kỳ vọng và rủi ro từ mô hình xác suất

Khác cụm 02 (đo lại số đã có), ở đây ta chưa có quan sát — chỉ có phân phối xác suất dự báo, và tính kỳ vọng cùng rủi ro thẳng từ đó.

1.1 Kỳ vọng — expected value

E (X) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} x_{i}

Biến:
- $p_{i}$ — xác suất kịch bản $i$ (tổng mọi $p_{i} = 1$ ).
- $x_{i}$ — giá trị nếu kịch bản $i$ xảy ra.
Ý nghĩa:
- Trung bình có trọng số xác suất — giá trị "trung bình" nếu tình huống lặp lại vô số lần.
- Khác trung bình mẫu ở cụm 02: trung bình mẫu nhìn lại quá khứ đã xảy ra; kỳ vọng nhìn tới, dựa trên phân phối dự báo.
- Nền của định giá: giá hợp lý của một tài sản = kỳ vọng dòng tiền tương lai (đã chiết khấu).

1.2 Phương sai và độ lệch chuẩn — from a probability model

σ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} {[x_{i} - E (X)]}^{2} σ = \sqrt{σ^{2}}

Biến:
- ${[x_{i} - E (X)]}^{2}$ — sai lệch kịch bản so với kỳ vọng, bình phương để bỏ dấu.
- $p_{i}$ — trọng số là xác suất kịch bản (không phải đếm quan sát).
Ý nghĩa:
- Rủi ro = mức phân tán quanh kỳ vọng, mỗi sai lệch cân theo xác suất kịch bản.
- Khác phương sai mẫu (cụm 02): ở đây không có $n - 1$ vì đây không phải mẫu — phân phối đã mô tả trọn vẹn, trọng số $p_{i}$ thay cho việc đếm quan sát.
- Độ lệch chuẩn đưa về đơn vị gốc, đọc trực tiếp như mức rủi ro.

2. Cây xác suất (probability tree)

2.1 Cây xác suất — probability tree

Cây xác suất là khung trả lời "các xác suất và giá trị trong công thức kỳ vọng từ đâu ra", bằng cách tách một bài toán nhiều giai đoạn thành các nhánh.

Cơ chế:
- Mỗi nhánh gắn một xác suất; nhân dọc theo một đường = xác suất của kết cục ở cuối đường đó.
- Tổng xác suất mọi kết cục $= 1$ .
- Kỳ vọng $= \sum (xác suất kết cục \times giá trị kết cục)$ .
Ý nghĩa:
- Biến bài toán nhiều tầng (kinh tế → công ty → EPS) thành các xác suất tra được.
- Là chỗ lắp số vào công thức kỳ vọng, và là hình ảnh trực quan của quy tắc nhân.

Đọc cây: xác suất mỗi kết cục = tích các nhánh trên đường tới nó (vd $0.70 \times 0.60 = 0.42$ ). Bốn kết cục cộng lại $0.42 + 0.28 + 0.15 + 0.15 = 1$ .

2.2 Kỳ vọng có điều kiện — conditional expectation

E (X ∣ S) = \sum_{i} x_{i} P (x_{i} ∣ S)

Biến:
- $S$ — sự kiện điều kiện đã biết là xảy ra.
- $P (x_{i} ∣ S)$ — xác suất giá trị $x_{i}$ khi đã biết $S$ .
Ý nghĩa:
- Kỳ vọng tính lại sau khi biết một sự kiện $S$ đã xảy ra (thu hẹp về nhánh $S$ của cây).
- Dùng để cập nhật dự báo khi có tin mới: kỳ vọng lợi nhuận một hãng thép khi biết chính phủ áp thuế nhập khẩu sẽ khác khi không áp.

3. Xác suất có điều kiện và Bayes

3.1 Xác suất có điều kiện — conditional probability

P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)}

Biến:
- $P (A B)$ — xác suất cả $A$ và $B$ cùng xảy ra.
- $P (B)$ — xác suất $B$ xảy ra.
Ý nghĩa:
- Xác suất của $A$ khi đã biết $B$ xảy ra — thu hẹp không gian xét về riêng phần $B$ .
- Là viên gạch lắp ra cả quy tắc nhân, quy tắc toàn phần và Bayes.

3.2 Quy tắc nhân — multiplication rule

P (A B) = P (A ∣ B) P (B)

Ý nghĩa:
- Đảo vế của định nghĩa xác suất có điều kiện.
- Xác suất hai biến cố cùng xảy ra = xác suất $B$ nhân xác suất $A$ trong điều kiện $B$ — chính là thao tác "nhân dọc nhánh" trong cây xác suất.

3.3 Quy tắc xác suất toàn phần — total probability rule

P (B) = \sum_{i = 1}^{n} P (B ∣ A_{i}) P (A_{i})

Biến: $A_{i}$ — các kịch bản loại trừ nhau và phủ hết mọi khả năng.
Ý nghĩa:
- Gộp xác suất $B$ qua mọi kịch bản $A_{i}$ để ra xác suất không điều kiện của $B$ .
- Chính là mẫu số của Bayes: cộng mọi nhánh dẫn tới $B$ .

3.4 Công thức Bayes — Bayes formula

P (A ∣ B) = \frac{P (B ∣ A) P (A)}{P (B)}

Biến:
- $P (A)$ — tiên nghiệm (prior): niềm tin về $A$ trước khi có bằng chứng.
- $P (B ∣ A)$ — khả năng (likelihood): nếu $A$ đúng thì khả năng quan sát thấy $B$ .
- $P (B)$ — bằng chứng: chuẩn hóa, tính bằng quy tắc xác suất toàn phần.
- $P (A ∣ B)$ — hậu nghiệm (posterior): niềm tin về $A$ sau khi thấy $B$ .
Ý nghĩa:
- Cập nhật niềm tin về nguyên nhân $A$ sau khi quan sát bằng chứng $B$ .
- "Đảo chiều" xác suất: từ cái dễ biết $P (B ∣ A)$ suy ra cái cần tìm $P (A ∣ B)$ .
- Lõi của suy luận theo dữ liệu: mỗi tín hiệu mới cập nhật lại xác suất các kịch bản (cùng tinh thần với học máy Bayesian).

4. Node ghép ra chiến lược

Kỳ vọng → định giá — giá hợp lý của tài sản = kỳ vọng dòng tiền tương lai đã chiết khấu (cụm Equity, Fixed Income).
Phương sai từ mô hình xác suất → rủi ro nhìn tới — đầu vào cho rủi ro danh mục dự báo (cụm Portfolio).
Bayes → cập nhật xác suất kịch bản — nối thẳng vào meta-label và các mô hình xác suất trong nghiên cứu chiến lược.
Cây xác suất + kỳ vọng có điều kiện → khung kịch bản — nền cho phân tích kịch bản khi ra quyết định.

5. Bài tập có lời giải

Đề + lời giải tách riêng để concept.md gọn như formula sheet: xem bai-tap.md (gồm ví dụ Bayes lấy từ answer key Schweser + ví dụ kỳ vọng/phương sai tự dựng, đồng thời là mầm test vòng 2).

6. Liên hệ bức tranh gốc

Bước nhảy so với cụm 02: từ "đo lại dữ liệu quá khứ" sang "mô hình xác suất nhìn tới":
- Cụm 02 — đã có số liệu, đo lại các thước đo.
- Cụm 03 — chưa có, đặt xác suất kịch bản rồi tính kỳ vọng và rủi ro.
Bayes là cầu nối thẳng sang kỷ luật anti-leakage: cập nhật niềm tin theo bằng chứng đúng quy tắc, không nhảy kết luận khi tín hiệu yếu.
Kết nối: các cụm định giá và danh mục về sau gọi lại trực tiếp kỳ vọng và phương sai nhìn-tới dựng ở đây.

Cụm Probability Trees — Cây xác suất và kỳ vọng có điều kiện ​

Đồ thị khái niệm ​

1. Kỳ vọng và rủi ro từ mô hình xác suất ​

1.1 Kỳ vọng — expected value ​

1.2 Phương sai và độ lệch chuẩn — from a probability model ​

2. Cây xác suất (probability tree) ​

2.1 Cây xác suất — probability tree ​

2.2 Kỳ vọng có điều kiện — conditional expectation ​

3. Xác suất có điều kiện và Bayes ​

3.1 Xác suất có điều kiện — conditional probability ​

3.2 Quy tắc nhân — multiplication rule ​

3.3 Quy tắc xác suất toàn phần — total probability rule ​

3.4 Công thức Bayes — Bayes formula ​

4. Node ghép ra chiến lược ​

5. Bài tập có lời giải ​

6. Liên hệ bức tranh gốc ​