Cụm 1 — Tập hợp và logic

Cụm này là cụm rễ của toàn trục toán sơ cấp, đặt nền ngôn ngữ cho mọi cụm sau:

• Câu hỏi gốc — toàn bộ toán học mô tả các đối tượng bằng cách gom chúng thành tập, rồi nói về quan hệ thuộc, quan hệ con và các phép ghép giữa các tập đó.
• Ba trụ tập hợp — khái niệm tập và quan hệ thuộc/con, rồi ba phép toán giao/hợp/bù/hiệu cùng luật De Morgan, rồi đếm số phần tử và số tập con.
• Cầu nối sang đếm — công thức bao gồm-loại trừ inclusion-exclusion và công thức số tập con $2^n$ chính là viên gạch đầu tiên của tổ hợp và xác suất ở cụm sau.
• Trụ logic — mệnh đề, phủ định, kéo theo, điều kiện cần/đủ và mệnh đề tương đương; tất cả đều quy về quan hệ bao hàm giữa hai tập nghiệm, nên logic và tập hợp là một thể thống nhất.
• Vì sao là nền — không nắm tập hợp thì không định nghĩa được biến cố, không đếm được số trường hợp, không phát biểu được điều kiện của định lý ở mọi cụm về sau.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Màu — node xanh đậm là khái niệm gốc không định nghĩa được phải chấp nhận; xanh nhạt là khái niệm dẫn xuất định nghĩa từ gốc; xanh lá là ba kết quả đếm làm cầu nối sang cụm đếm và xác suất.
• Hướng — mọi mũi tên đi từ khái niệm có trước tới khái niệm định nghĩa nhờ nó, nên đọc từ trên xuống là đọc đúng thứ tự phụ thuộc.
• Vòng nối logic — cạnh từ Implication and condition quay lại Membership and subset thể hiện điều kiện cần/đủ được quy về bao hàm tập nghiệm, không phải khái niệm tách rời.

Glossary nhãn chart (English keyword -> tiếng Việt):

• Element and set — phần tử và tập hợp: đối tượng gốc của cả cụm.
• Membership and subset — quan hệ thuộc ($\in$) và quan hệ con ($\subseteq$).
• Set operations — bốn phép toán giao ($\cap$), hợp ($\cup$), bù ($\complement$), hiệu ($\setminus$).
• De Morgan laws — luật De Morgan: bù của giao bằng hợp hai bù và ngược lại.
• Cardinality $|A|$ — số phần tử (lực lượng) của tập hữu hạn.
• Power set count $2^n$ — số tập con của tập $n$ phần tử bằng $2^n$.
• Inclusion-exclusion — công thức bao gồm-loại trừ cho số phần tử của hợp.
• Proposition and negation — mệnh đề và phép phủ định ($\mathrm{\neg }p$).
• Implication and condition — kéo theo ($\Rightarrow$) và điều kiện cần/đủ.

---

1. Tiên đề và khái niệm nền của tập hợp

Tiên đề & khái niệm nền

Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy primitive notion, nghĩa là ta không định nghĩa nó qua khái niệm nào đơn giản hơn mà chấp nhận nó cùng vài quy ước làm điểm xuất phát:

• Khái niệm tập hợp — một tập hợp là một bộ gom các đối tượng xác định rõ ràng, gọi là các phần tử element của tập; tính xác định rõ ràng nghĩa là với mọi đối tượng luôn trả lời được dứt khoát nó thuộc hay không thuộc tập, không có vùng mơ hồ.
• Tiên đề về quan hệ thuộc — giữa một đối tượng $a$ và một tập $A$ chỉ có đúng một trong hai khả năng loại trừ nhau, viết $a\in A$ khi $a$ là phần tử của $A$ và viết $a\notin A$ khi $a$ không phải phần tử của $A$.
• Tiên đề ngoại diên extensionality — hai tập bằng nhau khi và chỉ khi chúng có đúng cùng các phần tử, nên một tập hoàn toàn được xác định bởi các phần tử của nó chứ không bởi cách viết hay thứ tự liệt kê.
• Quy ước phần tử không lặp và không thứ tự — trong một tập mỗi phần tử chỉ kể một lần và thứ tự liệt kê không quan trọng, do đó $\{1,2,2,3\}$ và $\{3,1,2\}$ là cùng một tập.

1.1 Định nghĩa cách mô tả một tập

Có đúng hai cách xác định một tập, cả hai đều phải nói rõ phần tử là cái gì:

• Liệt kê roster — viết thẳng mọi phần tử trong dấu ngoặc nhọn, ví dụ $A=\{1,3,5\}$; dùng khi tập hữu hạn và ít phần tử.
• Nêu tính chất set-builder — viết $\{x\mid P(x)\}$ đọc là tập các $x$ thỏa tính chất $P$, ví dụ $\{x\mid x^2-2x-8<0\}$; dùng khi tập vô hạn hoặc nhiều phần tử.
• Đọc đúng biến đại diện — phải xác định phần tử là số hay là điểm: $\{y\mid y=x^2\}$ là tập giá trị nên ra khoảng $[0,+\mathrm{\infty })$, còn $\{(x,y)\mid \dots \}$ là tập điểm nên mỗi phần tử là một cặp tọa độ chứ không phải một số.

1.2 Định nghĩa tập rỗng và tập số chuẩn

• Tập rỗng empty set — tập không có phần tử nào, ký hiệu $\varnothing$; phải phân biệt rõ ba thứ khác nhau là $\varnothing$ không phần tử, $\{0\}$ có một phần tử là số $0$, và $\{\varnothing \}$ có một phần tử là tập rỗng.
• Tập số chuẩn — $\mathbb{N}$ là số tự nhiên gồm cả $0$, ${\mathbb{N}}^{\ast }$ là số tự nhiên bỏ $0$, $\mathbb{Z}$ là số nguyên, $\mathbb{Q}$ là số hữu tỷ, $\mathbb{R}$ là số thực; nhớ ranh giới này để xét đúng các câu như $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$ là sai vì $\sqrt{2}$ vô tỷ.

1.3 Định nghĩa quan hệ thuộc và quan hệ con

• Quan hệ thuộc element-of — ký hiệu $\in$ nối một phần tử với một tập, viết $a\in A$ nghĩa là $a$ là một phần tử của $A$.
• Quan hệ con subset — ký hiệu $\subseteq$ nối một tập với một tập, định nghĩa $A\subseteq B$ khi và chỉ khi mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$, viết gọn $A\subseteq B⟺(\mathrm{\forall }x,x\in A\Rightarrow x\in B)$.
• Tách bạch loại quan hệ — $\in$ nối phần tử với tập còn $\subseteq$ nối tập với tập, nên viết $3\subseteq A$ hay $\{2\}\in A$ là sai loại quan hệ (trừ khi $\{2\}$ thực sự là một phần tử của $A$).

Định lý — tập rỗng là tập con của mọi tập

Với mọi tập $A$ ta có $\varnothing \subseteq A$.

Chứng minh. Theo định nghĩa, $\varnothing \subseteq A$ nghĩa là mệnh đề "với mọi $x$, nếu $x\in \varnothing$ thì $x\in A$" đúng. Vì $\varnothing$ không có phần tử nào nên giả thiết $x\in \varnothing$ luôn sai, mà một phép kéo theo có giả thiết sai thì luôn đúng (chân lý rỗng vacuous truth). Do đó mệnh đề đúng với mọi $x$, suy ra $\varnothing \subseteq A$. $◼$

Dạng câu hỏi trong đề

• Phân biệt loại tập — hỏi tập nào rỗng, đối tượng nào lập được tập, hai tập có bằng nhau không khi biến đại diện khác nhau.
• Phần tử thuộc tập tìm tham số — cho $3\in A$ với $A$ chứa biểu thức theo $a$, giải rồi loại nghiệm vi phạm tính phân biệt phần tử.
• Hai tập bằng nhau tìm tham số — cho $M=N$ với phần tử chứa tham số, lập hệ rồi giải, nhớ loại nghiệm làm trùng phần tử.

Bẫy hay gặp

• Lẫn tập số với tập điểm — $\{(x,y)\mid x+y=2\}$ giao $\{(x,y)\mid x-y=2\}$ ra cặp $\{(2,0)\}$ chứ không phải số $\{2,0\}$.
• Lẫn loại quan hệ — viết $3\subseteq A$ hay $\{2\}\in A$ đều sai loại; phần tử dùng $\in$ còn tập dùng $\subseteq$.
• Ngộ nhận tập rỗng — $\{0\}$ không rỗng, $\{\varnothing \}$ không rỗng, còn $\{x\mid x^2+4=0\}$ xét trên $\mathbb{R}$ mới là tập rỗng.

---

2. Phép toán trên tập hợp và luật De Morgan

2.1 Định nghĩa bốn phép toán nền

Cho hai tập $A,B$ nằm trong một tập vũ trụ universal set $U$, ta định nghĩa:

$$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ và }x\in B\}$$$$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ hoặc }x\in B\}$$$${\complement }_{U}A=\{x\in U\mid x\notin A\}$$$$A\setminus B=\{x\mid x\in A\text{ và }x\notin B\}$$

• Biến và ý nghĩa:
  • $A\cap B$ — giao intersection: phần tử nằm ở cả hai tập; trên trục số là phần chồng nhau của hai khoảng.
  • $A\cup B$ — hợp union: phần tử nằm ở ít nhất một tập; phần tử trùng chỉ tính một lần.
  • ${\complement }_{U}A$ — bù complement: phần tử trong vũ trụ $U$ mà không thuộc $A$; phải xác định rõ $U$ trước khi lấy bù.
  • $A\setminus B$ — hiệu difference: phần tử của $A$ sau khi bỏ đi phần chung với $B$.

Định lý — luật De Morgan

Với mọi tập $A,B$ trong vũ trụ $U$ ta có hai đẳng thức ${\complement }_U(A\cap B)={\complement }_{U}A\cup {\complement }_{U}B$ và ${\complement }_U(A\cup B)={\complement }_{U}A\cap {\complement }_{U}B$.

Chứng minh. Ta chứng minh đẳng thức thứ nhất bằng cách chỉ ra hai vế có cùng phần tử, đẳng thức thứ hai làm hoàn toàn tương tự.

• Chiều xuôi — lấy $x\in {\complement }_U(A\cap B)$, tức $x\in U$ và $x\notin A\cap B$; phủ định "ở cả $A$ và $B$" cho ta "không ở $A$ hoặc không ở $B$", nghĩa là $x\in {\complement }_{U}A$ hoặc $x\in {\complement }_{U}B$, vậy $x\in {\complement }_{U}A\cup {\complement }_{U}B$.
• Chiều ngược — lấy $x\in {\complement }_{U}A\cup {\complement }_{U}B$, tức $x\in U$ và ($x\notin A$ hoặc $x\notin B$); khi đó $x$ không thể vừa ở $A$ vừa ở $B$, nên $x\notin A\cap B$, vậy $x\in {\complement }_U(A\cap B)$.
• Kết luận — hai tập chứa nhau cả hai chiều nên bằng nhau; cơ chế lõi là phủ định của "và" thành "hoặc", đây cũng chính là luật De Morgan cho mệnh đề ở mục 5. $◼$

Định lý — quan hệ bao hàm qua phép toán

Với mọi tập $A,B$ ta có $A\cup B=A⟺B\subseteq A$ và $A\cap B=A⟺A\subseteq B$.

Chứng minh. Xét $A\cup B=A⟺B\subseteq A$:

• Chiều thuận — giả sử $A\cup B=A$; mọi $x\in B$ thì $x\in A\cup B=A$, vậy $B\subseteq A$.

• Chiều đảo — giả sử $B\subseteq A$; luôn có $A\subseteq A\cup B$, ngược lại mọi $x\in A\cup B$ thì $x\in A$ hoặc $x\in B\subseteq A$ nên $x\in A$, vậy $A\cup B\subseteq A$; hai chiều cho $A\cup B=A$.

• Đẳng thức còn lại — chứng minh $A\cap B=A⟺A\subseteq B$ làm tương tự bằng cách thay vai giao cho hợp. $◼$

• Vì sao quan trọng — đây là chìa khóa của mọi bài tham số: điều kiện $A\cup B=A$ được chuyển thẳng thành điều kiện bao hàm $B\subseteq A$ dễ giải hơn.

Dạng câu hỏi trong đề

• Giao hợp tập rời rạc — cho hai tập liệt kê, tính $A\cap B$ hoặc $A\cup B$; chỉ cần gạch phần tử chung.
• Giao hợp trên trục số — hai tập cho bằng bất phương trình như $x^2-2x-8<0$, giải ra khoảng rồi mới giao hợp.
• Bù và biểu thức trộn — tính $N\cup {\complement }_{U}M$ hoặc ${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cap B)$, phải lấy bù đúng vũ trụ rồi mới ghép.
• Bao hàm tìm tham số — $A\cup B=A$ hay $B\subseteq A$ với $B$ là nghiệm phương trình bậc hai chứa tham số, phải xét cả trường hợp $B$ rỗng.

Quy trình không trượt bước

• Giao hợp trên trục — giải từng bất phương trình ra khoảng; vẽ hai khoảng lên cùng một trục số; lấy phần chồng cho giao hoặc phần phủ cho hợp; chốt từng biên đóng hay mở.
• Biểu thức trộn bù — xác định vũ trụ $U$ hoặc $\mathbb{R}$; lấy bù của tập trong cùng trước; rồi mới làm giao hợp với tập còn lại theo thứ tự dấu ngoặc.
• Bao hàm tìm tham số — xét tách hai nhánh, nhánh $B=\varnothing$ luôn thỏa, nhánh $B\ne \varnothing$ thì nghiệm của $B$ phải nằm trong $A$; gộp hai nhánh.

Bẫy hay gặp

• Quên nhánh tập rỗng — bài $B\subseteq A$ với $B$ là nghiệm $ax-1=0$ phải kể $a=0$ cho $B=\varnothing$, bỏ nhánh này là thiếu đáp.
• Biên đóng mở khi giao bất phương trình — dấu nhỏ hơn cho biên mở, dấu nhỏ hơn hoặc bằng cho biên đóng, trộn vào dễ sai một đầu mút.
• Sai thứ tự ngoặc khi trộn bù — phải lấy bù trong dấu ngoặc trong cùng trước rồi mới ghép ra ngoài.

---

3. Đếm số phần tử và số tập con

3.1 Định nghĩa lực lượng của tập hữu hạn

• Lực lượng cardinality — với tập hữu hạn $A$, ký hiệu $n(A)$ hay $|A|$ là số phần tử phân biệt của $A$; đây là số đếm trực tiếp, ví dụ $n(\{1,3,5\})=3$.
• Đếm đúng phần tử phân biệt — phải gộp các phần tử trùng về một trước khi đếm, vì tập không kể lặp; $n(\{1,2,2\})=2$ chứ không phải $3$.

Định lý — số tập con của tập hữu hạn

Tập $A$ có đúng $n$ phần tử thì có đúng $2^n$ tập con.

Chứng minh. Mỗi tập con của $A$ tương ứng đúng một cách trả lời "lấy hay không lấy" cho từng phần tử, và các lựa chọn này độc lập nhau. Có $n$ phần tử, mỗi phần tử có $2$ lựa chọn, theo quy tắc nhân tổng số cách là $2\times 2\times \cdots \times 2=2^n$. Hai cách chọn khác nhau cho hai tập con khác nhau, và mọi tập con đều ứng với một cách chọn, nên số tập con đúng bằng $2^n$. $◼$

$$\text{số tập con}=2^n,\text{số tập con khác rỗng}=2^n-1,\text{số tập con thực sự}=2^n-1$$

• Biến và ý nghĩa:
  • $n$ — số phần tử phân biệt của tập.
  • $2^n-1$ khác rỗng — tổng số tập con trừ đi đúng một tập rỗng.
  • $2^n-1$ thực sự — tổng số tập con trừ đi chính tập $A$ (tập con thực sự proper subset là tập con khác chính nó).
• Giải ngược tìm $n$ — bài cho số tập con khác rỗng bằng $7$ thì giải $2^n-1=7$ ra $2^n=8$ nên $n=3$.

Định lý — công thức bao gồm-loại trừ cho hai tập

Với hai tập hữu hạn $A,B$ ta có $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$.

Chứng minh. Khi cộng $n(A)+n(B)$, mỗi phần tử chỉ thuộc một trong hai tập được đếm đúng một lần, nhưng mỗi phần tử thuộc cả hai tập (tức thuộc $A\cap B$) bị đếm hai lần, một lần trong $n(A)$ và một lần trong $n(B)$. Để mỗi phần tử của hợp được đếm đúng một lần, ta trừ đi phần đếm thừa, tức trừ $n(A\cap B)$. Do đó $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$. $◼$

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

• Biến và ý nghĩa:
  • $n(A),n(B)$ — số phần tử mỗi tập, ví dụ số người làm mỗi việc.
  • $n(A\cap B)$ — số phần tử làm cả hai việc, bị đếm trùng nên phải trừ một lần.
  • $n(A\cup B)$ — số phần tử làm ít nhất một việc.
• Vì sao là cầu nối — đây là dạng đơn giản nhất của nguyên lý inclusion-exclusion tổng quát, mở đường cho đếm số trường hợp và tính xác suất biến cố hợp ở cụm sau.
• Tập kẹp giữa — bài $A\subseteq C\subseteq B$ đếm số tập $C$ bằng cách cho mỗi phần tử của phần $B\setminus A$ tự do vào hoặc không, tức $2^{n(B)-n(A)}$ tập.

Dạng câu hỏi trong đề

• Đếm tập con — số tập con thực sự của $B$, hoặc tìm $n$ phần tử khi biết số tập con khác rỗng.
• Đếm làm hai việc — cho số người làm việc này, làm việc kia, làm cả hai, tính số người làm ít nhất một việc bằng bao gồm-loại trừ.
• Đếm tập kẹp giữa — đếm số tập $C$ thỏa $A\subseteq C\subseteq B$.

Quy trình không trượt bước

• Đếm tập con — đếm đúng số phần tử phân biệt của tập trước; áp $2^n$ cho tổng, $2^n-1$ cho khác rỗng hoặc tập con thực sự; đọc kỹ đề hỏi loại nào.
• Bao gồm-loại trừ — viết rõ ba số $n(A)$, $n(B)$, $n(A\cap B)$; thế thẳng vào công thức; phần "không làm việc nào" tính bằng tổng thể trừ $n(A\cup B)$.

Bẫy hay gặp

• Lẫn tập con thực sự với tập con — đếm tập con thực sự là $2^n-1$, quên trừ chính tập đó là dư một.
• Đếm trùng phần tử — quên gộp phần tử lặp về một trước khi áp $2^n$ là sai $n$.
• Quên trừ phần giao — cộng thẳng $n(A)+n(B)$ mà quên trừ $n(A\cap B)$ là đếm dôi người làm cả hai việc.

---

4. Mệnh đề và phép phủ định

Tiên đề & khái niệm nền

Phần logic dựng trên một quy ước nền của logic cổ điển:

• Khái niệm mệnh đề proposition — một mệnh đề là một câu khẳng định có giá trị chân lý xác định, tức hoặc đúng hoặc sai chứ không lửng lơ; câu hỏi và câu cảm thán không phải mệnh đề.
• Luật bài trung law of excluded middle — mỗi mệnh đề nhận đúng một trong hai giá trị đúng hoặc sai, không có giá trị thứ ba; đây là tiên đề chấp nhận, là chỗ logic cổ điển nối thẳng với tính xác định rõ ràng của tập hợp.

4.1 Định nghĩa phủ định và lượng từ

• Phủ định negation — phủ định của mệnh đề $p$, ký hiệu $\mathrm{\neg }p$, là mệnh đề đúng khi $p$ sai và sai khi $p$ đúng.
• Lượng từ với mọi universal — ký hiệu $\mathrm{\forall }x$, đọc là với mọi $x$, khẳng định tính chất đúng cho tất cả $x$.
• Lượng từ tồn tại existential — ký hiệu $\mathrm{\exists }x$, đọc là tồn tại $x$, khẳng định có ít nhất một $x$ thỏa tính chất.

Định lý — phủ định lượng từ và phủ định nối từ

Phủ định lật lượng từ và nối từ theo các đẳng thức $\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }x,P(x))\equiv \mathrm{\exists }x,\mathrm{\neg }P(x)$, $\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x,P(x))\equiv \mathrm{\forall }x,\mathrm{\neg }P(x)$, $\mathrm{\neg }(p\vee q)\equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$, $\mathrm{\neg }(p\wedge q)\equiv \mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$.

Chứng minh. Xét $\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }x,P(x))$: phủ định khẳng định "$P$ đúng cho mọi $x$" chính là khẳng định "có ít nhất một $x$ làm $P$ sai", tức $\mathrm{\exists }x,\mathrm{\neg }P(x)$; đẳng thức $\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x,P)$ làm đối xứng. Với nối từ, hai đẳng thức $\mathrm{\neg }(p\vee q)\equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$ và $\mathrm{\neg }(p\wedge q)\equiv \mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$ là luật De Morgan cho mệnh đề, kiểm trực tiếp qua bảng chân lý: với mọi cặp giá trị đúng/sai của $p,q$, hai vế luôn cho cùng giá trị. $◼$

• Cùng một cơ chế với tập hợp — De Morgan cho mệnh đề ở đây và De Morgan cho tập ở mục 2 là một, vì $\complement$ ứng với $\mathrm{\neg }$, $\cup$ ứng với $\vee$, $\cap$ ứng với $\wedge$.
• Suy điều kiện tham số — nếu $\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$ là sai thì cả $p$ và $q$ phải đúng, đây là chỗ nhiều bài tham số bắt đầu.

Dạng câu hỏi trong đề

• Phủ định mệnh đề có lượng từ — viết phủ định của "với mọi $x$ có tính chất $P$", phải đổi lượng từ và đồng thời phủ vị từ bên trong.
• Tìm tham số từ mệnh đề ghép — cho $\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$ là sai, suy $p$ và $q$ cùng đúng, dịch thành điều kiện theo tham số rồi giải.

Bẫy hay gặp

• Phủ định thiếu vế — phủ "với mọi" mà quên phủ vị từ bên trong, hoặc phủ vị từ mà quên đổi lượng từ.
• Phủ nối từ sai chiều — phủ "hoặc" phải thành "và", phủ "và" phải thành "hoặc"; nhầm chiều là sai gốc.

---

5. Kéo theo và điều kiện cần đủ

5.1 Định nghĩa kéo theo và tương đương

• Kéo theo implication — mệnh đề $p\Rightarrow q$ đọc là $p$ kéo theo $q$, chỉ sai trong đúng một trường hợp là $p$ đúng mà $q$ sai, còn lại đều đúng.
• Tương đương equivalence — mệnh đề $p\iff q$ đúng khi $p$ và $q$ cùng đúng hoặc cùng sai, tức $p\Rightarrow q$ và $q\Rightarrow p$ đều đúng.

5.2 Định nghĩa điều kiện cần và điều kiện đủ

• Điều kiện đủ sufficient — khi $p\Rightarrow q$, ta nói $p$ là điều kiện đủ cho $q$; có $p$ thì chắc chắn có $q$, nhưng $q$ chưa chắc cho lại $p$.
• Điều kiện cần necessary — khi $p\Rightarrow q$, ta nói $q$ là điều kiện cần cho $p$; thiếu $q$ thì không thể có $p$.
• Cần và đủ — khi cả hai chiều cùng đúng, $p$ là điều kiện cần và đủ cho $q$, tức $p\iff q$.

Định lý — quy điều kiện về bao hàm tập nghiệm

Gọi $P$ là tập nghiệm của $p$ và $Q$ là tập nghiệm của $q$. Khi đó $p$ đủ cho $q$ tương đương $P\subseteq Q$, $p$ cần cho $q$ tương đương $Q\subseteq P$, và $p$ tương đương $q$ khi và chỉ khi $P=Q$.

Chứng minh. Mệnh đề $p\Rightarrow q$ đúng với mọi $x$ nghĩa là mọi $x$ làm $p$ đúng đều làm $q$ đúng, tức mọi phần tử của $P$ đều thuộc $Q$, đúng là định nghĩa $P\subseteq Q$. Vậy "$p$ đủ cho $q$" tương đương $P\subseteq Q$. Đổi vai $p$ với $q$ cho ngay "$p$ cần cho $q$" tức $q\Rightarrow p$ tương đương $Q\subseteq P$. Cần và đủ là cả hai bao hàm cùng đúng, tức $P\subseteq Q$ và $Q\subseteq P$, nghĩa là $P=Q$. $◼$

• Vì sao đây là mẹo gốc — mọi bài phân loại điều kiện đều quy về giải hai tập nghiệm trên trục số rồi so chiều bao hàm, biến câu hỏi logic thành câu hỏi tập hợp đã biết cách giải.
• Vòng khép kín của cụm — đây chính là cạnh quay lại trong đồ thị khái niệm, cho thấy logic và tập hợp là một thể.

Dạng câu hỏi trong đề

• Dịch câu chữ chọn ký hiệu đúng — bốn phương án diễn đạt cùng một câu nói thành bất đẳng thức, chọn cái dịch "không vượt" và "không nhỏ hơn" đúng dấu bằng.
• Phân loại điều kiện giữa hai bất phương trình — cho $p$ và $q$ là hai bất phương trình, hỏi $p$ là điều kiện gì của $q$, giải hai tập nghiệm rồi so bao hàm.
• Điều kiện trên quan hệ tập — hỏi điều kiện tham số để hợp hai tập nghiệm bằng $\mathbb{R}$, vẫn quy về so bao hàm hai tập.

Quy trình không trượt bước

• Dịch câu chữ — tách riêng chữ chỉ chiều như cao thấp lớn nhỏ; tách riêng chữ "không vượt" và "không nhỏ hơn" để chốt dấu bằng; "không vượt $a$" là $x\le a$, "không nhỏ hơn $a$" là $x\ge a$.
• Phân loại điều kiện — giải tập nghiệm $P$ của $p$; giải tập nghiệm $Q$ của $q$; vẽ hai tập lên trục số; xét $P\subseteq Q$ cho đủ, $Q\subseteq P$ cho cần, $P=Q$ cho tương đương.

Bẫy hay gặp

• Lẫn không vượt với nhỏ hơn — "không vượt $2000$" là $x\le 2000$ có dấu bằng, viết $x<2000$ là sai vì bỏ mất giá trị bằng.
• Đảo đủ thành cần — $P\subseteq Q$ là $p$ đủ cho $q$, nhầm thành cần là chọn ngược phương án.
• Quên một chiều khi xét tương đương — chỉ kiểm $p\Rightarrow q$ rồi kết luận tương đương, bỏ chiều ngược lại.

---

6. Ví dụ mẫu có lời giải

6.1 Đếm bằng công thức bao gồm và loại trừ

• Đề — một lớp có $30$ học sinh, trong đó $18$ em học tiếng Anh, $15$ em học tiếng Pháp, $7$ em học cả hai. Hỏi có bao nhiêu em không học ngoại ngữ nào.
• Lời giải:
  • Gọi $A$ là tập em học Anh, $B$ là tập em học Pháp, ta có $n(A)=18$, $n(B)=15$, $n(A\cap B)=7$.
  • Số em học ít nhất một ngoại ngữ là $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=18+15-7=26$.
  • Số em không học ngoại ngữ nào là tổng thể trừ phần hợp, tức $30-26=4$.
• Định lý vừa dùng — công thức bao gồm-loại trừ ở mục 3, lõi là trừ một lần phần đếm trùng $n(A\cap B)$.

6.2 Phân loại điều kiện qua tập nghiệm

• Đề — cho $p$ là mệnh đề $x\ge 3$ và $q$ là mệnh đề $x\ge 1$. Hỏi $p$ là điều kiện gì của $q$.
• Lời giải:
  • Tập nghiệm của $p$ là $P=[3,+\mathrm{\infty })$, tập nghiệm của $q$ là $Q=[1,+\mathrm{\infty })$.
  • So bao hàm trên trục số thấy $P\subseteq Q$ vì mọi số lớn hơn hoặc bằng $3$ đều lớn hơn hoặc bằng $1$, nhưng $Q$ không nằm trong $P$.
  • Theo định lý quy về bao hàm, $P\subseteq Q$ nghĩa là $p\Rightarrow q$, vậy $p$ là điều kiện đủ nhưng không cần cho $q$.
• Định lý vừa dùng — quy điều kiện cần/đủ về bao hàm tập nghiệm ở mục 5; chiều con là chiều đủ.

---

7. Kết nối

• Nền cho cụm đếm và xác suất — công thức số tập con $2^n$ và công thức bao gồm-loại trừ ở mục 3 là viên gạch đầu của quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp và xác suất biến cố hợp.
• Nền cho mọi định lý về sau — ngôn ngữ tập hợp, quan hệ thuộc/con và điều kiện cần/đủ là cách phát biểu chuẩn của mọi định lý ở các cụm hàm số, dãy số, hình giải tích và bất đẳng thức.
• Nền cho biến cố và tập nghiệm — kỹ thuật quy điều kiện về bao hàm tập nghiệm dùng lại trực tiếp khi giải bất phương trình tham số và khi xét biến cố trong xác suất.