Cụm 2 — Đếm và xác suất

Cụm này dựng toàn bộ xác suất phổ thông từ một thao tác duy nhất đã có ở cụm 1: đếm số phần tử của một tập (cardinality).

• Câu hỏi gốc — khi mọi kết quả đồng khả năng, "khả năng xảy ra" của một biến cố chỉ là một phép chia: số phần tử của biến cố chia số phần tử của không gian mẫu.
• Trụ một — hai tiên đề đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân) là gốc; từ chúng suy ra ba công thức đếm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp dưới dạng định lý có chứng minh.
• Trụ hai — định nghĩa Laplace gắn đếm với xác suất, rồi biến ngẫu nhiên và kỳ vọng đưa xác suất về một con số đại diện cho "trung bình dài hạn".
• Đòn bẩy trung tâm — định lý tuyến tính của kỳ vọng cho phép tính kỳ vọng của một tổng mà không cần xét từng trường hợp, kể cả khi các thành phần phụ thuộc nhau.
• Nền cho phần sau — phân phối nhị thức và phân phối chuẩn là hai phân phối mẫu mà các cụm thống kê, định giá quyền chọn và quản trị rủi ro về sau gọi lại trực tiếp.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Màu — node xanh đậm là gốc đem từ cụm 1 (đếm số phần tử của tập); xanh nhạt là tầng công cụ đếm; xanh lá là tầng xác suất và phân phối.
• Hướng — mọi mũi tên chảy từ gốc đếm xuống dưới, nên nắm vững hai quy tắc cộng và nhân trước, rồi mới tới ba công thức đếm, rồi mới tới xác suất.

Glossary nhãn chart (English keyword -> tiếng Việt):

• Cardinality — số phần tử của một tập hữu hạn (gốc lấy từ cụm 1).
• Addition rule — quy tắc cộng: gộp các trường hợp rời nhau bằng phép cộng.
• Multiplication rule — quy tắc nhân: nối các bước liên tiếp bằng phép nhân.
• Permutation $P_n$ — hoán vị: số cách xếp toàn bộ phần tử thành hàng.
• Arrangement $A_n^k$ — chỉnh hợp: số cách chọn k phần tử có tính thứ tự.
• Combination $C_n^k$ — tổ hợp: số cách chọn k phần tử không tính thứ tự.
• Classical probability — xác suất cổ điển Laplace: số phần tử biến cố chia số phần tử không gian mẫu.
• Random variable — biến ngẫu nhiên: hàm gán mỗi kết quả một số thực.
• Expectation $E[X]$ — kỳ vọng: trung bình có trọng số theo xác suất.
• Linearity of expectation — tuyến tính kỳ vọng: kỳ vọng của tổng bằng tổng kỳ vọng.
• Binomial distribution — phân phối nhị thức: đếm số lần thành công trong n phép thử độc lập.
• Normal distribution — phân phối chuẩn: phân phối hình chuông liên tục đối xứng.

---

1. Tiên đề đếm

Tầng gốc của cả cụm không phải xác suất mà là đếm. Hai quy tắc dưới đây không chứng minh được — chúng là tiên đề mô tả cách số cách-làm tổ hợp lại khi ta nối hoặc gộp các bước.

1.1 Khái niệm nền

• Phép thử và kết quả — một phép thử là một hành động cho ra một kết quả không đoán trước được; tập tất cả kết quả có thể là không gian mẫu, ký hiệu $\mathrm{\Omega }$.
• Không gian mẫu — tập $\mathrm{\Omega }$ gồm mọi kết quả; số phần tử của nó là $|\mathrm{\Omega }|=n$ (cardinality lấy thẳng từ cụm 1).
• Biến cố — một biến cố là một tập con của $\mathrm{\Omega }$; số phần tử của biến cố $A$ là $|A|=m$ (số kết quả thuận lợi).
• Đồng khả năng — các kết quả đồng khả năng khi không có lý do nào để một kết quả xảy ra nhiều hơn kết quả khác (vd súc xắc cân đối); điều kiện này là cốt lõi, thiếu nó công thức xác suất cổ điển sai.

1.2 Tiên đề — quy tắc nhân

Nếu một công việc gồm hai giai đoạn liên tiếp, giai đoạn một có $a$ cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó giai đoạn hai có $b$ cách, thì cả công việc có $a\times b$ cách.

• Bản chất — mỗi cách của giai đoạn một mở ra đúng $b$ nhánh ở giai đoạn hai, nên đếm theo lưới $a$ hàng nhân $b$ cột.
• Mở rộng — với $k$ giai đoạn liên tiếp số cách lần lượt là $a_1,a_2,\dots ,a_k$ thì tổng số cách là $a_1\times a_2\times \cdots \times a_k$.
• Dấu hiệu nhận — bài toán có chữ "và", "rồi", "tiếp theo" nối các bước thì dùng phép nhân.

1.3 Tiên đề — quy tắc cộng

Nếu một công việc có thể thực hiện theo một trong các phương án rời nhau (không có cách nào thuộc đồng thời hai phương án), phương án thứ $i$ có $a_i$ cách, thì tổng số cách là $a_1+a_2+\cdots +a_k$.

• Điều kiện cứng — các phương án phải đôi một rời nhau; nếu giao nhau thì phải trừ phần đếm trùng (nguyên lý bao hàm loại trừ, inclusion-exclusion, đã gặp ở cụm 1).
• Dấu hiệu nhận — bài toán chia thành các trường hợp loại trừ lẫn nhau, nối bằng chữ "hoặc", thì dùng phép cộng.
• Phần bù — khi đếm trực tiếp khó, đếm phần đối lập $\overline{A}$ rồi suy $|A|=|\mathrm{\Omega }|-|\overline{A}|$; đặc biệt hiệu quả với loại câu "có ít nhất một".

---

2. Ba công thức đếm

Cả ba công thức dưới đây không phải tiên đề mới — chúng là định lý suy ra từ quy tắc nhân. Học sinh phải thấy mỗi công thức mọc ra từ đâu, không học vẹt.

2.1 Định nghĩa — giai thừa

$$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1,0!=1$$

• Biến:
  • $n$ — số nguyên không âm cần lấy giai thừa.
  • $n!$ — tích của mọi số nguyên dương từ $1$ tới $n$, đọc là "n giai thừa".
• Quy ước — đặt $0!=1$ để các công thức đếm dưới đây vẫn đúng ở biên (vd chọn $0$ phần tử có đúng $1$ cách là chọn tập rỗng).

2.2 Định lý — hoán vị

Số cách xếp $n$ phần tử khác nhau thành một hàng có thứ tự là $P_n=n!$.

Chứng minh. Xếp lần lượt vào $n$ vị trí. Vị trí một có $n$ cách chọn phần tử; sau khi đặt xong còn $n-1$ phần tử nên vị trí hai có $n-1$ cách; cứ thế vị trí thứ $k$ có $n-k+1$ cách. Các lựa chọn nối tiếp nhau nên theo quy tắc nhân tổng số cách là $n\times (n-1)\times \cdots \times 1=n!$. $◼$

$$P_n=n!$$

• Biến:
  • $n$ — số phần tử khác nhau đem xếp.
  • $P_n$ — số hoán vị, tức số cách xếp toàn bộ $n$ phần tử thành hàng.
• Khi nào dùng — bài yêu cầu sắp xếp tất cả phần tử theo thứ tự (xếp hàng, xếp lịch hết các phần tử).

2.3 Định lý — chỉnh hợp

Số cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử khác nhau rồi xếp chúng theo thứ tự là $A_n^k={\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}$.

Chứng minh. Lần lượt điền $k$ vị trí có thứ tự. Vị trí một có $n$ cách, vị trí hai có $n-1$ cách, ..., vị trí thứ $k$ có $n-k+1$ cách. Theo quy tắc nhân số cách là tích $k$ thừa số liên tiếp $n(n-1)\cdots (n-k+1)$. Nhân và chia cùng $(n-k)!$ để gọn lại, tích đó bằng ${\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}$. $◼$

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$

• Biến:
  • $n$ — tổng số phần tử có sẵn để chọn.
  • $k$ — số phần tử được chọn và xếp thứ tự, với $0\le k\le n$.
  • $A_n^k$ — số chỉnh hợp chập $k$ của $n$.
• Khi nào dùng — bài rút lần lượt và phân biệt thứ tự trước sau (rút bóng có ghi thứ tự, trao giải nhất nhì ba).

2.4 Định lý — tổ hợp

Số cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử khác nhau mà không kể thứ tự là $C_n^k={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$.

Chứng minh. Mỗi cách chọn không thứ tự gồm $k$ phần tử, nếu đem xếp thứ tự thì sinh ra đúng $k!$ chỉnh hợp khác nhau (chính là số hoán vị của $k$ phần tử đó). Vậy mỗi tổ hợp ứng với $k!$ chỉnh hợp, nên số chỉnh hợp bằng số tổ hợp nhân $k!$, tức $A_n^k=C_n^k\times k!$. Giải ra $C_n^k={\displaystyle \frac{A_n^k}{k!}}={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$. $◼$

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},C_n^k=C_n^{n-k}$$

• Biến:
  • $n$ — tổng số phần tử có sẵn.
  • $k$ — số phần tử được chọn, không tính thứ tự, với $0\le k\le n$.
  • $C_n^k$ — số tổ hợp chập $k$ của $n$ (còn ký hiệu là nhị thức $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$).
• Tính chất đối xứng — $C_n^k=C_n^{n-k}$ vì chọn $k$ phần tử để lấy đồng nghĩa chọn $n-k$ phần tử để bỏ; tính chất này giúp rút gọn khi $k$ gần $n$.
• Khi nào dùng — bài rút một nắm cùng lúc, chọn một nhóm mà thứ tự bên trong không quan trọng.

2.5 Dạng câu hỏi trong đề

• Đếm sample point thuần — hỏi số phần tử của không gian mẫu hoặc của một biến cố mà chưa cần chia ra xác suất (vd có bao nhiêu cách xếp nhóm).
• Chọn có thứ tự — rút bóng có ghi thứ tự, trao giải, mật mã có vị trí, dùng chỉnh hợp $A$ hoặc hoán vị $P$.
• Chọn không thứ tự — rút một nắm bóng, chọn ban cán sự, lập đội, dùng tổ hợp $C$.

2.6 Quy trình không trượt bước

• Nhận diện thứ tự — đọc đề xác định rút có thứ tự (dùng $A$ hoặc $P$) hay không thứ tự (dùng $C$); chọn nhầm công cụ là sai ngay từ bước đầu.
• Đếm đồng bộ — khi tính xác suất phải đếm tử và mẫu bằng cùng một loại công cụ; trộn tử theo $C$ với mẫu theo $A$ làm sai tỉ lệ.
• Xử lý ràng buộc kề — hai phần tử phải cạnh nhau thì buộc thành một khối rồi nhân hoán vị nội bộ khối; phải tách rời thì xếp phần còn lại rồi chèn vào khe trống.

2.7 Bẫy hay gặp

• Lẫn có thứ tự và không thứ tự — tử đếm theo $C$ nhưng mẫu đếm theo $A$ (hoặc ngược lại) làm sai tỉ lệ; phải đồng bộ một loại.
• Bỏ hoán vị nội bộ khối — buộc hai phần tử thành cụm rồi quên nhân $2!$ cho thứ tự bên trong cụm.
• Đếm trùng do đối xứng — rút hai phần tử đồng thời nhưng đếm như có thứ tự mà quên chia $2!$, làm mẫu phồng lên gấp đôi.

---

3. Xác suất cổ điển

Đây là nơi đếm gặp xác suất: một khi đã đếm được tử và mẫu, xác suất chỉ là một phép chia.

3.1 Định nghĩa — xác suất Laplace

Khi mọi kết quả của không gian mẫu đồng khả năng, xác suất của biến cố $A$ được định nghĩa là tỉ số giữa số kết quả thuận lợi và số kết quả của không gian mẫu.

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{m}{n}$$

• Biến:
  • $m=|A|$ — số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ (đếm bằng công cụ ở mục 2).
  • $n=|\mathrm{\Omega }|$ — tổng số kết quả của không gian mẫu.
  • $P(A)$ — xác suất của biến cố $A$, một số trong đoạn $[0,1]$.
• Điều kiện sống còn — định nghĩa này chỉ đúng khi các kết quả đồng khả năng; với mô hình không đồng khả năng (vd bắn 10 phát trúng 8) thì áp $m/n$ là sai.

3.2 Định lý — các tính chất nền của xác suất

Với mọi biến cố $A$ trong không gian mẫu hữu hạn đồng khả năng: $0\le P(A)\le 1$, $P(\mathrm{\Omega })=1$, và $P(\overline{A})=1-P(A)$.

Chứng minh. Vì $A$ là tập con của $\mathrm{\Omega }$ nên $0\le |A|\le |\mathrm{\Omega }|$, chia cả ba vế cho $|\mathrm{\Omega }|>0$ ra $0\le P(A)\le 1$. Với $A=\mathrm{\Omega }$ thì $|A|=|\mathrm{\Omega }|$ nên $P(\mathrm{\Omega })=1$. Biến cố đối $\overline{A}$ rời $A$ và $A\cup \overline{A}=\mathrm{\Omega }$ nên $|A|+|\overline{A}|=|\mathrm{\Omega }|$; chia cho $|\mathrm{\Omega }|$ ra $P(A)+P(\overline{A})=1$, suy $P(\overline{A})=1-P(A)$. $◼$

• Ứng dụng phần bù — công thức $P(\overline{A})=1-P(A)$ là chìa khóa cho loại câu "có ít nhất một": đếm phần đối lập (không có cái nào) thường ngắn hơn liệt kê trực tiếp.

3.3 Định nghĩa — xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện $P(B\mid A)$ là xác suất $B$ xảy ra khi đã biết $A$ xảy ra, tức thu hẹp không gian mẫu lại còn riêng $A$.

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},P(A)>0$$

• Biến:
  • $P(A\cap B)$ — xác suất cả hai biến cố cùng xảy ra (biến cố giao).
  • $P(A)$ — xác suất điều kiện đã biết xảy ra, làm mẫu số mới.
  • $P(B\mid A)$ — xác suất $B$ trong không gian mẫu đã thu hẹp về $A$.
• Cách đếm trực tiếp — đếm số kết quả vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$ rồi chia cho số kết quả thuộc $A$; thường nhanh hơn áp công thức.
• Phân biệt với giao — $P(B\mid A)$ chia cho $P(A)$, còn $P(A\cap B)$ chia cho toàn không gian mẫu; lẫn hai cái là một lỗi điển hình.

3.4 Bẫy hay gặp

• Mô hình không đồng khả năng — tung đến khi ra mặt ngửa, hay bắn súng trúng đích, không phải mô hình cổ điển hữu hạn đồng khả năng nên không áp được $m/n$.
• Quên phần bù — câu "ít nhất một" mà đi liệt kê hết các trường hợp thuận lợi thì dài và dễ sót; đáng ra lấy phần bù.
• Lẫn điều kiện với giao — tính $P(A\cap B)$ trong khi đề hỏi $P(B\mid A)$, tức quên chia cho $P(A)$.

---

4. Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng

Xác suất gắn cho từng kết quả; nhưng đề thường hỏi một con số tổng hợp (số huy chương nhặt được, số sản phẩm lỗi). Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng là công cụ đưa cả phân phối về một con số đại diện.

4.1 Định nghĩa — biến ngẫu nhiên

Một biến ngẫu nhiên $X$ là một hàm gán mỗi kết quả của không gian mẫu một số thực; nó biến một phép thử định tính thành một đại lượng số đo được.

• Rời rạc — $X$ nhận hữu hạn (hoặc đếm được) giá trị $x_1,x_2,\dots$, mỗi giá trị kèm xác suất $p_i=P(X=x_i)$.
• Biến chỉ thị — trường hợp đặc biệt cực kỳ hữu ích: $X=1$ nếu một biến cố $A$ xảy ra, $X=0$ nếu không; gọi là biến chỉ thị (indicator variable) của $A$.

4.2 Định nghĩa — kỳ vọng

Kỳ vọng (expectation) của biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ là trung bình các giá trị có trọng số là xác suất, tức "giá trị trung bình dài hạn" nếu lặp phép thử vô số lần.

$$E[X]=\sum _i{x}_{i}P(X=x_i)$$

• Biến:
  • $x_i$ — giá trị thứ $i$ mà $X$ có thể nhận.
  • $P(X=x_i)$ — xác suất $X$ nhận đúng giá trị $x_i$, đóng vai trò trọng số.
  • $E[X]$ — kỳ vọng của $X$, một con số duy nhất đại diện cho cả phân phối.
• Ý nghĩa thực tế — đặt cược lặp lại nhiều lần thì lãi/lỗ trung bình mỗi lần hội tụ về $E[X]$; đây là cầu nối giữa xác suất một lần và trung bình dài hạn.

4.3 Định lý — kỳ vọng của biến chỉ thị

Nếu $X$ là biến chỉ thị của biến cố $A$ (nhận $1$ khi $A$ xảy ra, $0$ khi không) thì $E[X]=P(A)$.

Chứng minh. $X$ chỉ nhận hai giá trị: $1$ với xác suất $P(A)$ và $0$ với xác suất $1-P(A)$. Theo định nghĩa kỳ vọng $E[X]=1\cdot P(A)+0\cdot (1-P(A))=P(A)$. $◼$

• Vì sao quan trọng — định lý nhỏ này là bản lề của mẹo tuyến tính kỳ vọng ở mục sau: nó đổi một xác suất thành một kỳ vọng để có thể cộng lại.

4.4 Định lý — tuyến tính của kỳ vọng

Với hai biến ngẫu nhiên $X$ và $Y$ bất kỳ trên cùng không gian mẫu và hai hằng số $a,b$: $E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$. Đặc biệt $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$, ĐÚNG kể cả khi $X$ và $Y$ KHÔNG độc lập.

Chứng minh. Viết kỳ vọng theo từng kết quả $\omega$ của không gian mẫu với xác suất $P(\omega )$:

$$E[aX+bY]=\sum _{\omega }(aX(\omega )+bY(\omega ))P(\omega )$$

Tách tổng thành hai phần và đưa hằng số ra ngoài:

$$=a\sum _{\omega }X(\omega )P(\omega )+b\sum _{\omega }Y(\omega )P(\omega )=aE[X]+bE[Y]$$

Bước tách tổng chỉ dùng tính phân phối của phép nhân với phép cộng, không hề giả định gì về quan hệ giữa $X$ và $Y$, nên kết quả đúng cả khi chúng phụ thuộc nhau. $◼$

• Biến:
  • $X(\omega ),Y(\omega )$ — giá trị của hai biến ngẫu nhiên tại cùng một kết quả $\omega$.
  • $P(\omega )$ — xác suất của kết quả $\omega$, là trọng số chung cho cả hai biến.
  • $a,b$ — hằng số tỉ lệ.
• Điểm cốt lõi — phương sai của tổng mới cần độc lập, còn kỳ vọng của tổng thì KHÔNG; đây là lý do tuyến tính kỳ vọng mạnh hơn vẻ ngoài rất nhiều.
• Mở rộng tổng nhiều biến — $E[\sum _j{X}_j]=\sum _{j}E[X_j]$ cho mọi số lượng biến, dùng được khi chúng dính chùm phụ thuộc.

---

5. Phân phối nhị thức

Khi cùng một phép thử lặp lại nhiều lần độc lập, đếm số lần thành công cho ra phân phối nhị thức — phân phối rời rạc quan trọng nhất ở phổ thông.

5.1 Định nghĩa — phân phối nhị thức

Biến ngẫu nhiên $Y\sim B(n,p)$ đếm số lần thành công trong $n$ phép thử độc lập, mỗi phép thử thành công với cùng xác suất $p$.

$$P(Y=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$

• Biến:
  • $n$ — số phép thử độc lập lặp lại.
  • $p$ — xác suất thành công của một phép thử (cố định qua mọi phép thử).
  • $k$ — số lần thành công cần tính xác suất, với $0\le k\le n$.
  • $C_n^k$ — số cách chọn vị trí cho $k$ lần thành công trong $n$ phép thử.
• Đọc công thức — $p^k(1-p{)}^{n-k}$ là xác suất một chuỗi cụ thể có đúng $k$ thành công; nhân $C_n^k$ vì có bấy nhiêu chuỗi cùng cho $k$ thành công.

5.2 Định lý — kỳ vọng phân phối nhị thức

Nếu $Y\sim B(n,p)$ thì $E[Y]=np$ và phương sai $D[Y]=np(1-p)$.

Định hướng chứng minh (qua tuyến tính kỳ vọng — chính là mẹo ở mục 6):

• Tách thành tổng chỉ thị — viết $Y=X_1+X_2+\cdots +X_n$ với $X_j$ là biến chỉ thị "phép thử thứ $j$ thành công".
• Kỳ vọng từng chỉ thị — mỗi $X_j$ nhận $1$ với xác suất $p$ nên $E[X_j]=p$ (định lý 4.3).
• Cộng lại bằng tuyến tính — $E[Y]=\sum _{j=1}^{n}E[X_j]=np$, không cần biết phân phối đầy đủ của $Y$.
• Phương sai cần độc lập — vì các phép thử độc lập, phương sai cộng được nên $D[Y]=\sum _j\text{Var}(X_j)=np(1-p)$.

$$E[Y]=np,D[Y]=np(1-p)$$

• Biến:
  • $E[Y]$ — số lần thành công trung bình kỳ vọng.
  • $D[Y]$ — phương sai số lần thành công, đo độ tản quanh $np$.
• Ghi nhớ — kỳ vọng nhị thức là một ví dụ kinh điển cho thấy tuyến tính kỳ vọng đỡ ta khỏi phải khai triển cả phân phối.

---

6. Mẹo tuyến tính kỳ vọng

Đây là điểm cốt lõi của cụm: rất nhiều bài hỏi "kỳ vọng của tổng" mà nếu quy về xác suất từng trường hợp thì rối và dễ sai; tuyến tính kỳ vọng giải gọn trong vài dòng.

6.1 Quy trình ba bước

• Bước một — phân rã thành tổng chỉ thị — viết đại lượng cần tính (tổng số huy chương, tổng số cặp trùng) thành tổng các biến chỉ thị $X=\sum _j{X}_j$, mỗi $X_j$ là $1$/$0$ cho một sự kiện con.
• Bước hai — tính kỳ vọng từng chỉ thị — với mỗi $j$, $E[X_j]=P(\text{sự kiện con }j\text{ xảy ra})$ theo định lý 4.3; chỉ cần một xác suất đơn giản.
• Bước ba — cộng lại — $E[X]=\sum _{j}E[X_j]$ theo tuyến tính kỳ vọng, KHÔNG cần các $X_j$ độc lập, KHÔNG cần xét phân phối của tổng.

6.2 Vì sao mẹo này tránh được sai

• Tránh tổ hợp các trường hợp — cách "thẳng" phải tính xác suất tổng nhận từng giá trị $0,1,2,\dots$ rồi nhân và cộng; mỗi bước đếm tổ hợp dễ sót hoặc trùng.
• Bỏ qua phụ thuộc — các sự kiện con thường dính nhau (chọn không hoàn lại làm các lần phụ thuộc); cách thẳng phải xử lý phụ thuộc, còn tuyến tính kỳ vọng cộng thẳng bất chấp phụ thuộc.
• Mỗi xác suất con đơn giản — chỉ cần xác suất một sự kiện con đơn lẻ, thường tính nhẩm được, không cần phân phối đồng thời.

---

7. Phân phối chuẩn

Khi số phép thử lớn, phân phối nhị thức xấp xỉ một phân phối liên tục hình chuông — phân phối chuẩn, phân phối quan trọng nhất của toàn bộ thống kê và tài chính.

7.1 Định nghĩa — phân phối chuẩn

Biến liên tục $X$ theo phân phối chuẩn $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ có đồ thị mật độ hình chuông đối xứng, với $\mu$ là kỳ vọng nằm ở đỉnh và $\sigma$ là độ lệch chuẩn đo độ tản.

$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

• Biến:
  • $\mu$ — kỳ vọng, hoành độ của đỉnh chuông và trục đối xứng.
  • $\sigma$ — độ lệch chuẩn; $\sigma$ nhỏ cho chuông cao và gầy, $\sigma$ lớn cho chuông thấp và bè.
  • ${\sigma }^2$ — phương sai, bằng bình phương độ lệch chuẩn.
  • $\phi (x)$ — giá trị hàm mật độ tại điểm $x$.
• Đọc tham số từ hàm — so mẫu số ở mũ với $2{\sigma }^2$ để rút $\sigma$, so phần $(x-\mu )$ để rút $\mu$; bẫy hay gặp là lẫn $\sigma$ với ${\sigma }^2$.

7.2 Tính đối xứng

• Chia đôi tại đỉnh — $P(X>\mu )=P(X<\mu )=0.5$ vì chuông đối xứng qua trục $x=\mu$.
• Phản chiếu hai đuôi — $P(X>\mu +t)=P(X<\mu -t)$: hai điểm cách đều $\mu$ cho hai đuôi bằng nhau.
• Tìm trung bình bằng đối xứng — nếu $P(X\ge c_1)=P(X\le c_2)$ thì $\mu ={\displaystyle \frac{c_1+c_2}{2}}$ (trung điểm hai mốc đối xứng).

7.3 Quy tắc ba sigma

Đây là cách dùng phân phối chuẩn thực dụng nhất ở phổ thông: thay vì tính tích phân hình chuông, quy mọi khoảng về dạng $\mu \pm k\sigma$ rồi tra ba mốc cố định.

$$P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )=0.6827$$$$P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )=0.9545$$$$P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )=0.9973$$

• Biến:
  • $k$ — số độ lệch chuẩn tính từ đỉnh ($k=1,2,3$).
  • Vế phải — xác suất rơi vào khoảng đối xứng rộng $k\sigma$ mỗi phía; quen gọi quy tắc 68-95-99.7.
• Một đuôi — xác suất một phía là ${\displaystyle \frac{1-P_k}{2}}$, nguồn của các số $0.1587$, $0.0228$, $0.0013$; lấy một đuôi mà quên chia hai là sai gấp đôi.
• Ước lượng số lượng — nhân xác suất với tổng số cá thể $N$ để ra số rơi vào một khoảng (số học sinh, số sản phẩm).

7.4 Liên kết nhị thức với chuẩn

Khi $n$ lớn, phân phối nhị thức $Y\sim B(n,p)$ xấp xỉ phân phối chuẩn $N(np,np(1-p))$ (định lý giới hạn De Moivre-Laplace).

• Nối qua kỳ vọng — đề cho $E[X]=E[Y]$ với $X$ chuẩn và $Y$ nhị thức thì giải $np=\mu$ để tìm $p$.
• Xấp xỉ xác suất — với $n$ lớn, dùng ba sigma trên phân phối chuẩn xấp xỉ thay cho tính tổng nhị thức cồng kềnh.

7.5 Bẫy hay gặp

• Lẫn $\sigma$ và ${\sigma }^2$ — $N(2,7)$ nghĩa là $\sigma =\sqrt{7}$ chứ không phải $7$; hỏi phương sai mà trả độ lệch chuẩn là sai.
• Quên cắt nửa — ba mốc sigma là xác suất cả khoảng hai phía; lấy một đuôi phải chia $2$.
• Phản chiếu nhầm khoảng cách — lấy $P(X>80)=P(X<60)$ khi $80$ và $60$ không cách đều $\mu$; phải kiểm đối xứng trước.

---

8. Ví dụ mẫu có lời giải

8.1 Kỳ vọng tổng số huy chương — mẹo tuyến tính kỳ vọng

Đề. Có $6$ môn thi, trong đó $4$ môn có huy chương và $2$ môn không có. Chọn ngẫu nhiên $3$ môn trong $6$ môn. Tính kỳ vọng của tổng số huy chương nhặt được (mỗi môn có huy chương được chọn thì nhặt thêm một huy chương).

Cách sai dễ mắc. Quy về xác suất từng trường hợp tổng số huy chương bằng $0,1,2,3$, mỗi giá trị phải đếm tổ hợp chọn bao nhiêu môn có huy chương và bao nhiêu môn không, rồi nhân và cộng. Bốn lần đếm tổ hợp, dễ sót hoặc nhầm, lại còn phải chuẩn hóa mẫu số $C_6^3$.

Cách mẹo — tuyến tính kỳ vọng.

• Bước một — đặt biến chỉ thị cho từng môn có huy chương — đánh số $4$ môn có huy chương là $1,2,3,4$; đặt $X_j=1$ nếu môn $j$ được chọn trong $3$ môn, $X_j=0$ nếu không. Tổng số huy chương nhặt được là $X=X_1+X_2+X_3+X_4$.
• Bước hai — kỳ vọng từng chỉ thị — môn $j$ được chọn khi nó nằm trong $3$ vị trí được rút từ $6$ môn, xác suất là $P(X_j=1)={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (mỗi môn có cơ hội vào nhóm $3$ là $3/6$). Theo định lý 4.3, $E[X_j]={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
• Bước ba — cộng lại bằng tuyến tính — bốn môn có huy chương dính nhau (chọn không hoàn lại nên $X_j$ phụ thuộc), nhưng tuyến tính kỳ vọng KHÔNG cần độc lập:

$$E[X]=\sum _{j=1}^{4}E[X_j]=4\times \frac{1}{2}=2$$

Kết luận. Kỳ vọng tổng số huy chương nhặt được là $2$. Mẹo này chỉ dùng một xác suất con $3/6$ rồi nhân số môn có huy chương, tránh hẳn việc quy về xác suất từng trường hợp vốn dễ sai.

8.2 Rút bóng cùng màu — đếm và xác suất cổ điển

Đề. Một hộp có $5$ bóng đỏ và $3$ bóng xanh. Rút ngẫu nhiên đồng thời $2$ bóng. Tính xác suất hai bóng cùng màu.

Lời giải.

• Đếm mẫu — rút $2$ bóng đồng thời từ $8$ bóng không tính thứ tự, dùng tổ hợp: $|\mathrm{\Omega }|=C_8^2={\displaystyle \frac{8\times 7}{2}}=28$.
• Đếm tử theo trường hợp rời nhau — cùng đỏ hoặc cùng xanh là hai trường hợp loại trừ nhau nên dùng quy tắc cộng:
  • Cùng đỏ: $C_5^2={\displaystyle \frac{5\times 4}{2}}=10$ cách.
  • Cùng xanh: $C_3^2=3$ cách.
  • Tổng thuận lợi: $10+3=13$.
• Chia ra xác suất — đếm tử và mẫu cùng bằng tổ hợp (đồng bộ công cụ):

$$P(\text{cùng màu})=\frac{C_5^2+C_3^2}{C_8^2}=\frac{13}{28}\approx 0.464$$

Kết luận. Xác suất hai bóng cùng màu là ${\displaystyle \frac{13}{28}}$. Bài này khớp quy trình mục 2.6: nhận diện không thứ tự (rút đồng thời), đếm tử và mẫu cùng bằng tổ hợp, gộp các trường hợp rời bằng quy tắc cộng.

---

9. Kết nối

• Luyện tập tương tác — làm Trắc nghiệm 8 câu có lời giải, hoặc xem Lab mô phỏng kỳ vọng số huy chương hội tụ về 2.
• Là nền cho thống kê — kỳ vọng và phương sai ở đây là phiên bản lý thuyết của trung bình và phương sai mẫu trong cụm thước đo thống kê; phân phối chuẩn là mô hình nền cho quy tắc 68-95-99.7 và cho ý nghĩa của độ lệch chuẩn.
• Là nền cho định giá và rủi ro — kỳ vọng dưới một độ đo xác suất là lõi của định giá kỳ vọng; phân phối chuẩn và rủi ro đuôi (skewness, kurtosis) gọi lại trực tiếp phân phối chuẩn dựng ở mục 7.
• Là nền cho suy luận thống kê — phân phối nhị thức và xấp xỉ chuẩn De Moivre-Laplace là bước đệm tới định lý giới hạn trung tâm và kiểm định giả thuyết ở các cụm cao hơn.
• Tuyến tính kỳ vọng dùng lại khắp nơi — mẹo ở mục 6 quay lại trong tính lợi nhuận kỳ vọng của danh mục, số sự kiện kỳ vọng trong mô phỏng, và mọi chỗ cần kỳ vọng của một tổng các đại lượng dính nhau.