Trắc nghiệm — Hàm số

Bộ câu hỏi trắc nghiệm cho cụm Hàm số, rút từ đề thật và phân theo chủ đề con. Phần lý thuyết xem ở đây.

• Làm thử — bấm từng đáp rồi kiểm tra, có lời giải ngay.
• Theo chủ đề — phần dưới liệt kê toàn bộ câu theo cây chủ đề con; câu nâng cao (cho học sinh giỏi) tách riêng cuối mỗi chủ đề.

Làm thử từng câu

Hàm sốCâu 1 / 76 · Điểm 0 / 0

Cho hàm số $f(x) = -2x$ khi $x < 0$, và $f(x) = f(\tfrac{1}{2}x - 1)$ khi $x \ge 0$. Tính $f(f(4))$.

Toàn bộ câu hỏi theo chủ đề

Hàm số — 76 câu76 câu

Tính chất hàm cơ bản

Câu 1

Cho hàm số $f(x) = -2x$ khi $x < 0$, và $f(x) = f(\tfrac{1}{2}x - 1)$ khi $x \ge 0$. Tính $f(f(4))$.

• A.$-1$
• B.$1$đáp án
• C.$2$
• D.$-2$

$f(4)$: vì $4 \ge 0$ nên $f(4) = f(\tfrac{1}{2}\cdot 4 - 1) = f(1)$. $f(1)$: vì $1 \ge 0$ nên $f(1) = f(\tfrac{1}{2} - 1) = f(-\tfrac{1}{2})$. Vì $-\tfrac{1}{2} < 0$ nên $f(-\tfrac{1}{2}) = -2\cdot(-\tfrac{1}{2}) = 1$, do đó $f(4) = 1$. Vậy $f(f(4)) = f(1) = 1$.

$$f(f(4)) = 1$$

Câu 2

Cước điện thoại cho cuộc gọi từ thành phố A đến thành phố B kéo dài $t$ phút được tính theo hàm $g(t) = 1.06 \cdot (0.75 \cdot [t] + 1)$, với $t > 0$ và $[t]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $t$. Cước cho cuộc gọi dài $5.5$ phút là?

• A.$5.04$ nhân dân tệđáp án
• B.$5.43$ nhân dân tệ
• C.$5.83$ nhân dân tệ
• D.$5.38$ nhân dân tệ

Với $t = 5.5$ thì $[t] = 5$. Do đó $g(5.5) = 1.06 \cdot (0.75 \cdot 5 + 1) = 1.06 \cdot 4.75 = 5.035$, làm tròn xấp xỉ $5.04$.

$$g(5.5) = 1.06 \times 4.75 \approx 5.04$$

Câu 3

Hàm số $y=2x+3$ là $(\ \ )$.

• A.Hàm số đồng biếnđáp án
• B.Hàm số nghịch biến
• C.Hàm số không đơn điệu
• D.Không xác định được

Hàm bậc nhất $y=ax+b$ với hệ số góc $a=2>0$ nên đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$.

$$a=2>0$$

Câu 4

Cho $y=3x+1$. Tính chẵn lẻ của hàm số là $(\ \ )$.

• A.Hàm số lẻ
• B.Hàm số chẵn
• C.Hàm số không chẵn không lẻđáp án
• D.Không xác định được

Ta có $f(-x)=-3x+1$. Vì $f(-x)\ne f(x)$ và $f(-x)\ne -f(x)$ nên hàm số không chẵn không lẻ.

$$f(-x)=-3x+1\ne\pm f(x)$$

Câu 5

Tập xác định của hàm số $y=\dfrac{3}{x-1}$ là $(\ \ )$.

• A.$\{x\mid x\ne 0\}$
• B.$\{x\mid x>0\}$
• C.$\{x\mid x\ne 1\}$đáp án
• D.$\{x\mid x>1\}$

Hàm phân thức xác định khi mẫu khác $0$, tức $x-1\ne 0\Leftrightarrow x\ne 1$.

$$x-1\ne 0$$

Câu 6

Hàm số ngược của $y=\dfrac{1}{2}x+3$ là $(\ \ )$.

• A.$y=2x-3\ (x\in\mathbb{R})$
• B.$y=\dfrac{7}{x+4}\ (x\ne -4)$
• C.$y=2x-6\ (x\in\mathbb{R})$đáp án
• D.$y=2x+6\ (x\in\mathbb{R})$

Từ $y=\dfrac{1}{2}x+3$ giải $x$ theo $y$: $x=2y-6$, rồi đổi vai trò biến được $y=2x-6$ với $x\in\mathbb{R}$.

$$y=2x-6$$

Câu 7

Cho $y=|x-2|$, kết luận nào sau đây đúng? $(\ \ )$

• A.Khi $x<2$, hàm số đồng biến.
• B.Khi $x>2$, hàm số đồng biến.đáp án
• C.Khi $x\in\mathbb{R}$, hàm số nghịch biến.
• D.Khi $x\in\mathbb{R}$, hàm số đồng biến.

Với $x>2$ thì $|x-2|=x-2$ là hàm bậc nhất hệ số góc dương nên đồng biến; với $x<2$ thì $|x-2|=2-x$ nghịch biến.

$$y=x-2\ (x>2)$$

Câu 8

Khẳng định nào sau đây đúng? $(\ \ )$

• A.$y=x$ và $y=\left(\sqrt{x}\right)^2$ là cùng một hàm số
• B.$y=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ và $y=x+2$ là cùng một hàm số
• C.$y=\ln e^x$ và $y=x$ là cùng một hàm sốđáp án
• D.$y=|x|$ và $y=\sqrt[3]{x^3}$ là cùng một hàm số

$y=\ln e^x=x$ với tập xác định $\mathbb{R}$, trùng cả công thức lẫn miền nên là cùng một hàm. A sai vì $(\sqrt{x})^2$ chỉ xác định khi $x\ge 0$; B sai vì loại $x=2$; D sai vì $\sqrt[3]{x^3}=x\ne |x|$.

$$\ln e^x=x,\ x\in\mathbb{R}$$

Câu 9

Tập xác định của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}+\sqrt{4-x}$ là $(\ \ )$

• A.$(-2,4]$đáp án
• B.$[-2,4]$
• C.$(-2,4)$
• D.$[-2,4)$

Cần $x+2>0$ (vì nằm dưới căn ở mẫu) và $4-x\ge 0$, suy ra $-2<x\le 4$, tức tập $(-2,4]$.

$$x+2>0\ \wedge\ 4-x\ge 0$$

Câu 10

Tính chẵn lẻ của hàm số $f(x)=x^3-2x$ là $(\ \ )$

• A.Hàm số lẻđáp án
• B.Hàm số chẵn
• C.Hàm số không chẵn không lẻ
• D.Vừa là hàm số lẻ vừa là hàm số chẵn

Tập xác định $\mathbb{R}$ đối xứng và $f(-x)=-x^3+2x=-f(x)$ nên hàm số lẻ.

$$f(-x)=-f(x)$$

Câu 11

Với hàm số $f(x)=2x^4+1$, khẳng định nào sau đây đúng? $(\ \ )$

• A.Là hàm số lẻ
• B.Là hàm số chẵnđáp án
• C.Không chẵn không lẻ
• D.Tập giá trị là $[0,+\infty)$

$f(-x)=2x^4+1=f(x)$ nên hàm số chẵn. Đáp án D sai vì giá trị nhỏ nhất là $1$, tập giá trị là $[1,+\infty)$.

$$f(-x)=2x^4+1=f(x)$$

Câu 12

Hàm số ngược của $y=2x^3-5\ (x\in\mathbb{R})$ là $(\ \ )$

• A.$y=\sqrt[3]{\dfrac{x+5}{2}}\ (x\in\mathbb{R})$đáp án
• B.$y=\sqrt[3]{\dfrac{x-5}{2}}\ (x\in\mathbb{R})$
• C.$y=\sqrt[3]{\dfrac{x+5}{2}}\ (x\ge -5)$
• D.$y=\sqrt[3]{\dfrac{x-5}{2}}\ (x\ge 5)$

Từ $y=2x^3-5$ suy ra $x^3=\dfrac{y+5}{2}$, nên $x=\sqrt[3]{\dfrac{y+5}{2}}$; đổi biến được $y=\sqrt[3]{\dfrac{x+5}{2}}$ với $x\in\mathbb{R}$ (căn bậc lẻ xác định mọi $x$).

$$y=\sqrt[3]{\dfrac{x+5}{2}}$$

Câu 13

Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{2-\log_2 x}$ là $(\ \ )$.

• A.$(4,+\infty)$
• B.$[4,+\infty)$
• C.$(0,4]$đáp án
• D.$(0,4)$

Cần $x>0$ (điều kiện của $\log$) và $2-\log_2 x\ge 0\Leftrightarrow \log_2 x\le 2\Leftrightarrow x\le 4$, suy ra $(0,4]$.

$$x>0\ \wedge\ \log_2 x\le 2$$

Câu 14

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục $y$ và đồng biến trên $(0,+\infty)$? $(\ \ )$.

• A.$y=2^x$
• B.$y=x^2-1$đáp án
• C.$y=x^{\frac{1}{2}}$
• D.$y=\log_{\frac{1}{2}}|x|$

Đối xứng qua trục $y$ tức là hàm chẵn. $y=x^2-1$ chẵn và đồng biến trên $(0,+\infty)$. A không chẵn; C không chẵn; D chẵn nhưng nghịch biến trên $(0,+\infty)$ vì cơ số $\tfrac{1}{2}<1$.

$$y=x^2-1$$

Câu 15

Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó? $(\ \ )$.

• A.$y=\dfrac{1}{x}$
• B.$y=\log_{\frac{1}{3}}x$
• C.$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$
• D.$y=x^3$đáp án

$y=x^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. A nghịch biến trên từng khoảng (không đơn điệu trên toàn miền); B và C có cơ số nhỏ hơn $1$ nên nghịch biến.

$$y=x^3$$

Câu 16

Khoảng đồng biến của hàm số $f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-x-1}$ là $(\ \ )$.

• A.$\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\right]$đáp án
• B.$(-\infty,1]$
• C.$\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
• D.$[1,+\infty)$

Đặt $g(x)=x^2-x-1$. Vì cơ số $\tfrac12<1$ nên hàm hợp đồng biến khi $g$ nghịch biến. $g$ nghịch biến trên $\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\right]$ (đỉnh parabol tại $x=\tfrac12$).

$$g(x)=x^2-x-1\ \downarrow\ \text{on}\ (-\infty,\tfrac12]$$

Câu 17

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x+\sqrt{1-x}+3$ là bao nhiêu?

• A.$\dfrac{17}{4}$đáp án
• B.$2$
• C.$\dfrac{1}{2}$
• D.$4$

Đặt $t=\sqrt{1-x}\ge0$, suy ra $x=1-t^2$ nên $y=-t^2+t+4$. Parabol đạt cực đại tại $t=\dfrac{1}{2}$, cho $y_{\max}=\dfrac{17}{4}$.

$$y=-t^2+t+4,\ t=\tfrac12 \Rightarrow y_{\max}=\tfrac{17}{4}$$

Câu 18

Cho hàm số $f(x)=x(e^x-e^{-x})$. Khẳng định nào sau đây đúng?

• A.Là hàm lẻ và nghịch biến trên $(0,+\infty)$
• B.Là hàm lẻ và đồng biến trên $(0,+\infty)$
• C.Là hàm chẵn và nghịch biến trên $(0,+\infty)$
• D.Là hàm chẵn và đồng biến trên $(0,+\infty)$đáp án

Ta có $f(-x)=-x(e^{-x}-e^{x})=x(e^x-e^{-x})=f(x)$ nên $f$ là hàm chẵn. Với $x>0$, cả $x$ và $e^x-e^{-x}$ đều dương và đồng biến nên tích $f(x)$ đồng biến trên $(0,+\infty)$.

$$f(-x)=f(x),\quad f(x)=x(e^x-e^{-x})\uparrow \text{ on } (0,+\infty)$$

Câu 19

Tập xác định của hàm số $f(x)=\sqrt{2x-1}+\dfrac{1}{x-2}$ là?

• A.$[0,2)$
• B.$(2,+\infty)$
• C.$\left[\dfrac{1}{2},2\right)\cup(2,+\infty)$đáp án
• D.$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$

Điều kiện: $2x-1\ge0$ cho $x\ge\dfrac{1}{2}$ và $x-2\ne0$ cho $x\ne2$. Vậy tập xác định là $\left[\dfrac{1}{2},2\right)\cup(2,+\infty)$.

$$x\ge\tfrac12,\ x\ne2 \Rightarrow \left[\tfrac12,2\right)\cup(2,+\infty)$$

Câu 20

Tập xác định của hàm số $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}$ là?

• A.$(1,+\infty)$
• B.$[1,+\infty)$
• C.$[1,2)$
• D.$[1,2)\cup(2,+\infty)$đáp án

Điều kiện: $x-1\ge0$ cho $x\ge1$ và $x-2\ne0$ cho $x\ne2$. Vậy tập xác định là $[1,2)\cup(2,+\infty)$.

$$x\ge1,\ x\ne2 \Rightarrow [1,2)\cup(2,+\infty)$$

Câu 21

Tập xác định của hàm số $f(x)=\sqrt{1-\lg(2-x)}$ là?

• A.$[-8,2)$đáp án
• B.$(-8,2)$
• C.$(-\infty,2)$
• D.$[-3,2)$

Điều kiện: $2-x>0$ cho $x<2$, và $1-\lg(2-x)\ge0$ cho $\lg(2-x)\le1$, tức $2-x\le10$ nên $x\ge-8$. Vậy tập xác định là $[-8,2)$.

$$2-x\le10 \Rightarrow x\ge-8,\ x<2 \Rightarrow [-8,2)$$

Câu 22

Cho hàm số $f(x)=ax^2+x-1$ đồng biến trên $(-2,+\infty)$. Tập giá trị của tham số thực $a$ là?

• A.$\left(-\infty,\dfrac{1}{4}\right]$
• B.$\left(0,\dfrac{1}{4}\right]$
• C.$\left[0,\dfrac{1}{4}\right]$đáp án
• D.$\left[\dfrac{1}{4},+\infty\right)$

Khi $a=0$, $f(x)=x-1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn. Khi $a\ne0$, cần $a>0$ và trục đối xứng $-\dfrac{1}{2a}\le-2$, cho $0<a\le\dfrac{1}{4}$. Hợp lại được $0\le a\le\dfrac{1}{4}$.

$$a>0,\ -\tfrac{1}{2a}\le-2 \Rightarrow 0\le a\le\tfrac14$$

Câu 23

Hàm số $f(x)=2x+\sin x$ trên đoạn $[0,\pi]$ có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất là?

• A.Giá trị nhỏ nhất là $0$, giá trị lớn nhất là $\pi+1$
• B.Giá trị nhỏ nhất là $0$, giá trị lớn nhất là $2\pi$đáp án
• C.Giá trị nhỏ nhất là $\pi+1$, giá trị lớn nhất là $2\pi$
• D.Giá trị nhỏ nhất là $0$, giá trị lớn nhất là $2$

Ta có $f'(x)=2+\cos x>0$ với mọi $x$ nên $f$ đồng biến trên $[0,\pi]$. Do đó giá trị nhỏ nhất là $f(0)=0$ và giá trị lớn nhất là $f(\pi)=2\pi$.

$$f'(x)=2+\cos x>0,\ f(0)=0,\ f(\pi)=2\pi$$

Câu 24

Trong các hàm số sau, hàm nào đồng biến (tăng nghiêm ngặt) trên $(0,+\infty)$?

• A.$f(x)=-x^{\frac{1}{2}}$
• B.$f(x)=2^{-2}$
• C.$f(x)=\ln|x|$đáp án
• D.$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$

A là $-\sqrt{x}$ nghịch biến; B là hằng số $2^{-2}=\dfrac{1}{4}$; D là $\dfrac{1}{x^2}$ nghịch biến trên $(0,+\infty)$. Chỉ C có $\ln|x|=\ln x$ đồng biến trên $(0,+\infty)$.

$$f(x)=\ln x \uparrow \text{ on } (0,+\infty)$$

Câu 25

Cho $f(x)$ là hàm số bậc nhất và $f(x-1)=3x-5$. Khi đó $f(x)$ bằng?

• A.$3x-2$đáp án
• B.$2x+3$
• C.$3x+2$
• D.$2x-3$

Đặt $f(x)=ax+b$ với $a\ne0$. Khi đó $f(x-1)=ax-a+b=3x-5$, suy ra $a=3$ và $-a+b=-5$ nên $b=-2$. Vậy $f(x)=3x-2$.

$$a=3,\ b=-2 \Rightarrow f(x)=3x-2$$

Câu 26

Cho các tập hợp $A=\{(x,y)\mid y=f(x),\ x\in D\}$ và $B=\{(x,y)\mid x=a\}$. Số phần tử của $A\cap B$ là?

• A.$0$
• B.$1$
• C.$2$
• D.Nhiều nhất là mộtđáp án

Theo định nghĩa hàm số, mỗi giá trị $x$ ứng với duy nhất một $y$. Nếu $a\in D$ thì đường $x=a$ cắt đồ thị tại đúng một điểm; nếu $a\notin D$ thì không có điểm chung. Vậy số phần tử nhiều nhất là một.

$$|A\cap B|\le1$$

Câu 27

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ, khi $x>0$ thì $f(x)=\log_2(x+1)+ax$, và $f(-3)=a$. Khi đó $a=(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{2}$
• B.$-\dfrac{1}{2}$đáp án
• C.$\log_2 3$
• D.$2$

Do $f$ lẻ nên $f(-3)=-f(3)=-(\log_2 4+3a)=-(2+3a)$. Cho bằng $a$: $-2-3a=a\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}$.

$$f(-3)=-f(3)=-(2+3a)=a\Rightarrow a=-\tfrac{1}{2}$$

Câu 28

Kết luận nào sau đây về hàm số $f(x)=|x-1|-1$ là đúng? $(\ \ )$.

• A.$f(x)$ đồng biến trên $(0,+\infty)$
• B.$f(x)$ nghịch biến trên $(0,+\infty)$
• C.$f(x)$ đồng biến trên $(-\infty,0]$
• D.$f(x)$ nghịch biến trên $(-\infty,0]$đáp án

Viết lại $f(x)=\begin{cases}x-2,&x\ge 1\\ -x,&x<1\end{cases}$. Trên $(-\infty,0]$ thì $f(x)=-x$ nghịch biến; trên $(0,+\infty)$ hàm không đơn điệu.

$$f(x)=\begin{cases}x-2,&x\ge 1\\ -x,&x<1\end{cases}$$

Câu 29

Đồ thị hàm số $y=f(x)$ đi qua góc phần tư thứ hai và thứ ba. Khi đó đồ thị hàm số $y=f^{-1}(x)$ đi qua $(\ \ )$.

• A.Góc phần tư thứ nhất và thứ hai
• B.Góc phần tư thứ hai và thứ ba
• C.Góc phần tư thứ ba và thứ tưđáp án
• D.Góc phần tư thứ nhất và thứ tư

Đồ thị hàm ngược đối xứng với đồ thị gốc qua đường $y=x$: góc phần tư II đổi thành IV, góc phần tư III giữ nguyên III. Vậy $f^{-1}$ đi qua góc phần tư thứ ba và thứ tư.

$$(x,y)\mapsto(y,x)$$

Câu 30

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ, khi $x>0$ thì $f(x)=\log_2(x+1)+ax$, và $f(-3)=a$. Khi đó $a=(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{2}$
• B.$-\dfrac{1}{2}$đáp án
• C.$\log_2 3$
• D.$2$

Do $f$ lẻ nên $f(-3)=-f(3)=-(\log_2 4+3a)=-(2+3a)$. Cho bằng $a$: $-2-3a=a\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}$.

$$f(-3)=-f(3)=-(2+3a)=a\Rightarrow a=-\tfrac{1}{2}$$

Câu 31

Cho hàm số $f\!\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)=\dfrac{1-x^2}{1+x^2}$. Biểu thức của $f(x)$ là $(\ \ )$.

• A.$f(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}\ (x\ne -1)$đáp án
• B.$f(x)=-\dfrac{2x}{1+x^2}\ (x\ne -1)$
• C.$f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}\ (x\ne -1)$
• D.$f(x)=-\dfrac{x}{1+x^2}\ (x\ne -1)$

Đặt $t=\dfrac{1-x}{1+x}$ thì $x=\dfrac{1-t}{1+t}$. Thay vào: $1-x^2=\dfrac{4t}{(1+t)^2}$, $1+x^2=\dfrac{2+2t^2}{(1+t)^2}$, nên tỉ số $=\dfrac{2t}{1+t^2}$. Vậy $f(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$.

$$f(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$$

Câu 32

Rút gọn $\sqrt{(1-2x)^2}\ (2x>1)$. Kết quả là $(\ \ )$.

• A.$1-2x$
• B.$0$
• C.$2x-1$đáp án
• D.$(1-2x)^2$

Ta có $\sqrt{(1-2x)^2}=|1-2x|$. Vì $2x>1$ nên $1-2x<0$, do đó $|1-2x|=2x-1$.

$$\sqrt{(1-2x)^2}=|1-2x|=2x-1$$

Câu 33

Cho $f(x)$ là hàm số lẻ xác định trên $\mathbb{R}$ và $f(-x)+f(x)+2a=1$. Khi đó $a=(\ \ )$.

• A.$-\dfrac{1}{2}$
• B.$\dfrac{1}{2}$đáp án
• C.$0$
• D.$1$

Do $f$ lẻ nên $f(-x)+f(x)=0$, suy ra $2a=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}$.

$$f(-x)+f(x)=0\Rightarrow 2a=1\Rightarrow a=\tfrac{1}{2}$$

Câu 34

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x-2$. Nếu $f(a)=4$ thì $f(-a)=(\ \ )$.

• A.$-2$
• B.$-4$
• C.$-6$
• D.$-8$đáp án

Ta có $f(a)+f(-a)=(a^3-3a-2)+(-a^3+3a-2)=-4$. Với $f(a)=4$ suy ra $f(-a)=-8$.

$$f(a)+f(-a)=-4\Rightarrow f(-a)=-4-4=-8$$

Câu 35

Cho hàm số lẻ $f(x)$, khi $x\ge 0$ thì $f(x)=2^x-m$ (với $m$ là hằng số). Khi đó $f(-2)$ bằng bao nhiêu?

• A.$1$
• B.$2$
• C.$-3$đáp án
• D.$3$

Hàm lẻ nên $f(0)=0$, suy ra $2^0-m=0$, tức $m=1$. Do đó $f(2)=2^2-1=3$ và $f(-2)=-f(2)=-3$.

$$f(-2)=-f(2)=-(2^2-1)=-3$$

Câu 36

Cho $f(x-1)=x^2+1$. Tính $f(5)$.

• A.$37$đáp án
• B.$35$
• C.$26$
• D.$29$

Đặt $x-1=5$ nên $x=6$, suy ra $f(5)=6^2+1=37$.

$$f(5)=6^2+1=37$$

Câu 37

Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x+1}+\lg(2-x)$ là tập nào?

• A.$(-1,2)$
• B.$(-1,2]$
• C.$[-1,2)$đáp án
• D.$[-1,2]$

Điều kiện $x+1\ge 0$ cho $x\ge -1$ và $2-x>0$ cho $x<2$. Giao lại được $[-1,2)$.

$$[-1,2)$$

Câu 38

Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $[-4,5]$. Tập xác định của hàm số $y=\dfrac{f(x-1)}{\sqrt{x+2}}$ là tập nào?

• A.$[-2,4]$
• B.$[-2,6]$
• C.$(-2,4]$
• D.$(-2,6]$đáp án

Cần $x-1\in[-4,5]$ nên $x\in[-3,6]$, đồng thời $x+2>0$ nên $x>-2$. Giao lại được $(-2,6]$.

$$(-2,6]$$

Câu 39

Cho $f(x)$ là hàm số lẻ xác định trên $\mathbb{R}$, khi $x<0$ thì $f(x)=2^x$. Tập giá trị của $f(x)$ là tập nào?

• A.$[-1,1]$
• B.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
• C.$(-1,1)$đáp án
• D.$(-1,0)\cup(0,1)$

Với $x<0$ thì $f(x)=2^x\in(0,1)$. Vì lẻ nên với $x>0$ có $f(x)=-2^{-x}\in(-1,0)$, và $f(0)=0$. Hợp lại được tập giá trị $(-1,1)$.

$$(-1,0)\cup\{0\}\cup(0,1)=(-1,1)$$

Câu 40

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn trên $\mathbb{R}$ và đồng biến trên $(0,+\infty)$. Khẳng định nào đúng?

• A.$f(-1)=-f(1)$
• B.$f(-2)<f(1)$
• C.$f(-1)<f(2)$đáp án
• D.$f(1)>f(2)$

Hàm chẵn nên $f(-1)=f(1)$ và $f(-2)=f(2)$. Đồng biến trên $(0,+\infty)$ nên $f(1)<f(2)$, suy ra $f(-1)=f(1)<f(2)$.

$$f(-1)=f(1)<f(2)$$

Câu 41

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $(0,+\infty)$?

• A.$y=x-3$
• B.$y=\dfrac{2}{x}$đáp án
• C.$y=x^2$
• D.$y=2^x$

Các hàm $y=x-3$, $y=x^2$, $y=2^x$ đều đồng biến trên $(0,+\infty)$, chỉ có $y=\dfrac{2}{x}$ nghịch biến.

$$y=\dfrac{2}{x},\ y'=-\dfrac{2}{x^2}<0$$

Nâng cao

Câu 42nâng cao

Trong bốn cặp hàm sau, cặp nào là cùng một hàm số? (1) $f(x) = \tfrac{x^2}{x}$, $g(x) = \sqrt{x^2}$; (2) $f(x) = \tfrac{x^3 + x}{x^2 + 1}$, $g(x) = (\sqrt[3]{x})^3$; (3) $f(x) = x^2 - 2x + 1$, $g(t) = (t - 1)^2$; (4) $f(x) = 1$, $g(x) = (x + 1)^0$.

• A.$(2)(4)$
• B.$(2)(3)$đáp án
• C.$(1)(3)$
• D.$(3)(4)$

(1) $f = x$ (miền $x \ne 0$), $g = |x|$ (miền $\mathbb{R}$): khác miền và khác quy tắc, loại. (2) $f = x$ trên $\mathbb{R}$, $g = x$ trên $\mathbb{R}$: cùng hàm. (3) $f$ và $g$ đều là $(x-1)^2$ trên $\mathbb{R}$, đổi tên biến không quan trọng: cùng hàm. (4) $f = 1$ trên $\mathbb{R}$ nhưng $g = (x+1)^0$ chỉ xác định khi $x \ne -1$: khác miền, loại. Vậy cùng hàm là $(2)(3)$.

$$(2)(3)$$

Câu 43nâng cao

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{2t^2 + 3x + 2t x^4 + 2022 x^5}{x^4 + t}$ trên đoạn $[-2022; 2022]$ có giá trị lớn nhất là $M$ và giá trị nhỏ nhất là $N$, với $M + N = 2024$. Tìm giá trị của số thực $t$.

• A.$-506$
• B.$506$đáp án
• C.$2022$
• D.$2024$

Tách $f(x) = 2t + \dfrac{3x + 2022 x^5}{x^4 + t}$. Phần $F(x) = \dfrac{3x + 2022 x^5}{x^4 + t}$ là hàm lẻ nên giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $F$ đối nhau (tổng bằng $0$). Do đó $M + N = (2t + \max F) + (2t + \min F) = 4t$. Từ $M + N = 2024$ suy ra $4t = 2024$, $t = 506$.

$$4t = 2024 \Rightarrow t = 506$$

Câu 44nâng cao

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(x)=-\dfrac{1}{2}f(x+2)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Khi $x\in[0,2]$ thì $f(x)=-x^2+2x$. Tập giá trị của $f(x)$ trên $[-2,6]$ là $(\ \ )$.

• A.$[0,1]$
• B.$\left[-\dfrac{1}{2},0\right]$
• C.$[-2,0]$
• D.$[-2,4]$đáp án

Trên $[0,2]$ tập giá trị là $[0,1]$. Hệ thức cho $f(x+2)=-2f(x)$ (và $f(x)=-\tfrac12 f(x+2)$). Suy ra: trên $[2,4]$ giá trị là $[-2,0]$; trên $[4,6]$ là $[0,4]$; trên $[-2,0]$ là $[-\tfrac12,0]$. Hợp lại được $[-2,4]$.

$$f(x+2)=-2f(x)$$

Câu 45nâng cao

Cho $\alpha,\beta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ và $\alpha\sin\alpha-\beta\sin\beta>0$. Khi đó kết luận nào sau đây đúng?

• A.$\alpha>\beta$
• B.$\alpha+\beta>0$
• C.$\alpha<\beta$
• D.$\alpha^2>\beta^2$đáp án

Xét $g(x)=x\sin x$ là hàm chẵn và đồng biến trên $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$. Điều kiện cho ta $g(|\alpha|)>g(|\beta|)$, suy ra $|\alpha|>|\beta|$, tức là $\alpha^2>\beta^2$.

$$g(x)=x\sin x \Rightarrow |\alpha|>|\beta| \Rightarrow \alpha^2>\beta^2$$

Câu 46nâng cao

Hàm số $f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)$ với $a>0,\ a\ne 1$ đồng biến trên khoảng $[0,+\infty)$. Tập giá trị của tham số thực $a$ là?

• A.$\left(0,\dfrac{2}{3}\right)$
• B.$\left[\dfrac{\sqrt{3}}{3},1\right)$đáp án
• C.$(1,\sqrt{3})$
• D.$\left[\dfrac{3}{2},+\infty\right)$

Đặt $t=a^x$, hàm trở thành $y=t^2-(3a^2+1)t$ với trục đối xứng $t=\dfrac{3a^2+1}{2}$. Nếu $a>1$ thì $t\ge1$ tăng, cần trục $\le1$ dẫn tới $a\le\dfrac{\sqrt3}{3}$ mâu thuẫn. Nếu $0<a<1$ thì $t\in(0,1]$ giảm, cần parabol giảm trên $(0,1]$ tức trục $\ge1$, cho $a\ge\dfrac{\sqrt3}{3}$. Vậy $a\in\left[\dfrac{\sqrt3}{3},1\right)$.

$$\frac{3a^2+1}{2}\ge1 \Rightarrow a\ge\frac{\sqrt3}{3},\ 0<a<1$$

Câu 47nâng cao

Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}-x^2-2x-2, & x\le 0,\\ \ln(x+1), & x>0.\end{cases}$ Nếu bất đẳng thức $f(x)\le ax+a-\dfrac{1}{2}$ đúng với mọi $x\in\mathbb{R}$ thì tập giá trị của tham số thực $a$ là?

• A.$\left[e^{-\frac{1}{2}},\sqrt{2}\right]$đáp án
• B.$\left[\sqrt{2},e^{\frac{1}{2}}\right]$
• C.$\left[e^{-\frac{1}{2}},\sqrt{6}\right]$
• D.$\left[e^{\frac{1}{2}},\sqrt{6}\right]$

Đường thẳng $y=a(x+1)-\dfrac{1}{2}$ qua điểm $\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)$. Với nhánh $x>0$, đặt $u=x+1$, điều kiện $\ln u\le au-\dfrac{1}{2}$ với mọi $u$ cho cận dưới khi tiếp xúc: $a=e^{-1/2}$. Với nhánh $x\le0$, đặt $v=x+1$, điều kiện $v^2+av+\dfrac{1}{2}\ge0$ với mọi $v\le1$ cho $a^2\le2$, tức $a\le\sqrt2$. Vậy $a\in\left[e^{-\frac{1}{2}},\sqrt2\right]$.

$$a\ge e^{-1/2}\ \wedge\ a^2\le2 \Rightarrow a\in\left[e^{-1/2},\sqrt2\right]$$

Câu 48nâng cao

Cho $f(x)$ là hàm đơn điệu xác định trên $(0,+\infty)$ và $f\left[f(x)+\dfrac{3}{x}\right]=\dfrac{1}{2}$. Khi đó $f(1)+f(3)$ bằng?

• A.$-1$
• B.$0$đáp án
• C.$1$
• D.$2$

Do $f$ đơn điệu nên $f(x)+\dfrac{3}{x}=m$ là hằng số. Từ $f(m)=\dfrac{1}{2}$ và $f(m)+\dfrac{3}{m}=m$ ta có $m-\dfrac{3}{m}=\dfrac{1}{2}$, giải ra $m=2$. Vậy $f(x)=2-\dfrac{3}{x}$, suy ra $f(1)+f(3)=(-1)+1=0$.

$$2m^2-m-6=0 \Rightarrow m=2,\ f(x)=2-\tfrac{3}{x} \Rightarrow f(1)+f(3)=0$$

Câu 49nâng cao

Trong các cặp hàm số sau, cặp nào là hai hàm số đồng nhất (cùng một hàm số)?

• A.$y=\lg x$ và $y=\dfrac{1}{2}\lg x^2$
• B.$y=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ và $y=x+1$
• C.$y=\sqrt{x^2-1}$ và $y=x-1$
• D.$y=x$ và $y=\log_a a^x\ (a>0,\ a\ne 1)$đáp án

Hai hàm đồng nhất khi cùng tập xác định và cùng quy tắc tương ứng. A khác miền ($x>0$ so với $x\ne0$); B khác miền ($x\ne1$ so với mọi $x$); C có $\sqrt{x^2-1}\ne x-1$. Chỉ D thỏa: $\log_a a^x=x$ với cùng miền $\mathbb{R}$.

$$\log_a a^x=x,\ \forall x\in\mathbb{R}$$

Câu 50nâng cao

Cho $a$ là số thực. Nếu phương trình $x^2-2ax+a=0$ có hai nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng $(-1,1)$ thì tập giá trị của $a$ là $(\ \ )$.

• A.$(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$
• B.$(-1,0)$
• C.$\left(-\dfrac{1}{3},0\right)$đáp án
• D.$\left(-\dfrac{1}{3},0\right)\cup(1,+\infty)$

Đặt $g(x)=x^2-2ax+a$. Điều kiện hai nghiệm phân biệt trong $(-1,1)$: biệt thức $\Delta=4a^2-4a>0$, đỉnh $-1<a<1$, $g(-1)=1+3a>0$ và $g(1)=1-a>0$. Giải hệ được $-\dfrac{1}{3}<a<0$.

$$\begin{cases}\Delta=4a^2-4a>0\\ -1<a<1\\ g(-1)=1+3a>0\\ g(1)=1-a>0\end{cases}\Rightarrow -\tfrac{1}{3}<a<0$$

Câu 51nâng cao

Cho hàm số $f(x)=x+3\sin\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}$ và dãy số $\{a_n\}$ thỏa mãn $a_n=\dfrac{n}{2019}$. Khi đó $f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2018})=(\ \ )$.

• A.$2018$đáp án
• B.$2019$
• C.$4036$
• D.$4038$

Ta có $f(x)+f(1-x)=2$ vì $\sin\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\sin\left(\dfrac{1}{2}-x\right)=0$. Vì $a_k+a_{2019-k}=1$ nên ghép cặp $1009$ cặp, mỗi cặp bằng $2$, tổng $=1009\times 2=2018$.

$$f(x)+f(1-x)=2,\quad \sum_{k=1}^{2018}f(a_k)=1009\times 2=2018$$

Câu 52nâng cao

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: (1) Hàm số $y=f(x-2)$ là hàm chẵn; (2) Với mọi $x_1,x_2\in[-2,+\infty)$, khi $x_1\ne x_2$ thì $(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0$. Khi đó quan hệ thứ tự giữa $f\!\left(-\dfrac{7}{2}\right)$, $f(-1)$ và $f(0)$ là $(\ \ )$.

• A.$f(-1)>f\!\left(-\dfrac{7}{2}\right)>f(0)$đáp án
• B.$f(-1)>f(0)>f\!\left(-\dfrac{7}{2}\right)$
• C.$f\!\left(-\dfrac{7}{2}\right)>f(-1)>f(0)$
• D.$f\!\left(-\dfrac{7}{2}\right)>f(0)>f(-1)$

Điều kiện (1) cho đồ thị đối xứng qua đường $x=-2$, điều kiện (2) cho hàm nghịch biến trên $[-2,+\infty)$. Theo đối xứng $f\!\left(-\dfrac{7}{2}\right)=f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)$. Vì $-1<-\dfrac{1}{2}<0$ và nghịch biến nên $f(-1)>f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)>f(0)$.

$$f\!\left(-\tfrac{7}{2}\right)=f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right),\quad f(-1)>f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)>f(0)$$

Câu 53nâng cao

Trong các hàm số sau, hàm nào vừa là hàm số lẻ vừa đồng biến trên khoảng $(0,+\infty)$? $(\ \ )$.

• A.$y=\sin x$
• B.$y=x^3$đáp án
• C.$y=e^x+\dfrac{1}{e^x}$
• D.$y=x+\dfrac{1}{x}$

$y=\sin x$ lẻ nhưng không đơn điệu; $y=e^x+e^{-x}$ là hàm chẵn; $y=x+\dfrac{1}{x}$ lẻ nhưng giảm trên $(0,1)$. Chỉ $y=x^3$ vừa lẻ vừa đồng biến trên $(0,+\infty)$.

$$y=x^3$$

Câu 54nâng cao

Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}(4-a)x+3a, & x<1\\ \log_3 x, & x\ge 1\end{cases}$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$. Tập giá trị của số thực $a$ là $(\ \ )$.

• A.$(-2,4)$
• B.$[-2,4)$đáp án
• C.$(-\infty,-2]$
• D.$\{-2\}$

Với $x\ge 1$, $\log_3 x$ có tập giá trị $[0,+\infty)$. Để hợp bằng $\mathbb{R}$, phần tuyến tính phải đồng biến nên $4-a>0\Rightarrow a<4$, và giới hạn trái tại $x=1$ là $4+2a$ phải $\ge 0\Rightarrow a\ge -2$. Vậy $-2\le a<4$.

$$\begin{cases}4-a>0\\ 4+2a\ge 0\end{cases}\Rightarrow -2\le a<4$$

Câu 55nâng cao

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(x)+2f(3-x)=x^2$. Biểu thức của $f(x)$ là $(\ \ )$.

• A.$f(x)=x^2-12x+18$
• B.$f(x)=\dfrac{1}{3}x^2-4x+6$đáp án
• C.$f(x)=6x+9$
• D.$f(x)=2x+3$

Thay $x$ bởi $3-x$ được $f(3-x)+2f(x)=(3-x)^2$. Giải hệ hai phương trình: $3f(x)=2(3-x)^2-x^2=x^2-12x+18$, suy ra $f(x)=\dfrac{1}{3}x^2-4x+6$.

$$3f(x)=2(3-x)^2-x^2\Rightarrow f(x)=\tfrac{1}{3}x^2-4x+6$$

Câu 56nâng cao

Cho hàm số $f(x)=\ln x-\ln(2-x)-\cos\dfrac{\pi}{2}x$. Tập nghiệm của bất phương trình $f(t)+f(t^2)<0$ là tập nào?

• A.$(-2,1)$
• B.$\left(-1,\sqrt{2}\right)$
• C.$(0,1)$đáp án
• D.$\left(0,\sqrt{2}\right)$

Trên tập xác định $(0,2)$ hàm $f$ đồng biến và đối xứng lẻ qua điểm $x=1$ (tức $f(1)=0$ và $f(2-x)=-f(x)$). Bất phương trình thành $f(t)<f(2-t^2)$, suy ra $t<2-t^2$ hay $t^2+t-2<0$ cho $-2<t<1$. Kết hợp điều kiện $t>0$ và $t^2<2$ được $(0,1)$.

$$t<2-t^2 \iff t^2+t-2<0$$

Câu 57nâng cao

Nếu hàm số $f(x)\ (x\in\mathbb{R})$ là hàm số lẻ và hàm số $g(x)\ (x\in\mathbb{R})$ là hàm số chẵn thì khẳng định nào đúng?

• A.Hàm số $f(x)-g(x)$ là hàm số lẻ
• B.Hàm số $f(x)\cdot g(x)$ là hàm số lẻđáp án
• C.Hàm số $f[g(x)]$ là hàm số lẻ
• D.Hàm số $g[f(x)]$ là hàm số lẻ

Xét tích: $(f\cdot g)(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))\,g(x)=-(f\cdot g)(x)$ nên là hàm lẻ. Các phương án còn lại không bảo toàn tính lẻ.

$$(f\cdot g)(-x)=-f(x)g(x)=-(f\cdot g)(x)$$

Câu 58nâng cao

Cho dãy hàm số $f_1(x)=\dfrac{1}{x}$, $f_2(x)=\dfrac{1}{x+f_1(x)}$, ..., $f_{n+1}(x)=\dfrac{1}{x+f_n(x)}$, ... Hỏi hàm số $f_{2018}(x)$ là hàm số gì?

• A.Hàm số lẻ nhưng không là hàm số chẵnđáp án
• B.Hàm số chẵn nhưng không là hàm số lẻ
• C.Vừa là hàm số lẻ vừa là hàm số chẵn
• D.Không là hàm số lẻ cũng không là hàm số chẵn

Quy nạp: $f_1(-x)=-f_1(x)$ là hàm lẻ; nếu $f_n$ lẻ thì $f_{n+1}(-x)=\dfrac{1}{-x+f_n(-x)}=\dfrac{1}{-(x+f_n(x))}=-f_{n+1}(x)$ cũng lẻ. Vậy $f_{2018}$ là hàm số lẻ và không là hàm số chẵn.

$$f_{n+1}(-x)=\dfrac{1}{-x-f_n(x)}=-f_{n+1}(x)$$

Lũy thừa, mũ, logarit

Câu 59

Nếu $(2x - 6)^{x^2 - 5x + 6} = 1$ thì kết luận nào đúng?

• A.$x = 2$
• B.$x = 3$
• C.$x = 2$ hoặc $x = 3$
• D.Không có đáp án nào ở trênđáp án

Một lũy thừa bằng $1$ trong các trường hợp: (1) cơ số bằng $1$: $2x - 6 = 1$ suy ra $x = \tfrac{7}{2}$; (2) số mũ bằng $0$ và cơ số khác $0$: $x^2 - 5x + 6 = 0$ cho $x = 2$ hoặc $x = 3$, nhưng $x = 3$ làm cơ số bằng $0$ (loại), nên chỉ nhận $x = 2$. Tập nghiệm là $\{2;\ \tfrac{7}{2}\}$, không khớp A/B/C nên chọn D.

$$x \in \{2;\ \tfrac{7}{2}\}$$

Câu 60

Nếu đồ thị hàm lũy thừa $f(x)$ đi qua điểm $(2; 4)$ thì giá trị $f(3)$ bằng bao nhiêu?

• A.$5$
• B.$6$
• C.$8$
• D.$9$đáp án

Đặt $f(x) = x^a$. Vì đồ thị đi qua $(2; 4)$ nên $2^a = 4$, suy ra $a = 2$, do đó $f(x) = x^2$. Vậy $f(3) = 3^2 = 9$.

$$f(3) = 3^2 = 9$$

Câu 61

Cho $a = \lg 2$ và $b = \lg 3$. Khi đó $\lg 12$ được biểu diễn theo $a$ và $b$ là?

• A.$a^2 b$
• B.$2ab$
• C.$a + 2b$
• D.$2a + b$đáp án

$\lg 12 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 4 + \lg 3 = 2\lg 2 + \lg 3 = 2a + b$.

$$\lg 12 = 2a + b$$

Câu 62

Hàm số nào sau đây là hàm lũy thừa (power function)?

• A.$y=2x^2$
• B.$y=x^{-1}$đáp án
• C.$y=x^3-1$
• D.$y=3x$

Hàm lũy thừa có dạng $y=x^\alpha$ với hệ số đứng trước bằng 1. Chỉ $y=x^{-1}$ thỏa mãn; $y=2x^2$ có hệ số 2, $y=x^3-1$ có hằng số, $y=3x$ là hàm bậc nhất.

$$y=x^{\alpha}$$

Câu 63

Hàm số $y=a^x$ với $0<a<1$ là hàm số gì?

• A.Hàm đồng biến
• B.Hàm nghịch biếnđáp án
• C.Hàm lẻ
• D.Hàm chẵn

Hàm mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$.

$$0<a<1 \Rightarrow y=a^x \text{ decreasing}$$

Câu 64

Cho $a,b$ là các số dương và $a<b$. Khi đó hãy so sánh $0.3^a$ và $0.3^b$.

• A.$>$đáp án
• B.$<$
• C.$=$
• D.Không xác định được

Cơ số $0.3<1$ nên hàm mũ nghịch biến: $a<b \Rightarrow 0.3^a>0.3^b$.

$$0.3^a>0.3^b$$

Câu 65

Về hàm số mũ $y=a^x$ (với $a>0$ và $a\ne 1$), phát biểu nào sau đây đúng?

• A.Tập giá trị là $[1,+\infty)$.
• B.Đồ thị đi qua điểm $(1,0)$.
• C.Khi $0<a<1$, hàm nghịch biến trên tập xác định.đáp án
• D.Tập xác định là $(0,+\infty)$.

Tập giá trị là $(0,+\infty)$, đồ thị luôn đi qua $(0,1)$, tập xác định là $\mathbb{R}$. Chỉ phát biểu C đúng: $0<a<1$ thì hàm nghịch biến.

$$0<a<1 \Rightarrow y=a^x \text{ decreasing}$$

Câu 66

Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

• A.$1.8^{0.3}<1.5^{0.3}$
• B.$0.6^{-1.2}<0.6^{-1.5}$đáp án
• C.$2.3^{-1.1}>1.9^{-1.1}$
• D.$5^{1.2}>5^{1.5}$

Hàm $0.6^t$ nghịch biến nên $-1.2>-1.5 \Rightarrow 0.6^{-1.2}<0.6^{-1.5}$ (đúng). A sai vì cơ số lớn hơn cho giá trị lớn hơn khi số mũ dương. C sai vì $x^{-1.1}$ nghịch biến nên $2.3^{-1.1}<1.9^{-1.1}$. D sai vì $5^t$ đồng biến.

$$0.6^{-1.2}<0.6^{-1.5}$$

Câu 67

Cho $a>0$ và $b>0$ là các số thực. Phát biểu nào sau đây đúng?

• A.$\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c\ (a\ne 1)$đáp án
• B.$\log_a\dfrac{b}{c}=\dfrac{\log_a b}{\log_a c}\ (a\ne 1, c\ne 1)$
• C.$\log_a b^n=\dfrac{n}{\log_b a}\ (a\ne 1, b\ne 1)$
• D.$\log_a b=\log_{a^2} b^2\ (a\ne 1, b>0)$

Tính chất tích của logarit: $\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c$. Các phát biểu còn lại sai vì áp dụng nhầm quy tắc thương/lũy thừa/đổi cơ số.

$$\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c$$

Câu 68

Nếu đồ thị hàm số $f(x)=3+\log_a(2x-5)$ (với $a>0$ và $a\ne 1$) đi qua điểm cố định $P$, thì tọa độ của $P$ là?

• A.$(3,3)$đáp án
• B.$(3,0)$
• C.$(2,3)$
• D.$(2,0)$

Điểm cố định không phụ thuộc $a$ khi biểu thức trong logarit bằng 1: $2x-5=1 \Rightarrow x=3$, khi đó $f(3)=3+\log_a 1=3$. Vậy $P(3,3)$.

$$2x-5=1 \Rightarrow x=3,\ f(3)=3$$

Câu 69

Cho $a=\log_3 4$, $b=\log_{0.7}2$, $c=5^{-0.1}$. Quan hệ thứ tự giữa $a,b,c$ là?

• A.$a>b>c$
• B.$a>c>b$đáp án
• C.$c>b>a$
• D.$c>a>b$

$a=\log_3 4>1$ (do $4>3$); $c=5^{-0.1}\in(0,1)$; $b=\log_{0.7}2<0$ (cơ số nhỏ hơn 1, đối số lớn hơn 1). Vậy $a>c>b$.

$$a>1>c>0>b$$

Câu 70

Cho $a=1.01^{0.5}$, $b=1.01^{0.6}$, $c=0.6^{0.5}$. Quan hệ giữa $a,b,c$ là?

• A.$a<b<c$
• B.$b<a<c$
• C.$c<b<a$
• D.$c<a<b$đáp án

Cơ số $1.01>1$ nên hàm mũ đồng biến: $b=1.01^{0.6}>a=1.01^{0.5}>1$. Còn $c=0.6^{0.5}=\sqrt{0.6}<1$. Vậy $c<a<b$.

$$c=\sqrt{0.6}<1<a<b$$

Câu 71

Cho $a=\log_{0.9}1.1$, $b=2^{-0.9}$, $c=\sin\dfrac{\pi}{6}$. Khi đó?

• A.$a<b<c$
• B.$a<c<b$đáp án
• C.$c<b<a$
• D.$c<a<b$

$a=\log_{0.9}1.1<0$ (cơ số nhỏ hơn 1, đối số lớn hơn 1); $c=\sin\dfrac{\pi}{6}=0.5$; $b=2^{-0.9}=\dfrac{1}{2^{0.9}}\approx0.536$. Vậy $a<c<b$.

$$a<0<c=0.5<b\approx0.536$$

Câu 72

Tập xác định của hàm số $f(x)=\ln x$ là $(\ \ )$.

• A.$(0,+\infty)$đáp án
• B.$[0,+\infty)$
• C.$[1,+\infty)$
• D.$(-\infty,+\infty)$

Hàm $\ln x$ xác định khi đối số dương, tức $x>0$, nên tập xác định là $(0,+\infty)$.

$$x>0 \iff x\in(0,+\infty)$$

Câu 73

$9^{\frac{1}{2}}-\log_3 9=(\ \ )$.

• A.$-1$
• B.$0$
• C.$1$đáp án
• D.$3$

Ta có $9^{\frac{1}{2}}=3$ và $\log_3 9=\log_3 3^2=2$, nên hiệu bằng $3-2=1$.

$$9^{\frac{1}{2}}-\log_3 9 = 3-2 = 1$$

Nâng cao

Câu 74nâng cao

Nếu $2^x=3^y=12^z>1$, thì tập giá trị của $z+\dfrac{4x+8y}{xy}$ là?

• A.$[1,4]$
• B.$[1,+\infty)$
• C.$\left(2\sqrt{2},+\infty\right)$
• D.$[4,+\infty)$đáp án

Đặt $2^x=3^y=12^z=k>1$, lấy logarit cơ số $k$ ta có $\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}$. Mà $\dfrac{4x+8y}{xy}=\dfrac{4}{y}+\dfrac{8}{x}=4\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=\dfrac{4}{z}$. Vậy biểu thức $=z+\dfrac{4}{z}\ge 2\sqrt{4}=4$, với $z\in(0,+\infty)$ nên tập giá trị là $[4,+\infty)$.

$$z+\dfrac{4}{z}\ge 2\sqrt{4}=4$$

Câu 75nâng cao

Cho $a+a^{-1}=4$. Phép biến đổi nào sau đây đúng?

• A.$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{6}$
• B.$a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{2}$đáp án
• C.$a-a^{-1}=\pm 3\sqrt{2}$
• D.$a^3-a^{-3}=\pm 45\sqrt{2}$

$(a^{1/2}-a^{-1/2})^2=a+a^{-1}-2=2 \Rightarrow a^{1/2}-a^{-1/2}=\pm\sqrt{2}$ (đúng). A sai vì $(a^{1/2}+a^{-1/2})^2=6$ chỉ cho giá trị dương $\sqrt{6}$. C sai vì $(a-a^{-1})^2=12 \Rightarrow \pm2\sqrt{3}$. D sai vì $a^3-a^{-3}=(a-a^{-1})(a^2+1+a^{-2})=\pm2\sqrt{3}\cdot 15=\pm30\sqrt{3}$.

$$(a^{\frac12}-a^{-\frac12})^2=a+a^{-1}-2=2$$

Câu 76nâng cao

Nếu hàm số $f(x)=a^{|2x-4|}$ (với $a>0$ và $a\ne 1$) thỏa mãn $f(1)=\dfrac{1}{9}$, thì khoảng nghịch biến của $f(x)$ là?

• A.$(-\infty,2)$
• B.$(2,+\infty)$đáp án
• C.$(-2,+\infty)$
• D.$(-\infty,-2)$

$f(1)=a^{|2-4|}=a^2=\dfrac{1}{9} \Rightarrow a=\dfrac{1}{3}$. Hàm ngoài $(1/3)^u$ nghịch biến theo $u$, còn $u=|2x-4|$ đồng biến khi $x>2$, nên $f$ nghịch biến trên $(2,+\infty)$.

$$a^2=\tfrac{1}{9}\Rightarrow a=\tfrac{1}{3}$$