Trắc nghiệm — Vector

Bộ câu hỏi trắc nghiệm cho cụm Vector, rút từ đề thật và phân theo chủ đề con. Phần lý thuyết xem ở đây.

• Làm thử — bấm từng đáp rồi kiểm tra, có lời giải ngay.
• Theo chủ đề — phần dưới liệt kê toàn bộ câu theo cây chủ đề con; câu nâng cao (cho học sinh giỏi) tách riêng cuối mỗi chủ đề.

Làm thử từng câu

VectorCâu 1 / 29 · Điểm 0 / 0

Xét các phát biểu sau: (1) Nếu hai vector trong không gian bằng nhau thì chúng có cùng điểm đầu và điểm cuối của đoạn thẳng có hướng; (2) Nếu vector $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ thỏa $|\vec{AB}| > |\vec{CD}|$ và cùng phương thì $\vec{AB} > \vec{CD}$; (3) Nếu hai vector khác không $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ thỏa $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec0$ thì $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ là hai vector đối nhau; (4) Điều kiện cần và đủ để $\vec{AB} = \vec{CD}$ là $A$ trùng $C$ và $B$ trùng $D$. Số phát biểu SAI là bao nhiêu?

Toàn bộ câu hỏi theo chủ đề

Vector — 29 câu29 câu

Vector phẳng và không gian

Câu 1

Xét các phát biểu sau: (1) Nếu hai vector trong không gian bằng nhau thì chúng có cùng điểm đầu và điểm cuối của đoạn thẳng có hướng; (2) Nếu vector $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ thỏa $|\vec{AB}| > |\vec{CD}|$ và cùng phương thì $\vec{AB} > \vec{CD}$; (3) Nếu hai vector khác không $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ thỏa $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec0$ thì $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ là hai vector đối nhau; (4) Điều kiện cần và đủ để $\vec{AB} = \vec{CD}$ là $A$ trùng $C$ và $B$ trùng $D$. Số phát biểu SAI là bao nhiêu?

• A.$1$
• B.$2$
• C.$3$đáp án
• D.$4$

(1) Sai: vector bằng nhau không phụ thuộc điểm đầu/cuối, chỉ cần cùng hướng và độ dài. (2) Sai: vector không so sánh được lớn nhỏ. (3) Đúng: $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec0$ nghĩa là $\vec{CD} = -\vec{AB}$, đúng là hai vector đối. (4) Sai: $A,C$ và $B,D$ không nhất thiết trùng nhau. Vậy có $3$ phát biểu sai.

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec0\Leftrightarrow\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$$

Câu 2

Cho hai vector phẳng $\vec a$ và $\vec b$. Mệnh đề '$\vec a = \lambda\vec b$ với $\lambda \in \mathbb{R}$' là điều kiện gì của mệnh đề '$\vec a$ và $\vec b$ cùng phương'?

• A.Điều kiện đủ nhưng không cầnđáp án
• B.Điều kiện cần nhưng không đủ
• C.Điều kiện cần và đủ
• D.Không cần cũng không đủ

Nếu $\vec a = \lambda\vec b$ thì $\vec a, \vec b$ cùng phương (đủ). Nhưng khi $\vec b = \vec0$ và $\vec a \ne \vec0$ thì $\vec a, \vec b$ vẫn cùng phương theo định nghĩa mà không tồn tại $\lambda$ để $\vec a = \lambda\vec b$, nên không cần. Vậy là điều kiện đủ nhưng không cần.

$$\vec a = \lambda\vec b \Rightarrow \vec a \parallel \vec b$$

Câu 3

Cho hai vector $\vec a = (-1, x)$ và $\vec b = (2 - x, x)$. Nếu $\vec a \perp \vec b$ và $|\vec a| = |\vec b|$, thì $x = ?$

• A.$-2$
• B.$2$
• C.$1$đáp án
• D.$-2$ hoặc $1$

$\vec a \perp \vec b$: $\vec a\cdot\vec b = -1\cdot(2-x) + x\cdot x = x^2 + x - 2 = 0$, suy ra $x = -2$ hoặc $x = 1$. $|\vec a| = |\vec b|$: $1 + x^2 = (2-x)^2 + x^2$, suy ra $1 = (2-x)^2$, $x = 1$ hoặc $x = 3$. Nghiệm chung của cả hai điều kiện là $x = 1$.

$$\vec a\cdot\vec b=x^2+x-2=0,\ |\vec a|=|\vec b|\Rightarrow x=1$$

Câu 4

Cho hai điểm $M(1,-1,2)$, $N(a,3,3)$ nằm trong một mặt phẳng có vector pháp tuyến $\vec{n}=(6,-3,6)$. Khi đó $a=$ ?

• A.$4$
• B.$3$
• C.$2$đáp án
• D.$1$

Vì $M,N$ thuộc mặt phẳng nên $\overrightarrow{MN}\perp\vec{n}$, suy ra $\overrightarrow{MN}\cdot\vec{n}=0$. Với $\overrightarrow{MN}=(a-1,4,1)$ ta có $6(a-1)-3\cdot4+6\cdot1=0$, tức $6a-12=0$, vậy $a=2$.

$$6(a-1)-12+6=0 \Rightarrow a=2$$

Câu 5

Cho hai vector đơn vị $\vec{e_1}$ và $\vec{e_2}$ tạo với nhau góc $\dfrac{2\pi}{3}$. Hình chiếu của vector $\vec{e_1}$ lên vector $\vec{e_2}$ là ?

• A.$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• B.$\dfrac{1}{2}$
• C.$-\dfrac{1}{2}$đáp án
• D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Hình chiếu vô hướng của $\vec{e_1}$ lên $\vec{e_2}$ bằng $|\vec{e_1}|\cos\dfrac{2\pi}{3}=1\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}$.

$$|\vec{e_1}|\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$$

Câu 6

Nếu hai vector khác không $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vector đối nhau, mệnh đề nào sau đây là sai ?

• A.$\vec{a}\parallel\vec{b}$
• B.$\vec{a}\ne\vec{b}$
• C.$|\vec{a}|\ne|\vec{b}|$đáp án
• D.$\vec{b}=-\vec{a}$

Vector đối nghĩa là $\vec{b}=-\vec{a}$, nên chúng cùng phương, có cùng độ dài và ngược chiều. Do đó $|\vec{a}|=|\vec{b}|$, nghĩa là mệnh đề $|\vec{a}|\ne|\vec{b}|$ là sai.

$$\vec{b}=-\vec{a} \Rightarrow |\vec{a}|=|\vec{b}|$$

Câu 7

Cho hai vector $\vec{a},\vec{b}$ tạo thành một cơ sở của mặt phẳng. Cặp vector nào sau đây cũng có thể làm cơ sở của mặt phẳng ?

• A.$\vec{a}-\vec{b},\ \vec{b}-\vec{a}$
• B.$\vec{a},\ \vec{b}-\vec{a}$đáp án
• C.$\vec{0},\ \vec{a}$
• D.$\vec{a}+\vec{b},\ 2\vec{a}+2\vec{b}$

Cơ sở cần hai vector không cùng phương. Phương án A có $\vec{b}-\vec{a}=-(\vec{a}-\vec{b})$ cùng phương; C chứa vector không $\vec{0}$; D có $2\vec{a}+2\vec{b}=2(\vec{a}+\vec{b})$ cùng phương. Chỉ B gồm $\vec{a}$ và $\vec{b}-\vec{a}$ không cùng phương.

$$\vec{a},\ \vec{b}-\vec{a}\ \text{khong cung phuong}$$

Câu 8

Cho $|\vec{a}|=\sqrt{2}$, $\vec{b}=(-1,1)$ và $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{b}$. Tọa độ của vector $\vec{a}$ có thể là ?

• A.$\vec{a}=(1,-1)$đáp án
• B.$\vec{a}=(1,1)$
• C.$\vec{a}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)$
• D.$\vec{a}=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)$

Vì $\vec{a}$ cùng phương $\vec{b}=(-1,1)$ nên $\vec{a}=t(-1,1)$. Từ $|\vec{a}|=\sqrt{2}$ và $|\vec{b}|=\sqrt{2}$ suy ra $|t|=1$, vậy $\vec{a}=(-1,1)$ hoặc $\vec{a}=(1,-1)$. Đáp án phù hợp là $(1,-1)$.

$$\vec{a}=t(-1,1),\ |t|=1 \Rightarrow \vec{a}=(1,-1)$$

Câu 9

Cho hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa $|\vec{a}|=\sqrt{3}$, $|\vec{b}|=2$ và $\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b})$. Hình chiếu của $\vec{a}$ lên phương $\vec{b}$ là ?

• A.$\sqrt{3}$
• B.$3$
• C.$-\sqrt{3}$
• D.$\dfrac{3}{2}$đáp án

Từ $\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b})$ ta có $\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$, suy ra $|\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot\vec{b}=3$. Hình chiếu của $\vec{a}$ lên phương $\vec{b}$ bằng $\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=\dfrac{3}{2}$.

$$\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{3}{2}$$

Câu 10

Rút gọn biểu thức $3(\vec a+\vec b)+\vec b-4(\vec a-\vec b)$. Kết quả là ?

• A.$2\vec b-\vec a$
• B.$-\vec a$
• C.$6\vec a-\vec b$
• D.$8\vec b-\vec a$đáp án

Khai triển: $3\vec a+3\vec b+\vec b-4\vec a+4\vec b=-\vec a+8\vec b=8\vec b-\vec a$.

$$3(\vec a+\vec b)+\vec b-4(\vec a-\vec b)=8\vec b-\vec a$$

Câu 11

Đẳng thức nào sau đây là sai ?

• A.$\vec a+\vec 0=\vec 0+\vec a=\vec a$
• B.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\vec 0$đáp án
• C.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec 0$
• D.$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PM}$

Theo quy tắc cộng vector $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên vế trái của B bằng $2\overrightarrow{AC}\ne\vec 0$. Đúng phải là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0$. Vậy B sai.

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}\ne\vec 0$$

Câu 12

Cho $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{OD}=\vec{d}$ và tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Khi đó ?

• A.$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$
• B.$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}-\vec{d}=\vec{0}$đáp án
• C.$\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$
• D.$\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$

Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{d}$. Chuyển vế được $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}-\vec{d}=\vec{0}$.

$$\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{d} \Rightarrow \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}-\vec{d}=\vec{0}$$

Câu 13

Cho $\vec{a},\vec{b}$ là các vector đơn vị và $|\vec{a}-\vec{b}|=1$. Khi đó $|\vec{a}+2\vec{b}|=$ ?

• A.$\sqrt{3}$
• B.$\sqrt{7}$đáp án
• C.$3$
• D.$7$

Từ $|\vec{a}-\vec{b}|^2=2-2\vec{a}\cdot\vec{b}=1$ suy ra $\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{2}$. Khi đó $|\vec{a}+2\vec{b}|^2=1+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4=1+2+4=7$, vậy $|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{7}$.

$$|\vec{a}+2\vec{b}|^2=1+4\cdot\tfrac{1}{2}+4=7$$

Câu 14

Mệnh đề nào sau đây là sai ?

• A.Vector không là vector duy nhất không có hướngđáp án
• B.Độ dài của vector không bằng không
• C.Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều là vector khác không thì điều kiện để $\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=\vec{0}$ là $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương ngược chiều
• D.Nếu $\vec{a}=\vec{b}$ và $\vec{b}=\vec{c}$ thì $\vec{a}=\vec{c}$

Vector không có hướng tùy ý (không xác định) chứ không phải là vector duy nhất không có hướng theo cách phát biểu của A, nên A sai. Các mệnh đề B, C, D đều đúng theo định nghĩa vector không, vector đơn vị và tính chất bắc cầu.

$$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=\vec{0}$$

Câu 15

Cho hai vector $\vec{a}=(2,4,5)$, $\vec{b}=(3,x,y)$ lần lượt là vector chỉ phương của hai đường thẳng $l_1, l_2$. Nếu $l_1\parallel l_2$ thì ?

• A.$x=6,\ y=15$
• B.$x=3,\ y=15$
• C.$x=\dfrac{8}{3},\ y=\dfrac{10}{3}$
• D.$x=6,\ y=\dfrac{15}{2}$đáp án

Vì $l_1\parallel l_2$ nên $\vec{b}=k\vec{a}$. Từ $3=2k$ suy ra $k=\dfrac{3}{2}$, do đó $x=4k=6$ và $y=5k=\dfrac{15}{2}$.

$$k=\frac{3}{2},\ x=4k=6,\ y=5k=\frac{15}{2}$$

Câu 16

Cho các vector $\vec{a}=(1,x)$, $\vec{b}=(-2,1)$. Nếu $\vec{a}\perp\vec{b}$ thì $|2\vec{a}+\vec{b}|=$ ?

• A.$2$
• B.$\sqrt{5}$
• C.$3$
• D.$5$đáp án

Từ $\vec{a}\perp\vec{b}$ suy ra $\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot(-2)+x\cdot1=0$, nên $x=2$. Khi đó $2\vec{a}+\vec{b}=(0,5)$ và $|2\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{0^2+5^2}=5$.

$$|2\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{0^2+5^2}=5$$

Câu 17

Cho các vector phẳng với $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=1$, góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng $60^\circ$. Nếu $|\vec{a}+t\vec{b}|=\sqrt{3}$ với $t\in\mathbb{R}$ thì $t=$ ?

• A.$-1$đáp án
• B.$1$
• C.$\dfrac{1}{2}$
• D.$\pm 1$

Ta có $\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot1\cdot\cos60^\circ=1$. Bình phương hai vế: $|\vec{a}+t\vec{b}|^2=4+t^2+2t=3$, nên $t^2+2t+1=0\Rightarrow t=-1$.

$$t^2+2t+1=0 \Rightarrow t=-1$$

Câu 18

Cho các vector đơn vị $\vec{a},\vec{b}$ thỏa mãn $(\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=-\dfrac{1}{2}$. Khi đó $|\vec{a}-\vec{b}|$ bằng ?

• A.$1$
• B.$\sqrt{2}$
• C.$\sqrt{3}$đáp án
• D.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

Khai triển $(\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^2-\vec{a}\cdot\vec{b}-2|\vec{b}|^2=-\vec{a}\cdot\vec{b}-1=-\dfrac{1}{2}$, nên $\vec{a}\cdot\vec{b}=-\dfrac{1}{2}$. Suy ra $|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=1+1+1=3$.

$$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{1-2\left(-\tfrac{1}{2}\right)+1}=\sqrt{3}$$

Câu 19

Cho $\vec{e_1}$ và $\vec{e_2}$ là hai vector đơn vị tạo với nhau góc $60^\circ$, và $\vec{a}=2\vec{e_1}+3\vec{e_2}$. Khi đó $|\vec{a}|=$ ?

• A.$2\sqrt{3}$
• B.$\sqrt{13}$
• C.$4$
• D.$\sqrt{19}$đáp án

Ta có $\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}=\cos60^\circ=\dfrac{1}{2}$. Do đó $|\vec{a}|^2=4+9+2\cdot6\cdot\dfrac{1}{2}=19$, nên $|\vec{a}|=\sqrt{19}$.

$$|\vec{a}|=\sqrt{4+9+12\cdot\tfrac{1}{2}}=\sqrt{19}$$

Câu 20

Cho vector hình chiếu của $\vec{a}$ lên $\vec{b}$ là $\dfrac{1}{2}\vec{b}$, và $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$. Khi đó $|\vec{a}-2\vec{b}|$ bằng ?

• A.$1$
• B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• C.$\dfrac{3}{4}$
• D.$\sqrt{3}$đáp án

Vector hình chiếu $\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}=\dfrac{1}{2}\vec{b}$ nên $\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{2}$. Suy ra $|\vec{a}-2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2=1-2+4=3$.

$$|\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{1-4\cdot\tfrac{1}{2}+4}=\sqrt{3}$$

Câu 21

Cho các vector $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ thỏa mãn $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=4$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=2$, $|\vec{c}|=6$. Biết góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng góc giữa $\vec{c}$ và $\vec{a}$ và bằng $\dfrac{2\pi}{3}$. Khi đó góc giữa $\vec{b}$ và $\vec{c}$ là ?

• A.$0$
• B.$\dfrac{\pi}{3}$
• C.$\dfrac{2\pi}{3}$đáp án
• D.$\dfrac{5\pi}{6}$

Bình phương: $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2=4+4+36+2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c})=16$, nên tổng tích vô hướng $=-14$. Với $\vec{a}\cdot\vec{b}=-2$ và $\vec{a}\cdot\vec{c}=-6$ thì $\vec{b}\cdot\vec{c}=-6$. Do đó $\cos(\vec{b},\vec{c})=\dfrac{-6}{2\cdot6}=-\dfrac{1}{2}$, góc $=\dfrac{2\pi}{3}$.

$$\cos(\vec{b},\vec{c})=\frac{-6}{2\cdot6}=-\frac{1}{2}$$

Câu 22

Trong $\triangle ABC$, $E$ là trung điểm cạnh $AB$ và $\overrightarrow{BD}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Khi đó $\overrightarrow{DE}=$ ?

• A.$-\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
• B.$\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
• C.$\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
• D.$\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$đáp án

Lấy $A$ làm gốc: $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

$$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$$

Câu 23

Cho các vector trong không gian $\vec{a}=(6,2,1)$ và $\vec{b}=(2,x,-3)$. Nếu $(\vec{a}-2\vec{b})\perp\vec{a}$ thì $x=$ ?

• A.$4$
• B.$6$
• C.$\dfrac{23}{4}$đáp án
• D.$\dfrac{21}{4}$

Ta có $\vec{a}-2\vec{b}=(2,\,2-2x,\,7)$. Điều kiện $(\vec{a}-2\vec{b})\cdot\vec{a}=12+2(2-2x)+7=23-4x=0$, suy ra $x=\dfrac{23}{4}$.

$$23-4x=0 \Rightarrow x=\frac{23}{4}$$

Nâng cao

Câu 24nâng cao

Trong tứ giác phẳng $ABCD$, diện tích tam giác $ABC$ gấp đôi diện tích tam giác $ACD$. Nếu tồn tại các số thực dương $x, y$ sao cho $\vec{AC} = \left(\dfrac{1}{x} - 4\right)\vec{AB} + \left(1 - \dfrac{1}{y}\right)\vec{AD}$, thì giá trị nhỏ nhất của $2x + y$ là bao nhiêu?

• A.$1$đáp án
• B.$2$
• C.$3$
• D.$4$

Tỉ lệ diện tích cho điểm $O = AC \cap BD$ chia với $\vec{AO} = \dfrac{1}{3}\vec{AB} + \dfrac{2}{3}\vec{AD}$. Đặt $\vec{AC} = \lambda\,\vec{AO}$, đồng nhất hệ số với biểu thức đề bài được $\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = 9$. Áp dụng bất đẳng thức: $(2x+y)\cdot\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right) = \dfrac{1}{9}\left(5 + \dfrac{2x}{y} + \dfrac{2y}{x}\right) \ge \dfrac{1}{9}(5+4) = 1$, dấu bằng khi $x = y = \dfrac{1}{3}$. Vậy $\min = 1$.

$$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=9,\quad \min(2x+y)=1$$

Câu 25nâng cao

Cho $\vec{e_1}, \vec{e_2}$ là hai vector đơn vị tạo với nhau góc $60^\circ$. Tìm góc giữa vector $\vec a = \vec{e_1} + \vec{e_2}$ và vector $\vec b = \vec{e_1} - 2\vec{e_2}$.

• A.$60^\circ$
• B.$120^\circ$đáp án
• C.$30^\circ$
• D.$90^\circ$

Với $\vec{e_1}\cdot\vec{e_2} = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$: $\vec a\cdot\vec b = (\vec{e_1}+\vec{e_2})\cdot(\vec{e_1}-2\vec{e_2}) = 1 - 2\cdot\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 2 = -\dfrac{3}{2}$. $|\vec a|^2 = 1 + 2\cdot\dfrac{1}{2} + 1 = 3$, $|\vec b|^2 = 1 - 4\cdot\dfrac{1}{2} + 4 = 3$. $\cos\theta = \dfrac{-3/2}{\sqrt3\cdot\sqrt3} = -\dfrac{1}{2}$, suy ra $\theta = 120^\circ$. (Đáp án nguồn ghi $C = 30^\circ$ là SAI; kết quả đúng là $B = 120^\circ$.)

$$\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}=\frac{-3/2}{3}=-\frac12\Rightarrow\theta=120^\circ$$

Câu 26nâng cao

Cho tam giác $ABC$ thỏa $(\vec{BA} + \vec{BC})\cdot\vec{AC} = 0$ và độ lớn của $\left(\dfrac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} + \dfrac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}\right)$ bằng $\sqrt3$. Tam giác này là tam giác gì?

• A.Tam giác vuông
• B.Tam giác đềuđáp án
• C.Tam giác tù
• D.Tam giác vuông cân

$(\vec{BA} + \vec{BC})\cdot\vec{AC} = 0$: gọi $M$ là trung điểm $AC$ thì $\vec{BA} + \vec{BC} = 2\vec{BM}$, nên $BM \perp AC$, suy ra tam giác cân tại $B$ ($|\vec{BA}| = |\vec{BC}|$). Điều kiện thứ hai: $|\vec u + \vec v|^2 = 2 + 2\cos A = 3$ với $\vec u, \vec v$ là vector đơn vị theo $\vec{AB}, \vec{AC}$, suy ra $\cos A = \dfrac{1}{2}$, $A = 60^\circ$. Tam giác cân có một góc $60^\circ$ là tam giác đều.

$$2+2\cos A=3\Rightarrow\cos A=\tfrac12\Rightarrow A=60^\circ$$

Câu 27nâng cao

Nếu đường thẳng $l$ đi qua hai điểm $A(-1, 4)$ và $B(3, 2)$, thì một vector pháp tuyến của $l$ là $\vec n = ?$

• A.$(1, -2)$
• B.$(4, -2)$
• C.$(4, 2)$
• D.$(1, 2)$đáp án

Vector chỉ phương $\vec{AB} = (3-(-1),\ 2-4) = (4, -2)$. Vector pháp tuyến $\vec n$ phải vuông góc $\vec{AB}$, tức $\vec{AB}\cdot\vec n = 0$. Thử $(1, 2)$: $4\cdot 1 + (-2)\cdot 2 = 0$. Vậy $\vec n = (1, 2)$.

$$\overrightarrow{AB}=(4,-2),\quad \overrightarrow{AB}\cdot\vec n=0\Rightarrow\vec n=(1,2)$$

Câu 28nâng cao

Trong tứ giác $ABCD$ có $AD$ song song $BC$, $AB = 2$, $AD = 4$, góc $A = 60^\circ$. Điểm $E$ nằm trên tia đối của tia $BC$ (phần kéo dài của $CB$ qua $B$), thỏa $AE = BE$. Tính $\vec{EA} \cdot \vec{BD}$.

• A.$6$đáp án
• B.$-6$
• C.$5$
• D.$-5$

Đặt $A = (0,0)$, $AD$ theo trục $x$ nên $D = (4,0)$; góc $A = 60^\circ$ giữa $AB$ và $AD$ nên $B = (2\cos 60^\circ,\ 2\sin 60^\circ) = (1, \sqrt3)$. $E$ trên đường thẳng qua $B$ song song $AD$ (vì $BC \parallel AD$), thỏa $AE = BE$ giải được $E = (-1, \sqrt3)$. Khi đó $\vec{EA} = A - E = (1, -\sqrt3)$, $\vec{BD} = D - B = (3, -\sqrt3)$. $\vec{EA}\cdot\vec{BD} = 1\cdot 3 + (-\sqrt3)(-\sqrt3) = 3 + 3 = 6$.

$$\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{BD}=(1,-\sqrt3)\cdot(3,-\sqrt3)=6$$

Câu 29nâng cao

Cho hai vector $\vec{a}=(x,4,5)$, $\vec{b}=(1,-2,2)$, biết cosin của góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}}{6}$. Khi đó $x=$ ?

• A.$3$đáp án
• B.$-3$
• C.$-11$
• D.$3$ hoặc $-11$

Ta có $\vec{a}\cdot\vec{b}=x+2$, $|\vec{b}|=3$, $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+41}$. Từ $\dfrac{x+2}{3\sqrt{x^2+41}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$ suy ra $2(x+2)=\sqrt{2}\sqrt{x^2+41}$, bình phương được $x^2+8x-33=0$, tức $x=3$ hoặc $x=-11$. Vì cosin dương nên cần $x+2>0$, loại $x=-11$, còn $x=3$.

$$x^2+8x-33=0,\quad x+2>0 \Rightarrow x=3$$