Trắc nghiệm — Thống kê mô tả

Bộ câu hỏi trắc nghiệm cho cụm Thống kê mô tả, rút từ đề thật và phân theo chủ đề con. Phần lý thuyết xem ở đây.

• Làm thử — bấm từng đáp rồi kiểm tra, có lời giải ngay.
• Theo chủ đề — phần dưới liệt kê toàn bộ câu theo cây chủ đề con; câu nâng cao (cho học sinh giỏi) tách riêng cuối mỗi chủ đề.

Làm thử từng câu

Thống kê mô tảCâu 1 / 41 · Điểm 0 / 0

Mười vận động viên đạt các kết quả tập luyện sau: $9, 12, 8, 16, 16, 18, 20, 16, 12, 13$. Phát biểu nào sau đây đúng?

Toàn bộ câu hỏi theo chủ đề

Thống kê mô tả — 41 câu41 câu

Thống kê mô tả

Câu 1

Mười vận động viên đạt các kết quả tập luyện sau: $9, 12, 8, 16, 16, 18, 20, 16, 12, 13$. Phát biểu nào sau đây đúng?

• A.Mode (số trội) bằng $12$
• B.Trung bình bằng $14$đáp án
• C.Trung vị bằng $15$
• D.Phân vị thứ $85$ bằng $16$

Mode $= 16$ (xuất hiện $3$ lần), nên A sai. Trung bình $= \dfrac{140}{10} = 14$, nên B đúng. Sắp xếp lại: $8, 9, 12, 12, 13, 16, 16, 16, 18, 20$, trung vị $= \dfrac{13+16}{2} = 14{,}5$ nên C sai.

$$\bar{x} = \frac{9+12+8+16+16+18+20+16+12+13}{10} = \frac{140}{10} = 14$$

Câu 2

Điểm $5$ học sinh nhóm A: $9, 12, 10+x, 24, 27$. Điểm $5$ học sinh nhóm B: $9, 15, 10+y, 18, 24$ ($x, y$ là hai chữ số chưa biết). Biết trung vị nhóm A là $15$ và trung bình nhóm B là $16{,}8$. Giá trị $x$ và $y$ lần lượt là?

• A.$2$ và $5$
• B.$5$ và $5$
• C.$5$ và $8$đáp án
• D.$8$ và $8$

Nhóm A đã sắp xếp, giá trị giữa (số thứ $3$) là $10+x = 15$ nên $x = 5$. Nhóm B: trung bình $16{,}8$ nên tổng $= 84$; mà $9+15+18+24 = 66$, suy ra $10+y = 18$ nên $y = 8$.

$$x = 5,\quad 9+15+(10+y)+18+24 = 5 \times 16{,}8 = 84 \Rightarrow y = 8$$

Câu 3

Lấy mẫu $7$ sản phẩm mỗi dây chuyền. Chỉ số chất lượng dây chuyền A: $1.46, 1.50, 1.41, 1.42, 1.43, 1.48, 1.52$; dây chuyền B: $1.46, 1.51, 1.46, 1.43, 1.49, 1.41, 1.53$. Chỉ số trong $[1.43, 1.49]$ là hàng loại ưu. Phát biểu nào đúng?

• A.Số sản phẩm loại ưu của dây chuyền A bằng dây chuyền B
• B.Trung bình chỉ số chất lượng của A và B bằng nhau
• C.Khoảng biến thiên (range) chỉ số chất lượng của A và B bằng nhau
• D.Trung vị chỉ số chất lượng của A và B bằng nhauđáp án

Hàng ưu: A có $3$ ($1.46, 1.48, 1.43$), B có $4$ nên A sai. Trung bình A $= 1.46$, B $= 1.47$ nên B sai. Range A $= 0.11$, B $= 0.12$ nên C sai. Trung vị A $= 1.46$, trung vị B $= 1.46$ bằng nhau nên D đúng.

Câu 4

Cho tập dữ liệu mẫu $1, 2, 2, 3, 4, 5$. Khi đó $2{,}5$ là đại lượng nào của tập dữ liệu này?

• A.Khoảng biến thiên (range)
• B.Trung bình
• C.Trung vịđáp án
• D.Mode (số trội)

Range $= 5 - 1 = 4$; mode $= 2$; trung bình $= \dfrac{17}{6}$; trung vị $= \dfrac{2+3}{2} = 2{,}5$. Vậy $2{,}5$ là trung vị.

$$\frac{2+3}{2} = 2{,}5$$

Câu 5

Trung bình cộng của $\sqrt{3}+1$ và $\sqrt{3}-1$ bằng $(\ \ )$.

• A.$\sqrt{3}$đáp án
• B.$1$
• C.$3$
• D.$2$

Trung bình cộng bằng $\dfrac{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.

$$\frac{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}$$

Câu 6

Lớp 12A1 có $40$ học sinh, trong đó có $16$ nam. Biết cân nặng trung bình của nam là $68.4$ kg và cân nặng trung bình toàn lớp là $60.1$ kg, cân nặng trung bình của nữ xấp xỉ $(\ \ )$.

• A.$55.8$ kg
• B.$54.6$ kgđáp án
• C.$52.4$ kg
• D.$51.8$ kg

Tổng cân nặng toàn lớp $40\times 60.1=2404$; của nam $16\times 68.4=1094.4$. Trung bình nữ $=\dfrac{2404-1094.4}{24}\approx 54.6$ kg.

$$\frac{40\cdot 60.1-16\cdot 68.4}{24}\approx 54.6$$

Câu 7

Cho mẫu số liệu $1,2,2,3,4,5$, khi đó $2.5$ là $(\ \ )$ của mẫu này.

• A.khoảng biến thiên
• B.số trung bình
• C.trung vịđáp án
• D.mốt

Mẫu có $6$ giá trị, trung vị là trung bình hai giá trị giữa $\dfrac{2+3}{2}=2.5$. Số trung bình bằng $\dfrac{17}{6}\approx 2.83$, nên $2.5$ là trung vị.

$$\frac{2+3}{2}=2.5$$

Câu 8

Mười vận động viên được huấn luyện chuyên biệt, kết quả lần lượt là $9, 12, 8, 16, 16, 18, 20, 16, 12, 13$. Với mẫu số liệu này, $(\ \ )$.

• A.Mốt của mẫu là $12$
• B.Số trung bình là $14$đáp án
• C.Trung vị là $15$
• D.Phân vị thứ $85$ là $16$

Tổng $=140$ nên trung bình $=14$. Mốt là $16$ (xuất hiện $3$ lần). Sắp xếp: $8,9,12,12,13,16,16,16,18,20$, trung vị $=\dfrac{13+16}{2}=14.5$. Phân vị $85$: $10\times 0.85=8.5\to$ vị trí thứ $9$ là $18$.

$$\bar{x}=\frac{140}{10}=14$$

Câu 9

Trong một bài kiểm tra Toán của một nhóm học tập: $1$ bạn được $100$ điểm, $3$ bạn được $95$, $2$ bạn được $90$, $2$ bạn được $85$, $1$ bạn được $80$, $1$ bạn được $75$. Điểm trung bình của nhóm là $(\ \ )$.

• A.$85$ điểm
• B.$86$ điểm
• C.$89$ điểmđáp án
• D.$88$ điểm

Tổng điểm $=100+3\cdot 95+2\cdot 90+2\cdot 85+80+75=890$ với $10$ bạn, trung bình $=\dfrac{890}{10}=89$.

$$\bar{x}=\frac{890}{10}=89$$

Câu 10

Cho $a=3-\sqrt{6}$ và $b=3+\sqrt{6}$, trung bình cộng của $a$ và $b$ bằng $(\ \ )$.

• A.$3$đáp án
• B.$6$
• C.$\sqrt{6}$
• D.$2\sqrt{6}$

Trung bình cộng $=\dfrac{(3-\sqrt{6})+(3+\sqrt{6})}{2}=\dfrac{6}{2}=3$.

$$\frac{(3-\sqrt{6})+(3+\sqrt{6})}{2}=3$$

Câu 11

Cho $8$ số có trung bình bằng $5$ và phương sai $s^2$. Thêm một số mới bằng $5$. Khi đó $9$ số có trung bình $\bar{x}$ và phương sai $\dfrac{16}{9}$. Khi đó $(\ \ )$.

• A.$s^2<2,\ \bar{x}=5$
• B.$s^2=2,\ \bar{x}=5$đáp án
• C.$s^2>2,\ \bar{x}<5$
• D.$s^2<2,\ \bar{x}<5$

Thêm giá trị đúng bằng trung bình $5$ nên $\bar{x}=5$ giữ nguyên. Phương sai mới $=\dfrac{8s^2+0}{9}=\dfrac{16}{9}\Rightarrow s^2=2$.

$$\frac{8s^2}{9}=\frac{16}{9}\Rightarrow s^2=2$$

Câu 12

Trong một cuộc thi, điểm của $7$ giám khảo cho thí sinh A được cho bởi biểu đồ thân-lá: $7\mid 8$; $\ 8\mid 5\ 5\ 5\ 7\ 8$; $\ 9\mid 4$. Sau khi bỏ điểm cao nhất và thấp nhất, phương sai của các số liệu còn lại là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{6}{5}$
• B.$\dfrac{7}{5}$
• C.$\dfrac{8}{5}$đáp án
• D.$\dfrac{9}{5}$

Bỏ $78$ và $94$, còn $85,85,85,87,88$ với trung bình $86$. Phương sai $=\dfrac{3\cdot(-1)^2+1^2+2^2}{5}=\dfrac{8}{5}$.

$$s^2=\frac{3\cdot 1+1+4}{5}=\frac{8}{5}$$

Câu 13

Một học sinh ghi lại nhiệt độ thấp nhất (đều nguyên) trong $7$ ngày liên tiếp: $-6,1,-2,t,2,1,5$ (đơn vị $^\circ\mathrm{C}$). Nếu số trung bình và trung vị của mẫu bằng nhau thì $t=(\ \ )$.

• A.$5$
• B.$6$đáp án
• C.$10$
• D.$11$

Với $t=6$, mẫu sắp xếp là $-6,-2,1,1,2,5,6$ có trung vị $1$; trung bình $=\dfrac{-6+1-2+6+2+1+5}{7}=1$, hai giá trị bằng nhau.

$$\bar{x}=\frac{1+t}{7}=1\Rightarrow t=6$$

Câu 14

Giáo viên tính trung bình và phương sai điểm của $50$ học sinh thì phát hiện sót điểm một bạn, phải tính lại. Trung bình và phương sai ban đầu là $91$ và $2700$. Trung bình và phương sai mới là $\bar{x}$ và $s^2$. Nếu điểm bạn đó đúng bằng $91$ thì $(\ \ )$.

• A.$s^2>2700$
• B.$s^2<2700$đáp án
• C.$\bar{x}>91$
• D.$\bar{x}<91$

Thêm giá trị bằng trung bình $91$ nên $\bar{x}=91$ không đổi. Tổng bình phương lệch giữ nguyên nhưng chia cho $51$ thay vì $50$ nên $s^2=\dfrac{50\cdot 2700}{51}<2700$.

$$s^2=\frac{50\cdot 2700}{51}<2700$$

Câu 15

Hai người A và B thi bắn súng, mỗi người bắn $5$ phát. Số vòng đạt được cho trong bảng: A: $10,8,9,8,10$; B: $9,9,9,8,10$. Khẳng định nào đúng? $(\ \ )$.

• A.Trung bình số vòng của A lớn hơn của B
• B.Trung bình số vòng của B lớn hơn của A
• C.A bắn ổn định hơn B
• D.B bắn ổn định hơn Ađáp án

Hai trung bình bằng nhau $\bar{x}_A=\bar{x}_B=9$, nên A và B (so sánh trung bình) đều sai. Phương sai $s_A^2=0.8>s_B^2=0.4$ nên B ổn định hơn.

$$s_A^2=0.8>s_B^2=0.4$$

Câu 16

Mười lăm vận động viên thi nhảy cao, kết quả vòng loại khác nhau, $8$ người dẫn đầu vào chung kết. Đã biết thành tích của mình, một bạn cần biết $(\ \ )$ thành tích của $15$ người để xác định có vào chung kết hay không.

• A.số trung bình
• B.mốt
• C.trung vịđáp án
• D.phương sai

Với $15$ số liệu, người xếp thứ $8$ chính là trung vị. So thành tích của mình với trung vị là biết có nằm trong top $8$ hay không.

$$\text{med}=x_{(8)}$$

Câu 17

Cho mẫu số liệu $3,5,7,x,10$ có số trung bình bằng $6$. Phương sai của mẫu này là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{33}{5}$
• B.$6$
• C.$\dfrac{28}{5}$đáp án
• D.$5$

Từ trung bình $6$: $\dfrac{25+x}{5}=6\Rightarrow x=5$. Phương sai $=\dfrac{(-3)^2+(-1)^2+1^2+(-1)^2+4^2}{5}=\dfrac{28}{5}$.

$$s^2=\frac{9+1+1+1+16}{5}=\frac{28}{5}$$

Câu 18

Số điểm (đơn vị: điểm) của hai cầu thủ bóng rổ A và B qua bốn trận đấu vòng bảng như sau: A đạt $6, 12, 9, 13$; B đạt $8, 11, 7, 14$. Đặc trưng số liệu nào của hai dãy này KHÁC nhau? $(\ \ )$

• A.Số trung bình
• B.Trung vịđáp án
• C.Phương sai
• D.Khoảng biến thiên

Cả hai dãy đều có tổng $40$ nên số trung bình bằng nhau ($10$). Phương sai đều bằng $7.5$, khoảng biến thiên đều bằng $7$. Riêng trung vị: A là $(9+12)/2=10.5$, B là $(8+11)/2=9.5$ nên khác nhau.

$$M_A=\frac{9+12}{2}=10.5,\quad M_B=\frac{8+11}{2}=9.5$$

Câu 19

Lớp A và lớp B có lần lượt $45$ và $55$ học sinh, điểm trung bình môn Toán trong một kỳ thi lần lượt là $110$ và $90$ điểm. Điểm trung bình của toàn bộ học sinh hai lớp là $(\ \ )$

• A.$98$ điểm
• B.$99$ điểmđáp án
• C.$100$ điểm
• D.$101$ điểm

Lấy trung bình có trọng số theo sĩ số: $\frac{45\times 110+55\times 90}{45+55}=\frac{9900}{100}=99$.

$$\bar{x}=\frac{45\cdot 110+55\cdot 90}{100}=99$$

Câu 20

$16$ học sinh thi bán kết chạy $100$ mét với thành tích khác nhau; $8$ người nhanh nhất vào chung kết. Biết thành tích của mình, bạn Liu cần dữ liệu nào về thành tích của $15$ người còn lại để biết mình có vào chung kết không? $(\ \ )$

• A.Số trung bình
• B.Khoảng biến thiên
• C.Trung vịđáp án
• D.Mốt

Có $16$ người, lấy $8$ người nhanh nhất tức là nửa trên. Biết trung vị, Liu chỉ cần so thành tích của mình với trung vị là biết mình thuộc nửa nhanh hơn hay không.

Câu 21

Thời gian ủ bệnh (đơn vị: ngày) của tám bệnh nhân lần lượt là $2, 3, 3, 4, 7, 8, 10, 18$. Phân vị thứ $50$ của dãy số liệu này là $(\ \ )$

• A.$4$ hoặc $7$
• B.$4$
• C.$7$
• D.$5.5$đáp án

Với $n=8$, ta có $8\times 0.5=4$ là số nguyên nên phân vị thứ $50$ là trung bình của số thứ $4$ và thứ $5$: $(4+7)/2=5.5$.

$$P_{50}=\frac{x_{(4)}+x_{(5)}}{2}=\frac{4+7}{2}=5.5$$

Câu 22

Một cửa hàng giày thử nghiệm mẫu giày nữ mới với số liệu bán hàng theo cỡ như sau: cỡ $34$ đến $41$ bán được lần lượt $2, 5, 9, 16, 9, 5, 3, 2$ đôi mỗi ngày. Nếu là chủ cửa hàng, thống kê nào quan trọng nhất với bạn? $(\ \ )$

• A.Số trung bình
• B.Mốtđáp án
• C.Trung vị
• D.Khoảng biến thiên

Chủ cửa hàng quan tâm cỡ giày bán chạy nhất để nhập hàng, tức là giá trị xuất hiện nhiều nhất (mốt). Ở đây cỡ $37$ bán $16$ đôi là cao nhất.

Câu 23

Cho dãy mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Từ đó suy ra dãy $y_1, y_2, \ldots, y_n$ thỏa $y_i=-x_i-c$ ($c$ là hằng số khác $0$). Khi đó $(\ \ )$

• A.Số trung bình của hai dãy khác nhau
• B.Trung vị của hai dãy bằng nhau
• C.Phương sai của hai dãy bằng nhauđáp án
• D.Độ lệch chuẩn của hai dãy khác nhau

Phép biến đổi $y=-x-c$ có hệ số nhân là $-1$. Phương sai biến đổi theo bình phương hệ số nhân: $(-1)^2=1$ nên phương sai (và độ lệch chuẩn) không đổi. Số trung bình và trung vị đều thay đổi do có dịch chuyển và đổi dấu.

$$D(y)=(-1)^2 D(x)=D(x)$$

Câu 24

Một dãy quan sát $4, 3, 5, 6$ xuất hiện lần lượt $3, 2, 4, 2$ lần. Số trung bình mẫu là $(\ \ )$

• A.$4.55$đáp án
• B.$4.6$
• C.$12.5$
• D.$1.64$

Trung bình có trọng số theo tần số: tổng $=4\times 3+3\times 2+5\times 4+6\times 2=50$, số quan sát $=11$, nên $\bar{x}=50/11\approx 4.55$.

$$\bar{x}=\frac{4\cdot3+3\cdot2+5\cdot4+6\cdot2}{11}=\frac{50}{11}\approx 4.55$$

Câu 25

Trong một phép đo, mẫu số liệu của $A$ là $17, 22, 37, 42, 31, 58, 61$. Nếu mẫu của $B$ thu được bằng cách lấy mỗi số liệu của $A$ trừ đi $2$, thì đặc trưng số liệu nào của $A$ và $B$ GIỐNG nhau? $(\ \ )$

• A.Số trung bình
• B.Mốt
• C.Trung vị
• D.Phương saiđáp án

Trừ mọi số liệu cho cùng hằng số $2$ chỉ làm dịch chuyển dãy: số trung bình, mốt, trung vị đều giảm $2$, riêng phương sai không đổi vì không có hệ số nhân.

$$D(x-2)=D(x)$$

Câu 26

Cho dãy mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$ và dãy suy ra $y_1, y_2, \ldots, y_n$ thỏa $y_i=-x_i-c$ ($c$ là hằng số khác $0$). Khi đó $(\ \ )$

• A.Số trung bình của hai dãy khác nhau
• B.Trung vị của hai dãy bằng nhau
• C.Phương sai của hai dãy bằng nhauđáp án
• D.Độ lệch chuẩn của hai dãy khác nhau

Phép biến đổi $y=-x-c$ có hệ số nhân $-1$, nên phương sai và độ lệch chuẩn không đổi $(-1)^2=1$; số trung bình và trung vị đều thay đổi.

$$D(y)=(-1)^2 D(x)=D(x)$$

Câu 27

Đặc trưng số liệu nào sau đây KHÔNG phản ánh độ phân tán (mức độ dao động) của mẫu số liệu? $(\ \ )$

• A.Khoảng biến thiên
• B.Số trung bìnhđáp án
• C.Phương sai
• D.Độ lệch chuẩn

Khoảng biến thiên, phương sai và độ lệch chuẩn đều đo mức phân tán. Số trung bình đo vị trí trung tâm (xu hướng trung tâm), không phản ánh độ phân tán.

Câu 28

Số hành khách lên tàu tại $10$ ga được ghi lần lượt là $70, 60, 60, 60, 50, 40, 40, 30, 30, 10$. Tổng của số trung bình, mốt và phân vị thứ $90$ của dãy số liệu này là $(\ \ )$

• A.$125$
• B.$135$
• C.$165$
• D.$170$đáp án

Số trung bình $=450/10=45$; mốt $=60$ (xuất hiện $3$ lần); phân vị thứ $90$: $10\times 0.9=9$ nguyên nên lấy trung bình số thứ $9$ và $10$ khi sắp tăng $=(60+70)/2=65$. Tổng $=45+60+65=170$.

$$45+60+65=170$$

Câu 29

Một mẫu gồm năm giá trị rút thăm được là $2, 4, 5, 7, 9$. Số trung bình của mẫu này là $(\ \ )$

• A.$4.5$
• B.$4.8$
• C.$5.4$đáp án
• D.$6$

Số trung bình $=\frac{2+4+5+7+9}{5}=\frac{27}{5}=5.4$.

$$\bar{x}=\frac{2+4+5+7+9}{5}=5.4$$

Câu 30

Cho mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_{2020}$ có phương sai $4$. Nếu $y_i=2x_i+4$ ($i=1,2,\ldots,2020$) thì phương sai của $y_1, y_2, \ldots, y_{2020}$ là $(\ \ )$

• A.$13$
• B.$14$
• C.$15$
• D.$16$đáp án

Cộng hằng số không đổi phương sai, nhân hệ số $a$ làm phương sai nhân $a^2$: $D(2x+4)=2^2\cdot 4=16$.

$$D(2X+4)=2^2 D(X)=4\cdot 4=16$$

Câu 31

Một cửa hàng giày bán thử kiểu giày nữ mới, số liệu bán hàng cho trong bảng dưới đây (Cỡ giày từ $34$ đến $41$; Số đôi bán mỗi ngày lần lượt là $2, 5, 9, 16, 9, 5, 3, 2$). Nếu bạn là người quản lý cửa hàng giày, thống kê nào sau đây quan trọng nhất với bạn?

• A.Số trung bình (mean)
• B.Mốt (mode)đáp án
• C.Trung vị (median)
• D.Khoảng biến thiên (range)

Người quản lý cần biết cỡ giày bán chạy nhất để nhập hàng nhiều nhất; đó chính là mốt (mode) - giá trị có tần số lớn nhất. Ở đây cỡ giày bán $16$ đôi/ngày là nhiều nhất nên mốt là thống kê quan trọng nhất.

$$\text{mode} = \arg\max_i f_i$$

Câu 32

Nếu phương sai của dãy số liệu $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ bằng $8$ thì phương sai của dãy số liệu $\dfrac{1}{2}x_1+5,\dfrac{1}{2}x_2+5,\dfrac{1}{2}x_3+5,\cdots,\dfrac{1}{2}x_n+5$ bằng bao nhiêu?

• A.$1$
• B.$2$đáp án
• C.$13$
• D.$32$

Khi biến đổi tuyến tính $aX+b$, phương sai nhân với $a^2$ và không phụ thuộc hằng số cộng thêm $b$. Ở đây $a=\dfrac{1}{2}$ nên phương sai mới $=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\times 8=\dfrac{1}{4}\times 8=2$.

$$D(aX+b)=a^2 D(X)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2\cdot 8=2$$

Nâng cao

Câu 33nâng cao

Tiêu chí vào hè: "$5$ ngày liên tiếp nhiệt độ trung bình ngày không dưới $22$ độ C" (mọi giá trị là số nguyên dương). Số liệu $5$ ngày liên tiếp: A) trung vị $24$, range không quá $2$; B) trung vị $27$, trung bình $24$; C) một giá trị là $32$, trung bình $26$, phương sai $10{,}8$. Những nơi chắc chắn đã vào hè là?

• A.A và B
• B.A và Cđáp án
• C.B và C
• D.A, B và C

A: trung vị $24$, range $\le 2$ nên giá trị nhỏ nhất $\ge 22$, chắc chắn vào hè. B: trung vị $27$ nhưng trung bình $24$, suy ra phải có giá trị $< 22$, mâu thuẫn nên không chắc. C: nếu có ngày $< 22$ thì phương sai sẽ vượt $10{,}8$, do đó mọi ngày $\ge 22$, chắc chắn vào hè. Vậy A và C đúng.

Câu 34nâng cao

Tiêu chí không bùng dịch: "không quá $7$ ca nghi mới mỗi ngày trong $7$ ngày liên tiếp". Dựa trên số liệu ca nghi mới $10$ ngày qua của $4$ nơi, nơi nào CHẮC CHẮN đạt tiêu chí?

• A.Nơi A: trung vị $= 2$, mode $= 2$
• B.Nơi B: trung bình $= 2$, mode $= 1$
• C.Nơi C: trung bình $= 2$, phương sai $= 3$đáp án
• D.Nơi D: trung bình $= 3$, trung vị $= 4$

Chỉ trung bình và phương sai mới chặn được mọi giá trị. Nơi C: trung bình $2$, phương sai $3$, nếu một ngày $> 7$ thì $(x-2)^2 > 25$ đã vượt tổng độ lệch bình phương cho phép, nên mọi ngày $\le 7$. Các nơi chỉ cho trung vị/mode/trung bình không chặn được giá trị lớn nhất.

Câu 35nâng cao

Trong một sự kiện y tế công cộng, tiêu chí xác định không bùng phát lây nhiễm diện rộng là "không quá $7$ ca nghi nhiễm mới mỗi ngày trong $10$ ngày liên tiếp". Dựa trên số liệu ca nghi nhiễm mới của các địa phương A, B, C, D trong $10$ ngày qua, tiêu chí chắc chắn được thỏa mãn là $(\ \ )$.

• A.Địa phương A có trung bình $3$, trung vị $4$
• B.Địa phương B có trung bình $2$, phương sai lớn hơn $0$
• C.Địa phương C có trung vị $3$, mốt $3$
• D.Địa phương D có trung bình $2$, phương sai $3$đáp án

Chỉ phương sai mới khống chế được giá trị lớn nhất. Nếu có ngày $\ge 8$ thì độ lệch so với trung bình $2$ ít nhất là $6$, đóng góp $\dfrac{6^2}{10}=3.6>3=$ phương sai, mâu thuẫn. Vậy mọi ngày $\le 7$.

$$\frac{(8-2)^2}{10}=3.6>3$$

Câu 36nâng cao

Một mẫu gồm $5$ số liệu $a,1,2,3,4$. Biết trung vị bằng $2$, tập giá trị của $a$ là $(\ \ )$.

• A.$(0,1)$
• B.$(1,2)$
• C.$(-\infty,2]$đáp án
• D.$[1,2]$

Sắp xếp $1,2,3,4$ rồi chèn $a$. Trung vị là giá trị thứ ba; nó bằng $2$ khi và chỉ khi $a\le 2$, cho tập $(-\infty,2]$.

$$a\le 2\Leftrightarrow \text{med}=2$$

Câu 37nâng cao

Một công ty quy định: trong $7$ ngày liên tiếp bất kỳ, nếu mỗi ngày có không quá $5$ người sốt trên $37.3^\circ\text{C}$ thì không có ổ dịch tập thể. Dựa trên các thống kê $7$ ngày dưới đây, tập nào KHẲNG ĐỊNH được không có ổ dịch? $(\ \ )$ (1) Trung vị là $3$, mốt là $2$; (2) Số trung bình nhỏ hơn $1$, trung vị là $1$; (3) Số trung bình là $3$, mốt là $4$; (4) Số trung bình là $2$, độ lệch chuẩn là $\sqrt{2}$.

• A.(1)(3)
• B.(3)(4)
• C.(2)(3)
• D.(2)(4)đáp án

Cần đảm bảo mọi ngày đều có giá trị $\le 5$. (2): tổng $<7$, nếu một ngày $\ge 6$ thì với trung vị $1$ tổng tối thiểu vượt $7$, mâu thuẫn nên max $\le 5$. (4): phương sai $=2$ nên $\sum (x_i-2)^2=14$; nếu một giá trị $\ge 6$ thì $(6-2)^2=16>14$, vô lý nên max $\le 5$. (1) và (3) có thể tồn tại giá trị lớn hơn $5$, không khẳng định được.

$$(x_i-2)^2\le 14\Rightarrow x_i\le 5$$

Câu 38nâng cao

Số người tới hồ bơi tập luyện trong $10$ ngày được ghi lần lượt là $152, 165, 113, 76, 181, 133, 154, 125, 108, 152$. Kết luận nào sau đây ĐÚNG? $(\ \ )$

• A.Khoảng biến thiên số người trong $10$ ngày vượt $106$
• B.Số người trung bình mỗi ngày nhỏ hơn $135$
• C.Trung vị số người mỗi ngày nhỏ hơn $145$đáp án
• D.Phương sai $5$ ngày đầu nhỏ hơn $5$ ngày sau

Khoảng biến thiên $=181-76=105$, không vượt $106$ (A sai). Số trung bình $=1359/10=135.9>135$ (B sai). Sắp tăng, trung vị $=(133+152)/2=142.5<145$ (C đúng). $5$ ngày đầu trải rộng từ $76$ đến $181$ nên phương sai lớn hơn $5$ ngày sau (D sai).

$$M=\frac{133+152}{2}=142.5<145$$

Biểu đồ, hồi quy, lấy mẫu

Câu 39

Trong một khoảng thời gian, $50$ xe đi qua điểm đo tốc độ bằng radar. Nhân viên vẽ tốc độ đo được thành biểu đồ cột. Mode (số trội) của tốc độ $50$ xe này (đơn vị km/h) là bao nhiêu?

• A.$60$
• B.$50$
• C.$40$đáp án
• D.$15$

Mode là giá trị có tần số (chiều cao cột) lớn nhất trong biểu đồ. Cột cao nhất ứng với tốc độ $40$ km/h, nên mode $= 40$.

Câu 40

Phát biểu nào sau đây đúng?

• A.Nếu trung bình của tập dữ liệu $1, a, 3$ bằng $2$ thì phương sai của tập này bằng $\dfrac{2}{3}$đáp án
• B.Đường hồi quy tuyến tính không nhất thiết đi qua điểm tâm mẫu $(\bar{x}, \bar{y})$
• C.Hai biến ngẫu nhiên tương quan tuyến tính càng mạnh thì hệ số tương quan $r$ càng gần $1$
• D.Đánh số $2000$ học sinh từ $1$ đến $2000$, chọn ngẫu nhiên $1$ em trong $50$ em đầu (số $m$), rồi chọn các em số $m+50, m+100, m+150 \ldots$ Cách lấy mẫu này là lấy mẫu phân tầng.

A đúng: trung bình $2$ nên $a = 2$, phương sai $= \dfrac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3} = \dfrac{2}{3}$. B sai: đường hồi quy luôn đi qua tâm mẫu. C sai: $r$ gần $1$ hoặc gần $-1$ (xét $|r|$). D sai: đây là lấy mẫu hệ thống, không phải phân tầng.

$$s^2 = \frac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3} = \frac{2}{3}$$

Câu 41

Mệnh đề nào sau đây đúng?

• A.Biến ngẫu nhiên $\xi$ tuân theo phân phối chuẩn $N(3,4)$. Nếu $P(\xi<2a-3)=P(\xi>a+2)$ thì $a=3$.
• B.Dùng phương pháp lấy mẫu phân tầng để chọn $400$ học sinh từ bốn trường $A,B,C,D$ trong vùng. Biết tỉ lệ số học sinh của bốn trường $A,B,C,D$ là $7:4:3:6$, vậy số học sinh cần lấy từ trường $B$ là $70$.
• C.Cho hai biến $x,y$ có tương quan tuyến tính, phương trình hồi quy tuyến tính từ dữ liệu mẫu là $\hat{y}=0.4x+\hat{a}$. Dữ liệu mẫu cho $\bar{x}=4$ và $\bar{y}=3.7$. Do đó $\hat{a}=2.1$.đáp án
• D.Một hộp có $4$ bóng đỏ và $2$ bóng trắng, tổng cộng $6$ bóng. Lấy lần lượt hai bóng không hoàn lại. Gọi biến cố $M=\{$ lần một lấy được bóng đỏ $\}$ và $N=\{$ lần hai lấy được bóng đỏ $\}$. Khi đó $M,N$ là hai biến cố độc lập.

Đường hồi quy luôn đi qua điểm trung bình $(\bar{x},\bar{y})$. Thay vào: $3.7=0.4\times 4+\hat{a}=1.6+\hat{a}$, suy ra $\hat{a}=2.1$ (đáp C). Loại A vì điểm đối xứng qua trung bình $3$ cho $\frac{(2a-3)+(a+2)}{2}=3\Rightarrow a=\frac{7}{3}$. Loại B vì $\frac{4}{20}\times 400=80$. Loại D vì $P(N\mid M)=\frac{3}{5}\neq P(N)=\frac{2}{3}$.

$$3.7 = 0.4 \times 4 + \hat{a} \Rightarrow \hat{a} = 2.1$$