Cụm 7 — Đạo hàm

Cụm này là bộ máy đo tốc độ biến thiên tức thời của một hàm số, xây từ một phép giới hạn duy nhất rồi mọc ra toàn bộ giải tích phổ thông:

• Câu hỏi gốc — một hàm số tại một điểm đang tăng hay giảm, nhanh hay chậm tới mức nào, đo bằng độ dốc ngay tại điểm đó chứ không phải trên cả đoạn.
• Một định nghĩa làm rễ — toàn cụm mọc từ định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn của tỉ số sai phân difference quotient; mọi quy tắc và bảng đạo hàm chỉ là hệ quả của định nghĩa này.
• Ba trụ chính — định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học là hệ số góc tiếp tuyến, rồi các quy tắc tính đạo hàm là định lý chứng minh từ định nghĩa, rồi ứng dụng dùng dấu đạo hàm để xét đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất và viết tiếp tuyến.
• Vì sao là nền — mọi câu hỏi về tiếp tuyến, vận tốc tức thời, đồng biến nghịch biến, cực trị đều quy về một phép tính đạo hàm rồi xét dấu, nên nắm cụm này là xử được phần lớn giải tích phổ thông và mở đường cho tích phân ở cụm sau.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Màu — node xanh đậm là khái niệm gốc giới hạn của tỉ số sai phân, phải chấp nhận từ lý thuyết giới hạn; xanh nhạt là đạo hàm và các công cụ tính dẫn xuất trực tiếp từ định nghĩa; xanh lá là bốn nhóm ứng dụng nối thẳng ra dạng câu hỏi trong đề.
• Hướng — mọi mũi tên đi từ khái niệm có trước tới khái niệm dùng nó, nên đọc từ trên xuống là đọc đúng thứ tự phụ thuộc, và mọi nhánh đều quy về node Derivative ở giữa.
• Hai dòng ứng dụng — nhánh trái qua Derivative sign lo bài đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất; nhánh phải qua Tangent slope lo bài tiếp tuyến và vận tốc.

Glossary nhãn chart (English keyword -> tiếng Việt):

• Difference quotient limit — giới hạn của tỉ số sai phân, đối tượng gốc của cả cụm.
• Derivative $f^{\prime }(x_0)$ — đạo hàm tại một điểm.
• Tangent slope — đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến.
• Derivative table — bảng đạo hàm các hàm sơ cấp.
• Differentiation rules — bốn quy tắc đạo hàm: tổng, tích (product rule), thương (quotient rule), hàm hợp (chain rule).
• Derivative sign — dấu của $f^{\prime }(x)$, công cụ xét đơn điệu và cực trị.
• Monotonicity — tính đơn điệu: đồng biến (increasing) hay nghịch biến (decreasing).
• Local extremum — điểm cực đại (local maximum) và cực tiểu (local minimum).
• Global max min — giá trị lớn nhất nhỏ nhất trên một đoạn.
• Tangent line — phương trình tiếp tuyến.

---

1. Định nghĩa đạo hàm

Tiên đề & khái niệm nền

Đạo hàm không phải khái niệm nguyên thủy mà được định nghĩa qua giới hạn, nên cụm này nhận một nền duy nhất từ lý thuyết giới hạn limit và chấp nhận nó làm điểm xuất phát:

• Giới hạn của hàm số — phát biểu $\underset{x\to a}{lim}g(x)=L$ nghĩa là khi $x$ tiến gần $a$ thì $g(x)$ tiến gần $L$ tùy ý; ta chấp nhận sự tồn tại và các quy tắc tính giới hạn (giới hạn của tổng, tích, thương) như nền đã có từ trước.
• Tỉ số sai phân — với hàm $f$ và hai điểm $x_0$ và $x_0+\mathrm{\Delta }x$, tỉ số sai phân là ${\displaystyle \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}$, đo tốc độ biến thiên trung bình của $f$ trên đoạn từ $x_0$ đến $x_0+\mathrm{\Delta }x$.
• Quy ước số gia — ký hiệu $\mathrm{\Delta }x$ là số gia của biến (lượng dịch của $x$ khỏi $x_0$) và $\mathrm{\Delta }f=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$ là số gia tương ứng của hàm; cả hai là lượng hữu hạn, chỉ khi lấy giới hạn $\mathrm{\Delta }x\to 0$ ta mới chuyển từ trung bình sang tức thời.

1.1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Đạo hàm là vật mới định nghĩa từ giới hạn của tỉ số sai phân khi số gia của biến tiến về không:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

• Biến:
  • $f$ — hàm số cần lấy đạo hàm, xác định trong một lân cận của $x_0$.
  • $x_0$ — điểm ta xét đạo hàm.
  • $\mathrm{\Delta }x$ — số gia của biến, lượng dịch của $x$ khỏi $x_0$, cho tiến về $0$.
  • $f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$ — số gia $\mathrm{\Delta }f$ của hàm tương ứng với số gia $\mathrm{\Delta }x$.
  • $f^{\prime }(x_0)$ — đạo hàm tại $x_0$, đọc là "f phẩy tại x không".
• Ý nghĩa:
  • Tốc độ biến thiên tức thời của $f$ tại đúng điểm $x_0$, không phải trung bình trên một đoạn.
  • Tỉ số sai phân là độ dốc của cát tuyến secant line nối hai điểm; khi $\mathrm{\Delta }x\to 0$ điểm thứ hai trượt về trùng điểm đầu, cát tuyến xoay thành tiếp tuyến tangent line.
• Điều kiện tồn tại: giới hạn này phải tồn tại và hữu hạn thì $f$ mới có đạo hàm tại $x_0$ (gọi là khả vi differentiable tại $x_0$); nếu không tồn tại thì hàm không có đạo hàm tại đó.

1.2 Các dạng tương đương của định nghĩa

Một vài biến thể của định nghĩa hay xuất hiện trong đề, đều suy ra từ công thức gốc bằng đổi biến đại số. Phát biểu chúng thành định lý để học sinh thấy hệ số từ đâu ra, không học vẹt.

Định lý — giới hạn có hệ số trong số gia

Nếu $f$ khả vi tại $x_0$ và $k$ là hằng số khác $0$ thì ${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+kh)-f(x_0)}{h}=k{f}^{\prime }(x_0)}$.

Chứng minh. Đặt $\mathrm{\Delta }x=kh$, khi $h\to 0$ thì $\mathrm{\Delta }x\to 0$. Nhân và chia cho $k$ để ghép đúng khuôn định nghĩa:

$$\frac{f(x_0+kh)-f(x_0)}{h}=k\cdot \frac{f(x_0+kh)-f(x_0)}{kh}=k\cdot \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}.$$

Lấy giới hạn $h\to 0$, phần sau dấu nhân tiến về $f^{\prime }(x_0)$ theo định nghĩa, nên cả biểu thức tiến về $k{f}^{\prime }(x_0)$. $◼$

• Hệ quả ứng dụng: giới hạn ${\displaystyle \frac{f(3+3\mathrm{\Delta }x)-f(3)}{\mathrm{\Delta }x}}$ bằng $3f^{\prime }(3)$ chứ không phải $f^{\prime }(3)$; bỏ sót hệ số $k$ là sai cả bài.

Định lý — giới hạn đối xứng hai phía

Nếu $f$ khả vi tại $x_0$ thì ${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f^{\prime }(x_0)}$.

Chứng minh. Thêm bớt $f(x_0)$ vào tử số rồi tách thành hai phần:

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=\frac{1}{2}[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}].$$

Phần đầu tiến về $f^{\prime }(x_0)$ khi $h\to 0$. Phần thứ hai, đặt $h^{\prime }=-h$, trở thành ${\displaystyle \frac{f(x_0+h^{\prime })-f(x_0)}{h^{\prime }}}$ cũng tiến về $f^{\prime }(x_0)$. Trung bình hai phần cho ${\displaystyle \frac{1}{2}}(f^{\prime }(x_0)+f^{\prime }(x_0))=f^{\prime }(x_0)$. $◼$

---

2. Ý nghĩa hình học và vật lý

2.1 Hệ số góc tiếp tuyến

Đây là ý nghĩa hình học cốt lõi của đạo hàm, suy thẳng từ định nghĩa qua hình ảnh cát tuyến trượt thành tiếp tuyến.

Định lý — đạo hàm là hệ số góc tiếp tuyến

Tiếp tuyến của đồ thị $y=f(x)$ tại điểm $M(x_0,f(x_0))$ có hệ số góc $k=f^{\prime }(x_0)$.

Chứng minh. Cát tuyến nối $M(x_0,f(x_0))$ và điểm $N(x_0+\mathrm{\Delta }x,f(x_0+\mathrm{\Delta }x))$ có hệ số góc đúng bằng tỉ số sai phân ${\displaystyle \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}$. Khi $\mathrm{\Delta }x\to 0$, điểm $N$ trượt dọc đồ thị về trùng $M$, cát tuyến xoay tới vị trí giới hạn là tiếp tuyến tại $M$; hệ số góc của tiếp tuyến là giới hạn của hệ số góc cát tuyến, tức là $f^{\prime }(x_0)$. $◼$

Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến qua điểm với hệ số góc cho trước:

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

• Biến:
  • $x_0$ — hoành độ tiếp điểm.
  • $f(x_0)$ — tung độ tiếp điểm.
  • $f^{\prime }(x_0)$ — hệ số góc $k$ của tiếp tuyến tại tiếp điểm.
• Ý nghĩa: một đường thẳng được xác định hoàn toàn bởi một điểm đi qua và một hệ số góc, nên biết tiếp điểm và đạo hàm tại đó là viết được ngay tiếp tuyến.

2.2 Góc nghiêng và vận tốc tức thời

Hai cách đọc khác của cùng một con số đạo hàm, dùng trong dạng bài góc và chuyển động.

• Góc nghiêng của tiếp tuyến:
  • Hệ số góc $k$ liên hệ với góc nghiêng $\alpha$ của tiếp tuyến so với chiều dương trục hoành bởi $k=\tan \alpha$.
  • Hệ số góc âm cho góc tù (vd $k=-1$ ứng với $\alpha ={135}^{\circ }$), hệ số góc dương cho góc nhọn (vd $k=1$ ứng với $\alpha ={45}^{\circ }$).
• Vận tốc tức thời:
  • Nếu quãng đường theo thời gian là $s(t)$ thì vận tốc tức thời tại $t_0$ là $v(t_0)=s^{\prime }(t_0)$, vì vận tốc chính là tốc độ biến thiên tức thời của quãng đường.
  • Gia tốc tức thời là đạo hàm của vận tốc: $a(t_0)=v^{\prime }(t_0)=s^{″}(t_0)$.
• Phân biệt với tốc độ trung bình:
  • Tốc độ biến thiên trung bình trên đoạn từ $a$ đến $b$ là ${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$, đo trên cả đoạn.
  • Tốc độ tức thời là $f^{\prime }(x_0)$, đo tại đúng một điểm; đề hay cài hai khái niệm cạnh nhau để bẫy.

---

3. Các quy tắc tính đạo hàm

Mọi quy tắc dưới đây là định lý suy từ định nghĩa giới hạn, không phải quy ước trời cho. Trình bày để học sinh thấy công thức từ đâu ra; quy tắc tích và quy tắc hàm hợp nêu định hướng chứng minh đầy đủ từ định nghĩa.

3.1 Quy tắc tổng và hiệu

Định lý — đạo hàm của tổng và hiệu

Nếu $u$ và $v$ khả vi tại $x$ thì $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$.

Chứng minh. Theo định nghĩa, tỉ số sai phân của $u+v$ tách được thành tổng hai tỉ số sai phân:

$$\frac{[u(x+\mathrm{\Delta }x)+v(x+\mathrm{\Delta }x)]-[u(x)+v(x)]}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)}{\mathrm{\Delta }x}.$$

Giới hạn của tổng bằng tổng giới hạn (quy tắc giới hạn đã chấp nhận ở mục 1), nên vế trái tiến về $u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)$. Trường hợp hiệu chứng minh y hệt với dấu trừ. $◼$

3.2 Quy tắc tích

Định lý — đạo hàm của tích product rule

Nếu $u$ và $v$ khả vi tại $x$ thì $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

Định hướng chứng minh (từ định nghĩa giới hạn, dùng thủ thuật thêm bớt):

• Lập tỉ số sai phân — viết ${\displaystyle \frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)v(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)v(x)}{\mathrm{\Delta }x}}$.

• Thêm bớt một số hạng — cộng và trừ $u(x+\mathrm{\Delta }x)v(x)$ ở tử số để tách thành hai cụm khả vi.

• Tách thành hai tỉ số — được $v(x)\cdot {\displaystyle \frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)}{\mathrm{\Delta }x}}+u(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot {\displaystyle \frac{v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)}{\mathrm{\Delta }x}}$.

• Lấy giới hạn $\mathrm{\Delta }x\to 0$ — cụm đầu tiến về $u^{\prime }(x)v(x)$; ở cụm sau $u(x+\mathrm{\Delta }x)\to u(x)$ (vì khả vi thì liên tục) nên tiến về $u(x)v^{\prime }(x)$.

• Cộng lại — ra $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, đúng phát biểu. $◼$

• Bẫy nhớ: không phải $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }{v}^{\prime }$; phải lấy đạo hàm từng thừa số rồi nhân chéo với thừa số kia rồi cộng.

3.3 Quy tắc thương

Định lý — đạo hàm của thương quotient rule

Nếu $u$ và $v$ khả vi tại $x$ và $v(x)\ne 0$ thì ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$.

Định hướng chứng minh (suy từ quy tắc tích):

• Đặt thương làm tích — viết $w={\displaystyle \frac{u}{v}}$ tức $u=wv$.

• Lấy đạo hàm hai vế — áp quy tắc tích cho vế phải: $u^{\prime }=w^{\prime }v+w{v}^{\prime }$.

• Giải ra $w^{\prime }$ — thay $w={\displaystyle \frac{u}{v}}$ rồi rút $w^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }-w{v}^{\prime }}{v}}={\displaystyle \frac{u^{\prime }-\frac{u}{v}{v}^{\prime }}{v}}$.

• Quy đồng — nhân tử mẫu cho $v$ được ${\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$, đúng phát biểu. $◼$

• Bẫy nhớ: tử số là "trên phẩy nhân dưới trừ trên nhân dưới phẩy", thứ tự trừ không đảo được vì sẽ sai dấu; mẫu số là $v^2$.

3.4 Quy tắc hàm hợp

Định lý — đạo hàm hàm hợp chain rule

Nếu $g$ khả vi tại $x$ và $f$ khả vi tại $g(x)$ thì hàm hợp $f\circ g$ khả vi tại $x$ và $(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$.

Định hướng chứng minh (từ định nghĩa, qua hai số gia trung gian):

• Đặt biến trung gian — đặt $u=g(x)$ và số gia $\mathrm{\Delta }u=g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)$, khi $\mathrm{\Delta }x\to 0$ thì $\mathrm{\Delta }u\to 0$ (do $g$ liên tục).

• Nhân và chia cho $\mathrm{\Delta }u$ — viết tỉ số sai phân của hàm hợp thành ${\displaystyle \frac{f(g(x+\mathrm{\Delta }x))-f(g(x))}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{f(u+\mathrm{\Delta }u)-f(u)}{\mathrm{\Delta }u}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}}$ (với $\mathrm{\Delta }u\ne 0$).

• Lấy giới hạn từng thừa số — thừa số đầu tiến về $f^{\prime }(u)=f^{\prime }(g(x))$ khi $\mathrm{\Delta }u\to 0$; thừa số sau là tỉ số sai phân của $g$, tiến về $g^{\prime }(x)$.

• Nhân hai giới hạn — ra $f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$, đúng phát biểu. $◼$

• Bẫy hay gặp: quên nhân đạo hàm lớp trong $g^{\prime }(x)$; ví dụ $(\ln (2x+1){)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2x+1}}\cdot 2={\displaystyle \frac{2}{2x+1}}$, bỏ thừa số $2$ là mất hệ số.

3.5 Đạo hàm hằng số

Định lý — đạo hàm của hằng số

Nếu $f(x)=c$ với $c$ là hằng số thì $f^{\prime }(x)=0$ với mọi $x$.

Chứng minh. Tỉ số sai phân là ${\displaystyle \frac{c-c}{\mathrm{\Delta }x}}=0$ với mọi $\mathrm{\Delta }x\ne 0$, nên giới hạn khi $\mathrm{\Delta }x\to 0$ bằng $0$. $◼$

• Hệ quả ứng dụng: trong hàm như $f(x)=a{x}^4+b\cos x+c$, hằng $c$ biến mất khi lấy đạo hàm, nên $f^{\prime }$ chỉ còn phụ thuộc phần biến.

---

4. Bảng đạo hàm các hàm sơ cấp

Bảng này là tập các định lý cơ bản, mỗi dòng chứng minh được từ định nghĩa giới hạn; thuộc bảng là điều kiện cần để tính nhanh trong đề.

#	Hàm	Đạo hàm	Mẹo nhớ
1	$x^n$	$n{x}^{n-1}$	tụt mũ một bậc, áp cho mọi mũ thực
2	$\sqrt{x}$	${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$	viết mũ $1/2$ rồi tụt
3	${\displaystyle \frac{1}{x}}$	$-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$	mũ $-1$ tụt thành $-2$
4	$\sin x$	$\cos x$	sin ra cos
5	$\cos x$	$-\sin x$	cos ra trừ sin
6	$e^x$	$e^x$	giữ nguyên
7	$a^x$	$a^x\ln a$	nhân thêm $\ln a$
8	$\ln x$	${\displaystyle \frac{1}{x}}$	nghịch đảo $x$

4.1 Một dòng làm mẫu — đạo hàm lũy thừa

Định lý — đạo hàm hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương

Với số nguyên dương $n$ thì $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$.

Định hướng chứng minh (từ định nghĩa, dùng khai triển nhị thức):

• Lập tỉ số sai phân — viết ${\displaystyle \frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^n-x^n}{\mathrm{\Delta }x}}$.

• Khai triển nhị thức — $(x+\mathrm{\Delta }x{)}^n=x^n+n{x}^{n-1}\mathrm{\Delta }x+(\text{các số hạng chứa }\mathrm{\Delta }{x}^2\text{ trở lên})$.

• Trừ và chia — tử số trừ $x^n$ rồi chia $\mathrm{\Delta }x$ còn $n{x}^{n-1}+(\text{các số hạng còn chứa }\mathrm{\Delta }x)$.

• Lấy giới hạn $\mathrm{\Delta }x\to 0$ — mọi số hạng còn chứa $\mathrm{\Delta }x$ triệt tiêu, còn lại $n{x}^{n-1}$. $◼$

• Mở rộng: công thức $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ đúng cho mọi số mũ thực $n$ (kể cả mũ phân số như $\sqrt{x}=x^{1/2}$, mũ âm như $x^{-1}$, mũ vô tỉ như $x^e$); chứng minh trường hợp mũ thực bất kỳ cần đạo hàm logarit, nằm ngoài phạm vi phổ thông.

---

5. Ứng dụng — tính đơn điệu

Đây là trụ ứng dụng đầu tiên, biến câu hỏi "hàm tăng hay giảm ở đâu" thành bài toán xét dấu của $f^{\prime }$.

5.1 Định lý đơn điệu

Định lý — dấu đạo hàm và tính đơn điệu

Cho $f$ khả vi trên khoảng $I$. Nếu $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in I$ thì $f$ đồng biến trên $I$; nếu $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in I$ thì $f$ nghịch biến trên $I$.

Định hướng chứng minh (qua định lý Lagrange mean value theorem):

• Lấy hai điểm bất kỳ — chọn $x_1<x_2$ trong $I$, cần so $f(x_1)$ với $f(x_2)$.

• Áp định lý giá trị trung bình — tồn tại điểm $c$ giữa $x_1$ và $x_2$ sao cho $f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1)$.

• Xét dấu — vì $x_2-x_1>0$, dấu của $f(x_2)-f(x_1)$ trùng dấu của $f^{\prime }(c)$.

• Kết luận — nếu $f^{\prime }>0$ trên $I$ thì $f^{\prime }(c)>0$ nên $f(x_2)>f(x_1)$, tức đồng biến; tương tự $f^{\prime }<0$ cho nghịch biến. $◼$

• Hệ quả thực hành: xét đơn điệu của một hàm chỉ là giải bất phương trình dấu của $f^{\prime }(x)$ rồi giao nghiệm với tập xác định.

5.2 Quy trình không trượt bước

• Tìm tập xác định trước — xác định miền hàm sống (hàm có $\ln x$ chỉ sống trên $x>0$).
• Tính $f^{\prime }(x)$ — dùng bảng và bốn quy tắc.
• Giải bất phương trình dấu — giải $f^{\prime }(x)>0$ cho khoảng đồng biến hoặc $f^{\prime }(x)<0$ cho khoảng nghịch biến.
• Giao với tập xác định — loại các khoảng nằm ngoài miền, rồi chốt biên đóng hay mở.

5.3 Bẫy hay gặp

• Quên giao với tập xác định — hàm có $\ln x$ giải $f^{\prime }(x)>0$ ra khoảng âm phải loại vì hàm không sống ở đó.
• Quên nhân đạo hàm trong — với hàm hợp như $(2-x+3x^2{)}^2$, quên nhân lớp trong là sai dấu của $f^{\prime }$, dẫn tới khoảng đơn điệu sai.

---

6. Ứng dụng — cực trị và giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Trụ ứng dụng thứ hai, tách rõ điều kiện cần và điều kiện đủ của cực trị để học sinh không nhầm hai chiều.

6.1 Điều kiện cần của cực trị

Định lý — điều kiện cần Fermat

Nếu $f$ khả vi tại $x_0$ và đạt cực trị địa phương tại $x_0$ thì $f^{\prime }(x_0)=0$.

Định hướng chứng minh (xét dấu tỉ số sai phân hai phía):

• Giả sử cực đại tại $x_0$ — khi đó $f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\le 0$ trong lân cận hai phía.

• Xét giới hạn phải — với $\mathrm{\Delta }x>0$, tỉ số sai phân $\le 0$ nên giới hạn phải $f^{\prime }(x_0)\le 0$.

• Xét giới hạn trái — với $\mathrm{\Delta }x<0$, tỉ số sai phân $\ge 0$ nên giới hạn trái $f^{\prime }(x_0)\ge 0$.

• Kẹp lại — hàm khả vi nên hai giới hạn bằng nhau, vừa $\le 0$ vừa $\ge 0$, buộc $f^{\prime }(x_0)=0$. $◼$

• Cảnh báo chiều ngược: $f^{\prime }(x_0)=0$ chỉ là điều kiện cần, không đủ; ví dụ $f(x)=x^3$ có $f^{\prime }(0)=0$ nhưng $x=0$ không phải cực trị (hàm vẫn đồng biến). Điểm mà $f^{\prime }$ triệt tiêu gọi là điểm tới hạn critical point, phải kiểm thêm điều kiện đủ.

6.2 Điều kiện đủ của cực trị

Định lý — điều kiện đủ qua đổi dấu đạo hàm

Cho $f$ liên tục tại $x_0$ và khả vi trong lân cận (trừ có thể tại $x_0$). Nếu $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; nếu $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương thì $x_0$ là điểm cực tiểu.

Chứng minh. Áp định lý đơn điệu mục 5.1 cho hai phía của $x_0$. Nếu $f^{\prime }>0$ bên trái và $f^{\prime }<0$ bên phải thì $f$ đồng biến rồi nghịch biến, nên $f(x_0)$ lớn hơn giá trị lân cận hai phía, tức cực đại. Trường hợp âm sang dương cho cực tiểu bằng lập luận đối xứng. $◼$

• Hệ quả thực hành: lập bảng biến thiên xét dấu $f^{\prime }$ là cách chuẩn để vừa tìm vừa phân loại cực trị.
• Không có cực trị: trên khoảng mà $f^{\prime }$ không đổi dấu, hoặc điểm tới hạn nằm ngoài khoảng đang xét, thì hàm đơn điệu nên không có cực trị (đúng kiểu $x^3-3x$ trên $|x|<1$).

6.3 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất trên đoạn

• Trên đoạn đóng $[a,b]$ — giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm liên tục đạt tại điểm tới hạn bên trong hoặc tại hai đầu mút, nên chỉ cần so các giá trị $f$ tại điểm tới hạn và tại $a$, $b$ rồi chọn lớn nhất, nhỏ nhất.
• Phân biệt với cực trị địa phương — cực trị là so với lân cận, còn giá trị lớn nhất nhỏ nhất là so trên toàn đoạn; một hàm trên khoảng mở có thể có cực trị mà không có giá trị lớn nhất nhỏ nhất, hoặc ngược lại.

6.4 Bài toán tham số

• Đồng biến trên miền — ép $f$ đồng biến trên một miền dịch thành điều kiện $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x$ trong miền (dấu bằng được phép vì $f^{\prime }$ chỉ triệt tiêu tại điểm rời rạc), rồi cô lập tham số thành bất phương trình.
• Có cực trị trong khoảng — ép phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có nghiệm với $f^{\prime }$ đổi dấu trong khoảng cho trước, dịch thành điều kiện về tham số.

---

7. Ví dụ mẫu có lời giải

7.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa với hệ số

• Đề: cho $f$ khả vi tại $3$ với $f^{\prime }(3)=6$, tính giới hạn ${\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(3+3\mathrm{\Delta }x)-f(3)}{\mathrm{\Delta }x}}}$.
• Lời giải:
  • Áp định lý mục 1.2 với $x_0=3$ và hệ số $k=3$: giới hạn bằng $k{f}^{\prime }(x_0)=3f^{\prime }(3)$.
  • Thay $f^{\prime }(3)=6$ được $3\times 6=18$.
• Bẫy: nếu quên hệ số $k=3$ sẽ ra $6$ thay vì $18$.

7.2 Viết phương trình tiếp tuyến

• Đề: cho $f(x)=x^2$, viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0=1$.
• Lời giải:
  • Tính đạo hàm theo bảng dòng 1: $f^{\prime }(x)=2x$.
  • Hệ số góc tại tiếp điểm: $k=f^{\prime }(1)=2$.
  • Tung độ tiếp điểm: $f(1)=1$.
  • Lắp vào phương trình mục 2.1: $y-1=2(x-1)$, rút gọn $y=2x-1$.

7.3 Xét đơn điệu

• Đề: xét tính đơn điệu của $f(x)=x^3-3x$ trên toàn trục số.
• Lời giải:
  • Tập xác định là toàn bộ $\mathbb{R}$.
  • Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.
  • Giải $f^{\prime }(x)>0$: tích dương khi $x<-1$ hoặc $x>1$, nên hàm đồng biến trên hai khoảng $(-\mathrm{\infty },-1)$ và $(1,+\mathrm{\infty })$.
  • Giải $f^{\prime }(x)<0$: tích âm khi $-1<x<1$, nên hàm nghịch biến trên $(-1,1)$.
  • Tại $x=-1$ đạo hàm đổi dấu dương sang âm (cực đại); tại $x=1$ đổi dấu âm sang dương (cực tiểu) theo định lý mục 6.2.

---

8. Kết nối

• Cụm này là nền cho tích phân — tích phân integral định nghĩa như phép ngược của đạo hàm (nguyên hàm antiderivative), nên không nắm đạo hàm thì không hiểu được tích phân ở cụm sau.
• Nền cho khảo sát hàm số — bài vẽ và đọc đồ thị hàm số ở cụm hàm số dùng trực tiếp bảng biến thiên (dấu $f^{\prime }$) và cực trị dựng ở đây.
• Cầu sang tối ưu hóa — điều kiện cực trị $f^{\prime }(x)=0$ là gốc của mọi bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, và là nền của tối ưu optimization trong các cụm ứng dụng (kinh tế, hình học) về sau.
• Phụ thuộc ngược về giới hạn — cụm này nhận trực tiếp lý thuyết giới hạn làm nền; ai chưa vững giới hạn phải quay lại củng cố trước khi học định nghĩa đạo hàm.