Cụm 6 — Bất đẳng thức và bất phương trình

Cụm này trả lời câu hỏi gốc: khi nào một biểu thức lớn hơn biểu thức khác, và làm sao tìm tập tất cả giá trị thỏa mãn điều đó.

• Câu hỏi gốc — toàn cụm xoay quanh quan hệ thứ tự "lớn hơn / nhỏ hơn" trên tập số thực, chứ không phải quan hệ bằng nhau như phương trình.
• Trụ thứ nhất — bốn tiên đề thứ tự trên trục số làm nền cho mọi phép biến đổi bất đẳng thức (cộng hai vế, nhân hai vế, bắc cầu).
• Trụ thứ hai — định lý dấu tam thức bậc hai, chứng minh qua biệt thức và dạng chính tắc, cho quy trình giải bất phương trình bậc hai, tích, thương bằng bảng xét dấu.
• Trụ thứ ba — các bất đẳng thức kinh điển AM-GM và Cauchy-Schwarz, mỗi cái là một định lý có chứng minh hoặc định hướng, dùng để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.
• Vai trò nền — đây là công cụ chặn miền giá trị và tối ưu hóa, là gốc cho phần khảo sát hàm số, cực trị có ràng buộc và tối ưu danh mục về sau.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Màu — nút xanh đậm là tiên đề gốc không chứng minh; nút xanh nhạt là định lý hoặc công cụ dẫn xuất; nút xanh lá là phần ứng dụng giải đề.
• Hướng — mọi nhánh đều mọc từ tiên đề thứ tự; nhánh trái đi qua biệt thức để xét dấu và giải bất phương trình, nhánh phải đi qua phép biến đổi để dựng bất đẳng thức kinh điển và tối ưu.

Glossary nhãn chart (English keyword -> tiếng Việt):

• Order axioms — tiên đề thứ tự: bốn quy ước nền về quan hệ lớn nhỏ trên tập số thực.
• Transformation — phép biến đổi: thao tác giữ hoặc đảo chiều bất đẳng thức trên hai vế.
• Discriminant $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ — biệt thức: số quyết định số nghiệm thực của tam thức.
• Quadratic sign rule — định lý dấu tam thức: quy tắc dấu của $a{x}^2+bx+c$ theo vị trí so với hai nghiệm.
• Sign table — bảng xét dấu: bảng chia trục số theo nghiệm rồi điền dấu từng khoảng.
• Inequality solving — giải bất phương trình bậc hai, tích, thương bằng bảng xét dấu.
• AM-GM — bất đẳng thức trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân.
• Cauchy-Schwarz — bất đẳng thức tích vô hướng, còn gọi Bunyakovsky.
• Extremum — cực trị: giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất tìm bằng bất đẳng thức kinh điển.

---

1. Tiên đề thứ tự và phép biến đổi

1.1 Tiên đề & khái niệm nền

Quan hệ thứ tự "lớn hơn" trên tập số thực $\mathbb{R}$ không được định nghĩa từ thứ gì nhỏ hơn, mà được chấp nhận qua một tập tiên đề. Mọi phép biến đổi bất đẳng thức về sau chỉ là hệ quả của bốn tiên đề này.

• Tiên đề tam phân (trichotomy) — với hai số thực $a$ và $b$ bất kỳ, đúng một trong ba quan hệ xảy ra: $a>b$, hoặc $a=b$, hoặc $a<b$. Đây là điều bảo đảm mọi cặp số luôn so sánh được.
• Tiên đề bắc cầu (transitivity) — nếu $a>b$ và $b>c$ thì $a>c$. Đây là điều cho phép xâu chuỗi nhiều bất đẳng thức thành một dãy thứ tự.
• Tiên đề cộng — nếu $a>b$ thì $a+c>b+c$ với mọi số thực $c$. Cộng cùng một lượng vào hai vế không làm đổi thứ tự.
• Tiên đề nhân với số dương — nếu $a>b$ và $c>0$ thì $ac>bc$. Nhân hai vế với số dương giữ nguyên chiều.

1.2 Định nghĩa số dương và quan hệ tổng quát

• Số dương — số thực $a$ gọi là dương khi $a>0$. Tập số dương là đối tượng gốc; quan hệ $a>b$ được định nghĩa lại gọn là $a-b>0$, tức hiệu hai số là một số dương.
• Quan hệ không ngặt — ký hiệu $a\ge b$ định nghĩa là $a>b$ hoặc $a=b$. Mọi tiên đề trên giữ nguyên khi thay $>$ bằng $\ge$.

1.3 Định lý — nhân hai vế với số âm đảo chiều

Nếu $a>b$ và $c<0$ thì $ac<bc$.

Chứng minh. Từ $c<0$ ta có $-c>0$ theo định nghĩa số âm. Theo tiên đề nhân với số dương, $a>b$ kéo theo $a(-c)>b(-c)$, tức $-ac>-bc$. Cộng $ac+bc$ vào hai vế theo tiên đề cộng được $bc>ac$, tức $ac<bc$. $◼$

• Ý nghĩa — đây là quy tắc bị bỏ sót nhiều nhất khi giải đề: nhân hoặc chia hai vế cho một lượng âm thì phải lật dấu bất phương trình.

1.4 Định lý — cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

Nếu $a>b$ và $c>d$ thì $a+c>b+d$.

Chứng minh. Theo tiên đề cộng, $a>b$ cho $a+c>b+c$, và $c>d$ cho $b+c>b+d$. Theo tiên đề bắc cầu, $a+c>b+d$. $◼$

• Lưu ý dấu bằng — chỉ được cộng các bất đẳng thức CÙNG chiều; cộng hai bất đẳng thức ngược chiều cho kết luận sai.
• Biên mở giữ nguyên — nếu $a>1$ và $b>2$ thì $a+b>3$ với biên mở, không thể siết thành $\ge$.

1.5 Định lý — lũy thừa và nghịch đảo

Với mọi số thực, $a>b$ luôn kéo theo $a^3>b^3$. Với bình phương, $a>|b|$ mới kéo theo $a^2>b^2$. Nếu $a>b>0$ thì ${\displaystyle \frac{1}{a}}<{\displaystyle \frac{1}{b}}$.

Định hướng chứng minh.

• Lập phương — xét hiệu $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$; thừa số thứ nhất dương do $a>b$, thừa số thứ hai là ${(a+{\displaystyle \frac{b}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3b^2}{4}}\ge 0$ và chỉ bằng 0 khi $a=b=0$, nên hiệu dương.
• Bình phương — chỉ chắc khi $a>|b|$, khi đó $a$ dương và $a^2-b^2=(a-|b|)(a+|b|)$ với cả hai thừa số dương; không có điều kiện này thì với $a=1,b=-2$ ta có $a>b$ nhưng $a^2<b^2$.
• Nghịch đảo — xét hiệu ${\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{b-a}{ab}}$; tử số âm do $a>b$, mẫu số dương do $a,b$ cùng dương, nên hiệu âm.

---

2. Dấu tam thức bậc hai

2.1 Định nghĩa tam thức bậc hai

• Tam thức bậc hai — biểu thức dạng $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Đối tượng này dẫn xuất từ phép nhân và cộng các số đã có; toàn bộ bài toán bất phương trình bậc hai quy về xét dấu của nó.
• Biệt thức — đại lượng $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ (discriminant), tính từ ba hệ số, quyết định tam thức có bao nhiêu nghiệm thực.

2.2 Định lý — dạng chính tắc và nghiệm

Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ viết được dưới dạng chính tắc $f(x)=a{(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a}}$, và khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$ thì $f$ có nghiệm $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$.

Chứng minh. Đặt thừa số chung $a$ rồi hoàn thành bình phương:

$$a{x}^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a}+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$$

• Biến trong công thức (từ trái qua phải):
  • $a$ — hệ số bậc hai, quyết định parabol mở lên hay xuống.
  • ${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2$ — phần bình phương luôn không âm, đạt 0 tại đỉnh $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$.
  • ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a}}$ — lượng nâng hạ đỉnh, dấu của nó so với 0 cho biết tam thức có cắt trục hoành không.

Khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$, đặt vế chính tắc bằng 0 và giải ra ${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}$, lấy căn hai phía được $x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$, suy ra $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$. $◼$

2.3 Định lý — quy tắc dấu của tam thức

Cho $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$: nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x$; nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x$ trừ tại nghiệm kép; nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì $f(x)$ trái dấu với $a$ ở khoảng giữa hai nghiệm, cùng dấu với $a$ ở ngoài hai nghiệm.

Chứng minh. Dùng dạng chính tắc $f(x)=a[{(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}]$.

• Trường hợp $\mathrm{\Delta }<0$ — phần trong ngoặc vuông là tổng của một bình phương không âm và một lượng dương $-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}$, nên luôn dương; do đó $f(x)$ cùng dấu với $a$ mọi nơi.

• Trường hợp $\mathrm{\Delta }=0$ — phần trong ngoặc vuông là một bình phương đúng, dương ở mọi $x$ trừ nghiệm kép $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ nơi nó bằng 0; do đó $f(x)$ cùng dấu $a$ trừ một điểm.

• Trường hợp $\mathrm{\Delta }>0$ — phân tích $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ với $x_1<x_2$; tích $(x-x_1)(x-x_2)$ âm khi $x_1<x<x_2$ và dương khi $x$ ở ngoài, nên $f(x)$ trái dấu $a$ ở giữa và cùng dấu $a$ ở ngoài. $◼$

• Câu thần chú — gọn lại là "trong trái ngoài cùng" dấu của $a$: trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu $a$, ngoài hai nghiệm thì cùng dấu $a$.

• Hệ quả luôn dương — $a{x}^2+bx+c>0$ với mọi $x$ khi và chỉ khi $a>0$ và $\mathrm{\Delta }<0$ (parabol mở lên, không cắt trục).

2.4 Định lý — hệ thức Viète

Nếu tam thức $a{x}^2+bx+c$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì $x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ và $x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$.

Chứng minh. Khai triển dạng nghiệm $a(x-x_1)(x-x_2)=a{x}^2-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2$ rồi đồng nhất hệ số với $a{x}^2+bx+c$: hệ số bậc nhất cho $-a(x_1+x_2)=b$, hệ số tự do cho $a{x}_1{x}_2=c$. Chia hai vế cho $a$ ra ngay hai hệ thức. $◼$

• Công dụng đảo — bài toán cho trước tập nghiệm rồi hỏi hệ số: hai biên của tập nghiệm chính là $x_1,x_2$, thay vào Viète rút ra tỉ lệ hệ số.
• Đọc dấu hệ số đầu — tập nghiệm là khoảng giữa thì $a<0$ (parabol mở xuống), tập nghiệm là hai tia ngoài thì $a>0$.

---

3. Giải bất phương trình bằng bảng xét dấu

3.1 Định nghĩa bất phương trình tích và thương

• Bất phương trình tích — dạng so sánh một tích các nhị thức hoặc tam thức với 0, ví dụ $(x-x_1)(x-x_2)\le 0$. Mỗi thừa số đổi dấu đúng tại nghiệm của nó.
• Bất phương trình thương — dạng ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ so với 0, kèm ràng buộc cứng $g(x)\ne 0$.

3.2 Định lý — thương cùng dấu với tích

Với $g(x)\ne 0$, ta có ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}<0$ tương đương $f(x)\cdot g(x)<0$.

Chứng minh. Nhân cả hai vế của ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}<0$ với $g(x{)}^2$, một lượng luôn dương khi $g(x)\ne 0$; theo tiên đề nhân với số dương chiều giữ nguyên, và ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\cdot g(x{)}^2=f(x)g(x)$, nên ra $f(x)g(x)<0$. Chiều ngược lại lặp lại lập luận chia cho $g(x{)}^2$. $◼$

• Vì sao quan trọng — định lý này cho phép quy mọi bất phương trình thương về bất phương trình tích, dùng chung một bảng xét dấu, tránh nhân chéo mù mà mất hoặc thêm nghiệm.
• Biên đóng mở — điểm làm tử bằng 0 được nhận khi đề có dấu bằng, nhưng điểm làm mẫu bằng 0 luôn bị loại.

3.3 Quy trình không trượt bước

• Giải bậc hai — chuyển hết về một vế dạng $a{x}^2+bx+c$ so với 0; nếu $a<0$ thì nhân $-1$ và đổi chiều; tính $\mathrm{\Delta }$ tìm nghiệm; áp quy tắc "trong trái ngoài cùng dấu $a$"; chốt biên đóng mở theo dấu so sánh.
• Giải thương — chuyển về một vế so với 0 nếu chưa, ví dụ ${\displaystyle \frac{1}{x}}<2$ thành ${\displaystyle \frac{1-2x}{x}}<0$; đổi thương thành tích cùng dấu; tìm nghiệm tử và mẫu; xét dấu trên trục; loại mọi nghiệm mẫu.
• Tìm hệ số từ tập nghiệm — nhận hai biên là hai nghiệm; xác định dấu $a$ theo kiểu tập nghiệm; viết Viète tổng và tích; giải hệ ra hệ số.
• Tham số luôn đúng — viết đồng thời điều kiện $a>0$ và $\mathrm{\Delta }<0$; giải ra khoảng tham số; xét riêng trường hợp $a=0$ khi hệ số bậc hai chứa tham số (tam thức tụt xuống bậc nhất).

3.4 Bẫy hay gặp

• Quên đổi chiều khi hệ số đầu âm — gặp $-x^2$ hay $(-x+3)$ mà giữ nguyên quy tắc dấu là lật toàn bộ đáp.
• Nhân chéo thương không xét dấu mẫu — nhân hai vế với $x$ khi chưa biết $x$ âm hay dương làm mất hoặc thêm nghiệm.
• Nhận nghiệm mẫu vào tập — với dấu $\ge$ ở thương, điểm làm mẫu bằng 0 vẫn phải loại.
• Đọc sai dấu $a$ từ tập nghiệm — tập nghiệm là khoảng giữa thì $a<0$, là hai tia ngoài thì $a>0$; đọc nhầm là lật cả Viète.
• Bỏ trường hợp hệ số đầu bằng 0 — bài tham số chứa $a$ ở bậc hai phải xét riêng $a=0$.

---

4. Bất đẳng thức AM-GM

4.1 Định nghĩa trung bình cộng và trung bình nhân

• Trung bình cộng (arithmetic mean) — với hai số không âm $a,b$ thì trung bình cộng là ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$, điểm giữa số học của hai số.
• Trung bình nhân (geometric mean) — với hai số không âm $a,b$ thì trung bình nhân là $\sqrt{ab}$, căn của tích hai số.

4.2 Định lý — AM-GM cho hai biến

Với hai số thực không âm $a$ và $b$, ta có ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{ab}$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Chứng minh. Xét hiệu hai vế và đưa về bình phương:

$$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2}{2}\ge 0$$

• Biến trong công thức (từ trái qua phải):
  • $a,b$ — hai số không âm cần lấy căn nên buộc $a,b\ge 0$.
  • ${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2$ — bình phương của hiệu hai căn, luôn không âm.
  • mẫu số 2 — dương nên không đổi dấu của biểu thức.

Bình phương luôn không âm nên hiệu không âm, tức ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{ab}$. Hiệu bằng 0 khi và chỉ khi $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, tức $a=b$. $◼$

• Dấu bằng — đây là chìa khóa khi tìm cực trị: trung bình cộng đạt giá trị nhỏ nhất bằng trung bình nhân đúng tại $a=b$.
• Chuỗi bốn bậc — với $0<a<b$ ta còn có thứ tự đầy đủ $b>{\displaystyle \frac{a+b}{2}}>\sqrt{ab}>a$, số lớn rồi trung bình cộng rồi trung bình nhân rồi số nhỏ.

4.3 Hệ quả — tổng một số dương với nghịch đảo của nó

Với mọi số dương $t$, ta có $t+{\displaystyle \frac{1}{t}}\ge 2$, dấu bằng tại $t=1$.

Chứng minh. Áp dụng AM-GM cho hai số dương $t$ và ${\displaystyle \frac{1}{t}}$: ${\displaystyle \frac{t+\frac{1}{t}}{2}}\ge \sqrt{t\cdot \frac{1}{t}}=1$, nhân hai vế với 2 ra ngay $t+{\displaystyle \frac{1}{t}}\ge 2$; dấu bằng khi $t={\displaystyle \frac{1}{t}}$, tức $t=1$. $◼$

---

5. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

5.1 Định nghĩa và phát biểu

• Tên gọi — bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, trong sách giáo khoa Việt Nam thường gọi Bunyakovsky; cả hai chỉ cùng một định lý về hai bộ số.

5.2 Định lý — Cauchy-Schwarz cho hai bộ hai số

Với mọi số thực $a_1,a_2,b_1,b_2$, ta có $(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2\le (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1{b}_2=a_2{b}_1$, tức hai bộ tỉ lệ.

Chứng minh. Khai triển trực tiếp hiệu hai vế:

$$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2=(a_1{b}_2-a_2{b}_1{)}^2$$

• Biến trong công thức (từ trái qua phải):
  • $a_1,a_2$ — hai thành phần của bộ thứ nhất.
  • $b_1,b_2$ — hai thành phần của bộ thứ hai.
  • $(a_1{b}_2-a_2{b}_1{)}^2$ — bình phương định thức chéo, luôn không âm.

Vế phải là một bình phương nên không âm, do đó vế trái không âm, tức $(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2\le (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$. Dấu bằng khi $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$, tức hai bộ tỉ lệ. $◼$

5.3 Định hướng dạng tổng quát và dạng phân thức

• Dạng tổng quát — với $n$ số mỗi bộ, ${(\sum a_i{b}_i)}^2\le (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$; chứng minh xét tam thức bậc hai theo $\lambda$ của $\sum (a_i\lambda -b_i{)}^2\ge 0$, biệt thức không dương cho ngay bất đẳng thức.
• Dạng phân thức Engel — hệ quả hay dùng để tìm min: ${\displaystyle \frac{x_1^2}{y_1}}+{\displaystyle \frac{x_2^2}{y_2}}\ge {\displaystyle \frac{(x_1+x_2{)}^2}{y_1+y_2}}$ với $y_1,y_2>0$, dấu bằng khi ${\displaystyle \frac{x_1}{y_1}}={\displaystyle \frac{x_2}{y_2}}$.

---

6. Ứng dụng tìm cực trị

6.1 Quy trình tìm giá trị nhỏ nhất bằng AM-GM

• So hiệu về dấu — muốn so hai biểu thức $M$ và $N$ thì lập hiệu $M-N$ rồi biến đổi về tổng bình phương hoặc tích đã biết dấu.
• Hoàn thành bình phương — hiệu là tam thức nhiều biến thì nhóm thành tổng các bình phương trừ hằng, ví dụ $x^2+y^2-4x+2y=(x-2{)}^2+(y+1{)}^2-5\ge -5$.
• Chốt dấu bằng — sau khi chặn được giá trị nhỏ nhất phải kiểm dấu bằng có đạt được không; bỏ bước này là kết luận sai khi đề hỏi min thực sự.

6.2 Bẫy hay gặp khi tối ưu

• Quên trường hợp $c=0$ khi nhân bình phương — mệnh đề "$a>b$ suy ra $a{c}^2>b{c}^2$" sai vì $c$ có thể bằng 0 làm hai vế bằng nhau.
• Bình phương khi chưa biết dấu — từ $a>b$ kết luận $a^2>b^2$ sai khi có số âm; phải có $a>|b|$.
• Nghịch đảo khi hai số trái dấu — $a>b$ không cho ${\displaystyle \frac{1}{a}}<{\displaystyle \frac{1}{b}}$ nếu $a$ dương còn $b$ âm.
• Quên dấu bằng tại $a=b$ — AM-GM đạt min đúng tại $a=b$; bỏ sót làm sai bài hỏi giá trị nhỏ nhất.

---

7. Ví dụ mẫu có lời giải

7.1 Giải bất phương trình bậc hai

• Đề — giải $x^2-4x-5\ge 0$.
• Bước tìm nghiệm — $\mathrm{\Delta }=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36>0$, hai nghiệm $x_{1,2}={\displaystyle \frac{4\pm 6}{2}}$ cho $x_1=-1$ và $x_2=5$.
• Bước xét dấu — hệ số $a=1>0$, theo "trong trái ngoài cùng dấu $a$" tam thức dương ở ngoài hai nghiệm.
• Kết luận — vì đề hỏi $\ge 0$ nên nhận cả hai biên: tập nghiệm là $x\le -1$ hoặc $x\ge 5$.

7.2 Tìm giá trị nhỏ nhất bằng AM-GM

• Đề — với $x>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x+{\displaystyle \frac{9}{x}}$.
• Bước áp định lý — áp AM-GM cho hai số dương $x$ và ${\displaystyle \frac{9}{x}}$: $x+{\displaystyle \frac{9}{x}}\ge 2\sqrt{x\cdot {\displaystyle \frac{9}{x}}}=2\cdot 3=6$.
• Bước chốt dấu bằng — dấu bằng khi $x={\displaystyle \frac{9}{x}}$, tức $x^2=9$ và do $x>0$ nên $x=3$.
• Kết luận — giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng 6, đạt tại $x=3$.

---

8. Kết nối

• Nền cho khảo sát hàm số — quy tắc dấu tam thức là công cụ xét dấu đạo hàm bậc hai để tìm khoảng đồng biến nghịch biến ở cụm đạo hàm.
• Nền cho tối ưu có ràng buộc — AM-GM và Cauchy-Schwarz là cách tìm cực trị sơ cấp không cần đạo hàm, dùng trước khi học nhân tử Lagrange.
• Nền cho phương sai danh mục — Cauchy-Schwarz là gốc của bất đẳng thức ràng buộc tương quan trong khoảng $[-1,+1]$ ở phần thống kê và tối ưu danh mục về sau.