Trắc nghiệm — Đạo hàm

Bộ câu hỏi trắc nghiệm cho cụm Đạo hàm, rút từ đề thật và phân theo chủ đề con. Phần lý thuyết xem ở đây.

• Làm thử — bấm từng đáp rồi kiểm tra, có lời giải ngay.
• Theo chủ đề — phần dưới liệt kê toàn bộ câu theo cây chủ đề con; câu nâng cao (cho học sinh giỏi) tách riêng cuối mỗi chủ đề.

Làm thử từng câu

Đạo hàmCâu 1 / 53 · Điểm 0 / 0

Hàm số $f(x)=x^3-3x$ với $|x|<1$ thì:

Toàn bộ câu hỏi theo chủ đề

Đạo hàm — 53 câu53 câu

Đạo hàm và ứng dụng

Câu 1

Hàm số $f(x)=x^3-3x$ với $|x|<1$ thì:

• A.Có giá trị lớn nhất nhưng không có giá trị nhỏ nhất
• B.Có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
• C.Không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất
• D.Không có giá trị lớn nhất và cũng không có giá trị nhỏ nhấtđáp án

$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)<0$ với mọi $x$ trong $(-1,1)$, nên hàm nghịch biến trên khoảng mở $(-1,1)$. Khoảng mở và đơn điệu nên không đạt được max cũng như min.

$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)<0,\ \forall x\in(-1,1)$$

Câu 2

Gọi $f'(x)$ là đạo hàm của $f(x)$, biết $f'(3)=6$. Tính giới hạn khi $\Delta x$ tiến tới $0$ của $\dfrac{f(3+3\Delta x)-f(3)}{\Delta x}$.

• A.$18$đáp án
• B.$9$
• C.$6$
• D.$3$

Theo định nghĩa đạo hàm, $\lim \dfrac{f(3+3\Delta x)-f(3)}{\Delta x} = 3\cdot\lim \dfrac{f(3+3\Delta x)-f(3)}{3\Delta x} = 3\cdot f'(3) = 3\cdot 6 = 18$.

$$\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(3+3\Delta x)-f(3)}{\Delta x}=3f'(3)=3\cdot 6=18$$

Câu 3

Quãng đường $s$ (mét) của một vật theo thời gian $t$ (giây) là $s=2+10t-t^2$. Tốc độ thay đổi tức thời của quãng đường tại thời điểm cuối giây thứ $3$ là:

• A.$6$ mét mỗi giây
• B.$5$ mét mỗi giây
• C.$4$ mét mỗi giâyđáp án
• D.$3$ mét mỗi giây

Tốc độ thay đổi tức thời là đạo hàm: $s'(t)=10-2t$. Tại $t=3$: $s'(3)=10-2\cdot 3=4$ mét mỗi giây. (Đáp án nguồn ghi B=5 không khớp; đáp án đúng là C=4.)

$$s'(t)=10-2t,\quad s'(3)=10-6=4$$

Câu 4

Một chất điểm A chuyển động thẳng có quãng đường theo thời gian là $s(t)=3t^2$. Vận tốc tức thời tại $t_0=2$ là:

• A.$6$
• B.$12$đáp án
• C.$18$
• D.$24$

Vận tốc tức thời là đạo hàm: $s'(t)=6t$. Tại $t_0=2$: $s'(2)=6\cdot 2=12$. (Đáp án nguồn ghi D=24 không khớp; đáp án đúng là B=12.)

$$s'(t)=6t,\quad s'(2)=12$$

Câu 5

Tiếp tuyến của đường cong $y=(ax+1)e^x$ tại điểm $(0,1)$ có phương trình $2x-y+1=0$. Tìm $a$.

• A.$3$
• B.$2$
• C.$1$đáp án
• D.$0$

$y'=a\cdot e^x+(ax+1)e^x=(ax+a+1)e^x$, nên $y'(0)=a+1$. Tiếp tuyến $2x-y+1=0$ có hệ số góc bằng $2$, suy ra $a+1=2$ nên $a=1$.

$$y'(0)=a+1=2\Rightarrow a=1$$

Câu 6

Quãng đường $s$ (m) của một vật theo thời gian $t$ (s) cho bởi $s(t)=t^3-2$. Vận tốc tức thời tại $t=1$ s (đơn vị m/s) là:

• A.$1$
• B.$3$đáp án
• C.$-1$
• D.$0$

Vận tốc tức thời là đạo hàm: $s'(t)=3t^2$. Tại $t=1$: $s'(1)=3\cdot 1^2=3$ m/s.

$$s'(t)=3t^2,\quad s'(1)=3$$

Câu 7

Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ là $(\ \ )$.

• A.$\sqrt{x}$
• B.$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
• C.$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$đáp án
• D.$-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Áp dụng công thức đạo hàm $\left(x^{\alpha}\right)'=\alpha x^{\alpha-1}$ với $\alpha=\dfrac{1}{2}$, ta được $y'=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

$$y'=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Câu 8

Cho hàm số $f(x)=\sin x$, khi đó $f'(0)$ bằng $(\ \ )$.

• A.$1$đáp án
• B.$-1$
• C.$0$
• D.Không phải các giá trị trên

Ta có $f'(x)=\cos x$ nên $f'(0)=\cos 0=1$.

$$f'(x)=\cos x,\quad f'(0)=1$$

Câu 9

Đạo hàm của hàm số $y=4(2-x+3x^2)^2$ là $(\ \ )$.

• A.$8(2-x+3x^2)$
• B.$2(-1+6x)^2$
• C.$8(2-x+3x^2)(6x-1)$đáp án
• D.$4(2-x+3x^2)(6x-1)$

Dùng quy tắc đạo hàm hàm hợp: $y'=4\cdot 2(2-x+3x^2)\cdot(2-x+3x^2)'=8(2-x+3x^2)(6x-1)$.

$$y'=8(2-x+3x^2)(6x-1)$$

Câu 10

Tính $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+2h)-\sin x}{h}=(\ \ )$.

• A.$0$
• B.$2\cos x$đáp án
• C.$\cos 2x$
• D.$2\cos 2x$

Theo định nghĩa đạo hàm, $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+2h)-\sin x}{h}=2\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+2h)-\sin x}{2h}=2(\sin x)'=2\cos x$.

$$\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+2h)-\sin x}{h}=2\cos x$$

Câu 11

Cho hàm số $f(x)=2^{-x}$, khi đó $f'(x)=(\ \ )$.

• A.$-\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\ln 2$đáp án
• B.$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\ln 2$
• C.$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\log_2 e$
• D.$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\dfrac{1}{\ln 2}$

Viết $f(x)=2^{-x}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$. Áp dụng $\left(a^x\right)'=a^x\ln a$ với $a=\dfrac{1}{2}$: $f'(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\ln\dfrac{1}{2}=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\ln 2$.

$$f'(x)=-\left(\tfrac{1}{2}\right)^x\ln 2$$

Câu 12

Cho hàm số $f(x)=\sin x$, khi đó $\left(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)'=(\ \ )$.

• A.$0$đáp án
• B.$\dfrac{1}{2}$
• C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• D.Không phải các giá trị trên

$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ là một hằng số, nên đạo hàm của nó bằng $0$.

$$\left(\sin\tfrac{\pi}{3}\right)'=0$$

Câu 13

Nếu $f(x)=x^3$ và $f'(x_0)=3$, thì giá trị của $x_0$ bằng $(\ \ )$.

• A.$\pm 1$đáp án
• B.$\pm 2$
• C.$\pm 3$
• D.$\pm\sqrt{3}$

Ta có $f'(x)=3x^2$. Từ $f'(x_0)=3x_0^2=3$ suy ra $x_0^2=1$, tức $x_0=\pm 1$.

$$3x_0^2=3\Rightarrow x_0=\pm1$$

Câu 14

Đạo hàm của hàm số $y=x^e$ là $(\ \ )$.

• A.$y'=x^e$
• B.$y'=ex^{e-1}$đáp án
• C.$y'=ex^e$
• D.$y'=\ln x$

Đây là hàm lũy thừa với số mũ hằng $e$. Áp dụng $\left(x^{\alpha}\right)'=\alpha x^{\alpha-1}$ với $\alpha=e$, ta được $y'=ex^{e-1}$.

$$y'=ex^{e-1}$$

Câu 15

Tiếp tuyến của đường cong $f(x)=\dfrac{9}{x}$ tại điểm $(3,3)$ tạo với trục hoành góc nghiêng $\alpha$. Giá trị của $\alpha$ bằng $(\ \ )$.

• A.$45^\circ$
• B.$60^\circ$
• C.$135^\circ$đáp án
• D.$120^\circ$

Ta có $f'(x)=-\dfrac{9}{x^2}$ nên hệ số góc tiếp tuyến $f'(3)=-1$. Từ $\tan\alpha=-1$ với $0^\circ\le\alpha<180^\circ$ suy ra $\alpha=135^\circ$.

$$f'(3)=-1\Rightarrow \alpha=135^\circ$$

Câu 16

Nếu hàm số $f(x)=-x^2+4x+b\ln x$ nghịch biến trên $(0,+\infty)$, thì tập giá trị của $b$ là $(\ \ )$.

• A.$(-\infty,-2]$đáp án
• B.$(-\infty,-2)$
• C.$(-2,+\infty)$
• D.$[-2,+\infty)$

Điều kiện nghịch biến: $f'(x)=-2x+4+\dfrac{b}{x}\le 0$ với mọi $x>0$, tức $b\le 2x^2-4x$. Vế phải đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=1$ bằng $-2$, nên $b\le -2$.

$$b\le 2x^2-4x,\ \min=-2\Rightarrow b\le-2$$

Câu 17

Tiếp tuyến của đường cong $y=x^3$ tại điểm $P$ có hệ số góc $k=3$. Tọa độ điểm $P$ là:

• A.$(1,1)$
• B.$(-1,1)$
• C.$(1,1)$ hoặc $(-1,-1)$đáp án
• D.$(2,8)$ hoặc $(-2,-8)$

Ta có $y'=3x^2$. Hệ số góc tiếp tuyến bằng $3$ nên $3x^2=3\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$. Suy ra hai điểm $(1,1)$ và $(-1,-1)$.

$$y'=3x^2=3\Rightarrow x=\pm 1$$

Câu 18

Trong quá trình phân rã của một đồng vị phóng xạ, hàm lượng $N$ (đơn vị becquerel) phụ thuộc thời gian $t$ (ngày) theo công thức $N(t)=N_0 e^{-\frac{t}{24}}$, với $N_0$ là hàm lượng tại $t=0$. Biết tại $t=24$ tốc độ biến thiên tức thời của hàm lượng là $-e^{-1}$. Khi đó $N(120)$ bằng:

• A.$24$ becquerel
• B.$24e^{-5}$ becquerelđáp án
• C.$1$ becquerel
• D.$e^{-5}$ becquerel

Ta có $N'(t)=-\dfrac{N_0}{24}e^{-t/24}$. Từ $N'(24)=-\dfrac{N_0}{24}e^{-1}=-e^{-1}$ suy ra $N_0=24$. Do đó $N(120)=24e^{-120/24}=24e^{-5}$.

$$N'(24)=-\dfrac{N_0}{24}e^{-1}=-e^{-1}\Rightarrow N_0=24$$

Câu 19

Tốc độ biến thiên trung bình của hàm số $y=x^3-x^2$ trên đoạn từ $1$ đến $2$ là:

• A.$2$
• B.$3$
• C.$4$đáp án
• D.$5$

Tốc độ biến thiên trung bình bằng $\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}$. Với $f(2)=8-4=4$ và $f(1)=1-1=0$, ta được $\dfrac{4-0}{1}=4$.

$$\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\dfrac{4-0}{1}=4$$

Câu 20

Giả sử $f(x)$ khả vi tại $x=x_0$. Khi đó $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$ bằng:

• A.$2f'(x_0)$
• B.$\dfrac{1}{2}f'(x_0)$
• C.$f'(x_0)$đáp án
• D.$4f'(x_0)$

Tách giới hạn thành nửa tổng hai thương sai phân: $\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}\right]\to\dfrac{1}{2}(f'(x_0)+f'(x_0))=f'(x_0)$.

$$\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0)$$

Câu 21

Nếu hàm số $f(x)=ax^4+b\cos x+c\ (a,b,c\in\mathbb{R})$ thỏa mãn $f'(1)=2$ thì $f'(-1)$ bằng:

• A.$-1$
• B.$0$
• C.$1$
• D.$-2$đáp án

Ta có $f'(x)=4ax^3-b\sin x$ là hàm lẻ. Do đó $f'(-1)=-f'(1)=-2$.

$$f'(x)=4ax^3-b\sin x\Rightarrow f'(-1)=-f'(1)=-2$$

Câu 22

Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1}{6}x^3-ax^2-bx\ (a>0,b>0)$ có điểm cực trị tại $x=1$. Giá trị lớn nhất của $ab$ là:

• A.$\dfrac{1}{2}$
• B.$\dfrac{1}{4}$
• C.$\dfrac{1}{16}$
• D.$\dfrac{1}{32}$đáp án

Ta có $f'(x)=\dfrac{1}{2}x^2-2ax-b$. Cực trị tại $x=1$ nên $f'(1)=0\Rightarrow 2a+b=\dfrac{1}{2}$. Theo bất đẳng thức AM-GM: $2ab\le\left(\dfrac{2a+b}{2}\right)^2=\dfrac{1}{16}$, suy ra $ab\le\dfrac{1}{32}$, dấu bằng khi $a=\dfrac{1}{8},\ b=\dfrac{1}{4}$.

$$2ab\le\left(\dfrac{2a+b}{2}\right)^2=\dfrac{1}{16}\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{32}$$

Câu 23

Cho $f'(x)$ là đạo hàm của hàm số $f(x)$ và $f(x)=2f'(1)\ln x+\dfrac{1}{x}$. Khi đó $f'(1)$ bằng:

• A.$1$đáp án
• B.$2$
• C.$-1$
• D.$-2$

Đạo hàm hai vế: $f'(x)=\dfrac{2f'(1)}{x}-\dfrac{1}{x^2}$. Thay $x=1$ ta được $f'(1)=2f'(1)-1$, suy ra $f'(1)=1$.

$$f'(1)=2f'(1)-1\Rightarrow f'(1)=1$$

Câu 24

Một chất điểm chuyển động thẳng. Quãng đường đi được sau $t$ giây tính từ điểm xuất phát là $s=\dfrac{4}{3}t^3-2t^2$. Thời điểm vận tốc bằng $0$ là:

• A.Sau $1$ giây
• B.Tại $0$ giây
• C.Cuối giây thứ $2$
• D.Tại $0$ giây hoặc cuối giây thứ $1$đáp án

Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $s'=4t^2-4t=4t(t-1)$. Cho $s'=0$ với $t\ge 0$ được $t=0$ hoặc $t=1$.

$$s'=4t^2-4t=4t(t-1)=0\Rightarrow t=0\ \vee\ t=1$$

Câu 25

Đạo hàm của hàm số $y=3x^2$ tại $x=1$ là:

• A.$2$
• B.$3$
• C.$6$đáp án
• D.$12$

Ta có $y'=6x$, thay $x=1$ được $y'(1)=6$.

$$y'=6x\Rightarrow y'(1)=6$$

Câu 26

Trên khoảng $|x|<1$, hàm số $f(x)=x^3-3x$:

• A.Có giá trị lớn nhất nhưng không có giá trị nhỏ nhất
• B.Có giá trị nhỏ nhất nhưng không có giá trị lớn nhất
• C.Không có giá trị lớn nhất cũng không có giá trị nhỏ nhấtđáp án
• D.Không có giá trị lớn nhất nhưng có cực đại

Ta có $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)<0$ với mọi $x\in(-1,1)$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng mở này. Khoảng mở không đạt được giá trị tại biên nên không có giá trị lớn nhất cũng không có giá trị nhỏ nhất.

$$f'(x)=3(x^2-1)<0,\ \forall x\in(-1,1)$$

Câu 27

Cho $f'(x)$ là đạo hàm của hàm số $f(x)=x^2-3x-5\ln x$. Tập nghiệm của bất phương trình $f'(x)>0$ là:

• A.$(0,+\infty)$
• B.$(-1,0)\cup\left(\dfrac{5}{2},+\infty\right)$
• C.$(-1,0)$
• D.$\left(\dfrac{5}{2},+\infty\right)$đáp án

Điều kiện xác định $x>0$. Ta có $f'(x)=2x-3-\dfrac{5}{x}=\dfrac{2x^2-3x-5}{x}=\dfrac{(2x-5)(x+1)}{x}$. Với $x>0$ thì $f'(x)>0\Leftrightarrow 2x-5>0\Leftrightarrow x>\dfrac{5}{2}$.

$$f'(x)=\dfrac{(2x-5)(x+1)}{x}>0,\ x>0\Rightarrow x>\dfrac{5}{2}$$

Câu 28

Cho biết hệ số góc $k$ của tiếp tuyến với đường cong $y=x^3$ tại điểm $P$ bằng $3$. Tọa độ điểm $P$ là $(\ \ )$

• A.$(1,1)$
• B.$(-1,1)$
• C.$(1,1)$ hoặc $(-1,-1)$đáp án
• D.$(2,8)$ hoặc $(-2,-8)$

Đạo hàm $y'=3x^2$. Cho $3x^2=3 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$. Thay vào $y=x^3$ được hai điểm $(1,1)$ và $(-1,-1)$.

$$y'=3x^2=3 \Rightarrow x=\pm 1$$

Câu 29

Cho $f(x)=\ln(2x+1)$. Khi đó $f'(x)=(\ \ )$

• A.$\dfrac{1}{2x+1}$
• B.$\dfrac{2}{2x+1}$đáp án
• C.$-\dfrac{1}{2x+1}$
• D.$-\dfrac{2}{2x+1}$

Đạo hàm hàm hợp $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ với $u=2x+1$, $u'=2$, nên $f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}$.

$$f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}$$

Câu 30

Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1}{x}$. Khi đó $f'(-3)$ bằng $(\ \ )$

• A.$4$
• B.$\dfrac{1}{9}$
• C.$-\dfrac{1}{4}$
• D.$-\dfrac{1}{9}$đáp án

Ta có $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$. Thay $x=-3$ được $f'(-3)=-\dfrac{1}{9}$.

$$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2},\ f'(-3)=-\dfrac{1}{9}$$

Câu 31

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ và thỏa mãn $f(x)=2xf'(1)+\ln x$. Khi đó $f'(1)=(\ \ )$.

• A.$1$
• B.$-\dfrac{1}{2}$
• C.$-1$đáp án
• D.$e$

Đạo hàm hai vế: $f'(x)=2f'(1)+\dfrac{1}{x}$. Thay $x=1$: $f'(1)=2f'(1)+1 \Rightarrow f'(1)=-1$.

$$f'(1)=2f'(1)+1 \Rightarrow f'(1)=-1$$

Câu 32

Nếu $\displaystyle\int_1^a\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)dx=3+\ln 2\ (a>1)$ thì giá trị của $a$ là $(\ \ )$.

• A.$2$đáp án
• B.$3$
• C.$4$
• D.$6$

$\displaystyle\int_1^a\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)dx=\big[x^2+\ln x\big]_1^a=a^2-1+\ln a$. Cho bằng $3+\ln 2$ được $a^2-1=3$ và $\ln a=\ln 2$, suy ra $a=2$.

$$a^2-1+\ln a=3+\ln 2 \Rightarrow a=2$$

Câu 33

Cho tiếp tuyến của đường cong $f(x)=x^3-\dfrac{1}{x}$ tại điểm $x=1$ vuông góc với đường thẳng $l$, và tam giác tạo bởi $l$ với hai nửa trục $Ox$, $Oy$ dương có diện tích bằng $2$. Phương trình đường thẳng $l$ là $(\ \ )$.

• A.$4x+y-4=0$
• B.$4x-y-4=0$
• C.$x-4y-4=0$
• D.$x+4y-4=0$đáp án

$f'(x)=3x^2+\dfrac{1}{x^2}$, $f'(1)=4$ là hệ số góc tiếp tuyến; $l$ vuông góc nên có hệ số góc $-\dfrac{1}{4}$, dạng $y=-\dfrac{1}{4}x+b$. Hai giao điểm trục là $x=4b$, $y=b$; diện tích $\dfrac{1}{2}(4b)(b)=2b^2=2 \Rightarrow b=1$. Vậy $l: x+4y-4=0$.

$$y=-\dfrac{1}{4}x+1 \Rightarrow x+4y-4=0$$

Câu 34

Cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)=\dfrac{x+a}{e^x}$ tại điểm $(1,f(1))$ song song với đường thẳng $x-ey+2=0$. Khi đó $a=(\ \ )$.

• A.$1$
• B.$-e$
• C.$e$
• D.$-1$đáp án

$f'(x)=\dfrac{1-x-a}{e^x}$, tại $x=1$ là $f'(1)=\dfrac{-a}{e}$. Đường thẳng có hệ số góc $\dfrac{1}{e}$; song song nên $\dfrac{-a}{e}=\dfrac{1}{e} \Rightarrow a=-1$.

$$\dfrac{-a}{e}=\dfrac{1}{e} \Rightarrow a=-1$$

Nâng cao

Câu 35nâng cao

Cho hàm số $f(x)=e^x+x^2+ax$ có giá trị nhỏ nhất trong khoảng $(0,1)$. Tìm khoảng giá trị của $a$.

• A.$(-e, -1)$
• B.$(-1, 0)$
• C.$(-e-2, -1)$đáp án
• D.$(-e, 0)$

$f'(x)=e^x+2x+a$, có $f''(x)=e^x+2>0$ nên $f'$ đồng biến. Để $f$ có cực tiểu trong $(0,1)$ cần $f'$ đổi dấu, tức $f'(0)<0$ và $f'(1)>0$: $1+a<0$ suy ra $a<-1$; $e+2+a>0$ suy ra $a>-e-2$. Vậy $a$ thuộc $(-e-2, -1)$. (Đáp án nguồn ghi B không khớp; đáp án đúng là C.)

$$f'(0)=1+a<0,\ f'(1)=e+2+a>0\Rightarrow a\in(-e-2,-1)$$

Câu 36nâng cao

Cho dãy $\{c_n\}$ là cấp số nhân với $c_1=1$ và $c_{2022}=4$. Hàm số $f(x)=x(x-c_1)(x-c_2)\dots(x-c_{2022})$ và $f'(x)$ là đạo hàm của $f(x)$. Tính $f'(0)$.

• A.$2^{505}$
• B.$2^{1011}$
• C.$2^{2022}$đáp án
• D.$2^{4020}$

Viết $f(x)=x\cdot g(x)$ với $g(x)=(x-c_1)\dots(x-c_{2022})$. Khi đó $f'(0)=g(0)=$ tích của $(0-c_i)=(-1)^{2022}\cdot(c_1\cdot c_2\cdot\dots\cdot c_{2022})=c_1\cdot c_2\cdot\dots\cdot c_{2022}$. Ghép cặp đối xứng $c_k\cdot c_{2023-k}=c_1\cdot c_{2022}=4$, có $1011$ cặp, nên tích $=4^{1011}=2^{2022}$.

$$f'(0)=\prod_{i=1}^{2022}c_i=(c_1c_{2022})^{1011}=4^{1011}=2^{2022}$$

Câu 37nâng cao

Cho $x_0\ (x_0\ne 0)$ là điểm cực đại của hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$. Kết luận nào sau đây là SAI? $(\ \ )$.

• A.$\exists x\in\mathbb{R},\ f(x)>f(x_0)$
• B.$f(x)$ chắc chắn có một điểm cực tiểu
• C.Nếu $a=0$ thì $-x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$
• D.Nếu $b=0$ thì $a<0$đáp án

Khi $b=0$, $f'(x)=3x^2+2ax=x(3x+2a)$ có hai nghiệm $0$ và $-\dfrac{2a}{3}$. Vì $x_0\ne 0$ là cực đại (nghiệm nhỏ hơn của $f'$), suy ra $-\dfrac{2a}{3}<0$ nên $a>0$. Do đó D nói $a<0$ là kết luận sai.

$$f'(x)=x(3x+2a)\Rightarrow a>0$$

Câu 38nâng cao

Cho hai hàm số $g(x)=\ln x+\dfrac{3}{4x}-\dfrac{1}{4}x-1$ và $f(x)=x^2-2tx+4$. Nếu với mọi $x_1\in(0,2)$ tồn tại $x_2\in[1,2]$ sao cho $g(x_1)\ge f(x_2)$, thì tập giá trị của tham số thực $t$ là $(\ \ )$.

• A.$\left[2,\dfrac{17}{8}\right]$
• B.$\left[\dfrac{17}{8},+\infty\right)$đáp án
• C.$[2,+\infty)$
• D.$[1,+\infty)$

Điều kiện tương đương $\min_{(0,2)}g\ge \min_{[1,2]}f$. Ta có $g'(x)=\dfrac{-(x-1)(x-3)}{4x^2}$ nên $g$ giảm trên $(0,1)$, tăng trên $(1,2)$, suy ra $\min g=g(1)=-\dfrac{1}{2}$. Xét $f$ theo vị trí đỉnh $t$: chỉ trường hợp $t>2$ cho $\min f=f(2)=8-4t\le-\dfrac{1}{2}$, tức $t\ge\dfrac{17}{8}$.

$$g(1)=-\tfrac{1}{2},\ 8-4t\le-\tfrac{1}{2}\Rightarrow t\ge\tfrac{17}{8}$$

Câu 39nâng cao

Cho hàm số $f(x)$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và $f'(x)+f(x)=2xe^{-x}$. Nếu $f(0)=1$, thì tập giá trị của hàm số $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ là $(\ \ )$.

• A.$[-2,0]$đáp án
• B.$[-1,0]$
• C.$[0,1]$
• D.$[0,2]$

Nhân hai vế với $e^x$: $(e^xf)'=2x$ nên $e^xf=x^2+C$. Từ $f(0)=1$ suy ra $C=1$, tức $f(x)=(x^2+1)e^{-x}$ và $f'(x)=-(x-1)^2e^{-x}$. Khi đó $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=-\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}=-\left(1-\dfrac{2x}{x^2+1}\right)$. Vì $\dfrac{2x}{x^2+1}\in[-1,1]$ nên giá trị thuộc $[-2,0]$.

$$\frac{f'(x)}{f(x)}=-\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\in[-2,0]$$

Câu 40nâng cao

Cho hàm số $f(x)=\dfrac{e^x}{x}+x^2-2x-a\ (x>0)$. Nếu $f(x)\ge 0$ đúng với mọi $x>0$, thì tập giá trị của $a$ là $(\ \ )$.

• A.$(3,+\infty)$
• B.$(e-1,+\infty)$
• C.$(-\infty,e-1]$đáp án
• D.$(-\infty,0]$

Ta có $f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}+2(x-1)=(x-1)\left(\dfrac{e^x}{x^2}+2\right)$. Vì $\dfrac{e^x}{x^2}+2>0$ với $x>0$, hàm giảm trên $(0,1)$ và tăng trên $(1,+\infty)$, đạt cực tiểu tại $x=1$: $f(1)=e-1-a$. Yêu cầu $f(1)\ge 0$ cho $a\le e-1$.

$$f(1)=e-1-a\ge0\Rightarrow a\le e-1$$

Câu 41nâng cao

Cho đồ thị hàm số $f(x)=x^3-px^2-qx$ tiếp xúc với trục $x$ tại điểm $(1,0)$. Khi đó $f(x)$ có $(\ \ )$.

• A.Giá trị cực đại là $\dfrac{4}{27}$, giá trị cực tiểu là $0$đáp án
• B.Giá trị cực đại là $0$, giá trị cực tiểu là $-\dfrac{4}{27}$
• C.Giá trị cực tiểu là $-\dfrac{5}{27}$, giá trị cực đại là $0$
• D.Giá trị cực tiểu là $0$, giá trị cực đại là $\dfrac{5}{27}$

Từ $f(1)=0$ và $f'(1)=0$ giải được $p=2,\ q=-1$, nên $f(x)=x^3-2x^2+x$. Khi đó $f'(x)=(3x-1)(x-1)$ có nghiệm $x=\dfrac{1}{3}$ và $x=1$. Tính $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{27}$ (cực đại) và $f(1)=0$ (cực tiểu).

$$p=2,\ q=-1;\ f(\tfrac13)=\tfrac{4}{27},\ f(1)=0$$

Câu 42nâng cao

Cho hàm số $f(x)=x(x+1)(x+2)\cdots(x+2014)$. Khi đó $f'(0)$ bằng:

• A.$0$
• B.$1$
• C.$2014$
• D.$1\times 2\times 3\times\cdots\times 2014$đáp án

Áp dụng quy tắc đạo hàm tích. Khi thay $x=0$, mọi số hạng chứa thừa số $x$ đều triệt tiêu, chỉ còn số hạng đạo hàm thừa số $x$ rồi thay $x=0$ vào phần còn lại. Do đó $f'(0)=(0+1)(0+2)\cdots(0+2014)=2014!$.

$$f'(0)=1\times 2\times 3\times\cdots\times 2014=2014!$$

Câu 43nâng cao

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ thỏa mãn $f(x)=2xf'(e)+\ln x$. Khi đó $f'(e)$ bằng:

• A.$1$
• B.$-\dfrac{1}{e}$đáp án
• C.$-1$
• D.$-e$

Đạo hàm hai vế: $f'(x)=2f'(e)+\dfrac{1}{x}$. Thay $x=e$ ta được $f'(e)=2f'(e)+\dfrac{1}{e}$, suy ra $f'(e)=-\dfrac{1}{e}$.

$$f'(e)=2f'(e)+\dfrac{1}{e}\Rightarrow f'(e)=-\dfrac{1}{e}$$

Câu 44nâng cao

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ thỏa mãn $f(x)=2xf'(e)+\ln x$. Khi đó $f'(e)$ bằng:

• A.$1$
• B.$-\dfrac{1}{e}$đáp án
• C.$-1$
• D.$-e$

Đạo hàm hai vế: $f'(x)=2f'(e)+\dfrac{1}{x}$. Thay $x=e$ ta được $f'(e)=2f'(e)+\dfrac{1}{e}$, suy ra $f'(e)=-\dfrac{1}{e}$.

$$f'(e)=2f'(e)+\dfrac{1}{e}\Rightarrow f'(e)=-\dfrac{1}{e}$$

Câu 45nâng cao

Cho hàm số $f(x)=(x-a)(x-2022)(x-2021)(x-2020)$ và $f'(2022)=-4$. Số thực $a$ bằng:

• A.$2024$đáp án
• B.$2023$
• C.$-2023$
• D.$-2024$

Đặt $g(x)=(x-a)(x-2021)(x-2020)$ thì $f(x)=g(x)(x-2022)$ và $f'(x)=g'(x)(x-2022)+g(x)$. Tại $x=2022$: $f'(2022)=g(2022)=(2022-a)\cdot 1\cdot 2=2(2022-a)=-4$, suy ra $a=2024$.

$$f'(2022)=g(2022)=2(2022-a)=-4\Rightarrow a=2024$$

Câu 46nâng cao

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f(x+4)=f(-x)$ và $(x-2)f'(x)<0$. Khi đó với mọi $x_1<x_2$, mệnh đề "$f(x_1)<f(x_2)$" là điều kiện $(\ \ )$ của "$x_1+x_2<4$".

• A.Đủ nhưng không cần
• B.Cần nhưng không đủ
• C.Cần và đủđáp án
• D.Không cần cũng không đủ

$f(x+4)=f(-x)$ cho đồ thị đối xứng qua $x=2$; $(x-2)f'(x)<0$ nên $f$ tăng khi $x<2$, giảm khi $x>2$, đạt cực đại tại $x=2$. Khi đó $f(x_1)<f(x_2) \iff |x_1-2|>|x_2-2| \iff (x_1-x_2)(x_1+x_2-4)>0$. Vì $x_1<x_2$ nên tương đương $x_1+x_2<4$: điều kiện cần và đủ.

$$(x_1-x_2)(x_1+x_2-4)>0 \iff x_1+x_2<4$$

Câu 47nâng cao

Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ có đạo hàm $f'(x)$ không có nghiệm, và với mọi $x\in\mathbb{R}$ thỏa $f(f(x)+x^3)=2$. Nếu hàm số $g(x)=f(x)-kx$ đồng biến/nghịch biến cùng chiều với $f(x)$ trên $[-1,1]$ thì tập giá trị của $k$ là $(\ \ )$.

• A.$[0,+\infty)$đáp án
• B.$(-\infty,-3]$
• C.$(-\infty,0]$
• D.$[-3,+\infty)$

Vì $f$ đơn điệu nghiêm ngặt (đơn ánh) và $f(f(x)+x^3)=2$ không đổi nên $f(x)+x^3=c$ hằng, suy ra $f(x)=c-x^3$ (nghịch biến). Khi đó $g'(x)=-3x^2-k$; để $g$ cùng nghịch biến trên $[-1,1]$ cần $-3x^2-k\le 0$ với mọi $x$, tức $k\ge -3x^2$. Giá trị lớn nhất của $-3x^2$ trên $[-1,1]$ là $0$, nên $k\ge 0$.

$$g'(x)=-3x^2-k\le 0\ \forall x\in[-1,1] \Rightarrow k\ge 0$$

Câu 48nâng cao

Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong $y=3(x^2+ax)e^x$ tại điểm $(0,f(0))$ bằng $3$. Khi đó $a=(\ \ )$.

• A.$1$đáp án
• B.$e$
• C.$3$
• D.$3e$

$y'=3e^x\,[x^2+(a+2)x+a]$. Tại $x=0$: $y'(0)=3a$. Cho $3a=3 \Rightarrow a=1$.

$$y'(0)=3a=3 \Rightarrow a=1$$

Câu 49nâng cao

Cho đường cong $y=e^{2ax}$ (với $e=2.718\ldots$ là cơ số logarit tự nhiên). Nếu tứ giác tạo bởi tiếp tuyến tại điểm $(0,1)$, đường thẳng $2x-y-1=0$ và hai nửa trục tọa độ dương có đường tròn ngoại tiếp thì $a=(\ \ )$.

• A.$-1$
• B.$-\dfrac{1}{4}$đáp án
• C.$\dfrac{1}{4}$
• D.$1$

$y'=2a e^{2ax}$, tại $(0,1)$ hệ số góc tiếp tuyến là $2a$. Tứ giác nội tiếp được khi tiếp tuyến vuông góc với đường $2x-y-1=0$ (hệ số góc $2$), tức $2a\cdot 2=-1 \Rightarrow a=-\dfrac{1}{4}$.

$$2a \cdot 2 = -1 \Rightarrow a=-\dfrac{1}{4}$$

Câu 50nâng cao

Trong các hàm số sau, hàm nào nghịch biến trên khoảng $(1,+\infty)$? $(\ \ )$.

• A.$f(x)=\sqrt{x}$
• B.$f(x)=e^{-x}$đáp án
• C.$f(x)=x+\dfrac{1}{x}$
• D.$f(x)=\ln x$

$e^{-x}$ có $f'(x)=-e^{-x}<0$ nên nghịch biến. Còn $\sqrt{x}$, $\ln x$ đồng biến; $x+\dfrac{1}{x}$ có $f'=1-\dfrac{1}{x^2}>0$ khi $x>1$ nên đồng biến.

$$f'(x)=-e^{-x}<0$$

Câu 51nâng cao

Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=x\ln(2x+5)$ tại điểm $x=-2$ là $(\ \ )$.

• A.$4x-y+8=0$
• B.$4x+y+8=0$đáp án
• C.$3x-y+6=0$
• D.$3x+y+6=0$

$y'=\ln(2x+5)+\dfrac{2x}{2x+5}$. Tại $x=-2$: $2x+5=1$, $\ln 1=0$ nên $y'(-2)=-4$; tiếp điểm $(-2,0)$. Tiếp tuyến $y=-4(x+2) \Rightarrow 4x+y+8=0$.

$$y=-4(x+2) \Rightarrow 4x+y+8=0$$

Câu 52nâng cao

Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}-x+2, & x\le 2\\ \sqrt{1-(x-3)^2}, & 2<x\le 4\end{cases}$. Giá trị của tích phân $\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x)\,dx$ là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{9+4\pi}{8}$đáp án
• B.$\dfrac{1+4\pi}{4}$
• C.$\dfrac{1+\pi}{2}$
• D.$\dfrac{3+2\pi}{4}$

Tách hai đoạn: $\displaystyle\int_{1/2}^{2}(-x+2)dx=\dfrac{9}{8}$; đoạn $\sqrt{1-(x-3)^2}$ trên $[2,4]$ là nửa hình tròn bán kính $1$ có diện tích $\dfrac{\pi}{2}$. Tổng $\dfrac{9}{8}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{9+4\pi}{8}$.

$$\dfrac{9}{8}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{9+4\pi}{8}$$

Câu 53nâng cao

Cho $a=\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx$. Số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức $\left(a\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^6$ là $(\ \ )$.

• A.$160$
• B.$20$
• C.$-20$
• D.$-160$đáp án

$a=\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx=2$. Số hạng tổng quát $\binom{6}{k}2^{6-k}(-1)^k x^{3-k}$; số hạng không chứa $x$ ứng với $k=3$: $\binom{6}{3}2^{3}(-1)^3=-160$.

$$\binom{6}{3}2^{3}(-1)^3=-160$$