Mạch Kinh Tế

Appearance

Trắc nghiệm — Hình không gian ​

Bộ câu hỏi trắc nghiệm cho cụm Hình không gian, rút từ đề thật và phân theo chủ đề con. Phần lý thuyết xem ở đây.

  • Làm thử — bấm từng đáp rồi kiểm tra, có lời giải ngay.
  • Theo chủ đề — phần dưới liệt kê toàn bộ câu theo cây chủ đề con; câu nâng cao (cho học sinh giỏi) tách riêng cuối mỗi chủ đề.

Làm thử từng câu ​

Hình không gianCâu 1 / 42 · Điểm 0 / 0

Khối nào sau đây không phải là khối tròn xoay?

Toàn bộ câu hỏi theo chủ đề ​

Hình không gian — 42 câu42 câu

Khối và hình khai triển

Câu 1

Khối nào sau đây không phải là khối tròn xoay?

  • A.Hình trụ
  • B.Hình lăng trụđáp án
  • C.Hình cầu
  • D.Hình nón cụt

Hình trụ, hình cầu, hình nón cụt đều sinh ra bằng cách quay một hình phẳng quanh một trục nên là khối tròn xoay. Hình lăng trụ không sinh bằng phép quay nên không phải khối tròn xoay.

Câu 2

Phát biểu nào sau đây là đúng?

  • A.Khối tròn xoay sinh ra khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông là hình nónđáp án
  • B.Phần khối nằm giữa hai mặt cắt của một hình trụ vẫn là một khối tròn xoay
  • C.Phần còn lại của một hình nón sau khi cắt bỏ một hình nón nhỏ là hình nón cụt
  • D.Qua một điểm bất kỳ trên mặt xung quanh của một hình trụ cụt, có vô số đường sinh

Quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông tạo ra hình nón (cạnh góc vuông là trục, cạnh kia là bán kính đáy). Đáp án A đúng.

Câu 3

Một hình nón có bán kính đáy 22 và đáy nằm ngang được cắt bởi một mặt phẳng đi qua trung điểm của đường cao và song song với đáy. Diện tích của thiết diện tròn thu được là (  )(\ \ ).

  • A.π\piđáp án
  • B.2π2\pi
  • C.3π3\pi
  • D.4π4\pi

Theo tam giác đồng dạng, bán kính thiết diện bằng 2×12=12 \times \dfrac{1}{2} = 1. Diện tích thiết diện là πr2=π⋅12=π\pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi.

S=π(2⋅12)2=πS = \pi \left(2 \cdot \tfrac{1}{2}\right)^2 = \pi

Câu 4

Cho chu vi đáy của một hình nón là 2π2\pi và góc ở tâm của hình khai triển mặt xung quanh là 23π\dfrac{2}{3}\pi. Chiều cao của hình nón là (  )(\ \ ).

  • A.33
  • B.222\sqrt{2}đáp án
  • C.11
  • D.2\sqrt{2}

Chu vi đáy 2πr=2π2\pi r = 2\pi nên r=1r = 1. Độ dài cung khai triển bằng chu vi đáy: l⋅23π=2π⇒l=3l \cdot \dfrac{2}{3}\pi = 2\pi \Rightarrow l = 3. Chiều cao h=l2−r2=9−1=22h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{9 - 1} = 2\sqrt{2}.

h=l2−r2=32−12=22h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}

Câu 5

Nếu diện tích xung quanh của một hình nón bằng 23\dfrac{2}{3} diện tích toàn phần của nó, thì góc ở tâm của hình khai triển mặt xung quanh là (  )(\ \ ).

  • A.2π3\dfrac{2\pi}{3}
  • B.π\piđáp án
  • C.2π2\pi
  • D.Không đáp án nào ở trên

Đặt bán kính đáy rr, đường sinh ll. Diện tích xung quanh πrl=23(πrl+πr2)⇒3l=2l+2r⇒l=2r\pi r l = \dfrac{2}{3}(\pi r l + \pi r^2) \Rightarrow 3l = 2l + 2r \Rightarrow l = 2r. Góc ở tâm =2πrl=2πr2r=π= \dfrac{2\pi r}{l} = \dfrac{2\pi r}{2r} = \pi.

θ=2πrl=2πr2r=π\theta = \frac{2\pi r}{l} = \frac{2\pi r}{2r} = \pi

Câu 6

Nếu đường kính đáy và đường sinh của một hình nón đều bằng đường kính của một hình cầu, thì tỉ số diện tích toàn phần của hình nón với diện tích mặt cầu là (  )(\ \ ).

  • A.34\dfrac{\sqrt{3}}{4}
  • B.12\dfrac{1}{2}
  • C.34\dfrac{3}{4}đáp án
  • D.334\dfrac{3\sqrt{3}}{4}

Đặt bán kính cầu RR. Khi đó bán kính đáy nón r=Rr = R, đường sinh l=2Rl = 2R. Diện tích toàn phần nón =πrl+πr2=2πR2+πR2=3πR2= \pi r l + \pi r^2 = 2\pi R^2 + \pi R^2 = 3\pi R^2. Diện tích mặt cầu =4πR2= 4\pi R^2. Tỉ số =34= \dfrac{3}{4}.

3πR24πR2=34\frac{3\pi R^2}{4\pi R^2} = \frac{3}{4}

Câu 7

Nếu cạnh đáy của một hình chóp tam giác đều là aa và ba cạnh bên đôi một vuông góc với nhau, thì diện tích xung quanh của nó là (  )(\ \ ).

  • A.34a2\dfrac{3}{4}a^2đáp án
  • B.34a2\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2
  • C.32a2\dfrac{3}{2}a^2
  • D.3a23a^2

Ba cạnh bên bằng nhau đôi một vuông góc, độ dài bb, cạnh đáy b2=a⇒b2=a22b\sqrt{2} = a \Rightarrow b^2 = \dfrac{a^2}{2}. Mỗi mặt bên là tam giác vuông cân diện tích 12b2=a24\dfrac{1}{2}b^2 = \dfrac{a^2}{4}. Ba mặt: 3×a24=34a23 \times \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3}{4}a^2.

S=3⋅12b2=3⋅12⋅a22=34a2S = 3 \cdot \frac{1}{2} b^2 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{3}{4}a^2

Câu 8

Về hình lăng trụ, phát biểu đúng là (  )(\ \ ).

  • A.Hai đáy không nhất thiết đồng dạng
  • B.Các mặt bên đều là hình thang bằng nhau
  • C.Độ dài các cạnh bên nhất thiết bằng nhauđáp án
  • D.Các cạnh bên kéo dài cắt nhau tại một điểm

Lăng trụ có hai đáy là đa giác bằng nhau (A sai), các mặt bên là hình bình hành (B sai), các cạnh bên song song và bằng nhau nên không cắt nhau (D sai). Phát biểu đúng: độ dài các cạnh bên bằng nhau.

Câu 9

Phát biểu nào sau đây là KHÔNG đúng? (  )(\ \ ).

  • A.Một khối đa diện có ít nhất bốn mặt
  • B.Hình lăng trụ lục giác có 66 cạnh bên, 66 mặt bên, mỗi mặt là hình bình hành
  • C.Hình hộp chữ nhật và hình lập phương đều là hình lăng trụ
  • D.Các mặt bên của hình lăng trụ tam giác là tam giácđáp án

A, B, C đều đúng. Mặt bên của hình lăng trụ tam giác là hình bình hành (đáy mới là tam giác), nên D sai.

Câu 10

Số tam giác đều có chung một đỉnh tối đa có thể ghép lại làm các mặt bên của một hình chóp là (  )(\ \ ).

  • A.33
  • B.44
  • C.55đáp án
  • D.66

Tổng các góc tại đỉnh chung phải nhỏ hơn 360∘360^\circ. Mỗi tam giác đều góp 60∘60^\circ, nên 60n<360⇒n<6⇒n=560n < 360 \Rightarrow n < 6 \Rightarrow n = 5.

60∘⋅n<360∘⇒n≤560^\circ \cdot n < 360^\circ \Rightarrow n \le 5

Câu 11

Diện tích đáy của hình trụ tạo bởi việc quay một hình chữ nhật có chiều dài 88 cm và chiều rộng 66 cm quanh một cạnh của nó là (  )(\ \ ).

  • A.64π cm264\pi\,\text{cm}^2
  • B.36π cm236\pi\,\text{cm}^2
  • C.64π cm264\pi\,\text{cm}^2 hoặc 36π cm236\pi\,\text{cm}^2đáp án
  • D.48π cm248\pi\,\text{cm}^2

Có hai trường hợp. Quay quanh cạnh dài 88: bán kính 66, diện tích đáy 36π36\pi. Quay quanh cạnh rộng 66: bán kính 88, diện tích đáy 64π64\pi. Vậy kết quả là 64π64\pi hoặc 36π36\pi.

S=π⋅62=36π∨S=π⋅82=64πS = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \quad \lor \quad S = \pi \cdot 8^2 = 64\pi

Câu 12

Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy trên và dưới lần lượt là 22 và 44, chiều cao 3\sqrt{3}. Diện tích xung quanh của nó là (  )(\ \ ).

  • A.2020
  • B.2424đáp án
  • C.12312\sqrt{3}
  • D.24324\sqrt{3}

Khoảng lệch ngang giữa hai trung điểm cạnh đáy là 4−22=1\dfrac{4-2}{2} = 1. Trung đoạn (chiều cao mặt bên) l=h2+12=3+1=2l = \sqrt{h^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2. Mỗi mặt bên là hình thang diện tích (2+4)2⋅2=6\dfrac{(2+4)}{2} \cdot 2 = 6. Bốn mặt: 4×6=244 \times 6 = 24.

Sxq=4⋅2+42⋅2=24S_{xq} = 4 \cdot \frac{2+4}{2} \cdot 2 = 24

Câu 13

Nếu diện tích toàn phần của một hình lập phương là 7272, thì độ dài đường chéo của nó là (  )(\ \ ).

  • A.232\sqrt{3}
  • B.1212
  • C.6\sqrt{6}
  • D.66đáp án

Đặt cạnh xx: 6x2=72⇒x2=126x^2 = 72 \Rightarrow x^2 = 12. Đường chéo a=x3a = x\sqrt{3}, a2=3x2=36⇒a=6a^2 = 3x^2 = 36 \Rightarrow a = 6.

a=3x2=3⋅12=6a = \sqrt{3x^2} = \sqrt{3 \cdot 12} = 6

Câu 14

Các hình dưới đây đều là hình khai triển bề mặt của các khối lập phương. Sau khi gấp lại thành lập phương, hai hình nào giống hệt nhau? (  )(\ \ )

  • A.(1) và (2)
  • B.(2) và (3)đáp án
  • C.(3) và (4)
  • D.(1) và (4)

Xác định nhãn các cặp mặt đối diện sau khi gấp từng hình khai triển thành lập phương, rồi so sánh thứ tự sắp xếp các mặt để tìm hai hình trùng nhau.

Câu 15

Một khối đa diện có hai mặt song song thì không thể là (  )(\ \ ).

  • A.Hình lăng trụ
  • B.Hình chópđáp án
  • C.Hình chóp cụt
  • D.Hình trụ

Hình lăng trụ và hình chóp cụt đều có hai mặt đáy song song. Hình chóp chỉ có một mặt đáy, đỉnh là một điểm nên không có cặp mặt song song. Vậy đáp án là hình chóp.

Câu 16

Số mệnh đề đúng trong các phát biểu về hình lăng trụ là (  )(\ \ ).

  • A.11đáp án
  • B.22
  • C.33
  • D.44

Lần lượt xét tính đúng sai của từng phát biểu dựa trên đặc điểm cấu trúc của hình lăng trụ (hai đáy song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành) để đếm số mệnh đề đúng.

Câu 17

Trong hình lăng trụ tam giác A1B1C1-ABCA_1B_1C_1\text{-}ABC, G và H lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó GHGH và B1C1B_1C_1 (  )(\ \ ).

  • A.cắt nhau
  • B.chéo nhau
  • C.song songđáp án
  • D.vuông góc

GH là đường trung bình của tam giác ABC nên GH∥BCGH\parallel BC. Trong lăng trụ ta có BC∥B1C1BC\parallel B_1C_1. Theo tính chất bắc cầu, GH∥B1C1GH\parallel B_1C_1.

Câu 18

Nếu hình chiếu đứng (front view) của một khối hình là một tam giác, thì khối đó không thể là (  )(\ \ ).

  • A.Hình trụđáp án
  • B.Hình nón
  • C.Tứ diện
  • D.Hình lăng trụ tam giác

Hình nón có hình chiếu đứng là tam giác, tứ diện và lăng trụ tam giác cũng có thể cho hình chiếu đứng tam giác. Riêng hình trụ luôn có hình chiếu đứng là hình chữ nhật nên không thể là tam giác.

Nâng cao

Câu 19nâng cao

Một khối hộp chữ nhật có các cạnh a,b,ca, b, c với thể tích bằng 88 và diện tích toàn phần bằng 3232, thỏa mãn điều kiện b2=acb^2 = ac. Tổng độ dài tất cả các cạnh của khối hộp bằng bao nhiêu?

  • A.2828
  • B.4040
  • C.3636
  • D.3232đáp án

Từ b2=acb^2 = ac và abc=8abc = 8 suy ra b3=b⋅(ac)=b⋅b2=8b^3 = b \cdot (ac) = b \cdot b^2 = 8, nên b=2b = 2 và ac=b2=4ac = b^2 = 4. Diện tích toàn phần 2(ab+bc+ac)=322(ab+bc+ac) = 32 nên ab+bc+ac=16ab+bc+ac = 16, suy ra b(a+c)+ac=16b(a+c) + ac = 16, tức 2(a+c)+4=162(a+c) + 4 = 16, nên a+c=6a+c = 6. Tổng độ dài cạnh =4(a+b+c)=4(6+2)=32= 4(a+b+c) = 4(6+2) = 32.

4(a+b+c)=4(6+2)=324(a+b+c)=4(6+2)=32

Câu 20nâng cao

Nếu một mặt phẳng cắt một hình lập phương tạo thành thiết diện là tam giác, thì tam giác đó không thể là loại nào?

  • A.Tam giác đều
  • B.Tam giác cân
  • C.Tam giác vuôngđáp án
  • D.Tam giác nhọn

Thiết diện tam giác cắt ba cạnh chung một đỉnh, với các đoạn a,b,ca, b, c trên ba cạnh vuông góc nhau thì ba cạnh thiết diện là a2+b2\sqrt{a^2+b^2}, b2+c2\sqrt{b^2+c^2}, a2+c2\sqrt{a^2+c^2}. Mọi góc đều nhọn vì cos⁡\cos góc lớn nhất =2b22pq>0= \dfrac{2b^2}{2pq} > 0, nên tam giác luôn nhọn và không thể vuông. Tam giác đều (khi a=b=ca=b=c) lại hoàn toàn dựng được, nên đáp án nguồn A là sai; đáp án đúng là C (tam giác vuông).

cos⁡θ=2b22pq>0\cos\theta=\dfrac{2b^2}{2pq}>0

Câu 21nâng cao

Các đỉnh của một tứ diện trong hệ tọa độ Descartes trong không gian lần lượt là (0,0,1)(0,0,1), (1,0,0)(1,0,0), (0,1,0)(0,1,0) và (1,1,1)(1,1,1). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện này là (  )(\ \ ).

  • A.π\pi
  • B.2π2\pi
  • C.3π3\piđáp án
  • D.4π4\pi

Bốn đỉnh tạo thành tứ diện đều nội tiếp trong khối lập phương đơn vị; mặt cầu ngoại tiếp trùng với mặt cầu ngoại tiếp lập phương, đường kính là đường chéo 3\sqrt{3}, nên R=32R = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Diện tích S=4πR2=4π⋅34=3πS = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{3}{4} = 3\pi.

S=4πR2=π(2R)2=π(3)2=3πS = 4\pi R^2 = \pi (2R)^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi

Câu 22nâng cao

Cho hình nón cụt có bán kính hai đáy trên và dưới lần lượt là 11 và 22, diện tích xung quanh là 35π3\sqrt{5}\pi. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón cụt này là (  )(\ \ ).

  • A.1055\dfrac{\sqrt{105}}{5}
  • B.654\dfrac{\sqrt{65}}{4}đáp án
  • C.1854\dfrac{\sqrt{185}}{4}
  • D.1054\dfrac{\sqrt{105}}{4}

Diện tích xung quanh π(r1+r2)l=3πl=35π⇒l=5\pi(r_1 + r_2)l = 3\pi l = 3\sqrt{5}\pi \Rightarrow l = \sqrt{5}. Chiều cao h=l2−(r2−r1)2=5−1=2h = \sqrt{l^2 - (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{5 - 1} = 2. Tâm cầu cách đáy dưới z0z_0: 4+z02=1+(2−z0)2⇒z0=144 + z_0^2 = 1 + (2 - z_0)^2 \Rightarrow z_0 = \dfrac{1}{4}, suy ra R2=4+116=6516R^2 = 4 + \dfrac{1}{16} = \dfrac{65}{16}, R=654R = \dfrac{\sqrt{65}}{4}.

R=22+(14)2=654R = \sqrt{2^2 + \left(\tfrac{1}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{65}}{4}

Câu 23nâng cao

Trong hình lập phương ABCD-A1B1C1D1ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1, nếu EE và FF lần lượt là trung điểm của các cạnh AA1AA_1 và CC1CC_1, thì tứ giác BED1FBED_1F là (  )(\ \ ).

  • A.Hình bình hành
  • B.Hình chữ nhật
  • C.Hình thoiđáp án
  • D.Hình vuông

Với cạnh lập phương bằng 11: bốn cạnh BE=ED1=D1F=FB=52BE = ED_1 = D_1F = FB = \dfrac{\sqrt{5}}{2} nên là hình thoi. Kiểm tra góc: BE⃗⋅BF⃗=14≠0\vec{BE}\cdot\vec{BF} = \dfrac{1}{4} \neq 0 nên không vuông, tức không phải hình vuông. Đáp án chính xác nhất là hình thoi.

BE=ED1=D1F=FB=52,BE⃗⋅BF⃗≠0BE = ED_1 = D_1F = FB = \tfrac{\sqrt{5}}{2},\quad \vec{BE}\cdot\vec{BF} \neq 0

Câu 24nâng cao

Cho hình khai triển mặt xung quanh của một hình nón cụt là một nửa vành khăn với diện tích xung quanh 4π4\pi. Giá trị tuyệt đối của hiệu diện tích hai đáy trên và dưới là (  )(\ \ ).

  • A.π\pi
  • B.2π2\piđáp án
  • C.4π4\pi
  • D.8π8\pi

Góc khai triển là π\pi (nửa). Cung của hai vòng tròn: 2πr=πρ1,2πR=πρ22\pi r = \pi \rho_1, 2\pi R = \pi \rho_2 nên ρ1=2r,ρ2=2R\rho_1 = 2r, \rho_2 = 2R. Diện tích nửa vành khăn 12π(ρ22−ρ12)=2π(R2−r2)=4π⇒R2−r2=2\dfrac{1}{2}\pi(\rho_2^2 - \rho_1^2) = 2\pi(R^2 - r^2) = 4\pi \Rightarrow R^2 - r^2 = 2. Hiệu diện tích đáy =π(R2−r2)=2π= \pi(R^2 - r^2) = 2\pi.

π(R2−r2)=2π\pi(R^2 - r^2) = 2\pi

Câu 25nâng cao

Cho hai điểm cố định A, B trên mặt phẳng, quỹ tích các điểm P thỏa ∣PA∣∣PB∣=λ\dfrac{|PA|}{|PB|}=\lambda (với λ>0\lambda>0 và λ≠1\lambda\ne 1) là một đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng AB và bán kính ∣λ1−λ2∣⋅∣AB∣\left|\dfrac{\lambda}{1-\lambda^2}\right|\cdot|AB|. Quỹ tích này được nhà toán học Hy Lạp cổ đại Apollonius phát hiện đầu tiên nên gọi là đường tròn Apollonius. Cho điểm P di động trên mặt ABB1A1ABB_1A_1 của hình lập phương ABCD-A1B1C1D1ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1 cạnh 66, thỏa ∣PA∣=2∣PB∣|PA|=2|PB|. Độ dài quỹ tích của điểm P là (  )(\ \ ).

  • A.8π3\dfrac{8\pi}{3}
  • B.4π3\dfrac{4\pi}{3}đáp án
  • C.3 π\sqrt{3}\,\pi
  • D.15 π2\dfrac{\sqrt{15}\,\pi}{2}

Trên mặt ABB1A1ABB_1A_1 đặt A=(0,0)A=(0,0), B=(6,0)B=(6,0). Điều kiện ∣PA∣=2∣PB∣|PA|=2|PB| tức PA2=4PB2PA^2=4PB^2 cho (x−8)2+y2=16(x-8)^2+y^2=16: đường tròn tâm (8,0)(8,0) bán kính 44. Phần nằm trong hình vuông cạnh 66 là cung từ (4,0)(4,0) đến (6,23)(6,2\sqrt{3}), ứng với góc ở tâm 60∘=π360^\circ=\dfrac{\pi}{3}. Độ dài cung =4⋅π3=4π3=4\cdot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}.

(x−8)2+y2=16,L=4⋅π3=4π3(x-8)^2+y^2=16,\quad L=4\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}

Câu 26nâng cao

Trong hệ tọa độ không gian O-xyzO\text{-}xyz, cho A(2,0,0)A(2,0,0), B(0,2,0)B(0,2,0), C(0,0,2)C(0,0,2), D(2,2,2)D(2,2,2). Thể tích của tứ diện ABCDABCD là (  )(\ \ ).

  • A.43\dfrac{4}{3}
  • B.83\dfrac{8}{3}đáp án
  • C.163\dfrac{16}{3}
  • D.643\dfrac{64}{3}

Dùng công thức V=16∣det⁡[AB⃗,AC⃗,AD⃗]∣V=\dfrac{1}{6}\bigl|\det[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]\bigr| với AB⃗=(−2,2,0)\vec{AB}=(-2,2,0), AC⃗=(−2,0,2)\vec{AC}=(-2,0,2), AD⃗=(0,2,2)\vec{AD}=(0,2,2). Định thức bằng 1616, nên V=166=83V=\dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3}.

V=16∣det⁡[AB⃗,AC⃗,AD⃗]∣=166=83V=\frac{1}{6}\bigl|\det[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]\bigr|=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}

Câu 27nâng cao

Thể tích của mặt cầu nội tiếp khối tứ diện đều cạnh 11 là (  )(\ \ ).

  • A.6 π8\dfrac{\sqrt{6}\,\pi}{8}
  • B.212\dfrac{\sqrt{2}}{12}
  • C.π6\dfrac{\pi}{6}
  • D.6 π216\dfrac{\sqrt{6}\,\pi}{216}đáp án

Bán kính cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh aa là r=a612r=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}, với a=1a=1 thì r=612r=\dfrac{\sqrt{6}}{12}. Thể tích cầu V=43πr3=43π(612)3=6 π216V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{\sqrt{6}}{12}\right)^3=\dfrac{\sqrt{6}\,\pi}{216}.

r=612,V=43πr3=6 π216r=\frac{\sqrt{6}}{12},\quad V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{\sqrt{6}\,\pi}{216}

Câu 28nâng cao

Nếu hình khai triển mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt bán kính 55 và diện tích 20π20\pi, thì diện tích lớn nhất của thiết diện tạo bởi hai đường sinh của nó là (  )(\ \ ).

  • A.1225\dfrac{12}{25}
  • B.44
  • C.252\dfrac{25}{2}đáp án
  • D.20119\dfrac{20\sqrt{11}}{9}

Bán kính hình quạt là độ dài đường sinh l=5l=5. Diện tích xung quanh πrl=20π\pi r l=20\pi cho r=4r=4. Thiết diện qua hai đường sinh là tam giác cân hai cạnh bằng l=5l=5, diện tích S=12l2sin⁡θ≤252S=\dfrac{1}{2}l^2\sin\theta\le\dfrac{25}{2}, đạt cực đại khi θ=90∘\theta=90^\circ (góc này khả thi vì dây cung cực đại bằng đường kính 88 ứng với θ>90∘\theta>90^\circ).

S=12l2sin⁡θ≤12⋅25=252S=\tfrac{1}{2}l^2\sin\theta\le\tfrac{1}{2}\cdot 25=\tfrac{25}{2}

Câu 29nâng cao

Thể tích của mặt cầu nội tiếp khối tứ diện đều cạnh 11 là (  )(\ \ ).

  • A.6 π6\dfrac{\sqrt{6}\,\pi}{6}
  • B.212\dfrac{\sqrt{2}}{12}
  • C.π6\dfrac{\pi}{6}
  • D.6 π216\dfrac{\sqrt{6}\,\pi}{216}đáp án

Bán kính cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a=1a=1 là r=612r=\dfrac{\sqrt{6}}{12}. Thể tích cầu V=43πr3=43π(612)3=6 π216V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{\sqrt{6}}{12}\right)^3=\dfrac{\sqrt{6}\,\pi}{216}.

V=43π(612)3=6 π216V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{6}}{12}\right)^3=\frac{\sqrt{6}\,\pi}{216}

Tọa độ không gian và đối xứng

Câu 30

Điểm đối xứng của điểm (2,3,4)(2, 3, 4) qua mặt phẳng xOzxOz là điểm nào?

  • A.(2,3,−4)(2, 3, -4)
  • B.(−2,3,4)(-2, 3, 4)
  • C.(2,−3,4)(2, -3, 4)đáp án
  • D.(−2,−3,4)(-2, -3, 4)

Đối xứng qua mặt phẳng xOzxOz thì giữ nguyên tọa độ xx và zz, đổi dấu tọa độ yy. Vậy (2,3,4)→(2,−3,4)(2, 3, 4) \to (2, -3, 4).

Câu 31

Cho điểm A(−3,0,−4)A(-3, 0, -4), gọi BB là điểm đối xứng của AA qua gốc tọa độ. Khi đó độ dài ABAB bằng bao nhiêu?

  • A.1212
  • B.99
  • C.2525
  • D.1010đáp án

Đối xứng qua gốc tọa độ đổi dấu cả ba tọa độ: B=(3,0,4)B = (3, 0, 4). Độ dài AB=(3−(−3))2+0+(4−(−4))2=36+64=100=10AB = \sqrt{(3-(-3))^2 + 0 + (4-(-4))^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.

∣AB∣=62+02+82=100=10|AB|=\sqrt{6^2+0^2+8^2}=\sqrt{100}=10

Câu 32

Trong hệ tọa độ OxyzOxyz, tọa độ điểm đối xứng của P(1,2,3)P(1, 2, 3) qua mặt phẳng xOyxOy là điểm nào?

  • A.(−1,2,3)(-1, 2, 3)
  • B.(1,−2,3)(1, -2, 3)
  • C.(1,2,−3)(1, 2, -3)đáp án
  • D.(3,2,1)(3, 2, 1)

Đối xứng qua mặt phẳng xOyxOy thì giữ nguyên tọa độ xx và yy, đổi dấu tọa độ zz. Vậy (1,2,3)→(1,2,−3)(1, 2, 3) \to (1, 2, -3).

Câu 33

Gọi BB là điểm đối xứng của A(2,−3,5)A(2, -3, 5) qua mặt phẳng xOyxOy. Khi đó độ dài ABAB bằng bao nhiêu?

  • A.1010đáp án
  • B.10\sqrt{10}
  • C.38\sqrt{38}
  • D.3838

Đối xứng qua mặt phẳng xOyxOy đổi dấu tọa độ zz: B=(2,−3,−5)B = (2, -3, -5). Độ dài AB=0+0+(5−(−5))2=100=10AB = \sqrt{0 + 0 + (5-(-5))^2} = \sqrt{100} = 10.

∣AB∣=(5−(−5))2=10|AB|=\sqrt{(5-(-5))^2}=10

Câu 34

Tọa độ điểm đối xứng với P(3,4,−5)P(3,4,-5) qua mặt phẳng xOzxOz là (  )(\ \ ).

  • A.(3,4,5)(3,4,5)
  • B.(3,−4,−5)(3,-4,-5)đáp án
  • C.(−3,4,−5)(-3,4,-5)
  • D.(−3,−4,5)(-3,-4,5)

Đối xứng qua mặt phẳng xOzxOz thì đổi dấu tung độ (y→−yy \to -y), giữ nguyên xx và zz. Vậy ảnh là (3,−4,−5)(3,-4,-5).

(x,y,z)↦(x,−y,z)(x,y,z) \mapsto (x,-y,z)

Câu 35

Cho tam giác ABCABC có ba đỉnh A(5,3,2)A(5,3,2), B(1,−1,3)B(1,-1,3), C(−1,−3,5)C(-1,-3,5). Độ dài đường trung tuyến kẻ từ AA ứng với cạnh BCBC là (  )(\ \ ).

  • A.262\sqrt{6}
  • B.363\sqrt{6}đáp án
  • C.353\sqrt{5}
  • D.252\sqrt{5}

Trung điểm BCBC là M(0,−2,4)M(0,-2,4). Độ dài trung tuyến AM=(5−0)2+(3+2)2+(2−4)2=25+25+4=54=36AM=\sqrt{(5-0)^2+(3+2)^2+(2-4)^2}=\sqrt{25+25+4}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}.

AM=52+52+22=36AM=\sqrt{5^2+5^2+2^2}=3\sqrt{6}

Câu 36

Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, tọa độ điểm đối xứng với điểm M(1,−2,3)M(1,-2,3) qua mặt phẳng yOzyOz là (  )(\ \ ).

  • A.(−1,−2,3)(-1,-2,3)đáp án
  • B.(1,−2,−3)(1,-2,-3)
  • C.(−1,2,−3)(-1,2,-3)
  • D.(1,2,−3)(1,2,-3)

Đối xứng qua mặt phẳng yOzyOz thì đổi dấu hoành độ (x→−xx \to -x), giữ nguyên yy và zz. Vậy ảnh là (−1,−2,3)(-1,-2,3).

(x,y,z)↦(−x,y,z)(x,y,z) \mapsto (-x,y,z)

Câu 37

Cho điểm M(1,3,2)M(1,3,2) trong không gian với hệ tọa độ OxzOxz. Tọa độ điểm đối xứng với MM qua mặt phẳng OxzOxz là (  )(\ \ ).

  • A.(−1,3,2)(-1,3,2)
  • B.(1,3,2)(1,3,2)
  • C.(−1,3,2)(-1,3,2)
  • D.(1,−3,2)(1,-3,2)đáp án

Đối xứng qua mặt phẳng OxzOxz thì đổi dấu tung độ (y→−yy \to -y), giữ nguyên xx và zz. Vậy ảnh là (1,−3,2)(1,-3,2).

(x,y,z)↦(x,−y,z)(x,y,z) \mapsto (x,-y,z)

Câu 38

Điểm nào dưới đây nằm ở góc phần tư thứ tư? (  )(\ \ )

  • A.(−2,3)(-2,3)
  • B.(2,−3)(2,-3)đáp án
  • C.(−2,−3)(-2,-3)
  • D.(2,3)(2,3)

Góc phần tư thứ tư có hoành độ dương và tung độ âm (x>0, y<0x>0,\ y<0). Chỉ (2,−3)(2,-3) thỏa mãn.

x>0, y<0x>0,\ y<0

Câu 39

Trong hệ tọa độ Descartes, tọa độ điểm QQ đối xứng với P(−3,5)P(-3,5) qua trục OyOy là (  )(\ \ ).

  • A.(3,5)(3,5)đáp án
  • B.(−3,−5)(-3,-5)
  • C.(3,−5)(3,-5)
  • D.(−5,3)(-5,3)

Đối xứng qua trục OyOy thì đổi dấu hoành độ (x→−xx \to -x), giữ nguyên tung độ. Vậy Q=(3,5)Q=(3,5).

(x,y)↦(−x,y)(x,y) \mapsto (-x,y)

Câu 40

Cho điểm A(1,−1,2)A(1,-1,2) đối xứng với điểm BB qua trục OzOz. Khi đó ∣AB∣|AB| bằng (  )(\ \ ).

  • A.222\sqrt{2}đáp án
  • B.262\sqrt{6}
  • C.22
  • D.323\sqrt{2}

Đối xứng qua trục OzOz thì đổi dấu cả hoành độ và tung độ (x→−x, y→−yx \to -x,\ y \to -y), nên B(−1,1,2)B(-1,1,2). Suy ra ∣AB∣=22+(−2)2+02=22|AB|=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=2\sqrt{2}.

∣AB∣=22+22=22|AB|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}

Câu 41

Trong hệ tọa độ Descartes, tọa độ điểm đối xứng với P(1,2,3)P(1,2,3) qua mặt phẳng xOyxOy là (  )(\ \ ).

  • A.(−1,2,3)(-1,2,3)
  • B.(1,−2,3)(1,-2,3)
  • C.(1,2,−3)(1,2,-3)đáp án
  • D.(3,2,1)(3,2,1)

Đối xứng qua mặt phẳng xOyxOy thì đổi dấu cao độ (z→−zz \to -z), giữ nguyên xx và yy. Vậy ảnh là (1,2,−3)(1,2,-3).

(x,y,z)↦(x,y,−z)(x,y,z) \mapsto (x,y,-z)

Câu 42

Trong hệ tọa độ Descartes, tọa độ điểm đối xứng với điểm P(1,2,3)P(1,2,3) qua mặt phẳng xOyxOy là (  )(\ \ ).

  • A.(−1,2,3)(-1,2,3)
  • B.(1,−2,3)(1,-2,3)
  • C.(1,2,−3)(1,2,-3)đáp án
  • D.(3,2,1)(3,2,1)

Đối xứng qua mặt phẳng xOyxOy thì đổi dấu cao độ (z→−zz \to -z), giữ nguyên xx và yy. Vậy ảnh là (1,2,−3)(1,2,-3).

(x,y,z)↦(x,y,−z)(x,y,z) \mapsto (x,y,-z)