Cụm 5 — Lượng giác

Cụm này dựng lượng giác từ một định nghĩa hình học duy nhất — toạ độ của một điểm trên đường tròn đơn vị — rồi suy ra toàn bộ hệ thức, công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức nghiệm và đồ thị:

• Câu hỏi gốc — làm sao gắn cho mỗi góc $\alpha$ một bộ ba số $(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha )$ đo chính xác hướng của góc đó.
• Trụ định nghĩa — đường tròn đơn vị cho định nghĩa toạ độ; từ đó mọi tỉ số lượng giác chỉ là toạ độ hoặc tỉ lệ toạ độ của điểm cuối.
• Trụ hệ thức — định lý ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ nối ba tỉ số lại, suy thẳng từ định lý Pytago áp lên bán kính $1$.
• Trụ biến đổi — công thức cộng $\sin (a\pm b)$, $\cos (a\pm b)$ là hạt giống sinh ra nhân đôi, hạ bậc, góc liên kết; nắm hai công thức cộng là nắm cả họ.
• Trụ phương trình và đồ thị — nghiệm của phương trình lượng giác là giao điểm của một sóng tuần hoàn với một đường ngang; công thức nghiệm gói mọi giao điểm vào một họ có tham số nguyên.

Đây là nền cho giải tích và hình giải tích sau này — đạo hàm của $\sin$, $\cos$ và mọi mô hình dao động đều gọi lại đúng các định lý dựng ở đây.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Màu — node xanh đậm là gốc tiên đề hình học (đường tròn đơn vị); xanh nhạt là định nghĩa và hai định lý cốt lõi; xanh lá là các công thức dẫn xuất và ứng dụng đồ thị/phương trình.
• Hướng — mọi mũi tên chảy từ đường tròn đơn vị xuống, cho thấy không có công thức nào tự đứng: hệ thức Pytago và công thức cộng đều sinh từ định nghĩa toạ độ, rồi nhân đôi và nghiệm lại sinh tiếp từ chúng.

Glossary nhãn chart (English keyword -> tiếng Việt):

• Unit circle — đường tròn tâm gốc bán kính $1$, sân khấu gốc của mọi định nghĩa.
• Trig ratios $(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha )$ — định nghĩa ba tỉ số qua toạ độ điểm cuối.
• Pythagorean identity ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ — hệ thức cơ bản nối $\sin$ và $\cos$.
• Angle addition $\sin (a\pm b),\cos (a\pm b)$ — công thức cộng hai góc.
• Double angle $\sin 2a,\cos 2a$ — nhân đôi góc và hạ bậc.
• Related angles — góc bù, đối, phụ, lệch $\pi$.
• Trig equation $\sin x=m$ — phương trình chứa tỉ số lượng giác.
• Solution set $x=\alpha +k2\pi$ — họ nghiệm có tham số nguyên.
• Trig graphs — đồ thị sóng tuần hoàn.

---

1. Tiên đề và định nghĩa nền

Tiên đề và khái niệm nền

Lượng giác chuẩn hoá việc đo góc và gắn số cho góc trên một đối tượng hình học gốc, ta chấp nhận các quy ước sau không chứng minh:

• Đường tròn đơn vị (unit circle) — đường tròn tâm tại gốc toạ độ $O(0,0)$ bán kính bằng $1$ trong mặt phẳng toạ độ; phương trình $x^2+y^2=1$.
• Góc định hướng — mỗi góc $\alpha$ ứng với một tia xuất phát từ $Ox$ quay quanh $O$; chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ là chiều âm.
• Điểm cuối (terminal point) — tia ứng với góc $\alpha$ cắt đường tròn đơn vị tại đúng một điểm, gọi là điểm cuối của $\alpha$.
• Quy ước đo radian — số đo radian của một góc là độ dài cung mà điểm cuối quét trên đường tròn đơn vị; vì cả đường tròn dài $2\pi$ nên một vòng đầy đủ là $2\pi$ radian.

Định nghĩa — ba tỉ số lượng giác qua toạ độ điểm cuối

Cho góc $\alpha$ có điểm cuối trên đường tròn đơn vị là $M(x,y)$. Khi đó định nghĩa $\cos \alpha =x$, $\sin \alpha =y$, và $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{y}{x}}$ (khi $x\ne 0$).

$$\cos \alpha =x,\sin \alpha =y,\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}$$

• Biến:
  • $\alpha$ — góc định hướng cần đo, biến gốc của mọi hàm lượng giác.
  • $x$ — hoành độ điểm cuối, đúng bằng $\cos \alpha$ theo định nghĩa.
  • $y$ — tung độ điểm cuối, đúng bằng $\sin \alpha$ theo định nghĩa.
  • ${\displaystyle \frac{y}{x}}$ — tỉ lệ tung độ trên hoành độ, đo độ dốc của tia ứng với góc, đúng bằng $\tan \alpha$.
• Ý nghĩa:
  • $\cos \alpha$ và $\sin \alpha$ không phải khái niệm bí ẩn, chúng chỉ là hai toạ độ của một điểm chạy trên đường tròn.
  • Vì điểm cuối luôn nằm trên đường tròn bán kính $1$ nên cả $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ luôn nằm trong đoạn $[-1,1]$.
  • $\tan \alpha$ là độ dốc của tia, nên không xác định khi tia thẳng đứng (lúc đó $x=0$).

Định nghĩa — tỉ số qua một điểm cuối bất kỳ

Nếu điểm cuối của $\alpha$ nằm trên tia qua điểm $P(a,b)$ bất kỳ (không nhất thiết trên đường tròn đơn vị), đặt $r=\sqrt{a^2+b^2}$ thì $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{a}{r}}$, $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{b}{r}}$, $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{b}{a}}$.

• Biến:
  • $a$ — hoành độ điểm $P$ trên tia ứng với góc.
  • $b$ — tung độ điểm $P$ trên tia ứng với góc.
  • $r=\sqrt{a^2+b^2}$ — khoảng cách từ gốc tới $P$, dùng để co điểm về bán kính $1$.
• Ý nghĩa: định nghĩa này mở rộng định nghĩa gốc cho mọi điểm, bằng cách chia toạ độ cho bán kính $r$ ta quy điểm bất kỳ về đúng điểm cuối trên đường tròn đơn vị.

Định nghĩa — dấu của tỉ số theo góc phần tư

Dấu của $\sin$, $\cos$, $\tan$ chính là dấu của toạ độ điểm cuối, nên đọc trực tiếp theo góc phần tư chứa điểm cuối:

• Phần tư I — cả $x$ và $y$ dương, nên cả ba tỉ số dương.
• Phần tư II — $x<0$, $y>0$, nên chỉ $\sin$ dương.
• Phần tư III — cả $x$ và $y$ âm, nên chỉ $\tan$ dương (tích hai số âm).
• Phần tư IV — $x>0$, $y<0$, nên chỉ $\cos$ dương.

---

2. Hệ thức cơ bản

Định lý — hệ thức Pythagore lượng giác

Với mọi góc $\alpha$ ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

• Biến:
  • ${\sin }^2\alpha$ — bình phương tung độ điểm cuối.
  • ${\cos }^2\alpha$ — bình phương hoành độ điểm cuối.
• Ý nghĩa: đây là dây nối cứng giữa hai tỉ số; biết một tỉ số là suy được độ lớn tỉ số kia, chỉ còn chọn dấu theo góc phần tư.

Chứng minh. Điểm cuối $M(x,y)$ của góc $\alpha$ nằm trên đường tròn đơn vị nên thoả phương trình đường tròn $x^2+y^2=1$ (chính là định lý Pytago áp cho tam giác vuông cạnh huyền là bán kính $1$ và hai cạnh góc vuông là $|x|$, $|y|$). Thay $x=\cos \alpha$ và $y=\sin \alpha$ theo định nghĩa thì ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$. $◼$

Định lý — hệ thức tang theo sin và cos

Với mọi góc $\alpha$ mà $\cos \alpha \ne 0$ ta có $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$, và $1+{\tan }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}$.

$$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$$

• Biến:
  • ${\tan }^2\alpha$ — bình phương tỉ số tang.
  • ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}$ — nghịch đảo bình phương cosin, luôn lớn hơn hoặc bằng $1$.
• Ý nghĩa: cho phép chuyển qua lại giữa $\tan$ và $\cos$ mà không cần tính $\sin$ riêng.

Chứng minh. Hệ thức $\tan \alpha =\sin \alpha /\cos \alpha$ là đúng định nghĩa. Chia cả hai vế của ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ cho ${\cos }^2\alpha$ (được phép vì $\cos \alpha \ne 0$) ta có ${\displaystyle \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}+1={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}$, tức ${\tan }^2\alpha +1={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}$. $◼$

Quy trình không trượt bước — suy tỉ số còn lại

• Rút độ lớn — dùng ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ để rút độ lớn tỉ số chưa biết.
• Xác định góc phần tư — đọc giả thiết để biết điểm cuối nằm phần tư nào.
• Gắn dấu — chọn dấu của tỉ số theo bảng dấu phần tư, rồi mới ráp $\tan$ cuối.

Bẫy hay gặp

• Quên gắn dấu — rút đúng độ lớn từ hệ thức Pytago nhưng để dấu dương mặc định, sai khi điểm cuối ở phần tư âm.
• Đổi đơn vị ngược chiều — đổi độ sang radian phải nhân $\pi /180$, nhân nhầm $180/\pi$ ra số sai bội.

---

3. Công thức cộng

Định lý — công thức cộng của sin và cos

Với mọi hai góc $a$ và $b$ ta có các đẳng thức cộng góc.

$$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$$$$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$

• Biến:
  • $a$, $b$ — hai góc thành phần cần ghép thành một góc tổng.
  • $\sin a,\cos a$ — tỉ số của góc thứ nhất.
  • $\sin b,\cos b$ — tỉ số của góc thứ hai.
• Ý nghĩa: cho phép tính tỉ số của một góc lạ bằng cách tách nó thành tổng của hai góc đã biết tỉ số.

Định hướng chứng minh. (Chứng minh đầy đủ dài, đây là các bước chính.)

• Bước hình học — đặt hai điểm cuối $A$ ứng với góc $a$ và $B$ ứng với góc $a+b$ trên đường tròn đơn vị, đồng thời điểm $C$ ứng với góc $-b$.
• Bước khoảng cách — tính bình phương khoảng cách giữa hai cặp điểm bằng công thức toạ độ; cặp ứng với hiệu góc $b$ phải có cùng khoảng cách vì cùng chắn một cung độ lớn $b$.
• Bước cân bằng — cho hai biểu thức khoảng cách bằng nhau, khai triển rồi rút gọn dùng ${\sin }^2+{\cos }^2=1$, ra ngay $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.
• Bước suy ra phần còn lại — thay $b$ bởi $-b$ để có $\cos (a+b)$; dùng quan hệ phụ chéo $\sin \theta =\cos (\pi /2-\theta )$ để chuyển sang công thức của $\sin$.

Định lý — dạng trừ và công thức cộng của tang

Thay $b$ bởi $-b$ và dùng $\sin (-b)=-\sin b$, $\cos (-b)=\cos b$ ta có dạng hiệu, rồi chia ra công thức tang.

$$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b,\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$$$$\tan (a\pm b)=\frac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a\tan b}$$

• Biến:
  • $\tan a,\tan b$ — tỉ số tang của hai góc thành phần.
  • Dấu trên ($+$ ở tử) đi với dấu dưới ($-$ ở mẫu) cho công thức cộng; dấu dưới cho công thức trừ.
• Ý nghĩa: công thức tang suy thẳng từ thương $\sin (a+b)/\cos (a+b)$ rồi chia tử mẫu cho $\cos a\cos b$.

Chứng minh công thức tang. Lấy $\tan (a+b)={\displaystyle \frac{\sin (a+b)}{\cos (a+b)}}={\displaystyle \frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}}$. Chia cả tử và mẫu cho $\cos a\cos b$ (khác $0$) thì tử thành $\tan a+\tan b$ và mẫu thành $1-\tan a\tan b$. $◼$

Định lý — góc liên kết suy từ công thức cộng

Các quan hệ góc bù, đối, phụ, lệch $\pi$ đều là trường hợp riêng của công thức cộng.

• Góc đối — $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$, $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$ (vì $\sin$ lẻ, $\cos$ chẵn).
• Góc bù — $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$, $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$.
• Góc phụ — $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )=\cos \alpha$, $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )=\sin \alpha$.
• Góc lệch $\pi$ — $\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$, thể hiện tang tuần hoàn chu kỳ $\pi$.

Chứng minh mẫu cho góc bù. Áp công thức $\cos (a-b)$ với $a=\pi$, $b=\alpha$: $\cos (\pi -\alpha )=\cos \pi \cos \alpha +\sin \pi \sin \alpha =(-1)\cos \alpha +0=-\cos \alpha$. Tương tự $\sin (\pi -\alpha )=\sin \pi \cos \alpha -\cos \pi \sin \alpha =0+\sin \alpha =\sin \alpha$. $◼$

Bẫy hay gặp

• Trượt một dấu thành phần — quên dấu của một trong $\sin$, $\cos$ góc thành phần là sai cả kết quả tổng.
• Lẫn dấu góc liên kết — nhớ nhầm $\cos (\pi -\alpha )$ giữ dấu thay vì đổi dấu, trong khi $\sin (\pi -\alpha )$ mới giữ nguyên.

---

4. Nhân đôi và hạ bậc

Định lý — công thức nhân đôi

Đặt $b=a$ trong công thức cộng ta được công thức nhân đôi.

$$\sin 2a=2\sin a\cos a$$$$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$$

• Biến:
  • $a$ — góc gốc, công thức cho tỉ số của góc gấp đôi $2a$.
  • ${\cos }^{2}a$, ${\sin }^{2}a$ — bình phương hai tỉ số gốc, dùng để viết ba dạng tương đương của $\cos 2a$.
• Ý nghĩa: ba dạng của $\cos 2a$ cùng giá trị; chọn dạng chỉ chứa $\cos$ hay chỉ chứa $\sin$ tuỳ đề cho dữ kiện nào.

Chứng minh. Trong $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ đặt $b=a$: $\sin 2a=\sin a\cos a+\cos a\sin a=2\sin a\cos a$. Trong $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ đặt $b=a$: $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$. Thay ${\sin }^{2}a=1-{\cos }^{2}a$ ra $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$; thay ${\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a$ ra $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a$. $◼$

Định lý — công thức hạ bậc

Đảo ngược hai dạng của $\cos 2a$ ta hạ bậc hai về bậc một của $\cos 2a$.

$${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$$

• Biến:
  • ${\sin }^{2}a$, ${\cos }^{2}a$ — bình phương tỉ số cần hạ bậc.
  • $\cos 2a$ — tỉ số của góc gấp đôi, bậc một.
• Ý nghĩa: đổi một bình phương rắc rối (bậc hai) thành biểu thức tuyến tính của $\cos 2a$ (bậc một), nền của công thức góc nửa và của tích phân ${\sin }^2$, ${\cos }^2$ sau này.

Chứng minh. Từ $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a$ giải ra ${\sin }^{2}a={\displaystyle \frac{1-\cos 2a}{2}}$. Từ $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$ giải ra ${\cos }^{2}a={\displaystyle \frac{1+\cos 2a}{2}}$. $◼$

Quy trình không trượt bước — góc nửa

• Lấy cos góc gốc — đề cho $\cos \alpha$ thì áp công thức hạ bậc với $\alpha /2$ để tính $\sin (\alpha /2)$ hoặc $\cos (\alpha /2)$.
• Chọn dấu theo nửa góc — xác định góc phần tư của $\alpha /2$ (không phải của $\alpha$) để chọn dấu căn.

Bẫy hay gặp

• Dấu góc nửa lấy theo góc gốc — chọn dấu $\sin (\alpha /2)$ theo phần tư của $\alpha$ thay vì của $\alpha /2$, sai dấu.
• Quên hệ số trong nén chu kỳ — chu kỳ của $\sin 2x$ là $\pi$ chứ không phải $2\pi$, hệ số trong làm sóng co lại.

---

5. Phương trình lượng giác cơ bản

Định nghĩa — phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản là một trong các dạng $\sin x=m$, $\cos x=m$, $\tan x=m$, với $x$ là ẩn góc và $m$ là số cho trước.

• Điều kiện có nghiệm — vì $\sin$ và $\cos$ luôn nằm trong $[-1,1]$ nên $\sin x=m$ hay $\cos x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m|\le 1$; còn $\tan x=m$ có nghiệm với mọi $m$ thực.

Định lý — công thức nghiệm của phương trình sin

Nếu $\sin \alpha =m$ với $|m|\le 1$ thì $\sin x=m$ có họ nghiệm $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, với $k$ nguyên.

$$\sin x=\sin \alpha ⟺[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$$

• Biến:
  • $\alpha$ — một nghiệm riêng đã biết, thường lấy là góc gốc trong $[-\pi /2,\pi /2]$.
  • $k$ — số nguyên bất kỳ, đếm số vòng quay đầy đủ cộng thêm.
  • $k2\pi$ — bội của một vòng tròn, phản ánh tính tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ của $\sin$.
• Ý nghĩa: trên đường tròn đơn vị, hai điểm có cùng tung độ $m$ là điểm cuối của $\alpha$ và của $\pi -\alpha$ (đối xứng qua trục tung); cộng bội $2\pi$ vì quay thêm vòng nào cũng về đúng điểm cũ.

Chứng minh. Tung độ điểm cuối bằng $m$ xảy ra tại đúng hai vị trí trên đường tròn: điểm cuối của $\alpha$ và điểm đối xứng của nó qua trục tung, là điểm cuối của $\pi -\alpha$ (vì $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ theo định lý góc bù). Mọi góc khác có cùng tung độ chỉ khác hai góc này một bội nguyên của chu kỳ $2\pi$, cho hai họ nghiệm trên. $◼$

Định lý — công thức nghiệm của phương trình cos và tan

Tương tự, dùng đối xứng qua trục hoành cho $\cos$ và tính tuần hoàn $\pi$ cho $\tan$.

$$\cos x=\cos \alpha ⟺x=\pm \alpha +k2\pi (k\in \mathbb{Z})$$$$\tan x=\tan \alpha ⟺x=\alpha +k\pi (k\in \mathbb{Z})$$

• Biến:
  • $\pm \alpha$ — hai điểm cùng hoành độ trên đường tròn đối xứng qua trục hoành.
  • $k\pi$ — bội của $\pi$, vì $\tan$ lặp lại sau mỗi nửa vòng.
• Ý nghĩa: $\cos$ ghép hai họ thành một công thức gọn $\pm \alpha$ vì $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$; $\tan$ chỉ một họ vì hai điểm cùng độ dốc cách nhau đúng $\pi$.

Chứng minh tan. Hai góc có cùng $\tan$ khi tia của chúng cùng độ dốc; trên đường tròn hai tia này nằm thẳng hàng đối đỉnh, lệch nhau đúng $\pi$. Vậy mọi nghiệm là $\alpha$ cộng bội của $\pi$. $◼$

Dạng câu hỏi trong đề

• Đổi độ và radian — đổi ${210}^{\circ }$ sang $7\pi /6$ hoặc ngược lại bằng ${180}^{\circ }=\pi$.
• Suy tỉ số còn lại — cho $\sin \alpha$ và góc phần tư, hỏi $\cos \alpha$ hoặc $\tan \alpha$.
• Cộng nhân đôi nửa — cho một tỉ số tính $\sin 2\alpha$, $\cos (\pi /4+\alpha )$, $\sin (\alpha /2)$, hoặc $\sin (a+b)$ từ hai góc.
• Biến đổi góc liên kết — chọn đẳng thức đúng, hoặc cho $\sin ({75}^{\circ }+\alpha )$ tính $\cos ({15}^{\circ }-\alpha )$ qua quan hệ phụ chéo.
• Đếm nghiệm trên đoạn — số nghiệm của $\sin x=c$ trên một đoạn bằng số giao điểm của đường ngang $y=c$ với đồ thị.

---

6. Đồ thị hàm lượng giác

Định nghĩa — đặc trưng của sóng tuần hoàn

Đồ thị hàm lượng giác là sóng lặp, ta mô tả nó bằng vài con số gọi là đặc trưng sóng:

• Chu kỳ (period) — độ dài ngắn nhất sau đó đồ thị lặp lại; $\sin x$ và $\cos x$ có chu kỳ $2\pi$, $\tan x$ có chu kỳ $\pi$.
• Miền giá trị (range) — $\sin$ và $\cos$ nằm trong $[-1,1]$; $\tan$ trải khắp $\mathbb{R}$.
• Tính chẵn lẻ — $\cos$ chẵn (đối xứng qua trục tung $Oy$); $\sin$ và $\tan$ lẻ (đối xứng qua gốc $O$).

Định lý — chu kỳ của hàm có hệ số trong

Hàm $\sin (\omega x)$ và $\cos (\omega x)$ có chu kỳ ${\displaystyle \frac{2\pi }{|\omega |}}$; hàm $\tan (\omega x)$ có chu kỳ ${\displaystyle \frac{\pi }{|\omega |}}$.

$$T_{\sin \omega x}=\frac{2\pi }{|\omega |},T_{\tan \omega x}=\frac{\pi }{|\omega |}$$

• Biến:
  • $\omega$ — hệ số trong (tần số góc), càng lớn sóng càng nén lại.
  • $T$ — chu kỳ, độ dài một sóng đầy đủ.
• Ý nghĩa: hệ số trong nén hoặc giãn sóng theo trục hoành; ví dụ $\sin 2x$ co chu kỳ về $\pi$, dao động nhanh gấp đôi $\sin x$.

Chứng minh. $\sin (\omega x)$ lặp lại khi đối số $\omega x$ tăng đúng một chu kỳ gốc $2\pi$, tức khi $x$ tăng ${\displaystyle \frac{2\pi }{|\omega |}}$; đó là chu kỳ nhỏ nhất. Với $\tan$ thì đối số chỉ cần tăng $\pi$ (chu kỳ gốc của $\tan$) nên chu kỳ là ${\displaystyle \frac{\pi }{|\omega |}}$. $◼$

Định nghĩa — đơn điệu và đối xứng

Ngoài chu kỳ và miền giá trị, ta còn mô tả sóng bằng chiều tăng giảm và các trục, tâm đối xứng:

• Đơn điệu của sin — trên một chu kỳ $\sin x$ tăng trên $[-\pi /2,\pi /2]$ rồi giảm trên $[\pi /2,3\pi /2]$, đổi chiều tại đỉnh và đáy.
• Đơn điệu của tang — $\tan (\omega x+\phi )$ với $\omega >0$ đồng biến trên từng khoảng giữa hai điểm gián đoạn, khoảng giải từ điều kiện đối số thuộc $(-\pi /2+k\pi ,\pi /2+k\pi )$.
• Tâm và trục đối xứng — với $\sin$, $\cos$ thì đỉnh và đáy sóng là trục đối xứng, giao điểm với trục hoành là tâm đối xứng; với $\tan$ thì cả giao điểm trục hoành lẫn điểm gián đoạn đều là tâm đối xứng, ứng với đối số bằng $k\pi /2$.

Quy trình không trượt bước — đọc đồ thị

• Tìm chu kỳ — nhận loại hàm rồi lấy $2\pi /|\omega |$ cho sin cos, $\pi /|\omega |$ cho tang; chớ dùng nhầm công thức tang cho sin.
• Khoảng đồng biến tang — viết điều kiện đối số thuộc $(-\pi /2+k\pi ,\pi /2+k\pi )$ rồi giải bất phương trình kép theo $x$, giữ nguyên tham số $k$.
• Đếm nghiệm — vẽ phác sóng trên đoạn, kẻ đường ngang $y=c$, đếm số lần cắt, nhớ kiểm hai biên đoạn.

Bẫy hay gặp

• Nhầm chu kỳ sin với tang — lấy $2\pi /|\omega |$ cho hàm tang ra gấp đôi chu kỳ thật.
• Tâm tang đặt $k\pi$ — chỉ lấy giao trục hoành làm tâm mà bỏ điểm gián đoạn, mất một nửa số tâm.
• Miền xác định cos sin — tưởng miền của $\cos x$ là $[0,2\pi ]$, thực ra là toàn $\mathbb{R}$.

---

7. Ví dụ mẫu có lời giải

Ví dụ 1 — suy tỉ số còn lại

• Đề — cho $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$ và $\alpha$ thuộc phần tư II, tính $\cos \alpha$ và $\tan \alpha$.
• Bước rút độ lớn — từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{16}{25}}$, nên $|\cos \alpha |={\displaystyle \frac{4}{5}}$.
• Bước gắn dấu — phần tư II có $\cos \alpha <0$, vậy $\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{4}{5}}$.
• Bước ráp tang — $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{3/5}{-4/5}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Ví dụ 2 — nhân đôi từ một tỉ số

• Đề — cho $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{4}{5}}$ và $\alpha$ thuộc phần tư IV, tính $\sin 2\alpha$.
• Bước tính sin — ${\sin }^2\alpha =1-{\displaystyle \frac{16}{25}}={\displaystyle \frac{9}{25}}$; phần tư IV có $\sin \alpha <0$ nên $\sin \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{5}}$.
• Bước áp nhân đôi — $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot (-{\displaystyle \frac{3}{5}})\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}=-{\displaystyle \frac{24}{25}}$.

Ví dụ 3 — giải phương trình cơ bản

• Đề — giải $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ trên tập số thực.
• Bước tìm nghiệm riêng — một góc có $\sin =1/2$ là $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
• Bước viết họ nghiệm — theo công thức nghiệm sin, $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k2\pi ={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+k2\pi$, với $k$ nguyên.

---

8. Kết nối

• Nền cho giải tích (cụm Đạo hàm) — đạo hàm $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ và $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ chứng minh trực tiếp từ công thức cộng dựng ở mục 3, qua giới hạn $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$.
• Nền cho hình giải tích và số phức — toạ độ điểm trên đường tròn, phép quay, và dạng lượng giác của số phức $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ đều gọi lại định nghĩa toạ độ và công thức cộng.
• Nền cho mô hình dao động — mọi hiện tượng tuần hoàn (sóng, chuyển động tròn đều) mô tả bằng $y=A\sin (\omega t+\phi )$, dùng đúng đặc trưng sóng ở mục 6.
• Phụ thuộc ngược về cụm trước — định lý Pytago và phương trình đường tròn $x^2+y^2=1$ ở cụm hình giải tích phẳng là viên gạch chứng minh hệ thức cơ bản tại mục 2.