Cụm 4 — Dãy số và cấp số

Cụm này trả lời câu hỏi gốc: làm sao mô tả một danh sách số sắp theo thứ tự, và làm sao tính nhanh tổng của nó mà không cộng tay từng số?

• Đối tượng gốc — dãy số, tức một hàm xác định trên tập số tự nhiên gán cho mỗi vị trí một giá trị; mọi thứ trong cụm là trường hợp riêng của khái niệm này.
• Hai cấu trúc trung tâm — cấp số cộng (mỗi số hơn số trước một lượng cố định) và cấp số nhân (mỗi số gấp số trước một lần cố định); chúng là hai cách "đều đặn" cơ bản nhất một dãy có thể có.
• Trục dựng kiến thức — định nghĩa bằng tính bất biến (hiệu không đổi hoặc tỉ số không đổi) trước, từ đó suy ra công thức số hạng tổng quát và công thức tổng; mỗi công thức tổng là một định lý có chứng minh, không phải bảng cần học vẹt.
• Vì sao là nền — số hạng tổng quát luyện tư duy quy nạp, công thức tổng cấp số nhân là gốc của lãi kép, niên kim và giá trị hiện tại của dòng tiền ở phần tài chính sau.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Đề bài cần giải — cụm xây từ một gốc duy nhất là khái niệm dãy số, rẽ thành hai nhánh cấp số rồi hội tụ về ứng dụng tài chính.
• Giả định nền — mọi nhánh chỉ thêm đúng một ràng buộc lên dãy tổng quát: cộng đều hoặc nhân đều; ngoài ra không giả định gì thêm.
• Ý nghĩa các thành phần — node xanh đậm là gốc tiên đề; xanh nhạt là định nghĩa và số hạng tổng quát suy ra trực tiếp; xanh lá là các định lý tổng và phần ứng dụng.
• Cách đọc rút giá trị — đi từ gốc xuống: nắm định nghĩa bất biến trước, rồi mỗi mũi tên là một bước suy luận có chứng minh, không nhảy thẳng vào ô tổng.

Glossary nhãn chart (English keyword -> tiếng Việt):

• Sequence $u_n$ — dãy số: hàm gán mỗi vị trí một giá trị.
• Arithmetic progression — cấp số cộng: hiệu hai số liền nhau không đổi.
• Geometric progression — cấp số nhân: tỉ số hai số liền nhau không đổi.
• AP general term $u_n=u_1+(n-1)d$ — số hạng tổng quát cấp số cộng: công thức tính trực tiếp số hạng thứ $n$.
• AP sum $S_n$ — tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng.
• GP general term $u_n=u_1{q}^{n-1}$ — số hạng tổng quát cấp số nhân: công thức tính trực tiếp số hạng thứ $n$.
• GP sum $S_n$ — tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân.
• GP infinite sum $S$ — tổng vô hạn: giới hạn của tổng khi $n$ tiến ra vô cùng (khi $|q|<1$).
• Finance application — ứng dụng tài chính: lãi kép và giá trị hiện tại của dòng tiền.

---

1. Gốc — dãy số là một hàm trên tập số tự nhiên

Tiên đề & khái niệm nền

Toàn cụm đứng trên một quy ước duy nhất về tập chỉ số và một định nghĩa về dãy.

• Tập số tự nhiên — ta nhận tập ${\mathbb{N}}^{\ast }=\{1,2,3,\dots \}$ làm tập vị trí, với phép cộng $1$ sinh ra số kế tiếp; đây là nền không chứng minh, chấp nhận theo tiên đề Peano.
• Nguyên lý quy nạp — nếu một tính chất đúng tại $n=1$, và "đúng tại $n$ kéo theo đúng tại $n+1$", thì nó đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; đây là công cụ chứng minh chính của cụm, cũng nhận theo tiên đề.

Định nghĩa — dãy số

Một dãy số là một hàm $u:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$ gán mỗi vị trí $n$ một số thực $u(n)$, viết gọn là $u_n$ và gọi là số hạng thứ $n$.

• Định nghĩa bằng cái đã có — dãy không phải đối tượng mới lạ, nó chỉ là hàm mà miền xác định bị giới hạn về tập đếm được ${\mathbb{N}}^{\ast }$.
• Hai cách cho dãy — cho công thức tổng quát $u_n=f(n)$ (tính thẳng từ vị trí), hoặc cho hệ thức truy hồi (cho $u_1$ và quy tắc sinh $u_{n+1}$ từ $u_n$).
• Tính bất biến là dấu nhận diện — cấp số cộng và cấp số nhân không định nghĩa bằng công thức số hạng, mà bằng một đại lượng giữ nguyên qua mọi bước; công thức số hạng là hệ quả phải chứng minh.

---

2. Cấp số cộng — arithmetic progression

Định nghĩa — cấp số cộng

Dãy $(u_n)$ là một cấp số cộng nếu tồn tại hằng số $d$ sao cho $u_{n+1}-u_n=d$ với mọi $n\ge 1$. Hằng số $d$ gọi là công sai.

• Bản chất — định nghĩa nói về hiệu giữa hai số liền nhau, không nói về số hạng; chính sự không đổi của hiệu là cấu trúc, không phải giá trị cụ thể nào.
• Hai tham số sinh cả dãy — biết số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ là khóa chặt toàn dãy, nên gần như mọi bài quy về tìm $u_1$ và $d$ hoặc né chúng bằng tính đối xứng.
• Dấu nhận diện — kiểm hiệu $u_{n+1}-u_n$ có là hằng với mọi $n$ không; dãy $0,1,3,\dots$ có hiệu $1,2$ đổi giá trị nên không phải cấp số cộng dù vài số đầu trông đều.

2.1 Định lý — số hạng tổng quát của cấp số cộng

Với cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$, số hạng thứ $n$ là

$$u_n=u_1+(n-1)d$$

• Biến:
  • $u_1$ — số hạng đầu (mốc xuất phát của dãy).
  • $d$ — công sai (lượng cộng thêm mỗi bước).
  • $n$ — vị trí của số hạng cần tính, $n\ge 1$.
  • $u_n$ — giá trị số hạng thứ $n$.
• Ý nghĩa: từ mốc $u_1$ ta bước thêm $n-1$ nhịp, mỗi nhịp cộng $d$, nên dồn lại được $(n-1)d$; các điểm $(n,u_n)$ nằm trên một đường thẳng hệ số góc $d$.

Chứng minh (quy nạp theo $n$).

• Bước cơ sở — tại $n=1$ vế phải bằng $u_1+(1-1)d=u_1$, đúng bằng số hạng đầu, nên mệnh đề đúng tại $n=1$.

• Bước quy nạp — giả sử $u_n=u_1+(n-1)d$ đúng tại một $n$ nào đó; theo định nghĩa $u_{n+1}=u_n+d=u_1+(n-1)d+d=u_1+nd=u_1+((n+1)-1)d$, đúng dạng cần chứng minh tại $n+1$.

• Kết luận — theo nguyên lý quy nạp, công thức đúng với mọi $n\ge 1$. $◼$

• Hệ quả liên hệ hai số hạng — trừ $u_n=u_1+(n-1)d$ cho $u_m=u_1+(m-1)d$ khử được $u_1$, ra $u_n=u_m+(n-m)d$; dùng khi đề cho hai số hạng ở vị trí bất kỳ để rút thẳng $d={\displaystyle \frac{u_n-u_m}{n-m}}$.

2.2 Định lý — tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng

Với cấp số cộng $(u_n)$, tổng $n$ số hạng đầu $S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$ thỏa

$$S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$$

• Biến:
  • $n$ — số lượng số hạng đem cộng.
  • $u_1$ — số hạng đầu.
  • $u_n$ — số hạng cuối trong tổng.
  • $S_n$ — tổng của $n$ số hạng đầu.
• Ý nghĩa: tổng bằng trung bình của hai đầu nhân số lượng; ghép số hạng đầu với số hạng cuối thì mọi cặp đối xứng cho cùng một tổng, đó là gốc của công thức.

Chứng minh (ghép cặp Gauss).

• Viết tổng theo hai chiều — đặt $S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$ và viết lại cùng tổng theo thứ tự ngược $S_n=u_n+u_{n-1}+\cdots +u_1$.

• Cộng hai dòng theo cột — cộng vế với vế, cột thứ $k$ cho $u_k+u_{n+1-k}$; vì $k+(n+1-k)=n+1$ là hằng, theo tính chất cặp đối xứng mỗi cột đều bằng $u_1+u_n$.

• Đếm số cột — có đúng $n$ cột giống nhau, nên $2S_n=n(u_1+u_n)$, suy ra $S_n={\displaystyle \frac{n(u_1+u_n)}{2}}$. $◼$

• Dạng theo $u_1$ và $d$ — thay $u_n=u_1+(n-1)d$ vào được $S_n=n{u}_1+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}d$; dùng khi đề cho $u_1$ với $d$ mà chưa có số hạng cuối.

• Tổng là hàm bậc hai theo $n$ — khai triển ra $S_n={\displaystyle \frac{d}{2}}{n}^2+(u_1-{\displaystyle \frac{d}{2}})n$, không có hằng số tự do; nếu đề cho $S_n$ chứa hằng số rời thì dãy không thuần cấp số cộng.

2.3 Định lý — tính chất cặp đối xứng

Trong cấp số cộng, nếu $i+j=m+p$ thì $u_i+u_j=u_m+u_p$. Riêng khi $i+j=2k$ thì $u_i+u_j=2u_k$.

Chứng minh. Thay công thức số hạng tổng quát: $u_i+u_j=(u_1+(i-1)d)+(u_1+(j-1)d)=2u_1+(i+j-2)d$. Vế này chỉ phụ thuộc tổng chỉ số $i+j$, nên hai cặp có cùng tổng chỉ số cho cùng giá trị. Khi $i+j=2k$ thì $u_i+u_j=2u_1+(2k-2)d=2(u_1+(k-1)d)=2u_k$. $◼$

• Trung bình cộng — trường hợp riêng: $b$ là trung bình cộng của $a$ và $c$ khi $2b=a+c$; ba số lập cấp số cộng đúng khi số giữa là trung bình cộng hai số kề.
• Đòn bẩy tính tắt — tính chất này cho $S_{10}=5(u_1+u_{10})=5(u_4+u_7)$, nên biết một cặp đối xứng là tính được tổng mà không cần tìm $u_1$ và $d$.

Dạng câu hỏi trong đề

• Tìm công sai hoặc số hạng đầu — cho hai số hạng như $u_3=4,u_6=13$ rồi hỏi $u_1,d$.
• Tính số hạng tại vị trí xa — cho $u_1,d$ hỏi $u_{80}$, hoặc cho $u_3+u_5$ hỏi $u_4$ qua số hạng giữa.
• Tính tổng qua cặp đối xứng — cho $u_4+u_7=13$ hỏi $S_{10}$.
• Cực đại của tổng — dãy giảm $d<0$ hỏi $n$ để $S_n$ lớn nhất, dựa vào chỗ số hạng đổi dấu.
• Nhận diện cấp số cộng — chọn dãy không phải cấp số cộng trong danh sách.

Quy trình không trượt bước

• Tìm $u_1,d$ từ hai số hạng — viết mỗi số hạng theo $u_1+(n-1)d$; lập hệ hai phương trình; trừ hai vế để khử $u_1$ rút $d$; thế ngược tìm $u_1$.
• Tính tổng bằng cặp đối xứng — nhận tổng cần tính có dạng $S_{2k}=k(u_1+u_{2k})$ hoặc $S_{2k-1}=(2k-1)u_k$; ghép chỉ số sao cho $i+j$ khớp dữ kiện; nhân hệ số ${\displaystyle \frac{n}{2}}$.
• Cực đại tổng dãy giảm — kiểm $d<0$; giải bất phương trình $u_n\ge 0$ ra $n$ lớn nhất; nếu $u_n=0$ tại biên thì hai giá trị $n$ liền nhau cùng cho $S_n$ lớn nhất.

Bẫy hay gặp

• Lẫn hằng số trong $S_n$ — tổng của cấp số cộng là bậc hai không có hằng số tự do; thấy hằng số rời mà vẫn coi là cấp số cộng là sai.
• Quên nghiệm kép cực đại — dãy giảm có một số hạng bằng $0$ thì $S_n$ lớn nhất tại hai giá trị $n$ liền nhau, chọn một là thiếu.
• Nhận diện hụt — dãy có hiệu thay đổi như $1,2,3$ không phải cấp số cộng dù vài số đầu trông đều.

---

3. Cấp số nhân — geometric progression

Định nghĩa — cấp số nhân

Dãy $(u_n)$ với mọi số hạng khác $0$ là một cấp số nhân nếu tồn tại hằng số $q\ne 0$ sao cho $u_{n+1}=q{u}_n$ với mọi $n\ge 1$. Hằng số $q$ gọi là công bội.

• Bản chất — định nghĩa nói về tỉ số ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}=q$ giữ nguyên, song song với cấp số cộng nhưng thay phép cộng đều bằng phép nhân đều.
• Vì sao $q$ chi phối mạnh hơn $d$ — công bội vào lũy thừa, nên dấu và độ lớn của $q$ quyết định dãy tăng, giảm, đổi dấu xen kẽ hay hội tụ; đây là chỗ cấp số nhân dày bẫy dấu hơn cấp số cộng.
• Dấu nhận diện — kiểm tỉ số ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ có là hằng với mọi $n$ không, không kiểm hiệu như cấp số cộng.

3.1 Định lý — số hạng tổng quát của cấp số nhân

Với cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$, số hạng thứ $n$ là

$$u_n=u_1{q}^{n-1}$$

• Biến:
  • $u_1$ — số hạng đầu.
  • $q$ — công bội (hệ số nhân mỗi bước).
  • $n$ — vị trí số hạng cần tính, $n\ge 1$.
  • $u_n$ — giá trị số hạng thứ $n$.
• Ý nghĩa: từ mốc $u_1$ nhân $q$ đúng $n-1$ lần thì tới số hạng thứ $n$; số mũ là $n-1$ chứ không phải $n$, lệch một bậc là sai toàn bài.

Chứng minh (quy nạp theo $n$).

• Bước cơ sở — tại $n=1$ vế phải bằng $u_1{q}^0=u_1$, đúng bằng số hạng đầu.

• Bước quy nạp — giả sử $u_n=u_1{q}^{n-1}$; theo định nghĩa $u_{n+1}=q{u}_n=q\cdot u_1{q}^{n-1}=u_1{q}^n=u_1{q}^{(n+1)-1}$, đúng dạng cần tại $n+1$.

• Kết luận — theo nguyên lý quy nạp, công thức đúng với mọi $n\ge 1$. $◼$

• Hệ quả liên hệ hai số hạng — chia $u_n$ cho $u_m$ khử $u_1$, ra $u_n=u_m{q}^{n-m}$, tức $q^{n-m}={\displaystyle \frac{u_n}{u_m}}$; khi $n-m$ chẵn phép khai căn sinh hai nghiệm dấu cộng và dấu trừ, phải dùng dữ kiện phụ để chọn.

3.2 Định lý — tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân

Với cấp số nhân $(u_n)$ công bội $q\ne 1$, tổng $n$ số hạng đầu là

$$S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$$

Khi $q=1$ mọi số hạng bằng $u_1$ nên $S_n=n{u}_1$.

• Biến:
  • $u_1$ — số hạng đầu.
  • $q$ — công bội, với điều kiện $q\ne 1$ cho công thức phân thức.
  • $n$ — số lượng số hạng đem cộng.
  • $S_n$ — tổng $n$ số hạng đầu.
• Ý nghĩa: điều kiện $q\ne 1$ bắt buộc vì mẫu là $1-q$; quên xét $q=1$ là chia cho $0$.

Chứng minh (phép nhân lệch một bước).

• Viết tổng — đặt $S_n=u_1+u_{1}q+u_1{q}^2+\cdots +u_1{q}^{n-1}$.
• Nhân cả hai vế với $q$ — được $q{S}_n=u_{1}q+u_1{q}^2+\cdots +u_1{q}^{n-1}+u_1{q}^n$, tức cùng các số hạng nhưng lệch sang một bậc.
• Trừ hai dòng — lấy $S_n-q{S}_n$ thì mọi số hạng giữa triệt tiêu, chỉ còn $S_n-q{S}_n=u_1-u_1{q}^n$, tức $(1-q)S_n=u_1(1-q^n)$.
• Chia cho $1-q$ — vì $q\ne 1$ nên $1-q\ne 0$, chia được ra $S_n={\displaystyle \frac{u_1(1-q^n)}{1-q}}$. $◼$

3.3 Định lý — tổng vô hạn khi công bội nhỏ

Nếu $|q|<1$ thì tổng vô hạn của cấp số nhân hội tụ về

$$S=u_1+u_{1}q+u_1{q}^2+\cdots =\frac{u_1}{1-q}$$

• Biến:
  • $u_1$ — số hạng đầu.
  • $q$ — công bội với điều kiện $|q|<1$ (giá trị tuyệt đối nhỏ hơn $1$).
  • $S$ — giới hạn của tổng khi số số hạng tiến ra vô cùng.
• Ý nghĩa: mỗi số hạng nhỏ dần theo cấp số nhân nên dù cộng vô hạn lần tổng vẫn hữu hạn; đây là gốc của giá trị hiện tại dòng tiền vĩnh viễn ở phần tài chính.

Định hướng chứng minh.

• Xuất phát từ tổng hữu hạn — lấy $S_n={\displaystyle \frac{u_1(1-q^n)}{1-q}}$ đã chứng minh ở mục 3.2.
• Xét hành vi của $q^n$ — khi $|q|<1$ thì $q^n$ tiến về $0$ khi $n$ tăng ra vô cùng, vì nhân một số có độ lớn nhỏ hơn $1$ lặp mãi làm tích co về $0$.
• Lấy giới hạn — cho $n$ ra vô cùng, $q^n\to 0$ nên $S_n\to {\displaystyle \frac{u_1(1-0)}{1-q}}={\displaystyle \frac{u_1}{1-q}}$. Nếu $|q|\ge 1$ thì $q^n$ không tiến về $0$, tổng không hội tụ. $◼$

3.4 Định lý — trung bình nhân và cặp đối xứng

Trong cấp số nhân, nếu $i+j=m+p$ thì $u_i{u}_j=u_m{u}_p$. Riêng khi $i+j=2k$ thì $u_i{u}_j=u_k^2$.

Chứng minh. Thay công thức số hạng tổng quát: $u_i{u}_j=u_1{q}^{i-1}\cdot u_1{q}^{j-1}=u_1^2{q}^{i+j-2}$. Vế này chỉ phụ thuộc tổng chỉ số $i+j$, nên hai cặp cùng tổng chỉ số cho cùng tích. Khi $i+j=2k$ thì $u_i{u}_j=u_1^2{q}^{2k-2}=(u_1{q}^{k-1}{)}^2=u_k^2$. $◼$

• Trung bình nhân — trường hợp riêng ba số kề: $b$ là trung bình nhân của $a$ và $c$ khi $b^2=ac$, cho $b=\pm \sqrt{ac}$ hai dấu; ba số lập cấp số nhân đúng khi số giữa bình phương bằng tích hai số kề.
• Cầu nối loga — nếu $(u_n)$ là cấp số nhân dương thì $(\lg u_n)$ là cấp số cộng, vì $\lg (u_1{q}^{n-1})=\lg u_1+(n-1)\lg q$; phép loga biến nhịp nhân đều thành nhịp cộng đều, đưa bài tổng loga về công thức tổng cấp số cộng.

Dạng câu hỏi trong đề

• Tìm công bội — cho $u_1=2,u_4=16$ hỏi $q$ qua $q^3={\displaystyle \frac{u_4}{u_1}}$.
• Trung bình nhân — hỏi trung bình nhân của $3$ và $12$, lưu ý đáp có dấu cộng và dấu trừ.
• Tích cặp đối xứng — cho $u_5{u}_7{u}_9{u}_{11}=36$ hỏi $u_2{u}_{14}$.
• Tổng vô hạn — dãy với $|q|<1$ hỏi giới hạn tổng.
• Dãy tăng tìm $q$ — cho $u_1=2,S_3=26$ và dãy tăng, giải $q$ rồi loại nghiệm trái chiều.

Quy trình không trượt bước

• Tìm $q$ từ hai số hạng — viết $q^{n-m}={\displaystyle \frac{u_n}{u_m}}$; khai căn bậc $n-m$; nếu bậc chẵn giữ cả hai dấu rồi dùng dữ kiện phụ chọn nghiệm.
• Tổng có ẩn $q$ — luôn tách hai trường hợp $q=1$ và $q\ne 1$ trước khi chia $1-q$; chỉ áp công thức phân thức khi đã loại $q=1$.
• Từ $S_n$ ra $u_n$ — lập $u_n=S_n-S_{n-1}$ với $n\ge 2$; tính riêng $u_1=S_1$; kiểm $u_1$ có khớp công thức chung không.

Bẫy hay gặp

• Quên dấu trong trung bình nhân — $\sqrt{ac}$ cho hai nghiệm dấu cộng và dấu trừ; trung bình nhân của $3$ và $12$ là $\pm 6$ chứ không chỉ $6$.
• Quên trường hợp $q=1$ — áp thẳng công thức tổng chia $1-q$ khi $q$ có thể bằng $1$ là chia cho $0$.
• Lệch bậc mũ — viết $u_n=u_1{q}^n$ thay vì $q^{n-1}$ làm sai mọi số hạng.
• Nhầm tích thành tổng cặp đối xứng — cấp số nhân dùng tích $u_i{u}_j$ chứ không phải tổng như cấp số cộng.

---

4. Ví dụ mẫu có lời giải

Ví dụ 1 — tổng cấp số cộng qua cặp đối xứng

• Đề — cấp số cộng cho $u_4+u_7=13$. Tính tổng $S_{10}$ của mười số hạng đầu.
• Phân tích chỉ số — theo định lý 2.2, $S_{10}={\displaystyle \frac{10(u_1+u_{10})}{2}}=5(u_1+u_{10})$; cần $u_1+u_{10}$.
• Dùng cặp đối xứng — vì $1+10=11=4+7$, theo định lý 2.3 ta có $u_1+u_{10}=u_4+u_7=13$.
• Kết quả — $S_{10}=5\times 13=65$; không cần tìm $u_1$ hay $d$ nhờ tính đối xứng.

Ví dụ 2 — tổng vô hạn cấp số nhân

• Đề — tính tổng vô hạn $S=4+2+1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\cdots$.
• Nhận dạng — tỉ số hai số liền nhau là ${\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ giữ nguyên, nên đây là cấp số nhân $u_1=4,q={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
• Kiểm điều kiện hội tụ — $|q|={\displaystyle \frac{1}{2}}<1$ nên áp được định lý 3.3.
• Kết quả — $S={\displaystyle \frac{u_1}{1-q}}={\displaystyle \frac{4}{1-\frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{4}{\frac{1}{2}}}=8$.

---

5. Kết nối

• Quy nạp làm nền cho cụm sau — kỹ thuật chứng minh quy nạp dùng ở đây tái xuất ở bất đẳng thức và tổ hợp, nơi nhiều khẳng định theo $n$ phải chứng minh bằng đúng hai bước cơ sở và quy nạp.
• Tổng cấp số nhân là gốc tài chính — công thức tổng hữu hạn cho ra công thức lãi kép và giá trị tương lai của niên kim; công thức tổng vô hạn cho ra giá trị hiện tại của dòng tiền vĩnh viễn, mắt xích trực tiếp sang phần định giá tài sản.
• Loga nối hai cấp số — quan hệ "cấp số nhân lấy loga thành cấp số cộng" là cầu sang hàm mũ và hàm loga, đồng thời giải thích vì sao lợi nhuận tích lũy thường đo bằng loga để cộng được qua các kỳ.