Cụm 8 — Hình giải tích phẳng

Cụm này là cụm dịch hình sang số: mỗi đối tượng hình học của mặt phẳng được mã hóa thành một phương trình, nên mọi câu hỏi về vị trí, khoảng cách, tiếp xúc đều quy về biến đổi đại số.

• Câu hỏi gốc — làm sao mô tả điểm, đường thẳng, đường cong bằng con số để tính khoảng cách và vị trí mà không cần vẽ hình đo đạc.
• Tiên đề nền — toàn cụm đứng trên một hệ tọa độ Descartes (Cartesian coordinate system) và một định lý Pytago được mượn từ hình học Euclid để biến hình thành số.
• Bốn trụ — công thức khoảng cách giữa hai điểm, phương trình đường thẳng và khoảng cách điểm-đường, phương trình đường tròn, ba conic parabol/elip/hyperbol theo định nghĩa tiêu điểm.
• Mạch dẫn xuất — mọi phương trình chính tắc trong cụm đều là một định lý suy ra từ một định nghĩa hình học bằng công thức khoảng cách, không phải công thức trời cho.
• Vì sao là nền — đây là chỗ đại số và hình học gặp nhau, là tiền đề cho vector, hình giải tích không gian và mọi mô hình hóa hình học bằng tọa độ về sau.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Màu — node xanh đậm là tiên đề nền phải chấp nhận (hệ tọa độ và định lý Pytago mượn từ hình học Euclid); xanh nhạt là các vật dẫn xuất bằng đại số; xanh lá là ba conic định nghĩa theo khoảng cách tới tiêu điểm.
• Hướng — mọi mũi tên đi từ vật có trước tới vật định nghĩa nhờ nó, nên đọc từ trên xuống là đọc đúng thứ tự phụ thuộc kiến thức.
• Nút thắt — công thức khoảng cách hai điểm là eo thắt: gần như mọi phương trình bên dưới (đường tròn, elip, hyperbol) đều dựng lên bằng cách áp lại đúng công thức này.

Glossary nhãn chart (English keyword -> tiếng Việt):

• Cartesian coordinates — hệ tọa độ Descartes: hệ trục vuông góc gán mỗi điểm một cặp số.
• Pythagorean theorem — định lý Pytago: quan hệ giữa ba cạnh tam giác vuông, cây cầu biến hình thành số.
• Distance formula — công thức khoảng cách hai điểm: độ dài đoạn nối hai điểm tính từ tọa độ.
• Line equation — phương trình đường thẳng: dạng tổng quát mô tả mọi đường thẳng.
• Point-to-line distance — khoảng cách điểm-đường: độ dài đường vuông góc hạ từ điểm xuống đường thẳng.
• Circle equation — phương trình đường tròn: tập điểm cách tâm một khoảng cố định.
• Parabola, Ellipse, Hyperbola — ba conic section sinh từ cắt mặt nón, định nghĩa theo tiêu điểm và đường chuẩn.

---

1. Tiên đề nền — hệ tọa độ và công thức khoảng cách

1.1 Tiên đề & khái niệm nền

Hình giải tích đứng trên một quy ước gốc và một định lý mượn, hai thứ này không chứng minh trong khuôn khổ cụm mà phải chấp nhận để khởi động.

• Hệ tọa độ Descartes — chọn hai trục số vuông góc cắt nhau tại gốc $O$; mỗi điểm $M$ của mặt phẳng ứng với đúng một cặp số $(x,y)$ là hoành độ và tung độ, và ngược lại mỗi cặp số ứng với đúng một điểm. Đây là quy ước nền biến mặt phẳng hình học thành mặt phẳng số.
• Định lý Pytago mượn từ hình học Euclid — trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông; cụm này dùng nó như một tiên đề công cụ để đo độ dài bằng tọa độ.
• Nguyên tắc dịch hình sang số — mỗi tập điểm hình học (đường thẳng, đường tròn, conic) được mã hóa thành một phương trình mà tọa độ điểm thỏa khi và chỉ khi điểm thuộc tập đó; nhờ vậy câu hỏi hình học quy về câu hỏi đại số.

1.2 Định nghĩa — đoạn thẳng và khoảng cách hai điểm

• Định nghĩa — khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1,y_1)$ và $B(x_2,y_2)$ là độ dài đoạn thẳng nối chúng, ký hiệu $AB$.

Khoảng cách này chưa có công thức; ta phải dẫn nó ra từ định lý Pytago, đó là định lý đầu tiên của cụm.

Định lý — công thức khoảng cách hai điểm

Với hai điểm $A(x_1,y_1)$ và $B(x_2,y_2)$ trong hệ tọa độ Descartes thì $AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$.

Chứng minh. Dựng điểm $C(x_2,y_1)$ thì $AC$ song song trục hoành và $BC$ song song trục tung, nên tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Cạnh ngang dài $AC=|x_2-x_1|$, cạnh dọc dài $BC=|y_2-y_1|$. Áp định lý Pytago cho tam giác vuông $ABC$ thì $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$. Lấy căn bậc hai số học hai vế (vì $AB\ge 0$) được điều phải chứng minh. $◼$

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

• Biến:
  • $x_1,y_1$ — hoành độ và tung độ điểm đầu $A$.
  • $x_2,y_2$ — hoành độ và tung độ điểm cuối $B$.
  • $AB$ — độ dài đoạn thẳng, luôn không âm.
• Ý nghĩa:
  • Đo độ dài hình học chỉ bằng phép trừ tọa độ rồi lấy căn tổng bình phương — đây là viên gạch tái dùng cho mọi phương trình bên dưới.
  • Bình phương khử dấu nên thứ tự $A$, $B$ không đổi kết quả.

---

2. Đường thẳng

2.1 Định nghĩa — vector chỉ phương và vector pháp tuyến

• Vector chỉ phương — một vector khác không cùng phương với đường thẳng, cho biết hướng đi của đường.
• Vector pháp tuyến — một vector khác không vuông góc với đường thẳng; vuông góc với mọi vector chỉ phương của nó.
• Hệ số góc — số $k=\tan \alpha$ với $\alpha$ là góc nghiêng của đường so với chiều dương trục $Ox$, đo độ dốc; đường thẳng đứng có $\alpha ={90}^{\circ }$ nên $k$ không tồn tại.

Định lý — phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng đi qua $M_0(x_0,y_0)$ và nhận $\overrightarrow{n}=(A,B)\ne \overrightarrow{0}$ làm vector pháp tuyến có phương trình $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$, rút gọn thành $Ax+By+C=0$.

Chứng minh. Điểm $M(x,y)$ nằm trên đường thẳng khi và chỉ khi vector $\overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_0,y-y_0)$ vuông góc với pháp tuyến $\overrightarrow{n}$, tức tích vô hướng bằng không: $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$. Khai triển và đặt $C=-(A{x}_0+B{y}_0)$ được $Ax+By+C=0$. Vì $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ nên $A,B$ không đồng thời bằng không, đó là dạng tổng quát của đường thẳng. $◼$

$$Ax+By+C=0(A,B)\ne (0,0)$$

• Biến:
  • $A,B$ — hai thành phần của vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}$, không đồng thời bằng không.
  • $C$ — hằng số tự do, dịch đường thẳng song song với chính nó.
  • $x,y$ — tọa độ điểm chạy trên đường thẳng.
• Ý nghĩa:
  • Dạng tổng quát mô tả được cả đường thẳng đứng mà dạng $y=kx+b$ chịu thua, vì không cần hệ số góc.
  • Hệ số góc đọc trực tiếp là $k=-{\displaystyle \frac{A}{B}}$ khi $B\ne 0$.

Các dạng phương trình tương đương cùng mô tả một đường thẳng, chọn dạng theo dữ kiện đề cho.

• Dạng hệ số góc — $y=kx+b$ với $b$ là tung độ giao trục $Oy$, dùng khi biết độ dốc và điểm cắt trục tung.
• Dạng điểm và hệ số góc — $y-y_0=k(x-x_0)$, dùng khi biết một điểm và hệ số góc, viết nhanh nhất.
• Dạng đoạn chắn — ${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}=1$ cắt trục hoành tại $(a,0)$ và trục tung tại $(0,b)$.

2.2 Quan hệ song song và vuông góc

• Song song — hai đường $l_1\parallel l_2$ khi cùng hệ số góc $k_1=k_2$ mà khác tung độ chắn; ở dạng tổng quát là $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$ kèm không trùng nhau.
• Vuông góc — hai đường $l_1\perp l_2$ khi tích hệ số góc $k_1{k}_2=-1$; ở dạng tổng quát là $A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$, đúng vì hai pháp tuyến vuông góc thì tích vô hướng bằng không.

Định lý — khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0,y_0)$ tới đường thẳng $\mathrm{\Delta }:Ax+By+C=0$ là $d(M_0,\mathrm{\Delta })={\displaystyle \frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}$.

Định hướng chứng minh. Vì cả khai triển đại số dài, ta đi theo các bước chính.

• Bước 1 — dùng pháp tuyến — khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn vuông góc $M_{0}H$ với $H$ là chân đường vuông góc, mà $\overrightarrow{M_{0}H}$ cùng phương vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A,B)$.
• Bước 2 — tham số hóa chân vuông góc — viết $H=M_0+t\overrightarrow{n}$ cho một số thực $t$ chưa biết, rồi ép $H$ thỏa phương trình đường thẳng để giải ra $t$.
• Bước 3 — giải $t$ — thay tọa độ $H$ vào $Ax+By+C=0$ cho $t=-{\displaystyle \frac{A{x}_0+B{y}_0+C}{A^2+B^2}}$.
• Bước 4 — lấy độ dài — khoảng cách bằng $|t|\cdot |\overrightarrow{n}|=|t|\cdot \sqrt{A^2+B^2}$; thế $t$ vào và rút gọn được công thức cần chứng minh. $◼$

$$d(M_0,\mathrm{\Delta })=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

• Biến:
  • $x_0,y_0$ — tọa độ điểm cần đo khoảng cách.
  • $A,B,C$ — ba hệ số của đường thẳng ở dạng tổng quát.
  • $|\cdot |$ — trị tuyệt đối, vì khoảng cách luôn không âm; dấu của biểu thức bên trong cho biết điểm nằm phía nào của đường.
• Ý nghĩa:
  • Thế tọa độ điểm vào vế trái phương trình đường thẳng rồi chia cho độ dài pháp tuyến là ra khoảng cách.
  • Khi $d=0$ thì điểm nằm trên đường; dấu của tử số chưa lấy trị tuyệt đối định hướng nửa mặt phẳng chứa điểm.

2.3 Dạng câu hỏi trong đề

• Viết phương trình đường thẳng — qua hai điểm, qua một điểm song song hoặc vuông góc với đường cho sẵn, qua giao điểm của hai đường rồi thêm điều kiện.
• Hệ số góc và góc nghiêng — tìm $k$ từ phương trình hoặc từ góc nghiêng, xếp thứ tự $k$ đọc trên hình, tìm $k$ sau khi xoay đường ${90}^{\circ }$.
• Khoảng cách — giữa hai điểm, từ điểm tới đường, giữa hai đường thẳng song song.

2.4 Quy trình không trượt bước

• Đường thẳng qua hai điểm — tính $k={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$; thế một điểm vào $y-y_0=k(x-x_0)$; rút gọn về dạng đề yêu cầu. Trừ tử mẫu sai dấu là sai cả bài.
• Đường thẳng vuông góc — lấy $k$ của đường đã cho; tính $k^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{k}}$; thế điểm vào dạng điểm và hệ số góc. Quên nghịch đảo và đổi dấu là nhầm sang song song.
• Khoảng cách hai đường song song — đưa hai đường về cùng bộ hệ số $A,B$; áp ${\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}}$. Quên đồng bộ hệ số trước khi trừ $C$ là sai số.

2.5 Bẫy hay gặp

• Đường thẳng đứng vô hệ số góc — gặp đường $x=c$ thì $k$ không tồn tại, đừng cố tính $\tan {90}^{\circ }$.
• Chưa đồng bộ hệ số khi đo hai đường song song — $3x+4y=0$ và $6x+8y-5=0$ phải đưa về cùng hệ số rồi mới trừ hằng số.
• Song song có tham số sót loại trùng — giải ra hai giá trị tham số nhưng một giá trị làm hai đường trùng nhau, phải loại.

---

3. Đường tròn — quỹ tích cách tâm một khoảng cố định

3.1 Định nghĩa — đường tròn

• Định nghĩa — đường tròn tâm $I(a,b)$ bán kính $R>0$ là tập hợp mọi điểm $M(x,y)$ của mặt phẳng cách $I$ một khoảng đúng bằng $R$, tức tập điểm thỏa $IM=R$.

Định lý — phương trình chính tắc của đường tròn

Đường tròn tâm $I(a,b)$ bán kính $R$ có phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$.

Chứng minh. Theo định nghĩa, điểm $M(x,y)$ thuộc đường tròn khi và chỉ khi $IM=R$. Áp công thức khoảng cách hai điểm (định lý mục 1) cho $I(a,b)$ và $M(x,y)$ được $IM=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$. Vậy điều kiện $IM=R$ tương đương $\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=R$. Bình phương hai vế (cả hai không âm nên phép bình phương thuận nghịch) được $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$, đúng cho mọi điểm của đường tròn và chỉ những điểm đó. $◼$

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$$

• Biến:
  • $a,b$ — hoành độ và tung độ tâm $I$; đọc tâm là lấy dấu ngược trong ngoặc.
  • $R$ — bán kính, luôn dương; vế phải là $R^2$ nên bán kính là căn vế phải.
  • $x,y$ — tọa độ điểm chạy trên đường tròn.
• Ý nghĩa:
  • Phương trình đường tròn chỉ là công thức khoảng cách bình phương đặt bằng $R^2$ — không phải công thức rời rạc, mà hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Định lý — dạng tổng quát của đường tròn

Phương trình $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ là một đường tròn khi và chỉ khi $D^2+E^2-4F>0$, khi đó tâm $(-{\displaystyle \frac{D}{2}},-{\displaystyle \frac{E}{2}})$ và bán kính $R={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{D^2+E^2-4F}$.

Định hướng chứng minh. Biến đổi về dạng chính tắc bằng kỹ thuật hoàn thành bình phương (complete the square).

• Bước 1 — gom theo biến — nhóm $(x^2+Dx)+(y^2+Ey)+F=0$.

• Bước 2 — hoàn thành bình phương — thêm bớt để được ${(x+{\displaystyle \frac{D}{2}})}^2+{(y+{\displaystyle \frac{E}{2}})}^2={\displaystyle \frac{D^2+E^2-4F}{4}}$.

• Bước 3 — đối chiếu dạng chính tắc — vế phải đóng vai trò $R^2$, nên là đường tròn thật khi vế phải dương, từ đó suy ra điều kiện $D^2+E^2-4F>0$, đọc ra tâm và bán kính như phát biểu. $◼$

• Biến:

  • $D,E$ — hệ số bậc nhất theo $x$ và $y$; tâm là nửa ngược dấu của chúng.
  • $F$ — hằng số tự do; vào biểu thức dưới căn của bán kính.
  • $D^2+E^2-4F$ — biểu thức quyết định: dương thì là đường tròn, bằng không suy biến thành một điểm, âm thì vô nghiệm.

3.2 Vị trí tương đối

• Điểm với đường tròn — thế tọa độ điểm vào $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$ rồi so với $R^2$: nhỏ hơn là trong, bằng là trên, lớn hơn là ngoài.
• Đường thẳng với đường tròn — so khoảng cách $d$ từ tâm tới đường thẳng với $R$: $d>R$ không cắt, $d=R$ tiếp xúc, $d<R$ cắt tại hai điểm.
• Độ dài nửa dây cung — khi cắt nhau thì nửa dây bằng $\sqrt{R^2-d^2}$, suy ra từ định lý Pytago cho tam giác tâm — trung điểm dây — đầu dây.

3.3 Quy trình và bẫy

• Đọc tâm bán kính dạng tổng quát — nếu hệ số $x^2$ và $y^2$ chưa bằng $1$ thì chia về $1$ trước; áp tâm $(-{\displaystyle \frac{D}{2}},-{\displaystyle \frac{E}{2}})$ và $R={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{D^2+E^2-4F}$.
• Tìm tham số để tiếp xúc — viết $d$ từ tâm tới đường thẳng theo tham số; đặt $d=R$; bình phương hai vế rồi giải, đừng sót nghiệm khi bình phương.
• Bán kính là căn, không phải vế phải — $(x+4{)}^2+(y-3{)}^2=7$ có bán kính $\sqrt{7}$ chứ không phải $7$.
• Đọc tâm quên đổi dấu — $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$ có tâm $(-1,2)$, dấu trong ngoặc lấy ngược.

---

4. Ba conic

Ba đường cong này cùng sinh ra từ cắt một mặt nón bằng mặt phẳng nghiêng khác nhau, nên chia chung bộ khái niệm tiêu điểm (focus), đường chuẩn (directrix), tâm sai (eccentricity). Mỗi conic định nghĩa bằng một điều kiện khoảng cách, và phương trình chính tắc là định lý suy ra từ điều kiện đó.

4.1 Parabol

• Định nghĩa — parabol là tập hợp các điểm cách đều một tiêu điểm $F$ cố định và một đường chuẩn cố định; mọi tính chất khoảng cách của parabol bắt nguồn từ đây.

Định lý — phương trình chính tắc của parabol

Parabol có tiêu điểm $F({\displaystyle \frac{p}{2}},0)$ và đường chuẩn $x=-{\displaystyle \frac{p}{2}}$ thì có phương trình chính tắc $y^2=2px$.

Định hướng chứng minh. Đặt hệ tọa độ sao cho đỉnh tại gốc và trục đối xứng là trục hoành, rồi viết điều kiện cách đều bằng tọa độ.

• Bước 1 — viết hai khoảng cách — với điểm $M(x,y)$, khoảng cách tới tiêu $MF=\sqrt{{(x-{\displaystyle \frac{p}{2}})}^2+y^2}$, khoảng cách tới đường chuẩn $x=-{\displaystyle \frac{p}{2}}$ là $|x+{\displaystyle \frac{p}{2}}|$.
• Bước 2 — đặt bằng nhau — định nghĩa cho $MF$ bằng khoảng cách tới đường chuẩn.
• Bước 3 — bình phương khử căn — bình phương hai vế, khai triển và rút gọn; các số hạng $x^2$ và ${\displaystyle \frac{p^2}{4}}$ triệt tiêu, còn lại $y^2=2px$. $◼$

$$y^2=2px$$

• Biến:
  • $p$ — tham số tiêu, bằng khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn; $p>0$ parabol mở sang phải, $p<0$ mở sang trái.
  • ${\displaystyle \frac{p}{2}}$ — hoành độ tiêu điểm và độ lớn khoảng cách đỉnh tới chuẩn.
• Ý nghĩa:
  • Bán kính tiêu của điểm trên parabol là $|MF|=x_0+{\displaystyle \frac{p}{2}}$, mẹo giải các câu cho $|AF|$ rồi tìm hoành độ.
  • Dạng mở dọc là $x^2=2py$, tiêu $(0,{\displaystyle \frac{p}{2}})$; dạng $y=a{x}^2$ phải đưa về $x^2={\displaystyle \frac{1}{a}}y$ trước khi đọc.

4.2 Elip

• Định nghĩa — elip là tập hợp các điểm có tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm $F_1,F_2$ bằng hằng số $2a$, với $2a$ lớn hơn khoảng cách hai tiêu.

Định lý — phương trình chính tắc của elip

Elip có hai tiêu điểm $F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$ và tổng khoảng cách $2a$ thì có phương trình chính tắc ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ với $b^2=a^2-c^2$.

Định hướng chứng minh. Đặt hai tiêu điểm đối xứng qua gốc trên trục hoành, rồi đại số hóa điều kiện tổng khoảng cách không đổi.

• Bước 1 — viết điều kiện tổng — với $M(x,y)$ thì $M{F}_1+M{F}_2=2a$, trong đó hai bán kính tiêu là $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$ và $\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$.
• Bước 2 — khử căn hai lần — chuyển một căn sang vế kia rồi bình phương; còn một căn thì bình phương lần nữa để khử hết.
• Bước 3 — rút gọn và đặt biến phụ — sau rút gọn được ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2-c^2}}=1$; đặt $b^2=a^2-c^2>0$ thành phương trình chính tắc. $◼$

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a>b>0,a^2=b^2+c^2$$

• Biến:
  • $a$ — nửa trục lớn; trục lớn dài $2a$ bằng đúng tổng khoảng cách cố định; $a^2$ là mẫu lớn hơn.
  • $b$ — nửa trục nhỏ; trục nhỏ dài $2b$.
  • $c$ — nửa tiêu cự, khoảng cách từ tâm tới mỗi tiêu điểm.
• Ý nghĩa:
  • Quan hệ ba tham số $a^2=b^2+c^2$ chính là định lý Pytago cho tam giác tiêu — đỉnh trục nhỏ — tâm.
  • Tâm sai $e={\displaystyle \frac{c}{a}}\in (0,1)$: gần $1$ thì elip dẹt, gần $0$ thì tròn; biết một bán kính tiêu suy ngay bán kính kia qua $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$.

4.3 Hyperbol

• Định nghĩa — hyperbol là tập hợp các điểm có trị tuyệt đối hiệu khoảng cách tới hai tiêu điểm bằng hằng số $2a$, với $2a$ nhỏ hơn khoảng cách hai tiêu.

Định lý — phương trình chính tắc của hyperbol

Hyperbol có hai tiêu điểm $F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$ và hiệu khoảng cách $2a$ thì có phương trình chính tắc ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ với $b^2=c^2-a^2$.

Định hướng chứng minh. Cùng kỹ thuật như elip nhưng xuất phát từ điều kiện hiệu thay vì tổng.

• Bước 1 — viết điều kiện hiệu — với $M(x,y)$ thì $|M{F}_1-M{F}_2|=2a$, hai bán kính tiêu giống dạng elip.
• Bước 2 — khử căn hai lần — bỏ trị tuyệt đối, chuyển vế rồi bình phương hai lần để khử hết căn.
• Bước 3 — đặt biến phụ — sau rút gọn được ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{c^2-a^2}}=1$; vì $c>a$ nên $c^2-a^2>0$, đặt $b^2=c^2-a^2$ thành phương trình chính tắc. $◼$

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1c^2=a^2+b^2$$

• Biến:
  • $a$ — nửa trục thực; trục thực dài $2a$ bằng hiệu khoảng cách cố định.
  • $b$ — nửa trục ảo; trục ảo dài $2b$.
  • $c$ — nửa tiêu cự; quan hệ $c^2=a^2+b^2$ là cộng, khác hẳn elip ở chỗ trừ.
• Ý nghĩa:
  • Đường tiệm cận là $y=\pm {\displaystyle \frac{b}{a}}x$, hai đường mà nhánh hyperbol tiến sát mãi mà không chạm.
  • Tâm sai $e={\displaystyle \frac{c}{a}}>1$ luôn lớn hơn một; dấu trừ đứng trước số hạng nào thì trục đó là ảo.

4.4 Dạng câu hỏi, quy trình và bẫy

• Đọc tham số từ phương trình — tìm tiêu điểm, đường chuẩn, hướng mở của parabol; tìm trục, tâm sai, tiêu của elip và hyperbol; nhận diện một phương trình là conic loại nào.
• Quy trình tâm sai — xác định $a^2,b^2$ theo loại conic; tính $c$ bằng $a^2-b^2$ cho elip hoặc $a^2+b^2$ cho hyperbol; lấy $e={\displaystyle \frac{c}{a}}$.
• Lẫn dấu quan hệ $c$ — elip dùng $a^2=b^2+c^2$, hyperbol dùng $c^2=a^2+b^2$; đảo là sai tâm sai cả bài.
• Nhầm hệ số $2p$ với $p$ — $y^2=4x$ có $2p=4$ nên $p=2$ và tiêu tại $(1,0)$, đừng lấy thẳng $4$.
• Lẫn trục với nửa trục — trục thực dài $2a$, nửa trục thực là $a$; đọc $a^2$ ở mẫu lớn với elip.

---

5. Ví dụ mẫu có lời giải

5.1 Đường tròn qua công thức khoảng cách

• Đề — viết phương trình đường tròn tâm $I(2,-1)$ đi qua điểm $A(5,3)$.
• Giải:
  • Bán kính là khoảng cách $IA$; áp định lý khoảng cách hai điểm: $R=\sqrt{(5-2{)}^2+(3-(-1){)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
  • Áp định lý phương trình chính tắc đường tròn với tâm $(2,-1)$ và $R=5$: $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$.
• Kết luận — phương trình cần tìm là $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$; chú ý tung độ tâm âm nên trong ngoặc là $y+1$.

5.2 Khoảng cách điểm-đường và tiếp xúc

• Đề — đường thẳng $\mathrm{\Delta }:3x-4y+10=0$ và đường tròn tâm $I(1,2)$ bán kính $R=2$; xét vị trí tương đối.
• Giải:
  • Áp định lý khoảng cách điểm-đường: $d(I,\mathrm{\Delta })={\displaystyle \frac{|3\cdot 1-4\cdot 2+10|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}}={\displaystyle \frac{|3-8+10|}{\sqrt{25}}}={\displaystyle \frac{5}{5}}=1$.
  • So $d=1$ với $R=2$: vì $d<R$ nên đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.
  • Nửa dây cung bằng $\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$, nên dây cung dài $2\sqrt{3}$.
• Kết luận — đường thẳng cắt đường tròn, dây cung dài $2\sqrt{3}$; nếu đề hỏi điều kiện tiếp xúc thì đặt $d=R$ rồi giải tham số.

---

6. Kết nối

• Nền cho vector (cụm 9) — phương trình đường thẳng dựng từ vector pháp tuyến và tích vô hướng; cụm vector hình thức hóa đúng các công cụ đã dùng ở đây.
• Nền cho hình giải tích không gian (cụm 10) — công thức khoảng cách, phương trình mặt phẳng và mặt cầu là bản nâng chiều của khoảng cách hai điểm và phương trình đường tròn trong cụm này.
• Nền cho mô hình hóa bằng tọa độ — kỹ thuật dịch điều kiện hình học thành phương trình rồi giải đại số là khuôn mẫu tái dùng cho mọi bài toán hình học giải tích về sau.