Lab — Đếm và xác suất

Trang mô phỏng trực quan cho cụm Đếm và xác suất. Phần trắc nghiệm xem ở Trắc nghiệm, lý thuyết ở đây.

Mô phỏng kỳ vọng số huy chương

Bài gốc: chọn ngẫu nhiên 3 trong 6 môn, trong đó 4 môn có huy chương và 2 môn không, hỏi kỳ vọng tổng số huy chương nhặt được.

• Lời giải bằng mẹo — đặt biến chỉ thị cho từng môn có huy chương, kỳ vọng tổng bằng tổng kỳ vọng từng chỉ thị, ra $E[X]=4\cdot \frac{3}{6}=2$ mà không phải nháp xác suất từng trường hợp.
• Kiểm chứng bằng mô phỏng — chạy phép thử nhiều lần rồi lấy trung bình số huy chương đếm được; khi số lần thử tăng, trung bình thực nghiệm bám sát đường kỳ vọng đúng 2.
• Cơ sở lý thuyết — xem mục Mẹo tuyến tính kỳ vọng.

Số lần thử N = 500

$$E[X] = 4 \cdot \dfrac{3}{6} = 2$$$$\bar{X}_N = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} X_i = 1.996 \quad (N = 500)$$

Trung bình mô phỏng1.996

Kỳ vọng đúng2.000

Sai số tuyệt đối0.004

Mỗi lần thử chọn ngẫu nhiên 3 trong 6 môn, đếm xem trúng mấy môn có huy chương trong 4 môn. Kéo N lớn lên, trung bình mô phỏng bám sát đường ngang kỳ vọng đúng 2. Đó là kiểm chứng trực quan mẹo tuyến tính kỳ vọng E[tổng] = tổng E[chỉ thị] = 4 nhân 3/6 = 2, không phải nháp xác suất từng trường hợp.