Cụm 10 — Hình không gian

Cụm này dựng toàn bộ hình học không gian từ một nhúm tiên đề về điểm, đường, mặt rồi leo dần lên thể tích và tọa độ:

• Câu hỏi gốc — làm sao gắn các đối tượng không gian không nhìn thấy được trực tiếp vào một hệ quy tắc tính toán chính xác và không mâu thuẫn.
• Trụ một là quan hệ vị trí — từ tiên đề "qua ba điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng" xây quan hệ song song và vuông góc giữa đường và mặt, đỉnh điểm là định lý ba đường vuông góc.
• Trụ hai là độ đo — mỗi công thức thể tích khối chóp, lăng trụ, khối tròn xoay là một định lý có gốc từ nguyên lý lát cắt, không phải mẹo nhớ.
• Trụ ba là tọa độ hóa — gắn hệ trục Oxyz biến mọi câu hỏi vị trí và khoảng cách thành đại số thuần, là cây cầu nối hình học với vector và giải tích.
• Vì sao là nền — toàn bộ tích phân thể tích, hình giải tích và mô hình hóa không gian sau này đều mượn lại bộ tiên đề và công thức thể tích dựng ở đây.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Màu — node xanh đậm là tiên đề gốc; xanh nhạt là quan hệ vị trí dẫn xuất; xanh lá là tầng độ đo và tọa độ hóa cho ra số.
• Hướng — mọi nhánh đều mọc ra từ "mặt phẳng xác định", nên nắm chắc tiên đề ba điểm trước rồi mới sang quan hệ vuông góc và thể tích.

Giả định nền: không gian Euclid ba chiều, các tiên đề kết hợp và song song của hình học cổ điển giữ nguyên, mọi khối xét đều là khối đặc đo được thể tích.

Glossary nhãn chart (English keyword -> tiếng Việt):

• Axioms — nhóm tiên đề gốc về điểm, đường thẳng, mặt phẳng.
• Plane determination — điều kiện đủ để có duy nhất một mặt phẳng.
• Parallelism — quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Perpendicularity — quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Three perpendiculars — định lý ba đường vuông góc, nối ba quan hệ vuông góc.
• Solid volume — thể tích khối chóp và lăng trụ.
• Solid of revolution — thể tích khối trụ, nón, cầu.
• Coordinate system — hệ tọa độ Descartes ba chiều $Oxyz$.
• Distance — độ dài đoạn nối hai điểm.
• Sphere plane equation — phương trình đại số của mặt cầu và mặt phẳng.
• Symmetry — phép lấy ảnh đối xứng qua trục, mặt, gốc.

---

1. Tiên đề và quan hệ vị trí

1.1 Tiên đề và khái niệm nền

Hình học không gian không định nghĩa được điểm, đường thẳng, mặt phẳng bằng vật có trước, nên ta nhận chúng làm đối tượng nguyên thủy và chỉ phát biểu quan hệ giữa chúng qua các tiên đề.

• Đối tượng nguyên thủy — điểm, đường thẳng, mặt phẳng là ba loại đối tượng gốc không định nghĩa, mọi hình khối đều là tập hợp điểm thỏa quan hệ nào đó.
• Tiên đề A1 đường qua hai điểm — qua hai điểm phân biệt có duy nhất một đường thẳng.
• Tiên đề A2 mặt phẳng qua ba điểm — qua ba điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng, đây là tiên đề trục để xác định mặt phẳng.
• Tiên đề A3 đường nằm trong mặt — nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
• Tiên đề A4 giao của hai mặt — nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa mọi điểm chung.
• Hệ quả của tiên đề A2 — một mặt phẳng cũng được xác định duy nhất bởi một đường thẳng và một điểm ngoài nó, hoặc bởi hai đường thẳng cắt nhau, vì cả hai trường hợp đều quy về ba điểm không thẳng hàng.

1.2 Định nghĩa quan hệ song song và vuông góc

Từ ba đối tượng gốc ta định nghĩa các quan hệ vị trí, mỗi quan hệ định nghĩa bằng giao điểm hoặc bằng góc đã có ở hình phẳng.

• Định nghĩa đường song song mặt — đường thẳng $d$ song song mặt phẳng $(P)$ khi $d$ và $(P)$ không có điểm chung nào.
• Định nghĩa đường vuông góc mặt — đường thẳng $d$ vuông góc mặt phẳng $(P)$ khi $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.
• Định nghĩa hai mặt vuông góc — hai mặt phẳng vuông góc khi góc nhị diện giữa chúng bằng ${90}^{\circ }$.
• Định nghĩa hình chiếu vuông góc — hình chiếu của điểm $M$ lên mặt phẳng $(P)$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $(P)$, là điểm của $(P)$ gần $M$ nhất.

1.3 Định lý điều kiện đường vuông góc mặt

Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

Định hướng chứng minh.

• Bước một dựng cơ sở — gọi $a$ và $b$ là hai đường cắt nhau trong $(P)$ mà $d$ vuông góc, vì $a$ và $b$ cắt nhau nên hai vector chỉ phương của chúng tạo thành một cơ sở của mặt phẳng $(P)$.
• Bước hai biểu diễn — mọi đường thẳng $c$ trong $(P)$ có vector chỉ phương viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai vector chỉ phương của $a$ và $b$.
• Bước ba dùng tích vô hướng — vì $d$ vuông góc $a$ và $d$ vuông góc $b$ nên tích vô hướng của vector chỉ phương $d$ với từng vector cơ sở bằng $0$, suy ra tích vô hướng với mọi tổ hợp tuyến tính cũng bằng $0$.
• Bước bốn kết luận — $d$ vuông góc với mọi đường $c$ trong $(P)$, đúng theo định nghĩa đường vuông góc mặt. $◼$

Ý nghĩa thực tế là chỉ cần kiểm tra vuông góc với hai phương cắt nhau thay vì kiểm tra với vô hạn đường trong mặt, đây là công cụ dựng đường cao và trục của khối.

---

2. Định lý ba đường vuông góc

Đây là định lý xương sống nối ba quan hệ vuông góc trong không gian, dùng để tính góc và khoảng cách mà không cần dựng hình đầy đủ.

2.1 Phát biểu

Cho đường thẳng $a$ không vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$. Khi đó $b$ vuông góc với $a$ khi và chỉ khi $b$ vuông góc với hình chiếu $a^{\prime }$ của $a$ trên $(P)$.

2.2 Định hướng chứng minh

• Bước một dựng đường vuông góc — lấy điểm $A$ trên $a$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(P)$, khi đó đoạn $AH$ vuông góc với $(P)$ nên $AH$ vuông góc với $b$ vì $b$ nằm trong $(P)$.
• Bước hai gom hai vuông góc — nếu giả thiết $b$ vuông góc $a$, thì $b$ đồng thời vuông góc với $a$ và với $AH$, mà $a$ và $AH$ là hai đường cắt nhau xác định một mặt phẳng chứa cả $a^{\prime }$.
• Bước ba áp định lý 1.3 — theo định lý điều kiện đường vuông góc mặt, $b$ vuông góc với mặt phẳng chứa $a$ và $AH$, nên $b$ vuông góc với hình chiếu $a^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng đó.
• Bước bốn chiều ngược lại — đảo lại, nếu $b$ vuông góc $a^{\prime }$ thì $b$ vuông góc với cả $a^{\prime }$ và $AH$, suy ra $b$ vuông góc mặt phẳng chứa $a$, nên $b$ vuông góc $a$. $◼$

2.3 Ý nghĩa và ứng dụng

• Quy bài toán không gian về hình phẳng — muốn xét góc giữa đường xiên $a$ và mặt $(P)$, ta chiếu $a$ xuống thành $a^{\prime }$ rồi làm việc trong tam giác vuông phẳng $AHM$.
• Tính khoảng cách điểm tới đường trong mặt — kết hợp với đường cao $AH$ để dựng đoạn vuông góc chung.
• Bẫy hay gặp — quên điều kiện $b$ phải nằm trong mặt $(P)$, định lý chỉ áp cho đường nằm trong mặt chứa hình chiếu.

---

3. Thể tích khối chóp và lăng trụ

Mỗi công thức thể tích là một định lý có gốc từ nguyên lý lát cắt Cavalieri, không phải quy ước. Ta nhận nguyên lý này làm tiên đề độ đo rồi suy ra mọi công thức.

3.1 Tiên đề độ đo thể tích

• Tiên đề đơn vị — khối hộp chữ nhật ba cạnh $a$, $b$, $c$ có thể tích $V=abc$, đây là mốc đo gốc.
• Tiên đề Cavalieri — hai khối có cùng chiều cao mà mọi mặt phẳng song song đáy cắt chúng cho hai thiết diện cùng diện tích thì hai khối có thể tích bằng nhau.

3.2 Định lý thể tích lăng trụ

Khối lăng trụ có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ có thể tích $V=Sh$.

$$V_{\text{lang tru}}=S\cdot h$$

• Biến:
  • $S$ — diện tích mặt đáy của lăng trụ.
  • $h$ — chiều cao, là khoảng cách vuông góc giữa hai mặt đáy song song.
  • $V$ — thể tích khối lăng trụ.

Chứng minh. Lát mọi mặt phẳng song song đáy cắt lăng trụ đều cho thiết diện bằng đúng đáy nên diện tích thiết diện luôn là $S$, không đổi theo độ cao. Khối hộp chữ nhật đáy $S$ cao $h$ cũng có thiết diện không đổi $S$ tại mọi độ cao. Hai khối cùng chiều cao và cùng diện tích thiết diện tại mọi lát, theo tiên đề Cavalieri chúng cùng thể tích, mà khối hộp có thể tích $Sh$ theo tiên đề đơn vị, nên lăng trụ cũng có $V=Sh$. $◼$

3.3 Định lý thể tích khối chóp

Khối chóp có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ có thể tích $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$.

$$V_{\text{chop}}=\frac{1}{3}Sh$$

• Biến:
  • $S$ — diện tích mặt đáy của chóp.
  • $h$ — chiều cao, là khoảng cách từ đỉnh xuống mặt phẳng đáy.
  • ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ — hệ số đặc trưng của khối chóp, gốc của hệ số này là nội dung cần chứng minh.

Định hướng chứng minh.

• Bước một chia lăng trụ tam giác — một khối lăng trụ tam giác bất kỳ cắt được thành đúng ba khối chóp tam giác có thể tích bằng nhau từng đôi qua phép so cặp đáy và đỉnh chung.
• Bước hai suy hệ số một phần ba — vì ba chóp bằng nhau lấp đầy một lăng trụ thể tích $Sh$, mỗi chóp có thể tích ${\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$.
• Bước ba mở rộng đáy đa giác — chóp đáy đa giác bất kỳ chia thành các chóp đáy tam giác cùng đỉnh, cộng thể tích từng phần vẫn giữ hệ số ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.
• Bước bốn dùng Cavalieri kiểm chéo — hai chóp cùng đáy diện tích $S$ và cùng chiều cao $h$ cho thiết diện đồng dạng theo tỉ lệ bình phương độ cao nên cùng thể tích, xác nhận công thức không phụ thuộc hình dạng đáy. $◼$

Ý nghĩa thực tế là khối chóp luôn bằng một phần ba lăng trụ cùng đáy cùng cao, đây là hệ số học sinh hay quên và là bẫy kinh điển nhất của cụm.

3.4 Dạng câu hỏi trong đề

• Tính trực tiếp — cho kích thước hộp, lăng trụ hoặc chóp rồi hỏi thể tích, diện tích đáy, đường chéo.
• Tọa độ hóa thể tích — cho tọa độ bốn đỉnh tứ diện rồi tính thể tích qua tích hỗn tạp.
• Thiết diện và tỉ lệ — chóp tam giác dựng trong lập phương rồi tính phần thể tích cắt ra.

3.5 Bẫy hay gặp

• Quên hệ số một phần ba — lấy đáy nhân cao mà bỏ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ của chóp, hoặc gán nhầm hệ số đó cho lăng trụ.
• Nhầm đường sinh với chiều cao — chiều cao là khoảng cách vuông góc đỉnh xuống đáy, không phải cạnh bên xiên.
• Đồng dạng nhầm thành bằng nhau — hai đáy chóp cụt đồng dạng chứ không bằng, còn lăng trụ thì hai đáy bằng nhau.

---

4. Thể tích và diện tích khối tròn xoay

Khối tròn xoay sinh từ phép quay một hình phẳng quanh một trục: trụ từ hình chữ nhật, nón từ tam giác vuông, cầu từ nửa hình tròn.

4.1 Định lý quan hệ đường sinh

Trong hình nón bán kính đáy $r$, chiều cao $h$, đường sinh $l$ thỏa $l^2=r^2+h^2$.

$$l^2=r^2+h^2$$

• Biến:
  • $r$ — bán kính đáy nón.
  • $h$ — chiều cao nón, là cạnh góc vuông đứng.
  • $l$ — đường sinh, là cạnh huyền của tam giác vuông sinh ra nón.

Chứng minh. Cắt nón bằng mặt phẳng qua trục cho tam giác cân, nửa tam giác là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là bán kính $r$ và chiều cao $h$, cạnh huyền là đường sinh $l$. Áp định lý Pythagore cho tam giác vuông này được ngay $l^2=r^2+h^2$. $◼$

4.2 Định lý thể tích khối trụ

Khối trụ bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ có thể tích $V=\pi r^{2}h$ và diện tích xung quanh $S_{xq}=2\pi rh$.

$$V_{\text{tru}}=\pi r^{2}h{S}_{xq}=2\pi rh$$

• Biến:
  • $r$ — bán kính đáy tròn.
  • $h$ — chiều cao trụ.
  • $\pi r^2$ — diện tích đáy hình tròn.

Chứng minh. Trụ là lăng trụ có đáy là hình tròn diện tích $\pi r^2$, áp định lý thể tích lăng trụ ở mục 3.2 với $S=\pi r^2$ được $V=\pi r^{2}h$. Diện tích xung quanh có được khi trải mặt bên thành hình chữ nhật chiều rộng bằng chu vi đáy $2\pi r$ và chiều cao $h$, nên $S_{xq}=2\pi rh$. $◼$

4.3 Định lý thể tích khối nón

Khối nón bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ có thể tích $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$ và diện tích xung quanh $S_{xq}=\pi rl$.

$$V_{\text{non}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h{S}_{xq}=\pi rl$$

• Biến:
  • $r$ — bán kính đáy nón.
  • $h$ — chiều cao nón.
  • $l$ — đường sinh nón.

Định hướng chứng minh.

• Phần thể tích — nón là chóp có đáy hình tròn diện tích $\pi r^2$, áp định lý thể tích khối chóp mục 3.3 với $S=\pi r^2$ được $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$.
• Phần diện tích xung quanh — trải mặt bên nón thành hình quạt tròn bán kính bằng đường sinh $l$, độ dài cung quạt bằng chu vi đáy $2\pi r$, diện tích quạt là ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times l\times 2\pi r=\pi rl$. $◼$

4.4 Định lý thể tích và diện tích mặt cầu

Khối cầu bán kính $r$ có thể tích $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$ và mặt cầu có diện tích $S=4\pi r^2$.

$$V_{\text{cau}}=\frac{4}{3}\pi r^3{S}_{\text{cau}}=4\pi r^2$$

• Biến:
  • $r$ — bán kính cầu.
  • ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ — hệ số đặc trưng của khối cầu.

Định hướng chứng minh.

• Bước một dựng khối so sánh — đặt nửa cầu bán kính $r$ cạnh một khối trụ bán kính $r$ cao $r$ đã khoét bỏ một nón đỉnh ở tâm.
• Bước hai so thiết diện — tại độ cao $y$, thiết diện nửa cầu là hình tròn diện tích $\pi (r^2-y^2)$, còn thiết diện trụ khoét nón là vành khăn cũng diện tích $\pi (r^2-y^2)$, hai diện tích bằng nhau tại mọi độ cao.
• Bước ba áp Cavalieri — hai khối cùng thiết diện tại mọi lát nên cùng thể tích, thể tích trụ khoét nón bằng $\pi r^3-{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^3={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi r^3$ là thể tích nửa cầu, nhân đôi được ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$.
• Bước bốn suy diện tích — coi cầu là vô số chóp mỏng đỉnh ở tâm cao $r$ đáy phủ mặt cầu, tổng thể tích ${\displaystyle \frac{1}{3}}r\times S={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$ cho $S=4\pi r^2$. $◼$

4.5 Dạng câu hỏi và bẫy

• Khai triển mặt nón ra góc ở tâm — cho tỉ lệ diện tích hoặc chu vi đáy rồi tìm góc ở tâm $\theta ={\displaystyle \frac{2\pi r}{l}}$, chiều cao hoặc đường sinh.
• Hai trường hợp quay quanh hai cạnh — quay hình chữ nhật quanh cạnh dài và cạnh ngắn cho hai bán kính khác nhau nên đáp số có hai giá trị.
• Tròn xoay với không tròn xoay — lăng trụ trông đối xứng nhưng không sinh từ phép quay nên không phải khối tròn xoay.

---

5. Tọa độ Oxyz và khoảng cách

Hệ tọa độ Descartes biến mọi điểm không gian thành một bộ ba số, mọi câu hỏi vị trí thành đại số thuần.

5.1 Định nghĩa hệ tọa độ và điểm

• Định nghĩa hệ Oxyz — ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đôi một vuông góc cắt nhau tại gốc $O$, mỗi trục có một vector đơn vị.
• Định nghĩa tọa độ điểm — điểm $M$ ứng với bộ ba số $M(x,y,z)$ là độ dài đại số hình chiếu của $M$ lên ba trục.

5.2 Định lý khoảng cách hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1,y_1,z_1)$ và $B(x_2,y_2,z_2)$ là $|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$.

$$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

• Biến:
  • $x_2-x_1$ — hiệu tọa độ theo trục $Ox$.
  • $y_2-y_1$ — hiệu tọa độ theo trục $Oy$.
  • $z_2-z_1$ — hiệu tọa độ theo trục $Oz$.

Chứng minh. Dựng hình hộp chữ nhật nhận $AB$ làm đường chéo với ba cạnh song song ba trục có độ dài $|x_2-x_1|$, $|y_2-y_1|$, $|z_2-z_1|$. Áp định lý Pythagore hai lần, một lần trong mặt đáy rồi một lần với cạnh đứng, được bình phương đường chéo bằng tổng bình phương ba cạnh, khai căn ra công thức. $◼$

5.3 Định lý tọa độ trung điểm

Trung điểm $M$ của đoạn $AB$ có tọa độ $M({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}},{\displaystyle \frac{y_1+y_2}{2}},{\displaystyle \frac{z_1+z_2}{2}})$.

$$x_M=\frac{x_1+x_2}{2}{y}_M=\frac{y_1+y_2}{2}{z}_M=\frac{z_1+z_2}{2}$$

• Biến:
  • $x_1,x_2$ — tọa độ trục $Ox$ của hai đầu mút.
  • $y_1,y_2$ — tọa độ trục $Oy$ của hai đầu mút.
  • $z_1,z_2$ — tọa độ trục $Oz$ của hai đầu mút.

Chứng minh. Trung điểm chia đoạn theo tỉ lệ một một nên mỗi tọa độ của $M$ là trung bình cộng hai tọa độ tương ứng, do phép chiếu lên từng trục bảo toàn tỉ lệ chia đoạn. $◼$

5.4 Dạng câu hỏi và bẫy

• Trung tuyến tam giác — cho ba đỉnh tọa độ, tìm trung điểm cạnh đối trước rồi lấy khoảng cách từ đỉnh tới trung điểm.
• Điểm chia đoạn trên khối — gắn gốc vào một đỉnh lập phương, ba cạnh là ba trục, đọc tọa độ rồi nội suy điểm chia theo trọng số.
• Sót dấu trừ trong khoảng cách — hiệu tọa độ phải đặt đúng dấu trước khi bình phương dù bình phương khử dấu.

---

6. Phương trình mặt cầu và mặt phẳng

Tọa độ hóa cho phép viết mặt cầu và mặt phẳng thành một phương trình đại số, mỗi phương trình là một định lý suy từ định nghĩa khoảng cách.

6.1 Định lý phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm $I(a,b,c)$ bán kính $R$ có phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$$

• Biến:
  • $a,b,c$ — tọa độ tâm mặt cầu.
  • $R$ — bán kính mặt cầu.
  • $x,y,z$ — tọa độ điểm chạy trên mặt cầu.

Chứng minh. Mặt cầu là tập điểm $M(x,y,z)$ cách tâm $I$ đúng bằng $R$, viết điều kiện $|IM|=R$ bằng công thức khoảng cách rồi bình phương hai vế khử căn được ngay phương trình. $◼$

6.2 Định lý phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng qua điểm $M_0(x_0,y_0,z_0)$ nhận vector $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$ làm pháp tuyến có phương trình $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

• Biến:
  • $A,B,C$ — tọa độ vector pháp tuyến vuông góc mặt phẳng.
  • $x_0,y_0,z_0$ — tọa độ một điểm cho trước thuộc mặt phẳng.
  • $x,y,z$ — tọa độ điểm chạy trên mặt phẳng.

Chứng minh. Điểm $M(x,y,z)$ thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi vector $\overrightarrow{M_{0}M}$ vuông góc pháp tuyến $\overrightarrow{n}$, tức tích vô hướng $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=0$. Khai tích vô hướng theo tọa độ được đúng phương trình trên. $◼$

6.3 Định lý khoảng cách điểm tới mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm $M_1(x_1,y_1,z_1)$ tới mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ là $d={\displaystyle \frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$.

$$d=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

• Biến:
  • $A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D$ — giá trị thế tọa độ điểm vào vế trái phương trình mặt phẳng.
  • $\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ — độ dài vector pháp tuyến để chuẩn hóa.

Định hướng chứng minh.

• Bước một dựng hình chiếu — gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M_1$ lên mặt phẳng, đoạn $M_{1}H$ song song pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.
• Bước hai chiếu vector — khoảng cách $d=|M_{1}H|$ bằng độ dài hình chiếu của vector $\overrightarrow{H{M}_1}$ lên hướng pháp tuyến, tính bằng tích vô hướng chia độ dài pháp tuyến.
• Bước ba thế tọa độ — vì $H$ thuộc mặt phẳng nên thế gọn được tử số thành $|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|$, mẫu số là độ dài pháp tuyến. $◼$

---

7. Phép đối xứng trong Oxyz

Phép đối xứng biến một điểm thành ảnh qua trục, mặt phẳng tọa độ hoặc gốc, bản chất là phép đổi dấu một nhóm tọa độ.

7.1 Định lý luật đổi dấu

Phép đối xứng qua một mặt phẳng tọa độ đổi dấu đúng tọa độ vuông góc mặt đó. Phép đối xứng qua một trục giữ tọa độ trên trục và đổi dấu hai tọa độ kia. Phép đối xứng qua gốc đổi dấu cả ba tọa độ.

• Qua mặt $xOy$ — ảnh của $(x,y,z)$ là $(x,y,-z)$.
• Qua mặt $xOz$ — ảnh của $(x,y,z)$ là $(x,-y,z)$.
• Qua mặt $yOz$ — ảnh của $(x,y,z)$ là $(-x,y,z)$.
• Qua trục $Oz$ — ảnh của $(x,y,z)$ là $(-x,-y,z)$.
• Qua gốc $O$ — ảnh của $(x,y,z)$ là $(-x,-y,-z)$.

Chứng minh. Phép đối xứng qua mặt phẳng tọa độ giữ điểm chiếu lên mặt cố định và lật phần vuông góc sang phía đối diện, nên chỉ tọa độ vuông góc mặt đổi dấu còn hai tọa độ trong mặt giữ nguyên. Đối xứng qua trục là tích của hai phép đối xứng qua hai mặt chứa trục đó nên đổi dấu hai tọa độ. Đối xứng qua gốc là tích ba phép đối xứng qua ba mặt nên đổi dấu cả ba. $◼$

7.2 Dạng câu hỏi và bẫy

• Tìm ảnh đối xứng — cho điểm rồi hỏi ảnh qua mặt phẳng tọa độ, qua trục hoặc qua gốc.
• Khoảng cách điểm và ảnh — lấy ảnh đối xứng xong tính ngay khoảng cách, thường ra số đẹp.
• Lẫn trục với mặt phẳng — qua trục giữ một đổi hai, qua mặt phẳng giữ hai đổi một, nhớ ngược là sai hết.
• Quên đổi đủ dấu qua gốc — đối xứng qua gốc phải đổi cả ba, dễ sót một tọa độ.

---

8. Quy trình không trượt bước

• Khai triển mặt nón — viết độ dài cung quạt bằng chu vi đáy $2\pi r$, lập $\theta l=2\pi r$ ra góc ở tâm, dùng $l^2=r^2+h^2$ rút chiều cao, kiểm thứ nguyên.
• Diện tích hoặc thể tích khối — nhận đúng loại khối, viết công thức chuẩn, xác định $r$, $h$, $l$ qua tam giác đường sinh, thay số rồi rút gọn.
• Thể tích bằng tọa độ — lấy ba vector từ một đỉnh, tính thể tích tứ diện bằng ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ trị tuyệt đối tích hỗn tạp, kiểm dấu trước khi lấy trị tuyệt đối.
• Lấy điểm đối xứng — xác định đối xứng qua trục hay mặt hay gốc, áp luật giữ đổi đúng nhóm tọa độ, viết bộ ba mới rồi đọc lại.
• Khoảng cách điểm tới mặt phẳng — thế tọa độ điểm vào vế trái phương trình, lấy trị tuyệt đối, chia cho độ dài pháp tuyến.

---

9. Ví dụ mẫu có lời giải

9.1 Thể tích chóp tứ giác đều

• Đề — chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=6$ và chiều cao $h=4$, tính thể tích.
• Bước một diện tích đáy — đáy là hình vuông cạnh $6$ nên $S=6^2=36$.
• Bước hai áp định lý thể tích chóp — theo mục 3.3 có $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh={\displaystyle \frac{1}{3}}\times 36\times 4=48$.
• Kết luận — thể tích khối chóp bằng $48$ đơn vị thể tích, lưu ý không quên hệ số ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

9.2 Ảnh đối xứng và khoảng cách

• Đề — cho điểm $A(2,-3,5)$, tìm ảnh $A^{\prime }$ qua mặt phẳng $xOy$ rồi tính khoảng cách $|A{A}^{\prime }|$.
• Bước một lấy ảnh — qua $xOy$ đổi dấu tọa độ $z$ nên $A^{\prime }(2,-3,-5)$.
• Bước hai khoảng cách — áp định lý khoảng cách mục 5.2 với hiệu chỉ có ở trục $Oz$, được $|A{A}^{\prime }|=\sqrt{0^2+0^2+(-5-5{)}^2}=\sqrt{100}=10$.
• Kết luận — khoảng cách bằng $10$, đúng bằng hai lần trị tuyệt đối tọa độ $z$ vì hai điểm chỉ khác nhau ở trục đó.

---

10. Kết nối

• Nền cho vector và tích hỗn tạp — quan hệ vuông góc và pháp tuyến ở đây là cửa vào cụm vector, nơi tích vô hướng và tích có hướng định lượng góc và diện tích.
• Nền cho tích phân thể tích — nguyên lý Cavalieri và lát cắt mở thẳng sang tính thể tích vật thể tròn xoay bằng tích phân ở cụm đạo hàm và tích phân.
• Nền cho hình giải tích — phương trình mặt phẳng và mặt cầu là bản nâng ba chiều của phương trình đường thẳng và đường tròn trong cụm hình giải tích phẳng.
• Vai trò với phân tích dữ liệu — tọa độ hóa và khoảng cách Euclid ba chiều chính là nền của khoảng cách trong không gian đặc trưng nhiều chiều dùng ở mô hình hóa sau này.