Mạch Kinh Tế

Appearance

Trắc nghiệm — Bất đẳng thức và bất phương trình ​

Bộ câu hỏi trắc nghiệm cho cụm Bất đẳng thức và bất phương trình, rút từ đề thật và phân theo chủ đề con. Phần lý thuyết xem ở đây.

  • Làm thử — bấm từng đáp rồi kiểm tra, có lời giải ngay.
  • Theo chủ đề — phần dưới liệt kê toàn bộ câu theo cây chủ đề con; câu nâng cao (cho học sinh giỏi) tách riêng cuối mỗi chủ đề.

Làm thử từng câu ​

Bất đẳng thức và bất phương trìnhCâu 1 / 44 · Điểm 0 / 0

Tập nghiệm của bất phương trình a⋅x2+b⋅x+2>0a \cdot x^2 + b \cdot x + 2 > 0 là {x∣−1<x<2}\{x \mid -1 < x < 2\}. Khi đó a+ba + b bằng bao nhiêu?

Toàn bộ câu hỏi theo chủ đề ​

Bất đẳng thức và bất phương trình — 44 câu44 câu

Bất phương trình bậc hai và tích

Câu 1

Tập nghiệm của bất phương trình a⋅x2+b⋅x+2>0a \cdot x^2 + b \cdot x + 2 > 0 là {x∣−1<x<2}\{x \mid -1 < x < 2\}. Khi đó a+ba + b bằng bao nhiêu?

  • A.00đáp án
  • B.−1-1
  • C.11
  • D.−2-2

Tập nghiệm là khoảng (−1,2)(-1, 2) nên parabol mở xuống (a<0a<0) và −1,2-1, 2 là hai nghiệm của a⋅x2+b⋅x+2=0a \cdot x^2 + b \cdot x + 2 = 0. Theo Viet: tổng nghiệm =−1+2=1=−b/a= -1+2 = 1 = -b/a, tích nghiệm =−2=2/a= -2 = 2/a suy ra a=−1a = -1, b=1b = 1. Vậy a+b=0a + b = 0.

ax2+bx+2=0,  x1=−1,  x2=2⇒a=−1, b=1ax^2+bx+2=0,\; x_1=-1,\; x_2=2 \Rightarrow a=-1,\, b=1

Câu 2

Tập nghiệm của bất phương trình (x−2)(x+1)≤0(x-2)(x+1)\le 0 là (  )(\ \ ).

  • A.(−∞,−1)∪(2,+∞)(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)
  • B.(−∞,−1)∪[2,+∞)(-\infty,-1)\cup[2,+\infty)
  • C.[−1,2][-1,2]đáp án
  • D.(−1,2)(-1,2)

Hai nghiệm là x=−1x=-1 và x=2x=2, hệ số a>0a>0. Bất phương trình dạng ≤0\le 0 nên lấy khoảng giữa hai nghiệm, kèm hai đầu mút: [−1,2][-1,2].

(x−2)(x+1)≤0⇒−1≤x≤2(x-2)(x+1)\le 0 \Rightarrow -1\le x\le 2

Câu 3

Tập nghiệm của bất phương trình x2−4x−5≥0x^2-4x-5\ge 0 là (  )(\ \ ).

  • A.(−1,5)(-1,5)
  • B.[−1,5][-1,5]
  • C.(−∞,−1)∪(5,+∞)(-\infty,-1)\cup(5,+\infty)
  • D.(−∞,−1]∪[5,+∞)(-\infty,-1]\cup[5,+\infty)đáp án

Phân tích x2−4x−5=(x−5)(x+1)x^2-4x-5=(x-5)(x+1), hai nghiệm −1-1 và 55. Dạng ≥0\ge 0 với a>0a>0 nên lấy hai khoảng ngoài, kèm hai đầu mút: (−∞,−1]∪[5,+∞)(-\infty,-1]\cup[5,+\infty).

(x−5)(x+1)≥0⇒x≤−1 ∨ x≥5(x-5)(x+1)\ge 0 \Rightarrow x\le -1 \ \lor\ x\ge 5

Câu 4

Tập nghiệm của bất phương trình (−x+3)(x+2)>0(-x+3)(x+2)>0 là (  )(\ \ ).

  • A.{x∣x<−2 ∨ x>3}\{x\mid x<-2 \ \lor\ x>3\}
  • B.{x∣−2<x<3}\{x\mid -2<x<3\}đáp án
  • C.{x∣x<−2}\{x\mid x<-2\}
  • D.{x∣x>3}\{x\mid x>3\}

Đưa về (x−3)(x+2)<0(x-3)(x+2)<0 (đổi dấu thừa số đầu). Hai nghiệm −2-2 và 33, dạng <0<0 nên lấy khoảng giữa: −2<x<3-2<x<3.

(x−3)(x+2)<0⇒−2<x<3(x-3)(x+2)<0 \Rightarrow -2<x<3

Câu 5

Tập nghiệm của bất phương trình x2−2x−8<0x^2-2x-8<0 là (  )(\ \ ).

  • A.{x∣−2<x<4}\{x\mid -2<x<4\}đáp án
  • B.{x∣−2≤x≤4}\{x\mid -2\le x\le 4\}
  • C.{x∣x<−2 ∨ x>4}\{x\mid x<-2 \ \lor\ x>4\}
  • D.{x∣x≤−2 ∨ x≥4}\{x\mid x\le -2 \ \lor\ x\ge 4\}

Phân tích x2−2x−8=(x−4)(x+2)x^2-2x-8=(x-4)(x+2), hai nghiệm −2-2 và 44. Dạng <0<0 với a>0a>0 nên lấy khoảng giữa, không kèm đầu mút: −2<x<4-2<x<4.

(x−4)(x+2)<0⇒−2<x<4(x-4)(x+2)<0 \Rightarrow -2<x<4

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình phân thức 4x−3x+5≥0\dfrac{4x-3}{x+5}\ge 0 là (  )(\ \ ).

  • A.(−∞,−5)∪[34,+∞)(-\infty,-5)\cup\left[\dfrac{3}{4},+\infty\right)đáp án
  • B.(−∞,−5]∪[34,+∞)(-\infty,-5]\cup\left[\dfrac{3}{4},+\infty\right)
  • C.(−5,34]\left(-5,\dfrac{3}{4}\right]
  • D.[−5,34]\left[-5,\dfrac{3}{4}\right]

Tử triệt tiêu tại x=34x=\dfrac34, mẫu triệt tiêu tại x=−5x=-5 (loại vì mẫu khác 0). Tỉ số cùng dấu khi x<−5x<-5 hoặc x≥34x\ge \dfrac34: (−∞,−5)∪[34,+∞)(-\infty,-5)\cup\left[\dfrac34,+\infty\right).

4x−3x+5≥0⇒x<−5 ∨ x≥34\frac{4x-3}{x+5}\ge 0 \Rightarrow x<-5 \ \lor\ x\ge \tfrac{3}{4}

Câu 7

Tập nghiệm của bất phương trình x2−3x−10<0x^2-3x-10<0 là (  )(\ \ ).

  • A.{x∣x<−2 ∨ x>5}\{x\mid x<-2 \ \lor\ x>5\}
  • B.{x∣−2<x<5}\{x\mid -2<x<5\}đáp án
  • C.{x∣x<−5 ∨ x>2}\{x\mid x<-5 \ \lor\ x>2\}
  • D.{x∣−5<x<2}\{x\mid -5<x<2\}

Phân tích x2−3x−10=(x−5)(x+2)x^2-3x-10=(x-5)(x+2), hai nghiệm −2-2 và 55. Dạng <0<0 nên lấy khoảng giữa: −2<x<5-2<x<5.

(x−5)(x+2)<0⇒−2<x<5(x-5)(x+2)<0 \Rightarrow -2<x<5

Câu 8

Tập nghiệm của bất phương trình x−1x+2<0\dfrac{x-1}{x+2}<0 là (  )(\ \ ).

  • A.{x∣x>1}\{x\mid x>1\}
  • B.{x∣x<−2}\{x\mid x<-2\}
  • C.{x∣−2<x<1}\{x\mid -2<x<1\}đáp án
  • D.{x∣x>1 ∨ x<−2}\{x\mid x>1 \ \lor\ x<-2\}

Bất phương trình tương đương (x−1)(x+2)<0(x-1)(x+2)<0 (mẫu khác 0). Hai nghiệm −2-2 và 11, lấy khoảng giữa: −2<x<1-2<x<1.

(x−1)(x+2)<0⇒−2<x<1(x-1)(x+2)<0 \Rightarrow -2<x<1

Câu 9

Bất phương trình ax2+5x+b>0ax^2+5x+b>0 có tập nghiệm 13<x<12\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{1}{2}. Giá trị của aa, bb lần lượt là (  )(\ \ ).

  • A.−6,−1-6,-1đáp án
  • B.1,61,6
  • C.−1,−6-1,-6
  • D.−1,−1-1,-1

Nghiệm là khoảng nên a<0a<0, hai nghiệm phương trình là 13\dfrac13 và 12\dfrac12. Theo Viète: tổng 56=−5a⇒a=−6\dfrac56=-\dfrac{5}{a}\Rightarrow a=-6; tích 16=ba⇒b=−1\dfrac16=\dfrac{b}{a}\Rightarrow b=-1.

−5a=56, ba=16⇒a=−6, b=−1-\frac{5}{a}=\frac{5}{6},\ \frac{b}{a}=\frac{1}{6}\Rightarrow a=-6,\ b=-1

Câu 10

Tập nghiệm của bất phương trình x−1x−2≥0\dfrac{x-1}{x-2}\ge 0 là (  )(\ \ ).

  • A.{x∣1≤x≤2}\{x\mid 1\le x\le 2\}
  • B.{x∣x≤1 ∨ x≥2}\{x\mid x\le 1 \ \lor\ x\ge 2\}
  • C.{x∣1≤x<2}\{x\mid 1\le x<2\}
  • D.{x∣x>2 ∨ x≤1}\{x\mid x>2 \ \lor\ x\le 1\}đáp án

Tương đương (x−1)(x−2)≥0(x-1)(x-2)\ge 0 kèm điều kiện x≠2x\ne 2. Tử triệt tiêu tại 11 (nhận), mẫu tại 22 (loại). Tỉ số cùng dấu khi x≤1x\le 1 hoặc x>2x>2.

x−1x−2≥0, x≠2⇒x≤1 ∨ x>2\frac{x-1}{x-2}\ge 0,\ x\ne 2 \Rightarrow x\le 1 \ \lor\ x>2

Câu 11

Tập nghiệm của bất phương trình 1x<12\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{2} là (  )(\ \ ).

  • A.{x∣x<2}\{x\mid x<2\}
  • B.{x∣x>2}\{x\mid x>2\}
  • C.{x∣0<x<2}\{x\mid 0<x<2\}
  • D.{x∣x<0 ∨ x>2}\{x\mid x<0 \ \lor\ x>2\}đáp án

Chuyển vế: 1x−12<0⇒2−x2x<0⇒x(2−x)<0\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}<0\Rightarrow \dfrac{2-x}{2x}<0\Rightarrow x(2-x)<0. Tỉ số âm khi x<0x<0 hoặc x>2x>2.

2−x2x<0⇒x<0 ∨ x>2\frac{2-x}{2x}<0 \Rightarrow x<0 \ \lor\ x>2

Câu 12

Nếu tập nghiệm của bất phương trình mx2+nx+3>0mx^2+nx+3>0 là {x∣−1<x<3}\{x\mid -1<x<3\}, thì tập nghiệm của bất phương trình nx2−mx−1<0nx^2-mx-1<0 là (  )(\ \ ).

  • A.{x∣−1<x<3}\{x\mid -1<x<3\}
  • B.{x∣−3<x<2}\{x\mid -3<x<2\}
  • C.{x∣−1<x<12}\left\{x\mid -1<x<\dfrac{1}{2}\right\}đáp án
  • D.{x∣−3<x<1}\{x\mid -3<x<1\}

Nghiệm là khoảng nên m<0m<0, hai nghiệm −1,3-1,3. Viète: −nm=2-\dfrac{n}{m}=2 và 3m=−3⇒m=−1, n=2\dfrac{3}{m}=-3\Rightarrow m=-1,\ n=2. Thay vào: 2x2+x−1<0⇒(2x−1)(x+1)<0⇒−1<x<122x^2+x-1<0\Rightarrow (2x-1)(x+1)<0\Rightarrow -1<x<\dfrac12.

(2x−1)(x+1)<0⇒−1<x<12(2x-1)(x+1)<0 \Rightarrow -1<x<\tfrac{1}{2}

Câu 13

Nếu 0<t<10<t<1 thì tập nghiệm của bất phương trình (x−t)(x−1t)<0(x-t)\left(x-\dfrac{1}{t}\right)<0 là (  )(\ \ ).

  • A.{x∣1t<x<t}\left\{x\mid \dfrac{1}{t}<x<t\right\}
  • B.{x∣x>1t ∨ x<t}\left\{x\mid x>\dfrac{1}{t}\ \lor\ x<t\right\}
  • C.{x∣x<1t ∨ x>t}\left\{x\mid x<\dfrac{1}{t}\ \lor\ x>t\right\}
  • D.{x∣t<x<1t}\left\{x\mid t<x<\dfrac{1}{t}\right\}đáp án

Khi 0<t<10<t<1 thì 1t>1>t\dfrac{1}{t}>1>t, nên tt là nghiệm nhỏ, 1t\dfrac1t là nghiệm lớn. Dạng <0<0 nên lấy khoảng giữa: t<x<1tt<x<\dfrac1t.

(x−t)(x−1t)<0⇒t<x<1t(x-t)\left(x-\tfrac{1}{t}\right)<0 \Rightarrow t<x<\tfrac{1}{t}

Câu 14

Nếu tập nghiệm của bất phương trình mx2+nx+3>0mx^2+nx+3>0 là {x∣−1<x<3}\{x\mid -1<x<3\}, thì tập nghiệm của bất phương trình nx2−mx−1<0nx^2-mx-1<0 là gì?

  • A.{x∣−1<x<3}\{x\mid -1<x<3\}
  • B.{x∣−3<x<2}\{x\mid -3<x<2\}
  • C.{x | −1<x<12}\left\{x\,\middle|\,-1<x<\dfrac{1}{2}\right\}đáp án
  • D.{x∣−3<x<1}\{x\mid -3<x<1\}

Tập nghiệm nằm giữa hai nghiệm nên m<0m<0 và −1,3-1,3 là nghiệm của mx2+nx+3=0mx^2+nx+3=0. Theo Viète: tích nghiệm 3m=−3⇒m=−1\dfrac{3}{m}=-3\Rightarrow m=-1, tổng nghiệm −nm=2⇒n=2-\dfrac{n}{m}=2\Rightarrow n=2. Thay vào: 2x2+x−1<0⇔(2x−1)(x+1)<0⇔−1<x<122x^2+x-1<0\Leftrightarrow (2x-1)(x+1)<0\Leftrightarrow -1<x<\dfrac{1}{2}.

2x2+x−1<0⇔(2x−1)(x+1)<0⇔−1<x<122x^2+x-1<0\Leftrightarrow (2x-1)(x+1)<0\Leftrightarrow -1<x<\tfrac{1}{2}

Câu 15

Nếu 0<t<10<t<1, thì tập nghiệm của bất phương trình (x−t)(x−1t)<0(x-t)\left(x-\dfrac{1}{t}\right)<0 là gì?

  • A.{x | 1t<x<t}\left\{x\,\middle|\,\dfrac{1}{t}<x<t\right\}
  • B.{x | x>1t or x<t}\left\{x\,\middle|\,x>\dfrac{1}{t}\ \text{or}\ x<t\right\}
  • C.{x | x<1t or x>t}\left\{x\,\middle|\,x<\dfrac{1}{t}\ \text{or}\ x>t\right\}
  • D.{x | t<x<1t}\left\{x\,\middle|\,t<x<\dfrac{1}{t}\right\}đáp án

Với 0<t<10<t<1 thì 1t>1>t\dfrac{1}{t}>1>t. Tam thức hệ số x2x^2 dương, nghiệm nằm giữa hai nghiệm tt và 1t\dfrac{1}{t}, do đó t<x<1tt<x<\dfrac{1}{t}.

0<t<1⇒1t>1>t⇒t<x<1t0<t<1\Rightarrow \tfrac{1}{t}>1>t\Rightarrow t<x<\tfrac{1}{t}

Câu 16

Tập nghiệm của bất phương trình bậc hai x2−x−2<0x^2-x-2<0 là gì?

  • A.{x∣x<2}\{x\mid x<2\}
  • B.{x∣1<x<2}\{x\mid 1<x<2\}
  • C.{x∣x<−1 or x>2}\{x\mid x<-1\ \text{or}\ x>2\}
  • D.{x∣−1<x<2}\{x\mid -1<x<2\}đáp án

Phân tích x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2-x-2=(x-2)(x+1). Tam thức âm khi xx nằm giữa hai nghiệm: −1<x<2-1<x<2.

(x−2)(x+1)<0⇔−1<x<2(x-2)(x+1)<0\Leftrightarrow -1<x<2

Câu 17

Tập nghiệm của bất phương trình x2−2x>0x^2-2x>0 là gì?

  • A.{x∣x<0}\{x\mid x<0\}
  • B.{x∣x>2}\{x\mid x>2\}
  • C.{x∣0<x<2}\{x\mid 0<x<2\}
  • D.{x∣x<0 or x>2}\{x\mid x<0\ \text{or}\ x>2\}đáp án

Phân tích x2−2x=x(x−2)x^2-2x=x(x-2). Tích dương khi hai thừa số cùng dấu: x<0x<0 hoặc x>2x>2.

x(x−2)>0⇔x<0 or x>2x(x-2)>0\Leftrightarrow x<0\ \text{or}\ x>2

Câu 18

Tập giá trị của xx làm cho biểu thức 17−6x−x2\dfrac{1}{\sqrt{7-6x-x^2}} có nghĩa là gì?

  • A.[−7,1][-7,1]
  • B.(−7,1)(-7,1)đáp án
  • C.(−∞,−7]∪[1,+∞)(-\infty,-7]\cup[1,+\infty)
  • D.(−∞,−7)∪(1,+∞)(-\infty,-7)\cup(1,+\infty)

Biểu thức có nghĩa khi biểu thức dưới căn dương (mẫu khác 0): 7−6x−x2>0⇔x2+6x−7<0⇔(x+7)(x−1)<0⇔−7<x<17-6x-x^2>0\Leftrightarrow x^2+6x-7<0\Leftrightarrow (x+7)(x-1)<0\Leftrightarrow -7<x<1.

7−6x−x2>0⇔(x+7)(x−1)<0⇔−7<x<17-6x-x^2>0\Leftrightarrow (x+7)(x-1)<0\Leftrightarrow -7<x<1

Câu 19

Tập nghiệm của bất phương trình −3x+6<0-3x+6<0 là gì?

  • A.{x∣x<−2}\{x\mid x<-2\}
  • B.{x∣x<2}\{x\mid x<2\}
  • C.{x∣−2<x}\{x\mid -2<x\}
  • D.{x∣2<x}\{x\mid 2<x\}đáp án

Chuyển vế: −3x<−6-3x<-6, chia cho −3-3 và đổi chiều bất phương trình được x>2x>2.

−3x+6<0⇔x>2-3x+6<0\Leftrightarrow x>2

Câu 20

Tập nghiệm của bất phương trình x+5(x−1)2≥2\dfrac{x+5}{(x-1)^2}\ge 2 là gì?

  • A.[−3,12]\left[-3,\dfrac{1}{2}\right]
  • B.[−12,3]\left[-\dfrac{1}{2},3\right]
  • C.[12,1)∪(1,3]\left[\dfrac{1}{2},1\right)\cup(1,3]
  • D.[−12,1)∪(1,3]\left[-\dfrac{1}{2},1\right)\cup(1,3]đáp án

Điều kiện x≠1x\ne 1. Vì (x−1)2>0(x-1)^2>0, nhân hai vế: x+5≥2(x−1)2⇔2x2−5x−3≤0⇔(2x+1)(x−3)≤0⇔−12≤x≤3x+5\ge 2(x-1)^2\Leftrightarrow 2x^2-5x-3\le 0\Leftrightarrow (2x+1)(x-3)\le 0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le x\le 3. Loại x=1x=1 được [−12,1)∪(1,3]\left[-\dfrac{1}{2},1\right)\cup(1,3].

2x2−5x−3≤0⇔(2x+1)(x−3)≤0⇔−12≤x≤3, x≠12x^2-5x-3\le 0\Leftrightarrow (2x+1)(x-3)\le 0\Leftrightarrow -\tfrac{1}{2}\le x\le 3,\ x\ne 1

Nâng cao

Câu 21nâng cao

Cho tập nghiệm của bất phương trình a(x+1)(x−3)+1>0a(x+1)(x-3)+1>0 (a≠0a \ne 0) là khoảng (x1,x2)(x_1, x_2) với x1<x2x_1<x_2. Khẳng định nào SAI?

  • A.x1+x2=2x_1 + x_2 = 2
  • B.x1⋅x2<−3x_1 \cdot x_2 < -3
  • C.x2−x1>4x_2 - x_1 > 4
  • D.−1<x1<x2<3-1 < x_1 < x_2 < 3đáp án

Để có tập nghiệm là khoảng hữu hạn (x1,x2)(x_1,x_2) thì parabol mở xuống, tức a<0a<0. Khai triển: ax2−2ax−3a+1>0ax^2 - 2ax - 3a + 1 > 0. Theo Viet: x1+x2=2x_1+x_2 = 2 (A đúng); x1⋅x2=−3+1/a<−3x_1 \cdot x_2 = -3 + 1/a < -3 vì a<0a<0 (B đúng); (x2−x1)2=4−4(−3+1/a)=16−4/a>16(x_2-x_1)^2 = 4 - 4(-3+1/a) = 16 - 4/a > 16 nên x2−x1>4x_2-x_1 > 4 (C đúng). Tại x=−1x = -1 và x=3x = 3, vế trái bằng 0+1=1>00 + 1 = 1 > 0 nên hai điểm này nằm TRONG tập nghiệm, suy ra x1<−1x_1 < -1 và x2>3x_2 > 3. Vậy D sai.

a(x+1)(x−3)+1>0  ⟺  ax2−2ax−3a+1>0a(x+1)(x-3)+1>0 \iff ax^2-2ax-3a+1>0

Câu 22nâng cao

Nếu bất phương trình (a⋅x−2)(∣x∣−b)≥0(a \cdot x - 2)(|x| - b) \ge 0 đúng với mọi xx thuộc (0,+∞)(0, +\infty) thì điều nào sau đây đúng?

  • A.a>0a > 0 và a⋅b=1/2a \cdot b = 1/2
  • B.a>0a > 0 và a⋅b=2a \cdot b = 2đáp án
  • C.a>0a > 0 và a=2ba = 2b
  • D.a>0a > 0 và b=2ab = 2a

Với x>0x>0 thì ∣x∣=x|x|=x, bất phương trình thành (a⋅x−2)(x−b)≥0(a \cdot x-2)(x-b) \ge 0 đúng với mọi x>0x>0. Cần a>0a>0, viết được a(x−2/a)(x−b)≥0a(x - 2/a)(x - b) \ge 0. Biểu thức bậc hai mở lên chỉ không âm với MỌI x>0x>0 khi hai nghiệm trùng nhau: 2/a=b2/a = b, suy ra a⋅b=2a \cdot b = 2.

(ax−2)(x−b)=a(x−2a)(x−b)≥0  ∀x>0⇒2a=b(ax-2)(x-b)=a\left(x-\tfrac{2}{a}\right)(x-b)\ge 0\;\forall x>0 \Rightarrow \tfrac{2}{a}=b

Câu 23nâng cao

Cho tập A={t∣t2−5t−6≤0}A = \{t \mid t^2 - 5t - 6 \le 0\}. Với mọi tt thuộc AA, bất phương trình x2+t⋅x−t>2x−1x^2 + t \cdot x - t > 2x - 1 luôn đúng. Tập giá trị thực của xx là?

  • A.(1,2)(1, 2)
  • B.(−∞,1)∪(1,+∞)(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)
  • C.(−5,2)(-5, 2)
  • D.(−∞,−5)∪(2,+∞)(-\infty, -5) \cup (2, +\infty)đáp án

A={t∣−1≤t≤6}A = \{t \mid -1 \le t \le 6\}. Bất phương trình tương đương (x−1)2+t(x−1)>0(x-1)^2 + t(x-1) > 0, tức (x−1)(x−1+t)>0(x-1)(x-1+t) > 0 đúng với mọi tt thuộc [−1,6][-1, 6]. Nếu x=1x=1: 0>00>0 sai. Nếu x>1x>1: cần x−1+t>0x-1+t>0 với tt nhỏ nhất =−1= -1 cho x>2x>2. Nếu x<1x<1: cần x−1+t<0x-1+t<0 với tt lớn nhất =6= 6 cho x<−5x<-5. Vậy xx thuộc (−∞,−5)∪(2,+∞)(-\infty, -5) \cup (2, +\infty).

(x−1)(x−1+t)>0  ∀t∈[−1,6]⇒x<−5  hoac  x>2(x-1)(x-1+t)>0\;\forall t\in[-1,6] \Rightarrow x<-5 \;\text{hoac}\; x>2

Câu 24nâng cao

Tập nghiệm của bất phương trình ax2−(a+2)x+2≥0 (a<0)ax^2-(a+2)x+2\ge 0\ (a<0) là (  )(\ \ ).

  • A.[2a,1]\left[\dfrac{2}{a},1\right]đáp án
  • B.[1,2a]\left[1,\dfrac{2}{a}\right]
  • C.(−∞,2a]∪[1,+∞)\left(-\infty,\dfrac{2}{a}\right]\cup[1,+\infty)
  • D.(−∞,1]∪[2a,+∞)(-\infty,1]\cup\left[\dfrac{2}{a},+\infty\right)

Phân tích ax2−(a+2)x+2=(ax−2)(x−1)≥0ax^2-(a+2)x+2=(ax-2)(x-1)\ge 0. Chia cho a<0a<0 (đổi chiều): (x−2a)(x−1)≤0\left(x-\dfrac{2}{a}\right)(x-1)\le 0. Vì a<0a<0 nên 2a<0<1\dfrac{2}{a}<0<1, lấy khoảng giữa: [2a,1]\left[\dfrac{2}{a},1\right].

(ax−2)(x−1)≥0, a<0⇒2a≤x≤1(ax-2)(x-1)\ge 0,\ a<0 \Rightarrow \tfrac{2}{a}\le x\le 1

Câu 25nâng cao

Nếu mệnh đề "∃ a∈[−1,3], ax2−(2a−1)x+3−a<0\exists\, a\in[-1,3],\ ax^2-(2a-1)x+3-a<0" là SAI, thì tập giá trị của số thực xx là (  )(\ \ ).

  • A.{x∣−1≤x≤4}\{x\mid -1\le x\le 4\}
  • B.{x∣0≤x≤53}\left\{x\mid 0\le x\le \dfrac{5}{3}\right\}
  • C.{x∣−1≤x≤0 ∨ 53≤x≤4}\left\{x\mid -1\le x\le 0 \ \lor\ \dfrac{5}{3}\le x\le 4\right\}đáp án
  • D.{x∣−1≤x<0 ∨ 53<x≤4}\left\{x\mid -1\le x<0 \ \lor\ \dfrac{5}{3}<x\le 4\right\}

Mệnh đề tồn tại SAI tương đương: với mọi a∈[−1,3]a\in[-1,3] thì ax2−(2a−1)x+3−a≥0ax^2-(2a-1)x+3-a\ge 0. Xem là hàm bậc nhất theo aa: g(a)=a(x2−2x−1)+(x+3)≥0g(a)=a(x^2-2x-1)+(x+3)\ge 0, chỉ cần đúng tại hai đầu mút. Tại a=−1a=-1: −x2+3x+4≥0⇒−1≤x≤4-x^2+3x+4\ge 0\Rightarrow -1\le x\le 4. Tại a=3a=3: 3x2−5x≥0⇒x≤0 ∨ x≥533x^2-5x\ge 0\Rightarrow x\le 0\ \lor\ x\ge \dfrac53. Giao lại: [−1,0]∪[53,4][-1,0]\cup\left[\dfrac53,4\right].

[−1,4]∩({x≤0}∪{x≥53})=[−1,0]∪[53,4][-1,4]\cap\left(\{x\le 0\}\cup\{x\ge \tfrac{5}{3}\}\right)=[-1,0]\cup[\tfrac{5}{3},4]

Câu 26nâng cao

Khi giải bất phương trình ax2+bx+c>0 (a≠0)ax^2+bx+c>0\ (a\ne 0) theo xx, một học sinh nhầm dấu của hằng số bb và thu được tập nghiệm {x∣−6<x<1}\{x\mid -6<x<1\}. Nếu học sinh giải đúng thì tập nghiệm của bất phương trình cx2+bx+a<0cx^2+bx+a<0 là (  )(\ \ ).

  • A.{x∣−13<x<12}\left\{x\mid -\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{1}{2}\right\}
  • B.{x∣x<−13 ∨ x>12}\left\{x\mid x<-\dfrac{1}{3} \ \lor\ x>\dfrac{1}{2}\right\}
  • C.{x∣−1<x<16}\left\{x\mid -1<x<\dfrac{1}{6}\right\}đáp án
  • D.{x∣x<−1 ∨ x>16}\left\{x\mid x<-1 \ \lor\ x>\dfrac{1}{6}\right\}

Nhầm dấu bb tức giải ax2−bx+c>0ax^2-bx+c>0 ra nghiệm (−6,1)(-6,1), nên −6,1-6,1 là nghiệm của ax2−bx+c=0ax^2-bx+c=0 và a<0a<0. Viète: ba=−5⇒b=−5a\dfrac{b}{a}=-5\Rightarrow b=-5a; ca=−6⇒c=−6a\dfrac{c}{a}=-6\Rightarrow c=-6a. Thay vào cx2+bx+a<0cx^2+bx+a<0 rồi chia a<0a<0 (đổi chiều): 6x2+5x−1<0⇒(6x−1)(x+1)<0⇒−1<x<166x^2+5x-1<0\Rightarrow (6x-1)(x+1)<0\Rightarrow -1<x<\dfrac16.

(6x−1)(x+1)<0⇒−1<x<16(6x-1)(x+1)<0 \Rightarrow -1<x<\tfrac{1}{6}

Câu 27nâng cao

Cho aa là số thực. Nếu phương trình x2−2ax+a=0x^2-2ax+a=0 có hai nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (−1,1)(-1,1), thì tập giá trị của aa là gì?

  • A.(−∞,0)∪(1,+∞)(-\infty,0)\cup(1,+\infty)
  • B.(−1,0)(-1,0)
  • C.(−13,0)\left(-\dfrac{1}{3},0\right)đáp án
  • D.(−13,0)∪(1,+∞)\left(-\dfrac{1}{3},0\right)\cup(1,+\infty)

Đặt g(x)=x2−2ax+ag(x)=x^2-2ax+a. Hai nghiệm phân biệt trong (−1,1)(-1,1) cần: Δ=4a2−4a>0\Delta=4a^2-4a>0 (suy ra a<0a<0 hoặc a>1a>1); đỉnh x=a∈(−1,1)x=a\in(-1,1); g(−1)=1+3a>0⇒a>−13g(-1)=1+3a>0\Rightarrow a>-\dfrac{1}{3}; g(1)=1−a>0⇒a<1g(1)=1-a>0\Rightarrow a<1. Giao tất cả điều kiện được −13<a<0-\dfrac{1}{3}<a<0.

{a2−a>0−1<a<11+3a>01−a>0⇒−13<a<0\begin{cases}a^2-a>0\\ -1<a<1\\ 1+3a>0\\ 1-a>0\end{cases}\Rightarrow -\tfrac{1}{3}<a<0

So sánh và bất đẳng thức

Câu 28

Cho x≠2x \ne 2, y≠−1y \ne -1, đặt M=x2+y2−4x+2yM = x^2 + y^2 - 4x + 2y và N=−5N = -5. Quan hệ giữa MM và NN là?

  • A.M>NM > Nđáp án
  • B.M<NM < N
  • C.M=NM = N
  • D.Không xác định được

Biến đổi M=(x−2)2+(y+1)2−5M = (x-2)^2 + (y+1)^2 - 5. Vì x≠2x \ne 2 và y≠−1y \ne -1 nên (x−2)2>0(x-2)^2 > 0 và (y+1)2>0(y+1)^2 > 0, suy ra M>−5=NM > -5 = N. Vậy M>NM > N.

M=(x−2)2+(y+1)2−5>−5=NM=(x-2)^2+(y+1)^2-5 > -5 = N

Câu 29

Nếu x≠2x \ne 2 và y≠−1y \ne -1 thì quan hệ giữa M=x2+y2−4x+2yM = x^2 + y^2 - 4x + 2y và −5-5 là?

  • A.M=−5M = -5
  • B.M<−5M < -5
  • C.M>−5M > -5đáp án
  • D.Không xác định được

Biến đổi M=(x−2)2+(y+1)2−5M = (x-2)^2 + (y+1)^2 - 5. Vì x≠2x \ne 2 và y≠−1y \ne -1 nên hai bình phương đều dương, suy ra M>−5M > -5.

M=(x−2)2+(y+1)2−5>−5M=(x-2)^2+(y+1)^2-5 > -5

Câu 30

Cho a=14−23a=\sqrt{14}-2\sqrt{3} và b=23−14b=2\sqrt{3}-\sqrt{14}. Khi đó (  )(\ \ ).

  • A.a>ba>bđáp án
  • B.a<ba<b
  • C.a=ba=b
  • D.a≥ba\ge b

Vì 23=122\sqrt{3}=\sqrt{12} nên a=14−12>0a=\sqrt{14}-\sqrt{12}>0 và b=−a<0b=-a<0. Do đó a>ba>b.

a=14−12>0,b=−a<0a=\sqrt{14}-\sqrt{12}>0,\quad b=-a<0

Câu 31

Cho a,b,ca,b,c là ba số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng? (  )(\ \ )

  • A.Nếu a>ba>b thì ac2>bc2ac^2>bc^2
  • B.Nếu a>ba>b thì a−c>b−ca-c>b-cđáp án
  • C.Nếu ac>bcac>bc thì a>ba>b
  • D.Nếu a>ba>b thì 1a<1b\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}

Cộng cùng một số −c-c vào hai vế không đổi chiều bất đẳng thức nên a>b⇒a−c>b−ca>b\Rightarrow a-c>b-c. A sai khi c=0c=0; C, D sai vì phụ thuộc dấu của cc và dấu của a,ba,b.

a>b⇒a−c>b−ca>b\Rightarrow a-c>b-c

Câu 32

Cho t=2a+2bt=2a+2b và s=a2+2b+1s=a^2+2b+1. Khi đó (  )(\ \ ).

  • A.t>st>s
  • B.t≥st\ge s
  • C.t≤st\le sđáp án
  • D.t<st<s

Xét hiệu s−t=a2−2a+1=(a−1)2≥0s-t=a^2-2a+1=(a-1)^2\ge 0, suy ra s≥ts\ge t, tức t≤st\le s.

s−t=(a−1)2≥0s-t=(a-1)^2\ge 0

Câu 33

Cho a>b>0a>b>0. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? (  )(\ \ ).

  • A.a3>b3a^3>b^3đáp án
  • B.1a>1b\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}
  • C.∣a∣<∣b∣\lvert a\rvert<\lvert b\rvert
  • D.a2<b2a^2<b^2

Hàm x3x^3 đồng biến nên a>b>0⇒a3>b3a>b>0\Rightarrow a^3>b^3. Các phương án còn lại ngược chiều do a>b>0a>b>0.

a>b>0⇒a3>b3a>b>0\Rightarrow a^3>b^3

Câu 34

Nếu 0<a<b0<a<b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? (  )(\ \ )

  • A.b>a+b2>a>abb>\dfrac{a+b}{2}>a>\sqrt{ab}
  • B.b>ab>a+b2>ab>\sqrt{ab}>\dfrac{a+b}{2}>a
  • C.b>a+b2>ab>ab>\dfrac{a+b}{2}>\sqrt{ab}>ađáp án
  • D.b>a>a+b2>abb>a>\dfrac{a+b}{2}>\sqrt{ab}

Theo bất đẳng thức AM-GM, với 0<a<b0<a<b ta có b>a+b2>ab>ab>\dfrac{a+b}{2}>\sqrt{ab}>a.

b>a+b2>ab>ab>\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}>a

Câu 35

Nếu a>1a>1, b>2b>2 thì miền giá trị của a+ba+b là (  )(\ \ ).

  • A.[3,+∞)[3,+\infty)
  • B.(−∞,3](-\infty,3]
  • C.(3,+∞)(3,+\infty)đáp án
  • D.(−∞,3)(-\infty,3)

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: a>1a>1 và b>2b>2 cho a+b>3a+b>3, đạt mọi giá trị lớn hơn 33, nên miền là (3,+∞)(3,+\infty).

a+b>1+2=3a+b>1+2=3

Câu 36

Cho a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}. Mệnh đề nào sau đây đúng? (  )(\ \ )

  • A.Nếu a>ba>b thì a2>b2a^2>b^2
  • B.Nếu ∣a∣>b|a|>b thì a2>b2a^2>b^2
  • C.Nếu a>∣b∣a>|b| thì a2>b2a^2>b^2đáp án
  • D.Nếu a≠∣b∣a\ne|b| thì a2≠b2a^2\ne b^2

Từ a>∣b∣≥0a>|b|\ge 0 suy ra a>0a>0 và a>∣b∣a>|b|, bình phương được a2>b2a^2>b^2. A, B, D bị bác bằng phản ví dụ (ví dụ a=1,b=−2a=1,b=-2 cho B; a=−1,b=1a=-1,b=1 cho D).

a>∣b∣≥0⇒a2>b2a>|b|\ge 0\Rightarrow a^2>b^2

Câu 37

Nếu các số thực a,ba,b thỏa a<b<0a<b<0 thì (  )(\ \ ).

  • A.a−b>0a-b>0
  • B.1a>1b\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}đáp án
  • C.ac<bcac<bc
  • D.a2<b2a^2<b^2

Với a<b<0a<b<0, lấy nghịch đảo hai số âm đảo chiều: 1a>1b\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}. A sai vì a−b<0a-b<0; C sai do phụ thuộc dấu cc; D sai vì ∣a∣>∣b∣|a|>|b| nên a2>b2a^2>b^2.

a<b<0⇒1a>1ba<b<0\Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{b}

Câu 38

Cho 0<b<a<10<b<a<1. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? (  )(\ \ ).

  • A.ab<b2<1ab<b^2<1
  • B.log⁡12b<log⁡12a<0\log_{\frac{1}{2}}b<\log_{\frac{1}{2}}a<0
  • C.2b<2a<22^b<2^a<2đáp án
  • D.a2<ab<1a^2<ab<1

Hàm 2x2^x đồng biến nên b<a⇒2b<2ab<a\Rightarrow 2^b<2^a, và a<1⇒2a<2a<1\Rightarrow 2^a<2. A sai vì a>b⇒ab>b2a>b\Rightarrow ab>b^2; B sai vì cơ số <1<1 làm hàm nghịch biến; D sai vì a>b⇒a2>aba>b\Rightarrow a^2>ab.

b<a<1⇒2b<2a<2b<a<1\Rightarrow 2^b<2^a<2

Nâng cao

Câu 39nâng cao

Cho a,ba, b thuộc R\mathbb{R}. Số mệnh đề ĐÚNG trong các mệnh đề sau là bao nhiêu? (1) Nếu a⋅c2>b⋅c2a \cdot c^2 > b \cdot c^2 thì a>ba>b; (2) Nếu a≠ba \ne b thì b/a+a/b>2b/a + a/b > 2; (3) Nếu a>b>1a>b>1 thì (b−1)/(a−1)>b/a(b-1)/(a-1) > b/a; (4) Nếu a>b>c>0a>b>c>0 thì 1/a<1/b<1/c1/a < 1/b < 1/c.

  • A.11
  • B.22đáp án
  • C.33
  • D.44

(1) Đúng: a⋅c2>b⋅c2a \cdot c^2 > b \cdot c^2 buộc c2>0c^2>0 nên chia được, a>ba>b. (2) Sai: nếu a,ba, b trái dấu thì b/a+a/b<0b/a + a/b < 0. (3) Sai: nhân chéo a(b−1)a(b-1) vs b(a−1)b(a-1) cho −a-a vs −b-b, vì a>ba>b nên −a<−b-a<-b, tức (b−1)/(a−1)<b/a(b-1)/(a-1) < b/a. (4) Đúng: a>b>c>0a>b>c>0 thì nghịch đảo đảo chiều, 1/a<1/b<1/c1/a<1/b<1/c. Có 22 mệnh đề đúng là (1) và (4).

b−1a−1  vs  ba⇒a(b−1)  vs  b(a−1)\frac{b-1}{a-1} \;\text{vs}\; \frac{b}{a} \Rightarrow a(b-1)\;\text{vs}\;b(a-1)

Câu 40nâng cao

Trong bốn mệnh đề sau, số mệnh đề ĐÚNG là bao nhiêu? (1) Nếu a>∣b∣a > |b| thì a2>b2a^2 > b^2; (2) Nếu a>ba>b và c>dc>d thì a−c>b−da-c > b-d; (3) Nếu a>ba>b và c>dc>d thì a⋅c>b⋅da \cdot c > b \cdot d; (4) Nếu a>b>0a>b>0 thì c/a>c/bc/a > c/b.

  • A.33
  • B.22
  • C.11đáp án
  • D.00

(1) Đúng: a>∣b∣≥0a > |b| \ge 0 nên a2>∣b∣2=b2a^2 > |b|^2 = b^2. (2) Sai: a=3,b=1,c=10,d=1a=3,b=1,c=10,d=1 cho a−c=−7a-c=-7 không >b−d=0> b-d=0. (3) Sai: a=1,b=−1,c=1,d=−2a=1,b=-1,c=1,d=-2 cho a⋅c=1a \cdot c=1 không >b⋅d=2> b \cdot d=2. (4) Sai: còn phụ thuộc dấu của cc, ví dụ c=1c=1 thì c/a<c/bc/a < c/b. Chỉ có (1) đúng, tức 11 mệnh đề.

a>∣b∣≥0⇒a2>b2a>|b|\ge 0 \Rightarrow a^2>b^2

Câu 41nâng cao

Nếu 1a<1b<0\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}<0, kết luận nào sau đây là SAI? (  )(\ \ ).

  • A.a2<b2a^2<b^2
  • B.ab<b2ab<b^2
  • C.a+b<0a+b<0
  • D.∣a∣+∣b∣>∣a+b∣\lvert a\rvert+\lvert b\rvert>\lvert a+b\rvertđáp án

Từ 1a<1b<0\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}<0 suy ra b<a<0b<a<0. Khi đó A, B, C đều đúng. Vì a,ba,b cùng âm nên ∣a∣+∣b∣=∣a+b∣\lvert a\rvert+\lvert b\rvert=\lvert a+b\rvert, do đó D sai.

b<a<0⇒∣a∣+∣b∣=∣a+b∣b<a<0\Rightarrow |a|+|b|=|a+b|

Câu 42nâng cao

Mệnh đề nào sau đây đúng? (  )(\ \ ).

  • A.Nếu ac2<bc2\dfrac{a}{c^2}<\dfrac{b}{c^2} thì a<ba<bđáp án
  • B.Nếu ac>bcac>bc thì a<ba<b
  • C.Nếu a>b, c>da>b,\ c>d thì a−c>b−da-c>b-d
  • D.Nếu a>b, c>da>b,\ c>d thì ac>bdac>bd

Điều kiện ac2<bc2\dfrac{a}{c^2}<\dfrac{b}{c^2} buộc c≠0c\ne 0 nên c2>0c^2>0; nhân hai vế với c2c^2 được a<ba<b. B sai do phụ thuộc dấu cc; C, D sai bằng phản ví dụ với số âm.

c2>0, ac2<bc2⇒a<bc^2>0,\ \frac{a}{c^2}<\frac{b}{c^2}\Rightarrow a<b

Câu 43nâng cao

Cho hai số thực dương x,yx,y thỏa x+y=1x+y=1. Nếu bất phương trình 4x+1+1y<m2+32m\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{1}{y}<m^2+\dfrac{3}{2}m có nghiệm thì miền giá trị của mm là (  )(\ \ ).

  • A.m<−3m<-3 hoặc m>32m>\dfrac{3}{2}đáp án
  • B.m<−32m<-\dfrac{3}{2} hoặc m>3m>3
  • C.−32<m<3-\dfrac{3}{2}<m<3
  • D.−3<m<32-3<m<\dfrac{3}{2}

Đặt u=x+1u=x+1 thì u+y=2u+y=2. Dùng 4u+1y=12(u+y)(4u+1y)≥92\dfrac{4}{u}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}(u+y)\left(\dfrac{4}{u}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{9}{2}, nên giá trị nhỏ nhất là 92\dfrac{9}{2}. Có nghiệm khi m2+32m>92m^2+\dfrac{3}{2}m>\dfrac{9}{2}, tức 2m2+3m−9>02m^2+3m-9>0, cho m<−3m<-3 hoặc m>32m>\dfrac{3}{2}.

2m2+3m−9>0  ⟺  (2m−3)(m+3)>02m^2+3m-9>0\iff (2m-3)(m+3)>0

Câu 44nâng cao

Nếu số thực a>ba>b thì bất đẳng thức nào luôn đúng? (  )(\ \ ).

  • A.a2>b2a^2>b^2
  • B.∣a+b∣<∣a∣+∣b∣|a+b|<|a|+|b|
  • C.a+b>2aba+b>2\sqrt{ab}
  • D.(a−b)c2≥0(a-b)c^2\ge 0đáp án

Vì a>ba>b nên a−b>0a-b>0, lại có c2≥0c^2\ge 0, do đó (a−b)c2≥0(a-b)c^2\ge 0 luôn đúng. A, B, C đều có phản ví dụ (B đẳng thức khi cùng dấu; C cần a,b≥0a,b\ge 0).

a−b>0, c2≥0⇒(a−b)c2≥0a-b>0,\ c^2\ge 0\Rightarrow (a-b)c^2\ge 0