Mạch Kinh Tế

Appearance

Trắc nghiệm — Lượng giác ​

Bộ câu hỏi trắc nghiệm cho cụm Lượng giác, rút từ đề thật và phân theo chủ đề con. Phần lý thuyết xem ở đây.

  • Làm thử — bấm từng đáp rồi kiểm tra, có lời giải ngay.
  • Theo chủ đề — phần dưới liệt kê toàn bộ câu theo cây chủ đề con; câu nâng cao (cho học sinh giỏi) tách riêng cuối mỗi chủ đề.

Làm thử từng câu ​

Lượng giácCâu 1 / 40 · Điểm 0 / 0

Mỗi sáng thứ Hai trường tổ chức lễ chào cờ trên sân, thường kéo dài 10 phút. Trong 10 phút đó, kim phút của đồng hồ quét được một góc bằng bao nhiêu?

Toàn bộ câu hỏi theo chủ đề ​

Lượng giác — 40 câu40 câu

Tỉ số và biến đổi

Câu 1

Mỗi sáng thứ Hai trường tổ chức lễ chào cờ trên sân, thường kéo dài 10 phút. Trong 10 phút đó, kim phút của đồng hồ quét được một góc bằng bao nhiêu?

  • A.30∘30^\circ
  • B.−30∘-30^\circ
  • C.60∘60^\circ
  • D.−60∘-60^\circđáp án

Kim phút quay theo chiều kim đồng hồ (chiều âm), 6060 phút ứng với −360∘-360^\circ. Vậy 1010 phút quét được 1060⋅(−360∘)=−60∘\dfrac{10}{60}\cdot(-360^\circ) = -60^\circ.

Câu 2

Cho f(n)=tan⁡(nπ2+π4)f(n) = \tan\left(\dfrac{n\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right). Khi đó giá trị của f(1)+f(2)+f(3)+f(4)f(1) + f(2) + f(3) + f(4) bằng bao nhiêu?

  • A.00đáp án
  • B.−1-1
  • C.11
  • D.22

Tính f(1)=tan⁡3π4=−1f(1) = \tan\dfrac{3\pi}{4} = -1; f(2)=tan⁡5π4=1f(2) = \tan\dfrac{5\pi}{4} = 1; f(3)=tan⁡7π4=−1f(3) = \tan\dfrac{7\pi}{4} = -1; f(4)=tan⁡9π4=1f(4) = \tan\dfrac{9\pi}{4} = 1. Tổng bằng −1+1−1+1=0-1 + 1 - 1 + 1 = 0.

f(n)=tan⁡(nπ2+π4)f(n)=\tan\left(\tfrac{n\pi}{2}+\tfrac{\pi}{4}\right)

Câu 3

Cạnh cuối của góc −980∘-980^\circ nằm ở góc phần tư nào?

  • A.Góc phần tư thứ nhất
  • B.Góc phần tư thứ haiđáp án
  • C.Góc phần tư thứ ba
  • D.Góc phần tư thứ tư

Cộng thêm 33 vòng: −980∘+3⋅360∘=100∘-980^\circ + 3\cdot 360^\circ = 100^\circ. Góc 100∘100^\circ nằm trong góc phần tư thứ hai.

−980∘+3⋅360∘=100∘-980^\circ + 3\cdot 360^\circ = 100^\circ

Câu 4

Cho sin⁡α=32\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2} và α\alpha là góc thuộc góc phần tư thứ nhất. Khi đó cos⁡α\cos\alpha bằng

  • A.12\dfrac{1}{2}đáp án
  • B.32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  • C.−12-\dfrac{1}{2}
  • D.−32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Góc phần tư thứ nhất nên cos⁡α>0\cos\alpha>0. Áp dụng sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 ta được cos⁡α=1−34=12\cos\alpha=\sqrt{1-\tfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{2}.

cos⁡α=1−sin⁡2α=12\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\dfrac{1}{2}

Câu 5

Cho sin⁡α=35\sin\alpha=\dfrac{3}{5} và cos⁡α=45\cos\alpha=\dfrac{4}{5}. Khi đó tan⁡α\tan\alpha bằng

  • A.34\dfrac{3}{4}đáp án
  • B.43\dfrac{4}{3}
  • C.35\dfrac{3}{5}
  • D.45\dfrac{4}{5}

Theo định nghĩa tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=3/54/5=34\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}.

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=34\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{3}{4}

Câu 6

Cho cạnh cuối của góc α\alpha đi qua điểm P(2,−5)P(2,-5). Khi đó cos⁡α\cos\alpha bằng

  • A.22929\dfrac{2\sqrt{29}}{29}đáp án
  • B.−52929-\dfrac{5\sqrt{29}}{29}
  • C.−252929-2\dfrac{5\sqrt{29}}{29}
  • D.−22929-\dfrac{2\sqrt{29}}{29}

Bán kính r=22+(−5)2=29r=\sqrt{2^2+(-5)^2}=\sqrt{29}. Theo định nghĩa cos⁡α=xr=229=22929\cos\alpha=\dfrac{x}{r}=\dfrac{2}{\sqrt{29}}=\dfrac{2\sqrt{29}}{29}.

cos⁡α=xr=229=22929\cos\alpha=\dfrac{x}{r}=\dfrac{2}{\sqrt{29}}=\dfrac{2\sqrt{29}}{29}

Câu 7

Cho cos⁡α=−513\cos\alpha=-\dfrac{5}{13} và góc α\alpha thuộc góc phần tư thứ ba. Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A.sin⁡α=1213\sin\alpha=\dfrac{12}{13}
  • B.sin⁡α=−1213\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}đáp án
  • C.tan⁡α=512\tan\alpha=\dfrac{5}{12}
  • D.tan⁡α=−125\tan\alpha=-\dfrac{12}{5}

Góc phần tư thứ ba nên sin⁡α<0\sin\alpha<0. Từ sin⁡2α=1−cos⁡2α=144169\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=\dfrac{144}{169} suy ra sin⁡α=−1213\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}.

sin⁡α=−1−cos⁡2α=−1213\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\dfrac{12}{13}

Câu 8

Cho cos⁡α=45\cos\alpha=\dfrac{4}{5} và α\alpha thuộc góc phần tư thứ nhất. Khi đó sin⁡2α\sin 2\alpha bằng

  • A.2425\dfrac{24}{25}đáp án
  • B.1225\dfrac{12}{25}
  • C.−2425-\dfrac{24}{25}
  • D.−1225-\dfrac{12}{25}

Góc phần tư thứ nhất nên sin⁡α=35\sin\alpha=\dfrac{3}{5}. Dùng công thức nhân đôi sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2⋅35⋅45=2425\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{25}.

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2425\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{24}{25}

Câu 9

Cho sin⁡α=1010\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{10}}{10} và α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right). Khi đó cos⁡(π4+α)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right) bằng

  • A.55\dfrac{\sqrt{5}}{5}đáp án
  • B.255\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
  • C.−55-\dfrac{\sqrt{5}}{5}
  • D.−255-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}

Vì α\alpha nhọn nên cos⁡α=31010\cos\alpha=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}. Khi đó cos⁡(π4+α)=22(cos⁡α−sin⁡α)=22⋅21010=55\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{2\sqrt{10}}{10}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.

cos⁡(π4+α)=22(cos⁡α−sin⁡α)=55\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)=\dfrac{\sqrt{5}}{5}

Câu 10

Cho cos⁡α=−35\cos\alpha=-\dfrac{3}{5} và α∈(π2,π)\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right). Khi đó sin⁡α2\sin\dfrac{\alpha}{2} bằng

  • A.1010\dfrac{\sqrt{10}}{10}
  • B.31010\dfrac{3\sqrt{10}}{10}
  • C.55\dfrac{\sqrt{5}}{5}
  • D.255\dfrac{2\sqrt{5}}{5}đáp án

Vì α∈(π2,π)\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) nên α2∈(π4,π2)\dfrac{\alpha}{2}\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right), do đó sin⁡α2>0\sin\dfrac{\alpha}{2}>0. Dùng công thức hạ bậc sin⁡α2=1−cos⁡α2=1+3/52=255\sin\dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+3/5}{2}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.

sin⁡α2=1−cos⁡α2=255\sin\dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}

Câu 11

Đẳng thức nào sau đây đúng?

  • A.sin⁡(π−α)=−sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=-\sin\alpha
  • B.cos⁡(π2+α)=sin⁡α\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha
  • C.tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi+\alpha)=\tan\alphađáp án
  • D.sin⁡(3π2−α)=cos⁡α\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha

Theo công thức cung liên kết: sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha, cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha, sin⁡(3π2−α)=−cos⁡α\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha, còn tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha đúng vì tan⁡\tan tuần hoàn chu kỳ π\pi.

tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha

Câu 12

Trong các hàm số sau, hàm số nào vừa là hàm số lẻ vừa có chu kỳ dương nhỏ nhất bằng π\pi?

  • A.y=cos⁡2xy=\cos 2x
  • B.y=sin⁡2xy=\sin 2xđáp án
  • C.y=sin⁡x+cos⁡xy=\sin x+\cos x
  • D.y=tan⁡2xy=\tan 2x

cos⁡2x\cos 2x là hàm chẵn; sin⁡x+cos⁡x\sin x+\cos x không lẻ; tan⁡2x\tan 2x có chu kỳ π2\dfrac{\pi}{2}. Chỉ sin⁡2x\sin 2x là hàm lẻ và có chu kỳ dương nhỏ nhất 2π2=π\dfrac{2\pi}{2}=\pi.

T=2π2=πT=\dfrac{2\pi}{2}=\pi

Câu 13

Đổi 210∘210^\circ sang radian ta được

  • A.4π3\dfrac{4\pi}{3}
  • B.7π6\dfrac{7\pi}{6}đáp án
  • C.−5π6-\dfrac{5\pi}{6}
  • D.2π3\dfrac{2\pi}{3}

Dùng công thức đổi độ sang radian: 210∘=210⋅π180=7π6210^\circ=210\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}.

210⋅π180=7π6210\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}

Câu 14

Cho cạnh cuối của góc θ\theta đi qua điểm P(−22,22)P\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). Khi đó tan⁡θ\tan\theta bằng

  • A.22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  • B.−22-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  • C.−1-1đáp án
  • D.−32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Theo định nghĩa tan⁡θ=yx=2/2−2/2=−1\tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=-1.

tan⁡θ=yx=−1\tan\theta=\dfrac{y}{x}=-1

Câu 15

Cho sin⁡α=13\sin\alpha=\dfrac{1}{3} và tan⁡α=−24\tan\alpha=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}. Khi đó cos⁡α\cos\alpha bằng:

  • A.−223-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}đáp án
  • B.223\dfrac{2\sqrt{2}}{3}
  • C.−13-\dfrac{1}{3}
  • D.24\dfrac{\sqrt{2}}{4}

Dùng tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} nên cos⁡α=sin⁡αtan⁡α=1/3−2/4=−223\cos\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\dfrac{1/3}{-\sqrt{2}/4}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.

cos⁡α=sin⁡αtan⁡α=−223\cos\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}

Câu 16

Nếu sin⁡x+cos⁡x=13\sin x+\cos x=\dfrac{1}{3} và x∈(−π2,π2)x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) thì giá trị của sin⁡x−cos⁡x\sin x-\cos x là:

  • A.±173\pm\dfrac{\sqrt{17}}{3}
  • B.173\dfrac{\sqrt{17}}{3}
  • C.−173-\dfrac{\sqrt{17}}{3}đáp án
  • D.13\dfrac{1}{3}

Bình phương giả thiết được 2sin⁡xcos⁡x=−892\sin x\cos x=-\dfrac{8}{9} nên sin⁡xcos⁡x<0\sin x\cos x<0; do cos⁡x>0\cos x>0 trên khoảng đã cho nên sin⁡x<0\sin x<0, suy ra sin⁡x−cos⁡x<0\sin x-\cos x<0. Mà (sin⁡x−cos⁡x)2=1−2sin⁡xcos⁡x=179(\sin x-\cos x)^2=1-2\sin x\cos x=\dfrac{17}{9} nên sin⁡x−cos⁡x=−173\sin x-\cos x=-\dfrac{\sqrt{17}}{3}.

(sin⁡x−cos⁡x)2=1−2sin⁡xcos⁡x=179(\sin x-\cos x)^2=1-2\sin x\cos x=\dfrac{17}{9}

Câu 17

Cho α∈(0,2π)\alpha\in(0,2\pi) thỏa sin⁡α<0\sin\alpha<0 và cos⁡α>0\cos\alpha>0. Khoảng giá trị của góc α\alpha là:

  • A.(0,π2)\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)
  • B.(π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)
  • C.(π,3π2)\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)
  • D.(3π2,2π)\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)đáp án

sin⁡α<0\sin\alpha<0 và cos⁡α>0\cos\alpha>0 ứng với góc phần tư thứ tư, tức α∈(3π2,2π)\alpha\in\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right).

sin⁡α<0, cos⁡α>0⇒α∈(3π2,2π)\sin\alpha<0,\ \cos\alpha>0\Rightarrow\alpha\in\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)

Câu 18

Cho sin⁡(75∘+α)=13\sin(75^\circ+\alpha)=\dfrac{1}{3}. Giá trị của cos⁡(15∘−α)\cos(15^\circ-\alpha) là:

  • A.−13-\dfrac{1}{3}
  • B.13\dfrac{1}{3}đáp án
  • C.−223-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}
  • D.223\dfrac{2\sqrt{2}}{3}

Vì (75∘+α)+(15∘−α)=90∘(75^\circ+\alpha)+(15^\circ-\alpha)=90^\circ nên cos⁡(15∘−α)=sin⁡(75∘+α)=13\cos(15^\circ-\alpha)=\sin(75^\circ+\alpha)=\dfrac{1}{3}.

cos⁡(15∘−α)=sin⁡(75∘+α)=13\cos(15^\circ-\alpha)=\sin(75^\circ+\alpha)=\dfrac{1}{3}

Câu 19

Đổi −8π3-\dfrac{8\pi}{3} rad ra độ, ta được:

  • A.−960∘-960^\circ
  • B.−480∘-480^\circđáp án
  • C.−120∘-120^\circ
  • D.−60∘-60^\circ

Dùng π rad=180∘\pi\ \text{rad}=180^\circ nên −8π3=−83×180∘=−480∘-\dfrac{8\pi}{3}=-\dfrac{8}{3}\times180^\circ=-480^\circ.

−8π3=−83×180∘=−480∘-\dfrac{8\pi}{3}=-\dfrac{8}{3}\times180^\circ=-480^\circ

Câu 20

Giá trị của cos⁡(−15∘)\cos(-15^\circ) là:

  • A.6−22\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}
  • B.6+22\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}
  • C.6−24\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
  • D.6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}đáp án

cos⁡(−15∘)=cos⁡15∘=cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=6+24\cos(-15^\circ)=\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

cos⁡15∘=6+24\cos15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Câu 21

sin⁡210∘\sin 210^\circ bằng:

  • A.−12-\dfrac{1}{2}đáp án
  • B.12\dfrac{1}{2}
  • C.−32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  • D.32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

sin⁡210∘=sin⁡(180∘+30∘)=−sin⁡30∘=−12\sin210^\circ=\sin(180^\circ+30^\circ)=-\sin30^\circ=-\dfrac{1}{2}.

sin⁡210∘=−sin⁡30∘=−12\sin210^\circ=-\sin30^\circ=-\dfrac{1}{2}

Câu 22

Cho α∈(π4,π2)\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right). Tổng sin⁡α+cos⁡α+sin⁡(π2−α)+cos⁡(π2+α)\sin\alpha+\cos\alpha+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) bằng:

  • A.2sin⁡α2\sin\alpha
  • B.2cos⁡α2\cos\alphađáp án
  • C.2sin⁡(α−π4)\sqrt{2}\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)
  • D.−2sin⁡(α−π4)-\sqrt{2}\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)

Dùng công thức cung liên kết: sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha và cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha. Tổng =sin⁡α+cos⁡α+cos⁡α−sin⁡α=2cos⁡α=\sin\alpha+\cos\alpha+\cos\alpha-\sin\alpha=2\cos\alpha.

sin⁡α+cos⁡α+cos⁡α−sin⁡α=2cos⁡α\sin\alpha+\cos\alpha+\cos\alpha-\sin\alpha=2\cos\alpha

Câu 23

sin⁡65∘cos⁡85∘+cos⁡65∘sin⁡85∘\sin 65^\circ\cos 85^\circ+\cos 65^\circ\sin 85^\circ bằng:

  • A.32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  • B.−32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  • C.12\dfrac{1}{2}đáp án
  • D.−12-\dfrac{1}{2}

Áp dụng công thức cộng: biểu thức =sin⁡(65∘+85∘)=sin⁡150∘=12=\sin(65^\circ+85^\circ)=\sin150^\circ=\dfrac{1}{2}.

sin⁡(65∘+85∘)=sin⁡150∘=12\sin(65^\circ+85^\circ)=\sin150^\circ=\dfrac{1}{2}

Câu 24

Cho α\alpha là góc thuộc góc phần tư thứ hai và sin⁡α=55\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{5}}{5}. Khi đó sin⁡2α\sin 2\alpha bằng:

  • A.45\dfrac{4}{5}
  • B.−45-\dfrac{4}{5}đáp án
  • C.35\dfrac{3}{5}
  • D.−35-\dfrac{3}{5}

Góc phần tư thứ hai nên cos⁡α=−255\cos\alpha=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}. Do đó sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2⋅55⋅(−255)=−45\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{5}\cdot\left(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)=-\dfrac{4}{5}.

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=−45\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}

Câu 25

tan⁡600∘\tan 600^\circ bằng:

  • A.33\dfrac{\sqrt{3}}{3}
  • B.−33-\dfrac{\sqrt{3}}{3}
  • C.3\sqrt{3}đáp án
  • D.−3-\sqrt{3}

tan⁡600∘=tan⁡(600∘−360∘)=tan⁡240∘=tan⁡(180∘+60∘)=tan⁡60∘=3\tan600^\circ=\tan(600^\circ-360^\circ)=\tan240^\circ=\tan(180^\circ+60^\circ)=\tan60^\circ=\sqrt{3}.

tan⁡600∘=tan⁡60∘=3\tan600^\circ=\tan60^\circ=\sqrt{3}

Câu 26

Cho tan⁡θ=12\tan\theta=\dfrac{1}{2}. Khi đó sin⁡θ+2cos⁡(π+θ)3sin⁡θ−4sin⁡(3π2−θ)\dfrac{\sin\theta+2\cos(\pi+\theta)}{3\sin\theta-4\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)} bằng:

  • A.511\dfrac{5}{11}
  • B.35\dfrac{3}{5}
  • C.−1-1
  • D.−311-\dfrac{3}{11}đáp án

Dùng cung liên kết: cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta, sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θ\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\theta\right)=-\cos\theta. Biểu thức thành sin⁡θ−2cos⁡θ3sin⁡θ+4cos⁡θ=tan⁡θ−23tan⁡θ+4=1/2−23/2+4=−311\dfrac{\sin\theta-2\cos\theta}{3\sin\theta+4\cos\theta}=\dfrac{\tan\theta-2}{3\tan\theta+4}=\dfrac{1/2-2}{3/2+4}=-\dfrac{3}{11}.

tan⁡θ−23tan⁡θ+4=−311\dfrac{\tan\theta-2}{3\tan\theta+4}=-\dfrac{3}{11}

Câu 27

Cho cos⁡(α−π6)=35\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3}{5}. Khi đó sin⁡(α+π3)\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right) bằng:

  • A.−45-\dfrac{4}{5}
  • B.−35-\dfrac{3}{5}
  • C.35\dfrac{3}{5}đáp án
  • D.45\dfrac{4}{5}

Vì α+π3=(α−π6)+π2\alpha+\dfrac{\pi}{3}=\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{\pi}{2} và sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x nên sin⁡(α+π3)=cos⁡(α−π6)=35\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3}{5}.

sin⁡(α+π3)=cos⁡(α−π6)=35\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3}{5}

Nâng cao

Câu 28nâng cao

Cho góc α\alpha có cạnh cuối nằm trên đường thẳng y=3xy = 3x và sin⁡α<0\sin\alpha < 0. Điểm P(m,n)P(m, n) nằm trên cạnh cuối của góc α\alpha với OP=10OP = \sqrt{10}. Khi đó giá trị của m−nm - n bằng bao nhiêu?

  • A.22đáp án
  • B.−2-2
  • C.44
  • D.−4-4

Vì sin⁡α<0\sin\alpha < 0 nên cạnh cuối ở góc phần tư thứ ba, suy ra m<0m < 0 và n<0n < 0. Với n=3mn = 3m và m2+n2=10m^2 + n^2 = 10 ta được m=−1m = -1, n=−3n = -3. Vậy m−n=−1−(−3)=2m - n = -1 - (-3) = 2.

m2+(3m)2=10m^2 + (3m)^2 = 10

Câu 29nâng cao

Cho tan⁡(π3−α)=13\tan\left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right)=\dfrac{1}{3}. Giá trị của tan⁡(π3+2α)\tan\left(\dfrac{\pi}{3}+2\alpha\right) là

  • A.43\dfrac{4}{3}
  • B.34\dfrac{3}{4}
  • C.−34-\dfrac{3}{4}đáp án
  • D.−43-\dfrac{4}{3}

Nhận xét π3+2α=π−2(π3−α)\dfrac{\pi}{3}+2\alpha=\pi-2\left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right) nên tan⁡(π3+2α)=−tan⁡(2(π3−α))\tan\left(\dfrac{\pi}{3}+2\alpha\right)=-\tan\left(2\left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right)\right). Với t=13t=\dfrac{1}{3}, tan⁡2θ=2t1−t2=34\tan 2\theta=\dfrac{2t}{1-t^2}=\dfrac{3}{4}, suy ra kết quả −34-\dfrac{3}{4}.

tan⁡(π3+2α)=−2t1−t2=−34\tan\left(\dfrac{\pi}{3}+2\alpha\right)=-\dfrac{2t}{1-t^2}=-\dfrac{3}{4}

Câu 30nâng cao

Cho cos⁡α=35\cos\alpha=\dfrac{3}{5}, sin⁡β=−513\sin\beta=-\dfrac{5}{13} với α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), β∈(−π2,0)\beta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right). Khi đó sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) bằng

  • A.3365\dfrac{33}{65}đáp án
  • B.5665\dfrac{56}{65}
  • C.−5665-\dfrac{56}{65}
  • D.−3365-\dfrac{33}{65}

Từ dấu của các góc: sin⁡α=45\sin\alpha=\dfrac{4}{5}, cos⁡β=1213\cos\beta=\dfrac{12}{13}. Dùng công thức cộng sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=4865−1565=3365\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{48}{65}-\dfrac{15}{65}=\dfrac{33}{65}.

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=3365\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{33}{65}

Câu 31nâng cao

Cho hàm số f(x)=cos⁡(π3−x)cos⁡(π6+x)−3(1+cos⁡2x)2+32f(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+x\right)-\dfrac{\sqrt{3}(1+\cos 2x)}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Chu kỳ dương nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x)f(x) lần lượt là

  • A.π, 14\pi,\ \dfrac{1}{4}
  • B.π, 12\pi,\ \dfrac{1}{2}đáp án
  • C.2π, 1−322\pi,\ \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}
  • D.2π, 322\pi,\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Vì π6+x=π2−(π3−x)\dfrac{\pi}{6}+x=\dfrac{\pi}{2}-\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right) nên cos⁡(π6+x)=sin⁡(π3−x)\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+x\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right), suy ra tích bằng 34cos⁡2x+14sin⁡2x\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cos 2x+\dfrac{1}{4}\sin 2x. Phần còn lại rút gọn thành −32cos⁡2x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x. Tổng cho f(x)=14sin⁡2x−34cos⁡2xf(x)=\dfrac{1}{4}\sin 2x-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cos 2x, biên độ 12\dfrac{1}{2}, chu kỳ π\pi.

f(x)=14sin⁡2x−34cos⁡2xf(x)=\dfrac{1}{4}\sin 2x-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cos 2x

Câu 32nâng cao

Cho 2sin⁡α−cos⁡β=22\sin\alpha-\cos\beta=\sqrt{2}, sin⁡β−2cos⁡α=2\sin\beta-2\cos\alpha=2 và sin⁡(α−β)=13\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{1}{3}. Khi đó tan⁡αtan⁡β\dfrac{\tan\alpha}{\tan\beta} bằng:

  • A.17\dfrac{1}{7}
  • B.77
  • C.−17-\dfrac{1}{7}đáp án
  • D.−7-7

Bình phương rồi cộng hai đẳng thức: 5−4sin⁡(α+β)=65-4\sin(\alpha+\beta)=6 nên sin⁡(α+β)=−14\sin(\alpha+\beta)=-\dfrac{1}{4}. Kết hợp sin⁡(α−β)=13\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{1}{3} suy ra sin⁡αcos⁡β=124\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{24}, cos⁡αsin⁡β=−724\cos\alpha\sin\beta=-\dfrac{7}{24}. Vậy tan⁡αtan⁡β=sin⁡αcos⁡βcos⁡αsin⁡β=−17\dfrac{\tan\alpha}{\tan\beta}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\sin\beta}=-\dfrac{1}{7}.

tan⁡αtan⁡β=sin⁡αcos⁡βcos⁡αsin⁡β=−17\dfrac{\tan\alpha}{\tan\beta}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\sin\beta}=-\dfrac{1}{7}

Đồ thị và phương trình lượng giác

Câu 33

Số giao điểm của đồ thị hàm số y=sin⁡xy = \sin x với x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] và đường thẳng y=12y = \dfrac{1}{2} là bao nhiêu?

  • A.00
  • B.11
  • C.22đáp án
  • D.33

Phương trình sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{2} trên [0,2π][0, 2\pi] có hai nghiệm là x=π6x = \dfrac{\pi}{6} và x=5π6x = \dfrac{5\pi}{6}, nên đồ thị cắt nhau tại 22 điểm.

sin⁡x=12, x∈[0,2π]\sin x = \tfrac{1}{2},\ x\in[0,2\pi]

Câu 34

Trong các hàm số sau, hàm nào có chu kỳ bằng π2\dfrac{\pi}{2}?

  • A.y=sin⁡x2y = \sin\dfrac{x}{2}
  • B.y=sin⁡2xy = \sin 2x
  • C.y=cos⁡x4y = \cos\dfrac{x}{4}
  • D.y=cos⁡(−4x)y = \cos(-4x)đáp án

Chu kỳ của y=cos⁡(kx)y = \cos(kx) là 2π∣k∣\dfrac{2\pi}{|k|}. Với y=cos⁡(−4x)=cos⁡4xy = \cos(-4x) = \cos 4x thì chu kỳ là 2π4=π2\dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}.

y=cos⁡(−4x), T=2π4=π2y=\cos(-4x),\ T=\tfrac{2\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}

Câu 35

Các khoảng đồng biến của hàm số f(x)=12tan⁡(π2x+π4)+1f(x) = \dfrac{1}{2}\tan\left(\dfrac{\pi}{2}x + \dfrac{\pi}{4}\right) + 1 là khoảng nào? (kk là số nguyên)

  • A.(2k−32, 2k+12)\left(2k - \dfrac{3}{2},\ 2k + \dfrac{1}{2}\right)đáp án
  • B.(2k−12, 2k+12)\left(2k - \dfrac{1}{2},\ 2k + \dfrac{1}{2}\right)
  • C.(4k−12, 4k+12)\left(4k - \dfrac{1}{2},\ 4k + \dfrac{1}{2}\right)
  • D.(4k−32, 4k+12)\left(4k - \dfrac{3}{2},\ 4k + \dfrac{1}{2}\right)

Hàm tan⁡\tan đồng biến khi −π2+kπ<π2x+π4<π2+kπ-\dfrac{\pi}{2} + k\pi < \dfrac{\pi}{2}x + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2} + k\pi. Giải ra được 2k−32<x<2k+122k - \dfrac{3}{2} < x < 2k + \dfrac{1}{2}.

−π2+kπ<π2x+π4<π2+kπ-\tfrac{\pi}{2}+k\pi < \tfrac{\pi}{2}x+\tfrac{\pi}{4} < \tfrac{\pi}{2}+k\pi

Câu 36

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=2tan⁡(x2−π6)y = 2\tan\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6}\right) là điểm nào? (kk là số nguyên)

  • A.(2kπ+π3, 0)\left(2k\pi + \dfrac{\pi}{3},\ 0\right)
  • B.(2kπ+π6, 0)\left(2k\pi + \dfrac{\pi}{6},\ 0\right)
  • C.(kπ+π3, 0)\left(k\pi + \dfrac{\pi}{3},\ 0\right)đáp án
  • D.(kπ+π6, 0)\left(k\pi + \dfrac{\pi}{6},\ 0\right)

Tâm đối xứng của hàm tan⁡\tan ứng với đối số bằng kπ2\dfrac{k\pi}{2}. Đặt x2−π6=kπ2\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{k\pi}{2}, giải ra x=kπ+π3x = k\pi + \dfrac{\pi}{3}. Vậy tâm đối xứng là (kπ+π3, 0)\left(k\pi + \dfrac{\pi}{3},\ 0\right).

x2−π6=kπ2\tfrac{x}{2}-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{k\pi}{2}

Câu 37

Cho hàm số cosin y=cos⁡xy=\cos x, phát biểu nào sau đây là SAI?

  • A.Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là 11 và −1-1.
  • B.Là hàm tuần hoàn với chu kì dương nhỏ nhất là 2π2\pi.
  • C.Là hàm số chẵn.
  • D.Tập xác định là [0,2π][0,2\pi].đáp án

Hàm y=cos⁡xy=\cos x có tập xác định là toàn bộ R\mathbb{R}, không phải [0,2π][0,2\pi], nên phát biểu D sai. Các phát biểu A, B, C đều đúng (giá trị trong [−1,1][-1,1], chu kì 2π2\pi, hàm chẵn vì cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x).

cos⁡(−x)=cos⁡x,D=R\cos(-x)=\cos x,\quad D=\mathbb{R}

Câu 38

Về hàm số tang y=tan⁡2xy=\tan 2x, phát biểu nào sau đây ĐÚNG?

  • A.Tập giá trị là [−1,1][-1,1].
  • B.Tập xác định là R\mathbb{R}.
  • C.Là hàm số lẻ.đáp án
  • D.Chu kì dương nhỏ nhất là π\pi.

Hàm y=tan⁡2xy=\tan 2x là hàm lẻ vì tan⁡(−2x)=−tan⁡2x\tan(-2x)=-\tan 2x nên C đúng. A sai (tập giá trị là R\mathbb{R}), B sai (loại các điểm 2x=π2+kπ2x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi), D sai (chu kì là π2\tfrac{\pi}{2}).

tan⁡(−2x)=−tan⁡2x,T=π2\tan(-2x)=-\tan 2x,\quad T=\frac{\pi}{2}

Câu 39

Về tính đơn điệu của hàm số y=sin⁡xy=\sin x với x∈[0,2π]x\in[0,2\pi], phát biểu đúng là:

  • A.Đồng biến trên [0,π][0,\pi] và nghịch biến trên [π,2π][\pi,2\pi].
  • B.Đồng biến trên [0,π2]\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] và nghịch biến trên [π2,2π]\left[\dfrac{\pi}{2},2\pi\right].
  • C.Đồng biến trên [0,π2]\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] và [3π2,2π]\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right], nghịch biến trên [π2,3π2]\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right].đáp án
  • D.Đồng biến trên [π2,3π2]\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right], nghịch biến trên [0,π2]\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] và [3π2,2π]\left[\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right].

Trên [0,2π][0,2\pi], hàm sin⁡x\sin x đồng biến trên [0,π2]\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right], nghịch biến trên [π2,3π2]\left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right] rồi lại đồng biến trên [3π2,2π]\left[\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right], ứng với phát biểu C.

sin⁡x↑[0,π2], ↓[π2,3π2], ↑[3π2,2π]\sin x \uparrow \left[0,\tfrac{\pi}{2}\right],\ \downarrow\left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right],\ \uparrow\left[\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right]

Câu 40

Hàm số f(x)=sin⁡(2x−π3+φ)f(x)=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}+\varphi\right) với 0<φ<π0<\varphi<\pi là hàm số chẵn trên R\mathbb{R}. Khi đó φ=\varphi=

  • A.00
  • B.π3\dfrac{\pi}{3}
  • C.π2\dfrac{\pi}{2}
  • D.5π6\dfrac{5\pi}{6}đáp án

Để f(x)=sin⁡(2x+(φ−π3))f(x)=\sin\left(2x+\left(\varphi-\tfrac{\pi}{3}\right)\right) là hàm chẵn, pha phải thỏa φ−π3=π2+kπ\varphi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, suy ra φ=5π6+kπ\varphi=\tfrac{5\pi}{6}+k\pi. Với 0<φ<π0<\varphi<\pi chọn φ=5π6\varphi=\tfrac{5\pi}{6}.

φ−π3=π2+kπ⇒φ=5π6\varphi-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi \Rightarrow \varphi=\frac{5\pi}{6}