Mạch Kinh Tế

Appearance

Trắc nghiệm — Số phức ​

Bộ câu hỏi trắc nghiệm cho cụm Số phức, rút từ đề thật và phân theo chủ đề con. Phần lý thuyết xem ở đây.

  • Làm thử — bấm từng đáp rồi kiểm tra, có lời giải ngay.
  • Theo chủ đề — phần dưới liệt kê toàn bộ câu theo cây chủ đề con; câu nâng cao (cho học sinh giỏi) tách riêng cuối mỗi chủ đề.

Làm thử từng câu ​

Số phứcCâu 1 / 32 · Điểm 0 / 0

Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn số phức zz nằm trên tia y=−2xy = -2x (với x≥0x \ge 0) và ∣z∣=5|z| = \sqrt{5}. Khi đó zz bằng?

Toàn bộ câu hỏi theo chủ đề ​

Số phức — 32 câu32 câu

Số phức

Câu 1

Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn số phức zz nằm trên tia y=−2xy = -2x (với x≥0x \ge 0) và ∣z∣=5|z| = \sqrt{5}. Khi đó zz bằng?

  • A.1−2i1 - 2iđáp án
  • B.−1+2i-1 + 2i
  • C.2−i2 - i
  • D.−2+i-2 + i

Vì điểm nằm trên tia y=−2xy = -2x với x≥0x \ge 0, đặt z=a−2aiz = a - 2ai với a≥0a \ge 0. Từ ∣z∣=5|z| = \sqrt{5} suy ra a2+4a2=5a^2 + 4a^2 = 5, nên a2=1a^2 = 1, a=1a = 1 (lấy nghiệm không âm). Vậy z=1−2iz = 1 - 2i. (Nguồn ghi đáp án D nhưng sai; với điều kiện x≥0x \ge 0 nghiệm đúng là 1−2i1 - 2i.)

z=a−2ai, a≥0: a2+(2a)2=5⇒a=1⇒z=1−2iz=a-2ai,\ a\ge 0:\ a^2+(2a)^2=5 \Rightarrow a=1 \Rightarrow z=1-2i

Câu 2

Số phức zz thỏa mãn 2z−zˉ=3+6i2z - \bar{z} = 3 + 6i (zˉ\bar{z} là liên hợp của zz). Điểm biểu diễn zˉ\bar{z} trong mặt phẳng phức nằm ở góc phần tư nào?

  • A.Góc phần tư thứ nhất
  • B.Góc phần tư thứ hai
  • C.Góc phần tư thứ ba
  • D.Góc phần tư thứ tưđáp án

Đặt z=a+biz = a + bi thì zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi. Khi đó 2z−zˉ=2(a+bi)−(a−bi)=a+3bi=3+6i2z - \bar{z} = 2(a + bi) - (a - bi) = a + 3bi = 3 + 6i, suy ra a=3a = 3, b=2b = 2. Vậy zˉ=3−2i\bar{z} = 3 - 2i, ứng với điểm (3;−2)(3; -2), nằm ở góc phần tư thứ tư.

2z−zˉ=a+3bi=3+6i⇒a=3, b=2, zˉ=3−2i →(3;−2)2z-\bar z=a+3bi=3+6i \Rightarrow a=3,\ b=2,\ \bar z=3-2i\ \to (3;-2)

Câu 3

Cho ii là đơn vị ảo (i2=−1i^2 = -1) và số phức zz thỏa mãn iz−5iz - 5 là số thuần ảo. Phần ảo của zz bằng?

  • A.55
  • B.5i5i
  • C.−5i-5i
  • D.−5-5đáp án

Đặt z=a+biz = a + bi. Khi đó iz−5=i(a+bi)−5=−b+ai−5=(−b−5)+aiiz - 5 = i(a + bi) - 5 = -b + ai - 5 = (-b - 5) + ai. Số thuần ảo có phần thực bằng 00 (và phần ảo khác 00): −b−5=0-b - 5 = 0, suy ra b=−5b = -5. Phần ảo của zz là b=−5b = -5.

iz−5=(−b−5)+ai, −b−5=0⇒b=−5iz - 5 = (-b-5) + ai,\ -b-5 = 0 \Rightarrow b = -5

Câu 4

Trong mặt phẳng phức, số phức ứng với vector AB→\overrightarrow{AB} là −3+2i-3 + 2i. Số phức ứng với vector BA→\overrightarrow{BA} là?

  • A.3−2i3 - 2iđáp án
  • B.3+2i3 + 2i
  • C.−3+2i-3 + 2i
  • D.−3−2i-3 - 2i

Vector BA→\overrightarrow{BA} là vector đối của vector AB→\overrightarrow{AB}, nên số phức của BA→\overrightarrow{BA} bằng số đối: −(−3+2i)=3−2i-(-3 + 2i) = 3 - 2i.

BA→=−AB→ →−(−3+2i)=3−2i\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\ \to -(-3+2i)=3-2i

Câu 5

Cho z=1+i1−iz = \dfrac{1+i}{1-i}. Điểm biểu diễn số phức z2−zz^2 - z trong mặt phẳng phức nằm ở đâu?

  • A.Trên đường cong y=x2y = x^2
  • B.Trên đường cong y=x3y = x^3đáp án
  • C.Trên đường thẳng y=−xy = -x
  • D.Trên đường thẳng y=−2xy = -2x

Rút gọn z=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=iz = \dfrac{1+i}{1-i} = \dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{2i}{2} = i. Khi đó z2−z=i2−i=−1−iz^2 - z = i^2 - i = -1 - i, ứng với điểm (−1;−1)(-1; -1). Kiểm tra y=x3y = x^3: (−1)3=−1(-1)^3 = -1, đúng. Vậy điểm nằm trên đường cong y=x3y = x^3.

z=1+i1−i=i, z2−z=−1−i →(−1;−1)∈{y=x3}z=\dfrac{1+i}{1-i}=i,\ z^2-z=-1-i\ \to (-1;-1)\in\{y=x^3\}

Câu 6

Cho z=1+i1−iz = \dfrac{1+i}{1-i}. Điểm biểu diễn số phức z2−zz^2 - z trong mặt phẳng phức nằm ở đâu?

  • A.Trên đường cong y=x2y = x^2
  • B.Trên đường cong y=x3y = x^3đáp án
  • C.Trên đường thẳng y=−xy = -x
  • D.Trên đường thẳng y=−2xy = -2x

Rút gọn z=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=iz = \dfrac{1+i}{1-i} = \dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{2i}{2} = i. Khi đó z2−z=i2−i=−1−iz^2 - z = i^2 - i = -1 - i, ứng với điểm (−1;−1)(-1; -1). Kiểm tra y=x3y = x^3: (−1)3=−1(-1)^3 = -1, đúng. Vậy điểm nằm trên đường cong y=x3y = x^3.

z=1+i1−i=i, z2−z=−1−i →(−1;−1)∈{y=x3}z=\dfrac{1+i}{1-i}=i,\ z^2-z=-1-i\ \to (-1;-1)\in\{y=x^3\}

Câu 7

Số phức zz thỏa mãn z=6i+2i2z = 6i + 2i^2 (với i2=−1i^2 = -1). Phần ảo của zz bằng?

  • A.−2i-2i
  • B.6i6i
  • C.11
  • D.66đáp án

Ta có z=6i+2i2=6i+2(−1)=−2+6iz = 6i + 2i^2 = 6i + 2(-1) = -2 + 6i. Phần ảo của zz là hệ số của ii, bằng 66.

z=6i+2i2=−2+6i, Im⁡(z)=6z = 6i + 2i^2 = -2 + 6i,\ \operatorname{Im}(z) = 6

Câu 8

Số phức z=3(sin⁡2π3+icos⁡2π3)z=\sqrt{3}\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}+i\cos\dfrac{2\pi}{3}\right) viết về dạng đại số là (  )(\ \ ).

  • A.32+32i\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i
  • B.−32+32i-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i
  • C.−32−32i-\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i
  • D.32−32i\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}iđáp án

Thay sin⁡2π3=32\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} và cos⁡2π3=−12\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}. Khi đó z=3(32−12i)=32−32iz=\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i.

z=3(32−12i)=32−32iz=\sqrt{3}\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}i\right)=\tfrac{3}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i

Câu 9

Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn số phức z=(a2−2a)+(a2−a−2)iz=(a^2-2a)+(a^2-a-2)i nằm trên trục ảo. Khi đó giá trị của aa là (  )(\ \ ).

  • A.a=0a=0 hoặc a=2a=2đáp án
  • B.a=0a=0
  • C.a≠1a\ne 1 và a≠2a\ne 2
  • D.a≠1a\ne 1 hoặc a≠2a\ne 2

Điểm nằm trên trục ảo khi phần thực bằng 00: a2−2a=0a^2-2a=0, tức a(a−2)=0a(a-2)=0 nên a=0a=0 hoặc a=2a=2.

a2−2a=0⇒a=0 or a=2a^2-2a=0\Rightarrow a=0\ \text{or}\ a=2

Câu 10

Phần ảo của số phức i(2−i)i(2-i) là (  )(\ \ ).

  • A.−2-2
  • B.22đáp án
  • C.−2i-2i
  • D.2i2i

Khai triển i(2−i)=2i−i2=1+2ii(2-i)=2i-i^2=1+2i. Phần ảo là hệ số của ii, bằng 22.

i(2−i)=1+2ii(2-i)=1+2i

Câu 11

Dạng lượng giác của số phức z=3−iz=\sqrt{3}-i là (  )(\ \ ).

  • A.2(cos⁡2π3+isin⁡2π3)2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)
  • B.2(cos⁡2π3−isin⁡2π3)2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}-i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)
  • C.2(cos⁡7π6−isin⁡7π6)2\left(\cos\dfrac{7\pi}{6}-i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)
  • D.2(cos⁡11π6+isin⁡11π6)2\left(\cos\dfrac{11\pi}{6}+i\sin\dfrac{11\pi}{6}\right)đáp án

Mô-đun r=3+1=2r=\sqrt{3+1}=2; điểm (3,−1)(\sqrt{3},-1) ở góc phần tư thứ tư nên cos⁡θ=32\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, θ=11π6\theta=\dfrac{11\pi}{6}. Vậy z=2(cos⁡11π6+isin⁡11π6)z=2\left(\cos\dfrac{11\pi}{6}+i\sin\dfrac{11\pi}{6}\right).

r=2, θ=11π6r=2,\ \theta=\tfrac{11\pi}{6}

Câu 12

Cho ii là đơn vị ảo và số phức z=ii+1z=\dfrac{i}{i+1}. Phần ảo của zz là (  )(\ \ ).

  • A.12i\dfrac{1}{2}i
  • B.−12i-\dfrac{1}{2}i
  • C.12\dfrac{1}{2}đáp án
  • D.−12-\dfrac{1}{2}

Nhân tử và mẫu với liên hợp: z=i(1−i)(1+i)(1−i)=i+12=12+12iz=\dfrac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{i+1}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i. Phần ảo bằng 12\dfrac{1}{2}.

z=i+12=12+12iz=\dfrac{i+1}{2}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}i

Câu 13

Cho số phức z=2−iz=2-i (với ii là đơn vị ảo). Khi đó ∣z∣=(  )\lvert z\rvert=(\ \ ).

  • A.11
  • B.2\sqrt{2}
  • C.3\sqrt{3}
  • D.5\sqrt{5}đáp án

Mô-đun là ∣z∣=22+(−1)2=5\lvert z\rvert=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}.

∣z∣=4+1=5\lvert z\rvert=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}

Câu 14

Cho tập hợp A={x∣x=a+(a2−1)i, a∈R}A=\{x\mid x=a+(a^2-1)i,\ a\in\mathbb{R}\}. Nếu A⊆RA\subseteq\mathbb{R} thì a=(  )a=(\ \ ).

  • A.11
  • B.−1-1
  • C.±1\pm 1đáp án
  • D.00

Để xx là số thực, phần ảo phải bằng 00: a2−1=0a^2-1=0 nên a=±1a=\pm 1.

a2−1=0⇒a=±1a^2-1=0\Rightarrow a=\pm 1

Câu 15

Cho số phức z=a−i2+iz=\dfrac{a-i}{2+i} (với ii là đơn vị ảo), điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức nằm ở góc phần tư thứ ba. Tập giá trị của số thực aa là (  )(\ \ ).

  • A.(−2,12)\left(-2,\dfrac{1}{2}\right)đáp án
  • B.(−12,2)\left(-\dfrac{1}{2},2\right)
  • C.(−∞,−2)(-\infty,-2)
  • D.(12,+∞)\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)

Rút gọn z=(a−i)(2−i)5=2a−15−a+25iz=\dfrac{(a-i)(2-i)}{5}=\dfrac{2a-1}{5}-\dfrac{a+2}{5}i. Góc phần tư thứ ba cần cả hai phần âm: 2a−1<02a-1<0 và a+2>0a+2>0, tức −2<a<12-2<a<\dfrac{1}{2}.

z=2a−15−a+25i, −2<a<12z=\tfrac{2a-1}{5}-\tfrac{a+2}{5}i,\ -2<a<\tfrac{1}{2}

Câu 16

Cho số phức z=a−i2+iz=\dfrac{a-i}{2+i} (với ii là đơn vị ảo), điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức nằm ở góc phần tư thứ ba. Tập giá trị của số thực aa là (  )(\ \ ).

  • A.(−2,12)\left(-2,\dfrac{1}{2}\right)đáp án
  • B.(−12,2)\left(-\dfrac{1}{2},2\right)
  • C.(−∞,−2)(-\infty,-2)
  • D.(12,+∞)\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)

Rút gọn z=(a−i)(2−i)5=2a−15−a+25iz=\dfrac{(a-i)(2-i)}{5}=\dfrac{2a-1}{5}-\dfrac{a+2}{5}i. Góc phần tư thứ ba cần cả hai phần âm: 2a−1<02a-1<0 và a+2>0a+2>0, tức −2<a<12-2<a<\dfrac{1}{2}.

z=2a−15−a+25i, −2<a<12z=\tfrac{2a-1}{5}-\tfrac{a+2}{5}i,\ -2<a<\tfrac{1}{2}

Câu 17

Trong mặt phẳng phức, nếu số phức ứng với vectơ AB→\overrightarrow{AB} là −3+2i-3+2i thì số phức ứng với vectơ BA→\overrightarrow{BA} là (  )(\ \ ).

  • A.3−2i3-2iđáp án
  • B.3+2i3+2i
  • C.−3+2i-3+2i
  • D.−3−2i-3-2i

Vì BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} nên số phức tương ứng là −(−3+2i)=3−2i-(-3+2i)=3-2i.

BA→=−AB→⇒3−2i\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\Rightarrow 3-2i

Câu 18

Phần ảo của số phức z=(1+i)(2−i)z=(1+i)(2-i) (với ii là đơn vị ảo) là (  )(\ \ ).

  • A.11đáp án
  • B.−1-1
  • C.ii
  • D.−i-i

Khai triển z=(1+i)(2−i)=2−i+2i−i2=3+iz=(1+i)(2-i)=2-i+2i-i^2=3+i. Phần ảo bằng 11.

z=(1+i)(2−i)=3+iz=(1+i)(2-i)=3+i

Câu 19

Cho số phức z=−iz=-i. Khi đó ∣z2025−z2026∣=(  )\lvert z^{2025}-z^{2026}\rvert=(\ \ ).

  • A.22
  • B.2\sqrt{2}đáp án
  • C.11
  • D.00

Lũy thừa của −i-i tuần hoàn chu kỳ 44: z2025=z1=−iz^{2025}=z^{1}=-i, z2026=z2=−1z^{2026}=z^{2}=-1. Khi đó z2025−z2026=1−iz^{2025}-z^{2026}=1-i nên mô-đun bằng 2\sqrt{2}.

∣1−i∣=2\lvert 1-i\rvert=\sqrt{2}

Câu 20

Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn số phức 2−i2-i nằm ở (  )(\ \ )

  • A.Góc phần tư thứ nhất
  • B.Góc phần tư thứ hai
  • C.Góc phần tư thứ ba
  • D.Góc phần tư thứ tưđáp án

Điểm biểu diễn là (2,−1)(2,-1) có hoành độ dương và tung độ âm, nằm ở góc phần tư thứ tư.

(2,−1)(2,-1)

Câu 21

Cho số phức zˉ=1+3i\bar z = 1 + 3i. Khi đó 1z=(  )\dfrac{1}{z} = (\ \ ).

  • A.110+310i\dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{10}iđáp án
  • B.110−310i\dfrac{1}{10} - \dfrac{3}{10}i
  • C.−110+310i-\dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{10}i
  • D.−110−310i-\dfrac{1}{10} - \dfrac{3}{10}i

Từ zˉ=1+3i\bar z = 1 + 3i suy ra z=1−3iz = 1 - 3i. Nhân tử và mẫu với liên hợp: 11−3i=1+3i1+9=110+310i\dfrac{1}{1-3i} = \dfrac{1+3i}{1+9} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{10}i.

11−3i=1+3i10=110+310i\dfrac{1}{1-3i} = \dfrac{1+3i}{10} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{10}i

Câu 22

Cho số phức z=a+2iz = a + 2i. Nếu zˉ⋅(3+i)\bar z \cdot (3 + i) là một số thực thì số thực a=(  )a = (\ \ ).

  • A.33
  • B.−3-3
  • C.66đáp án
  • D.−6-6

Có zˉ=a−2i\bar z = a - 2i, nên zˉ(3+i)=(a−2i)(3+i)=(3a+2)+(a−6)i\bar z(3+i) = (a-2i)(3+i) = (3a+2) + (a-6)i. Để là số thực thì phần ảo bằng 00: a−6=0⇒a=6a - 6 = 0 \Rightarrow a = 6.

(a−2i)(3+i)=(3a+2)+(a−6)i⇒a−6=0(a-2i)(3+i) = (3a+2) + (a-6)i \Rightarrow a-6=0

Câu 23

Cho số phức zz thỏa mãn z+2zˉ=6+iz + 2\bar z = 6 + i. Khi đó z=(  )z = (\ \ ).

  • A.2+i2 + i
  • B.2−i2 - iđáp án
  • C.1−2i1 - 2i
  • D.1+2i1 + 2i

Đặt z=x+yiz = x + yi thì z+2zˉ=3x−yi=6+iz + 2\bar z = 3x - yi = 6 + i. Đồng nhất phần thực và phần ảo: 3x=6⇒x=23x = 6 \Rightarrow x = 2 và −y=1⇒y=−1-y = 1 \Rightarrow y = -1. Vậy z=2−iz = 2 - i.

z+2zˉ=3x−yi=6+i⇒x=2, y=−1z + 2\bar z = 3x - yi = 6 + i \Rightarrow x=2,\ y=-1

Câu 24

Cho số phức z=1−iz = 1 - i. Khi đó ∣zˉ+i∣=(  )|\bar z + i| = (\ \ ).

  • A.22
  • B.5\sqrt{5}đáp án
  • C.6\sqrt{6}
  • D.7\sqrt{7}

Có zˉ=1+i\bar z = 1 + i, nên zˉ+i=1+2i\bar z + i = 1 + 2i. Mô-đun: ∣1+2i∣=12+22=5|1+2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.

∣zˉ+i∣=∣1+2i∣=5|\bar z + i| = |1 + 2i| = \sqrt{5}

Câu 25

Gọi ii là đơn vị ảo. Nếu số phức z=1−(1−i1+i)2iz = 1 - \left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^2 i thì ∣z∣=(  )|z| = (\ \ ).

  • A.11
  • B.2\sqrt{2}đáp án
  • C.22
  • D.5\sqrt{5}

Rút gọn 1−i1+i=(1−i)22=−i\dfrac{1-i}{1+i} = \dfrac{(1-i)^2}{2} = -i, nên bình phương bằng −1-1. Do đó z=1−(−1)i=1+iz = 1 - (-1)i = 1 + i và ∣z∣=2|z| = \sqrt{2}.

(1−i1+i)2=−1⇒z=1+i, ∣z∣=2\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^2 = -1 \Rightarrow z = 1+i,\ |z|=\sqrt{2}

Câu 26

Nếu số phức zz thỏa mãn z(3−i)=2z(\sqrt{3} - i) = 2 thì z=(  )z = (\ \ ).

  • A.32+12i\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}iđáp án
  • B.12+32i\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i
  • C.32−12i\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}i
  • D.12−32i\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i

Có z=23−i=2(3+i)3+1=3+i2=32+12iz = \dfrac{2}{\sqrt{3}-i} = \dfrac{2(\sqrt{3}+i)}{3+1} = \dfrac{\sqrt{3}+i}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i.

z=23−i=32+12iz = \dfrac{2}{\sqrt{3}-i} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i

Câu 27

Nếu (2−mi)(3−2i) (m∈R)(2 - mi)(3 - 2i)\ (m \in \mathbb{R}) là một số thuần ảo thì điểm biểu diễn số phức z=m−2i1+iz = \dfrac{m - 2i}{1 + i} trên mặt phẳng phức nằm ở (  )(\ \ ).

  • A.Góc phần tư thứ nhất
  • B.Góc phần tư thứ hai
  • C.Góc phần tư thứ ba
  • D.Góc phần tư thứ tưđáp án

Khai triển (2−mi)(3−2i)=(6−2m)+(−4−3m)i(2-mi)(3-2i) = (6-2m) + (-4-3m)i. Thuần ảo nên phần thực bằng 00: 6−2m=0⇒m=36 - 2m = 0 \Rightarrow m = 3. Khi đó z=3−2i1+i=(3−2i)(1−i)2=12−52iz = \dfrac{3-2i}{1+i} = \dfrac{(3-2i)(1-i)}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{2}i, có phần thực dương và phần ảo âm nên nằm ở góc phần tư thứ tư.

z=3−2i1+i=12−52iz = \dfrac{3-2i}{1+i} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{2}i

Câu 28

Cho z=1−iz = 1 - i. Khi đó 1+iz+2zˉ=(  )\dfrac{1 + i}{z + 2\bar z} = (\ \ ).

  • A.−710+15i-\dfrac{7}{10} + \dfrac{1}{5}i
  • B.12+15i\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5}i
  • C.25+15i\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}iđáp án
  • D.15+25i\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}i

Có zˉ=1+i\bar z = 1 + i, nên z+2zˉ=(1−i)+2(1+i)=3+iz + 2\bar z = (1-i) + 2(1+i) = 3 + i. Do đó 1+i3+i=(1+i)(3−i)10=4+2i10=25+15i\dfrac{1+i}{3+i} = \dfrac{(1+i)(3-i)}{10} = \dfrac{4+2i}{10} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}i.

1+iz+2zˉ=1+i3+i=25+15i\dfrac{1+i}{z+2\bar z} = \dfrac{1+i}{3+i} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}i

Câu 29

Cho ii là đơn vị ảo. Nếu các số phức thỏa mãn z1=2+iz_1 = 2 + i và z=5z1z = \dfrac{5}{z_1} thì ∣z∣=(  )|z| = (\ \ ).

  • A.11
  • B.5\sqrt{5}đáp án
  • C.55
  • D.555\sqrt{5}

Có z=52+i=5(2−i)5=2−iz = \dfrac{5}{2+i} = \dfrac{5(2-i)}{5} = 2 - i. Mô-đun: ∣z∣=22+12=5|z| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}. (Có thể tính nhanh: ∣z∣=5∣z1∣=55=5|z| = \dfrac{5}{|z_1|} = \dfrac{5}{\sqrt5} = \sqrt5.)

z=52+i=2−i, ∣z∣=5z = \dfrac{5}{2+i} = 2 - i,\ |z| = \sqrt{5}

Nâng cao

Câu 30nâng cao

Cho a+2i=b+iia + 2i = \dfrac{b+i}{i}, với ii là đơn vị ảo (i2=−1i^2 = -1) và a,ba, b là số thực. Số phức liên hợp của z=ab+(a−b)iz = ab + (a - b)i là?

  • A.−2+3i-2 + 3i
  • B.2+3i2 + 3i
  • C.2−3i2 - 3i
  • D.−2−3i-2 - 3iđáp án

Nhân tử số và mẫu với −i-i: b+ii=(b+i)(−i)i⋅(−i)=1−bi\dfrac{b+i}{i} = \dfrac{(b+i)(-i)}{i\cdot(-i)} = 1 - bi. Vậy a+2i=1−bia + 2i = 1 - bi, suy ra a=1a = 1, b=−2b = -2. Khi đó z=ab+(a−b)i=−2+3iz = ab + (a - b)i = -2 + 3i, nên liên hợp zˉ=−2−3i\bar{z} = -2 - 3i.

a+2i=b+ii=1−bi⇒a=1, b=−2, z=−2+3i, zˉ=−2−3ia+2i=\dfrac{b+i}{i}=1-bi \Rightarrow a=1,\ b=-2,\ z=-2+3i,\ \bar z=-2-3i

Câu 31nâng cao

Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn số phức zz nằm trên đường thẳng x+y=0x+y=0. Nếu zz là một nghiệm của phương trình bậc hai x2+mx+9=0x^2+mx+9=0 thì m=(  )m=(\ \ )

  • A.±32\pm 3\sqrt{2}đáp án
  • B.±6\pm 6
  • C.±23\pm 2\sqrt{3}
  • D.±6\pm\sqrt{6}

Vì zz nằm trên x+y=0x+y=0 nên z=a−aiz=a-ai. Với mm thực, hai nghiệm là zz và liên hợp zˉ\bar z. Tích nghiệm zzˉ=2a2=9z\bar z=2a^2=9, tổng nghiệm 2a=−m2a=-m. Suy ra m2=4a2=2⋅9=18m^2=4a^2=2\cdot 9=18 nên m=±32m=\pm 3\sqrt{2}.

m2=4a2=2(2a2)=18m^2=4a^2=2(2a^2)=18

Câu 32nâng cao

Cho số phức z=x+yi (x>0, y∈R)z = x + yi\ (x > 0,\ y \in \mathbb{R}) thỏa mãn z2=18iz^2 = 18i. Khi đó z=(  )z = (\ \ ).

  • A.3+2i3 + 2i
  • B.3+3i3 + 3iđáp án
  • C.3−2i3 - 2i
  • D.3−3i3 - 3i

Khai triển z2=(x2−y2)+2xy i=18iz^2 = (x^2 - y^2) + 2xy\,i = 18i. Đồng nhất: x2−y2=0x^2 - y^2 = 0 và 2xy=182xy = 18. Suy ra x=yx = y và xy=9xy = 9; với x>0x > 0 được x=y=3x = y = 3. Vậy z=3+3iz = 3 + 3i.

z2=(x2−y2)+2xy i=18i⇒x=y=3z^2 = (x^2-y^2) + 2xy\,i = 18i \Rightarrow x=y=3