Cụm 11 — Số phức

Cụm này dựng trường số phức từ một mở rộng duy nhất của tập số thực, rồi rút ra mọi phép toán và hình học từ đó:

• Câu hỏi gốc — vì sao phương trình $x^2=-1$ vô nghiệm trên số thực mà ta vẫn muốn nó có nghiệm, và cái giá phải trả khi thêm nghiệm đó là gì.
• Tiên đề mở rộng — chỉ thêm một vật mới là đơn vị ảo $i$ với $i^2=-1$, mọi thứ còn lại suy ra bằng luật đại số cũ.
• Các trụ dẫn xuất — số phức $z=a+bi$, phép toán bốn phép, số phức liên hợp, môđun modulus, biểu diễn hình học, dạng lượng giác, phương trình bậc hai nghiệm phức.
• Vì sao là nền — số phức là khung thống nhất của lượng giác, phép quay mặt phẳng, và nghiệm đa thức; mọi định lý cơ bản của đại số tựa trên nó.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Màu — node xanh đậm = tiên đề gốc không chứng minh; xanh nhạt = vật đại số dẫn xuất trực tiếp; xanh lá = cấu trúc cao hơn xây trên các vật đó.
• Hướng — mọi mũi tên chảy từ tiên đề $i^2=-1$ xuống, nên nắm tiên đề và định nghĩa $z=a+bi$ trước, phần còn lại chỉ là hệ quả.

Glossary nhãn chart (English keyword -> tiếng Việt):

• Imaginary unit axiom $i^2=-1$ — tiên đề đơn vị ảo: vật mới thêm vào với tính chất bình phương bằng $-1$, là gốc của toàn cụm.
• Complex number $z=a+bi$ — số phức: gồm phần thực $a$ và phần ảo $b$.
• Four operations — bốn phép toán: cộng, trừ, nhân, chia trên số phức.
• Conjugate $\overline{z}$ — số phức liên hợp: đổi dấu phần ảo.
• Modulus $|z|$ — môđun: độ dài của số phức từ gốc tọa độ.
• Geometric representation — biểu diễn hình học: gắn $z$ với điểm trên mặt phẳng phức.
• Trigonometric form — dạng lượng giác: viết $z$ qua độ dài và góc.
• Quadratic equation — phương trình bậc hai: nguồn động lực gốc của số phức.

---

1. Tiên đề mở rộng và định nghĩa số phức

1.1 Tiên đề & khái niệm nền

Tập số thực $\mathbb{R}$ đóng kín với bốn phép tính nhưng có một khuyết: bình phương mọi số thực đều không âm, nên phương trình $x^2=-1$ vô nghiệm.

• Động lực — ta muốn một hệ số mà mọi phương trình đa thức đều có nghiệm; bước nhỏ nhất để bắt đầu là cấp nghiệm cho riêng $x^2=-1$.
• Tiên đề mở rộng — thừa nhận tồn tại một vật mới gọi là đơn vị ảo (imaginary unit), ký hiệu $i$, thỏa $i^2=-1$; đây là quy ước không chứng minh được, ta chấp nhận nó làm gốc.
• Quy ước bảo toàn luật — mọi luật đại số của $\mathbb{R}$ (giao hoán, kết hợp, phân phối) được giữ nguyên khi tính với $i$; chỉ thay $i^2$ bằng $-1$ mỗi khi gặp.

1.2 Định nghĩa — số phức

Số phức (complex number) là biểu thức dựng từ hai số thực và đơn vị ảo.

Số phức là biểu thức dạng $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$ và $i$ là đơn vị ảo; $a$ gọi là phần thực (real part), $b$ gọi là phần ảo (imaginary part).

$$z=a+bi,a,b\in \mathbb{R},i^2=-1$$

• Biến:
  • $a$ — phần thực, ký hiệu $\mathrm{Re}(z)$; là một số thực.
  • $b$ — phần ảo, ký hiệu $\mathrm{Im}(z)$; lưu ý phần ảo là số $b$, KHÔNG phải $bi$.
  • $i$ — đơn vị ảo, vật cố định với $i^2=-1$.
• Trường hợp riêng:
  • $b=0$ — số phức thành số thực $a$, nên $\mathbb{R}$ nằm trong tập số phức $\mathbb{C}$.
  • $a=0$ và $b\ne 0$ — số thuần ảo (purely imaginary), dạng $bi$.
• Bằng nhau: hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực bằng phần thực VÀ phần ảo bằng phần ảo; đây là công cụ chính để giải hệ chứa số phức.

1.3 Định lý — chu kỳ lũy thừa của đơn vị ảo

Lũy thừa nguyên dương của $i$ lặp theo chu kỳ 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, rồi lặp lại. Với mọi $n$ nguyên dương, $i^n$ chỉ phụ thuộc số dư của $n$ chia 4.

Chứng minh. Từ tiên đề $i^2=-1$ ta tính trực tiếp $i^3=i^2\cdot i=-i$ và $i^4=i^2\cdot i^2=(-1)(-1)=1$. Với $n$ bất kỳ viết $n=4q+r$ với $r$ là số dư trong $\{0,1,2,3\}$, khi đó $i^n=(i^4{)}^q\cdot i^r=1^q\cdot i^r=i^r$. Vậy $i^n$ chỉ phụ thuộc $r$, đúng bốn giá trị lặp lại. $◼$

---

2. Bốn phép toán trên số phức

Mọi phép toán suy ra bằng cách áp luật đại số cũ rồi thay $i^2=-1$. Cho $z_1=a+bi$ và $z_2=c+di$.

2.1 Định nghĩa — cộng và trừ

Cộng trừ thực hiện theo từng phần độc lập.

$$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i,z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$$

• Biến:
  • $a+c$ — phần thực của tổng, cộng hai phần thực.
  • $b+d$ — phần ảo của tổng, cộng hai phần ảo.
• Ý nghĩa: số phức cộng như cộng vector hai chiều, mỗi thành phần một trục riêng.

2.2 Định nghĩa — nhân

Nhân khai triển như nhị thức rồi thay $i^2=-1$.

$$z_1\cdot z_2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

• Biến:
  • $ac-bd$ — phần thực; chữ $-bd$ đến từ $bi\cdot di=bd\cdot i^2=-bd$.
  • $ad+bc$ — phần ảo; gom hai chữ chứa $i$ bậc một.
• Dẫn xuất: khai triển $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=ac-bd+(ad+bc)i$.

2.3 Định lý — công thức chia

Mọi số phức khác 0 đều khả nghịch, và thương hai số phức tính bằng cách nhân cả tử lẫn mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2},z_2\ne 0$$

• Biến:
  • $c-di$ — số phức liên hợp của mẫu $z_2$, nhân vào để khử phần ảo dưới mẫu.
  • $c^2+d^2$ — mẫu sau khi nhân, một số thực dương vì $z_2\ne 0$.

Chứng minh. Nhân cả tử và mẫu với liên hợp $c-di$ của mẫu, mẫu thành $(c+di)(c-di)=c^2-(di{)}^2=c^2+d^2$, là số thực dương khi $z_2\ne 0$. Tử $(a+bi)(c-di)$ khai triển ra dạng $a+bi$ thông thường. Phép chia cho số thực $c^2+d^2$ luôn thực hiện được, nên thương tồn tại và duy nhất. $◼$

---

3. Số phức liên hợp

3.1 Định nghĩa — số phức liên hợp

Số phức liên hợp (complex conjugate) là ảnh của $z$ qua trục thực.

Số phức liên hợp của $z=a+bi$ là $\overline{z}=a-bi$, giữ nguyên phần thực và đổi dấu phần ảo.

$$\overline{z}=a-bi$$

• Biến:
  • $a$ — phần thực, giữ nguyên.
  • $-b$ — phần ảo sau khi đổi dấu.
• Hình học: $\overline{z}$ là điểm đối xứng của $z$ qua trục hoành (trục thực).

3.2 Định lý — tính chất đại số của liên hợp

Phép lấy liên hợp bảo toàn các phép toán: với mọi số phức $z,w$ ta có $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$ và $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}$; ngoài ra $\bar{\overline{z}}=z$.

Chứng minh. Đặt $z=a+bi$, $w=c+di$. Với tổng, $\overline{z+w}=\overline{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=\overline{z}+\overline{w}$. Với tích, ở mục 2.2 ta có $zw=(ac-bd)+(ad+bc)i$ nên $\overline{zw}=(ac-bd)-(ad+bc)i$; mặt khác $\overline{z}\overline{w}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i$, hai vế trùng nhau. Cuối cùng $\bar{\overline{z}}=\overline{a-bi}=a+bi=z$. $◼$

3.3 Định lý — tổng và tích với liên hợp đều thực

Với $z=a+bi$ thì $z+\overline{z}=2a$ là số thực, và $z\cdot \overline{z}=a^2+b^2$ là số thực không âm.

Chứng minh. Cộng trực tiếp $z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a$. Nhân theo công thức tích, $z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2=a^2-b^2{i}^2=a^2+b^2$, là tổng hai bình phương nên không âm. $◼$

• Hệ quả — đẳng thức $z\cdot \overline{z}=a^2+b^2$ chính là cây cầu nối liên hợp với môđun ở mục 4, và là lý do nhân liên hợp khử được phần ảo dưới mẫu khi chia.

---

4. Môđun modulus

4.1 Định nghĩa — môđun

Môđun (modulus) đo độ dài của số phức như một vector từ gốc tọa độ.

Môđun của $z=a+bi$ là $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, bằng khoảng cách từ điểm $(a,b)$ tới gốc tọa độ.

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

• Biến:
  • $a^2$ — bình phương phần thực.
  • $b^2$ — bình phương phần ảo.
  • căn bậc hai — đưa về đơn vị độ dài, luôn không âm.
• Ý nghĩa: $|z|$ đóng vai độ lớn của vector $z$; số phức càng xa gốc thì môđun càng lớn.

4.2 Định lý — môđun bình phương bằng tích với liên hợp

Với mọi số phức $z$ ta có $|z{|}^2=z\cdot \overline{z}$.

Chứng minh. Theo định nghĩa môđun, $|z{|}^2=(\sqrt{a^2+b^2}{)}^2=a^2+b^2$. Theo Định lý 3.3, $z\cdot \overline{z}=a^2+b^2$. Hai vế bằng nhau. $◼$

• Vì sao quan trọng — đẳng thức này cho phép tính môđun mà không cần tách phần thực phần ảo, và là công cụ then chốt để chứng minh tính nhân của môđun bên dưới.

4.3 Định lý — môđun của tích bằng tích các môđun

Với mọi số phức $z_1,z_2$ ta có $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$.

Chứng minh. Dùng Định lý 4.2 và tính nhân của liên hợp (Định lý 3.2):

$$|z_1{z}_2{|}^2=(z_1{z}_2)\overline{(z_1{z}_2)}=z_1{z}_2{\overline{z}}_1{\overline{z}}_2=(z_1{\overline{z}}_1)(z_2{\overline{z}}_2)=|z_1{|}^2|z_2{|}^2$$

• Biến:
  • $z_1{z}_2\overline{z_1{z}_2}$ — môđun bình phương của tích, viết qua liên hợp.
  • $z_1{\overline{z}}_1$ và $z_2{\overline{z}}_2$ — gom lại nhờ giao hoán, mỗi cụm là một môđun bình phương.

Lấy căn bậc hai hai vế, cả hai đều không âm, nên $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$. $◼$

• Hệ quả — tính nhân này khớp hoàn hảo với dạng lượng giác ở mục 6: nhân hai số phức thì nhân độ dài và cộng góc.

---

5. Biểu diễn hình học trên mặt phẳng phức

5.1 Định nghĩa — mặt phẳng phức

Mặt phẳng phức (complex plane, còn gọi Argand diagram) gắn mỗi số phức với một điểm.

Số phức $z=a+bi$ ứng với điểm $(a,b)$ trên mặt phẳng tọa độ, trong đó trục hoành là trục thực và trục tung là trục ảo.

• Biến:
  • trục hoành — trục thực, chứa phần thực $a$.
  • trục tung — trục ảo, chứa phần ảo $b$.
• Tương ứng một-một: mỗi số phức cho đúng một điểm và ngược lại, nên đại số số phức và hình học mặt phẳng là hai mặt của cùng một vật.

5.2 Định lý — vị trí theo dấu của phần thực và phần ảo

Góc phần tư chứa điểm biểu diễn $z=a+bi$ xác định hoàn toàn bởi dấu của $a$ và $b$; điểm nằm trên trục thực khi $b=0$, trên trục ảo khi $a=0$.

Chứng minh. Đây là hệ quả trực tiếp của định nghĩa hệ tọa độ Descartes áp lên cặp $(a,b)$: phần tư I ứng $a>0,b>0$; phần tư II ứng $a<0,b>0$; phần tư III ứng $a<0,b<0$; phần tư IV ứng $a>0,b<0$. Trục thực là tập điểm tung độ 0, tức $b=0$; trục ảo là tập điểm hoành độ 0, tức $a=0$. $◼$

• Ứng dụng tham số — ép $z$ thuần thực thì đặt phần ảo bằng 0, ép thuần ảo thì đặt phần thực bằng 0, ép nằm phần tư cho trước thì áp dấu của $a$ và $b$.

---

6. Dạng lượng giác

6.1 Định nghĩa — dạng lượng giác

Dạng lượng giác (trigonometric form, hay polar form) viết số phức qua độ dài và góc thay vì hai tọa độ.

Số phức $z=a+bi$ khác 0 viết được dưới dạng $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, với $r=|z|$ là môđun và $\phi$ là argument, tức góc của vector $z$ so với trục thực dương.

$$z=r(\cos \phi +i\sin \phi ),r=\sqrt{a^2+b^2},\cos \phi =\frac{a}{r},\sin \phi =\frac{b}{r}$$

• Biến:
  • $r$ — môđun, độ dài vector, luôn dương khi $z\ne 0$.
  • $\phi$ — argument, góc đo từ trục thực dương; cần cả $\cos \phi$ và $\sin \phi$ để chốt đúng góc phần tư.
  • $\cos \phi ,\sin \phi$ — thành phần đơn vị nhân với $r$ để khôi phục $a$ và $b$.
• Quy đổi: từ lượng giác về đại số chỉ cần tính $a=r\cos \phi$ và $b=r\sin \phi$; chú ý không đảo vị trí $\sin$ và $\cos$.

6.2 Định lý — phép quay là nhân với số phức đơn vị

Quay vector $z$ quanh gốc tọa độ một góc $\theta$ ngược chiều kim đồng hồ tương đương nhân $z$ với $\cos \theta +i\sin \theta$; quay cùng chiều kim đồng hồ thì $\theta$ mang dấu âm.

Định hướng chứng minh.

• Viết dạng cực — đặt $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ và $u=\cos \theta +i\sin \theta$.

• Nhân hai số — khai triển $z\cdot u=r(\cos \phi +i\sin \phi )(\cos \theta +i\sin \theta )$ và thay $i^2=-1$.

• Áp công thức cộng góc — gom lại được $r[(\cos \phi \cos \theta -\sin \phi \sin \theta )+i(\sin \phi \cos \theta +\cos \phi \sin \theta )]$, đúng là $\cos (\phi +\theta )$ và $\sin (\phi +\theta )$.

• Kết luận — $z\cdot u=r(\cos (\phi +\theta )+i\sin (\phi +\theta ))$, tức giữ nguyên độ dài $r$ và cộng góc thêm $\theta$, đúng nghĩa phép quay. $◼$

• Liên hệ — kết quả này giải thích tính nhân của môđun ở Định lý 4.3: nhân thì độ dài nhân, góc cộng.

---

7. Phương trình bậc hai nghiệm phức

7.1 Định lý — phương trình bậc hai luôn có nghiệm phức

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ với $a\ne 0$ và hệ số thực luôn có nghiệm trong tập số phức; khi biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac<0$, hai nghiệm là một cặp liên hợp.

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a},\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$

• Biến:
  • $\mathrm{\Delta }$ — biệt thức (discriminant), dấu của nó quyết định nghiệm thực hay phức.
  • $\sqrt{\mathrm{\Delta }}$ — khi $\mathrm{\Delta }<0$ viết $\sqrt{\mathrm{\Delta }}=i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}$, đưa căn âm về đơn vị ảo.

Định hướng chứng minh.

• Hoàn thành bình phương — chia cho $a$ rồi biến đổi $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ thành $(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}$.
• Xử lý căn âm — khi $\mathrm{\Delta }<0$, đặt $\sqrt{\mathrm{\Delta }}=i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}$ nhờ tiên đề $i^2=-1$, căn của số âm tồn tại trong tập số phức.
• Rút nghiệm — lấy căn hai vế cho $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$, suy ra công thức nghiệm.
• Cặp liên hợp — với hệ số thực, $\frac{-b+i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}$ và $\frac{-b-i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}$ chỉ khác dấu phần ảo, đúng là một cặp liên hợp. $◼$

7.2 Định lý — định lý Viète cho nghiệm phức

Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm (kể cả nghiệm phức) của $a{x}^2+bx+c=0$ thì $x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ và $x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$.

Chứng minh. Cộng hai nghiệm từ công thức 7.1, phần $\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}$ triệt tiêu nên $x_1+x_2=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$. Nhân hai nghiệm là hiệu hai bình phương $\frac{(-b{)}^2-(\sqrt{\mathrm{\Delta }}{)}^2}{(2a{)}^2}=\frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{c}{a}$. Hai hệ thức đúng cho cả nghiệm thực lẫn nghiệm phức vì đại số trên đều hợp lệ trong tập số phức. $◼$

---

8. Dạng câu hỏi trong đề

• Tìm phần thực phần ảo — rút gọn $z$ về dạng $a+bi$ rồi đọc ra, gồm cả nhân khai triển và chia bằng liên hợp.
• Tính môđun — tính $|z|$ trực tiếp hoặc qua một biểu thức lũy thừa, tận dụng tính nhân $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$.
• Liên hợp và hệ phương trình — cho ràng buộc theo $z$ và $\overline{z}$, đặt $z=a+bi$ rồi đồng nhất phần thực, phần ảo.
• Điểm biểu diễn và góc phần tư — xác định điểm nằm phần tư nào, hoặc tìm tham số để điểm nằm trên trục hay trong phần tư cho trước.
• Tham số thuần thực thuần ảo — ép phần ảo bằng 0 cho thuần thực, ép phần thực bằng 0 cho thuần ảo.
• Dạng lượng giác và phép quay — đổi $z$ sang dạng lượng giác, hoặc quay vector tìm số phức mới.
• Nghiệm phương trình bậc hai — nghiệm phức của phương trình hệ số thực đi theo cặp liên hợp, dùng Viète tìm tham số.

9. Quy trình không trượt bước

• Chia hai số phức — viết phân thức; nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu; mẫu thành $a^2+b^2$; khai triển tử thay $i^2=-1$; tách $a+bi$; đọc kết quả.
• Tìm tham số từ điều kiện vị trí — rút gọn $z$ về $a+bi$ theo tham số; dịch điều kiện vị trí thành phương trình; giải rồi kiểm biên.
• Hệ chứa liên hợp — đặt $z=a+bi$ và $\overline{z}=a-bi$; thay vào ràng buộc; đồng nhất phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo; giải hệ hai ẩn; trả lời đúng thứ được hỏi.
• Đổi sang dạng lượng giác — tính $r=\sqrt{a^2+b^2}$; tìm $\phi$ từ cả $\cos \phi =\frac{a}{r}$ và $\sin \phi =\frac{b}{r}$ để chốt đúng góc phần tư; viết $r(\cos \phi +i\sin \phi )$.

10. Bẫy hay gặp

• Phần ảo là số không phải số nhân i — phần ảo của $a+bi$ là $b$, đáp án để sẵn $bi$ để bẫy.
• Quên nhân liên hợp khi chia — để $i$ còn ở mẫu rồi đọc bừa phần thực phần ảo là sai.
• Lẫn dấu trong chu kỳ i — $i^3=-i$ chứ không phải $i$, tra số dư của $n$ chia 4 cho chắc.
• Lẫn thuần thực với thuần ảo — thuần ảo là phần thực bằng 0, dễ nhầm sang phần ảo bằng 0.
• Sai chiều quay — quay cùng chiều kim đồng hồ thì góc mang dấu âm, ngược chiều mới dương.

---

11. Ví dụ mẫu có lời giải

11.1 Chia số phức bằng liên hợp

• Đề — tìm phần thực và phần ảo của $z={\displaystyle \frac{i}{1+i}}$.
• Giải:
  • Nhân cả tử và mẫu với liên hợp $1-i$ của mẫu, theo Định lý 2.3.
  • Mẫu thành $(1+i)(1-i)=1^2+1^2=2$, một số thực.
  • Tử thành $i(1-i)=i-i^2=i+1=1+i$.
  • Vậy $z={\displaystyle \frac{1+i}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i$, phần thực ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ và phần ảo ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

11.2 Hệ phương trình chứa liên hợp

• Đề — tìm số phức $z$ thỏa $2z-\overline{z}=3+6i$.
• Giải:
  • Đặt $z=a+bi$ nên $\overline{z}=a-bi$, theo định nghĩa mục 3.1.
  • Thay vào, $2(a+bi)-(a-bi)=(2a-a)+(2b+b)i=a+3bi$.
  • Đồng nhất hai vế, phần thực cho $a=3$, phần ảo cho $3b=6$ nên $b=2$.
  • Vậy $z=3+2i$.

---

12. Kết nối

• Nền cho lượng giác và phép quay — dạng lượng giác và Định lý 6.2 biến phép quay mặt phẳng thành phép nhân, là công cụ gọn cho hình học giải tích phẳng (Cụm 8).
• Nền cho nghiệm đa thức — Định lý 7.1 mở đường cho định lý cơ bản của đại số: mọi đa thức bậc $n$ có đúng $n$ nghiệm phức kể cả bội.
• Nền cho vector hai chiều — tương ứng một-một giữa số phức và điểm mặt phẳng cho phép dùng số phức thay vector trong nhiều bài toán hình học (Cụm 9).