Cụm 3 — Hàm số

Cụm này dựng đối tượng trung tâm của giải tích là hàm số từ gốc ánh xạ rồi leo dần lên các tính chất khung xương:

• Câu hỏi gốc — hàm số là một quy luật gán mỗi đầu vào $x$ với đúng một đầu ra $y$, nên toàn bộ cụm trả lời câu "một quy luật phải thỏa điều gì để là hàm, và một hàm có những tính chất bất biến nào dùng được cho mọi bài".
• Bốn trụ tính chất nền — tập xác định domain là input nào hợp lệ, tính chẵn lẻ parity là đối xứng, tính đơn điệu monotonicity là tăng hay giảm, hàm ngược inverse và hàm hợp composite là tháo lắp hàm.
• Cầu nối lên ba họ hàm số mũ — lũy thừa power, mũ exponential, logarit logarithm; ba họ này là hàm ngược của nhau từng cặp và mọi luật logarit đều suy ra được từ đúng một định nghĩa đổi mũ.
• Đỉnh ứng dụng là đọc đồ thị — cho công thức nhận đồ thị hoặc ngược lại, giải bằng loại trừ theo các tính chất đã dựng ở trên là đối xứng, dấu, tiệm cận.
• Vì sao là nền — đạo hàm, dãy số, lượng giác và mọi mô hình định lượng về sau đều là hàm số có thêm cấu trúc, nên không nắm bốn trụ này thì không phát biểu chính xác được tính chất của bất kỳ mô hình nào.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Màu — node xanh đậm là định nghĩa gốc chấp nhận làm điểm xuất phát; xanh nhạt là các tính chất và họ hàm dẫn xuất từ định nghĩa gốc; xanh lá là đỉnh ứng dụng gom mọi tính chất lại để đọc đồ thị.
• Hướng — mọi mũi tên đi từ khái niệm có trước tới khái niệm cần nó để phát biểu, nên đọc từ trên xuống là đọc đúng thứ tự phụ thuộc.
• Cạnh đơn điệu sang hàm ngược — cạnh từ đơn điệu tới hàm ngược thể hiện đơn điệu là điều kiện đủ để hàm ngược tồn tại, và cạnh từ hàm mũ sang logarit thể hiện logarit chính là hàm ngược của hàm mũ.

Glossary nhãn chart (English keyword -> tiếng Việt):

• Mapping — ánh xạ, mỗi đầu vào ứng đúng một đầu ra, là định nghĩa gốc của hàm số.
• Domain — tập xác định, tập mọi $x$ làm biểu thức có nghĩa.
• Parity — tính chẵn lẻ, đối xứng qua trục tung hoặc qua gốc.
• Monotonicity — tính đơn điệu, hàm tăng hoặc giảm trên một khoảng.
• Inverse and composite — hàm ngược và hàm hợp, tháo lắp hàm theo cặp.
• Power function $y=x^{\alpha }$ — hàm lũy thừa, biến nằm ở cơ số với số mũ hằng.
• Exponential $y=a^x$ — hàm mũ, biến nằm ở số mũ với cơ số dương khác $1$.
• Logarithm ${\log }_{a}b$ — logarit, hàm ngược của hàm mũ.
• Graph reading — đọc và nhận dạng đồ thị, đỉnh ứng dụng của cả cụm.

---

1. Tiên đề và khái niệm nền của hàm số

Tiên đề & khái niệm nền

Hàm số được xây trên hai khái niệm nền của tập hợp ở cụm trước là tập và cặp có thứ tự, cộng một điều kiện đơn trị làm tiên đề riêng:

• Cặp có thứ tự ordered pair — viết $(x,y)$, khác tập ở chỗ thứ tự quan trọng, nên $(x,y)$ và $(y,x)$ là hai cặp khác nhau khi $x\ne y$; đây là viên gạch để gán đầu vào với đầu ra.
• Điều kiện đơn trị single-valued — đây là tiên đề phân biệt hàm với quan hệ bất kỳ, phát biểu rằng mỗi đầu vào $x$ trong tập xác định ứng với đúng một đầu ra $y$, không được có hai cặp $(x,y_1)$ và $(x,y_2)$ với $y_1\ne y_2$ cùng thuộc hàm.
• Quy ước đặt tên — ký hiệu $y=f(x)$ đọc là $y$ bằng $f$ tại $x$, trong đó $f$ là tên quy luật, $x$ là biến độc lập đầu vào, $y$ là giá trị đầu ra phụ thuộc.

1.1 Định nghĩa hàm số như ánh xạ

Một hàm số $f$ từ tập $D$ vào tập $\mathbb{R}$ là một quy luật gán cho mỗi phần tử $x\in D$ đúng một số thực $y=f(x)$.

• Đọc định nghĩa — phần "đúng một" là cốt lõi: một $x$ ra hai $y$ thì quy luật đó là quan hệ, không phải hàm.
• Phép thử đường thẳng đứng vertical line test — trên mặt phẳng tọa độ, một đường cong là đồ thị của hàm số khi và chỉ khi mọi đường thẳng đứng cắt nó tại nhiều nhất một điểm; cắt hai điểm tức một $x$ ra hai $y$ nên không phải hàm.
• Ví dụ phản chứng — đường tròn $x^2+y^2=1$ không phải đồ thị hàm số vì tại $x=0$ có cả $y=1$ và $y=-1$, vi phạm điều kiện đơn trị.

1.2 Định nghĩa tập xác định và tập giá trị

• Tập xác định domain — tập $D$ gồm mọi $x$ làm biểu thức $f(x)$ có nghĩa; khi đề chỉ cho công thức không cho $D$ thì hiểu ngầm $D$ là tập lớn nhất làm công thức có nghĩa.
• Tập giá trị range — tập mọi giá trị $y=f(x)$ thực sự đạt được khi $x$ chạy khắp $D$; tập giá trị là ảnh của tập xác định qua $f$.

Định lý — ba nguồn ràng buộc của tập xác định

Với biểu thức ghép từ phân thức, căn bậc chẵn và logarit, tập xác định là giao của ba điều kiện: mẫu số khác $0$, biểu thức dưới căn bậc chẵn không âm, biểu thức trong logarit dương.

Chứng minh. Mỗi điều kiện đến từ định nghĩa của phép toán tương ứng trên số thực:

• Mẫu khác $0$ — phép chia ${\displaystyle \frac{1}{g(x)}}$ không định nghĩa khi $g(x)=0$ vì không có số thực nào nhân $0$ ra $1$, nên buộc $g(x)\ne 0$.
• Căn chẵn không âm — căn bậc chẵn $\sqrt[2k]{g(x)}$ trên trường số thực chỉ định nghĩa khi $g(x)\ge 0$, vì lũy thừa bậc chẵn của số thực luôn không âm nên không số thực nào bình phương ra số âm.
• Logarit dương — theo định nghĩa ${\log }_{a}b$ là số mũ đưa $a$ lên thành $b$, mà $a^c>0$ với mọi mũ $c$, nên $b=g(x)$ buộc phải dương mới có logarit.
• Lấy giao — biểu thức có nghĩa khi đồng thời mọi điều kiện thỏa, mà "đồng thời thỏa" theo định nghĩa giao tập chính là giao các tập nghiệm, không phải hợp. $◼$

Dạng câu hỏi trong đề

• Tìm tập xác định — biểu thức chồng căn, mẫu và logarit; chiếm phần lớn câu tầng nhớ.
• Hàm từng phần — tính lồng như $f(f(4))$, phải chọn đúng nhánh theo điều kiện của $x$.

Quy trình không trượt bước

• Quét ràng buộc — gạch chân mọi mẫu số, căn bậc chẵn và logarit; mỗi cái viết một bất phương trình.
• Giải và giao — giải từng bất phương trình ra khoảng; lấy giao các khoảng trên trục số; chốt biên đóng hay mở.

Bẫy hay gặp

• Quên lấy giao — áp một điều kiện rồi bỏ điều kiện còn lại của miền.
• Lẫn biên đóng mở — căn cho dấu bằng nên biên đóng, mẫu loại điểm nên biên mở; trộn vào hay sai.

---

2. Tính chẵn lẻ

Định nghĩa hàm chẵn và hàm lẻ

Cả hai định nghĩa đều đòi tập xác định $D$ phải đối xứng qua gốc, nghĩa là $x\in D$ kéo theo $-x\in D$:

• Hàm chẵn even function — $f(-x)=f(x)$ với mọi $x\in D$.
• Hàm lẻ odd function — $f(-x)=-f(x)$ với mọi $x\in D$.

Định lý — đối xứng hình học của hàm chẵn và hàm lẻ

Đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục tung $Oy$; đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ $O$. Nếu hàm lẻ và $0\in D$ thì $f(0)=0$.

Chứng minh. Lập luận trực tiếp từ định nghĩa và từ phép đối xứng trên tọa độ:

• Hàm chẵn đối xứng trục tung — điểm $(x,f(x))$ thuộc đồ thị; lấy đối xứng qua $Oy$ được điểm $(-x,f(x))$; mà $f(-x)=f(x)$ nên $(-x,f(-x))=(-x,f(x))$ cũng thuộc đồ thị, vậy mọi điểm có ảnh đối xứng cũng nằm trên đồ thị.
• Hàm lẻ đối xứng gốc — đối xứng điểm $(x,f(x))$ qua gốc $O$ được $(-x,-f(x))$; mà $f(-x)=-f(x)$ nên điểm $(-x,f(-x))=(-x,-f(x))$ thuộc đồ thị.
• Giá trị tại gốc — thế $x=0$ vào định nghĩa hàm lẻ được $f(-0)=-f(0)$, mà $-0=0$ nên $f(0)=-f(0)$, suy ra $2f(0)=0$ tức $f(0)=0$. $◼$

Dạng câu hỏi trong đề

• Chẵn lẻ tìm tham số — dùng $f(-x)\pm f(x)$ để khử rồi giải ra tham số.

Bẫy hay gặp

• Miền không đối xứng — công thức nhìn lẻ nhưng miền lệch thì kết luận không chẵn không lẻ, dù công thức trông đối xứng.
• Hàm hằng đặc biệt — hàm $f(x)=0$ vừa chẵn vừa lẻ, đừng vội loại.

---

3. Tính đơn điệu

Định nghĩa hàm đồng biến và nghịch biến

Đơn điệu là tính chất xét trên một khoảng $I$, không phải tại một điểm:

• Đồng biến increasing — với mọi $x_1,x_2\in I$, nếu $x_1<x_2$ thì $f(x_1)<f(x_2)$; thứ tự đầu vào được giữ nguyên ở đầu ra.
• Nghịch biến decreasing — với mọi $x_1,x_2\in I$, nếu $x_1<x_2$ thì $f(x_1)>f(x_2)$; thứ tự đầu vào bị đảo ở đầu ra.

Định lý — dấu đạo hàm quyết định chiều đơn điệu

Cho $f$ khả vi trên khoảng $I$. Nếu $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in I$ thì $f$ đồng biến trên $I$; nếu $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in I$ thì $f$ nghịch biến trên $I$.

Định hướng chứng minh. Chứng minh dựa trên định lý giá trị trung bình mean value theorem của đạo hàm, các bước chính:

• Lấy hai điểm — lấy bất kỳ $x_1<x_2$ trong $I$ và xét hiệu $f(x_2)-f(x_1)$ cần xác định dấu.
• Áp định lý giá trị trung bình — tồn tại điểm $c$ giữa $x_1$ và $x_2$ sao cho $f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1)$.
• Xét dấu tích — thừa số $x_2-x_1>0$ theo giả thiết; nếu $f^{\prime }(c)>0$ thì cả tích dương nên $f(x_2)>f(x_1)$, đúng định nghĩa đồng biến; nếu $f^{\prime }(c)<0$ thì tích âm nên nghịch biến.
• Phủ mọi cặp điểm — vì $x_1,x_2$ lấy tùy ý nên kết luận đúng cho mọi cặp, tức đúng trên cả khoảng. $◼$

Dạng câu hỏi trong đề

• Đơn điệu và tham số — chọn hàm đồng biến, hoặc tìm khoảng tham số để hàm đơn điệu trên một miền cho trước.

Quy trình không trượt bước

• Nhận loại hàm — viết điều kiện đơn điệu theo dấu đạo hàm, hoặc theo đỉnh parabol $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ với hàm bậc hai.
• Đưa về bất phương trình — chuyển điều kiện dấu thành bất phương trình theo tham số; giải rồi kiểm biên đóng mở.

Bẫy hay gặp

• Đơn điệu cục bộ khác toàn cục — hàm $1/x$ nghịch biến trên từng nhánh nhưng không nghịch biến trên cả miền vì hai nhánh tách rời qua điểm gián đoạn.

---

4. Hàm hợp và hàm ngược

Định nghĩa hàm hợp

Cho $g:D_g\to \mathbb{R}$ và $f:D_f\to \mathbb{R}$ với tập giá trị của $g$ nằm trong $D_f$. Hàm hợp $f\circ g$ định nghĩa bởi $(f\circ g)(x)=f(g(x))$.

• Đọc ký hiệu — $f\circ g$ áp $g$ trước rồi áp $f$ sau, nên thứ tự đọc ngược với thứ tự viết.
• Đơn ánh injective — hàm $f$ đơn ánh khi hai đầu vào khác nhau luôn cho hai đầu ra khác nhau, tức $f(x_1)=f(x_2)$ kéo theo $x_1=x_2$; đây là điều kiện then chốt cho hàm ngược.

Định lý — điều kiện tồn tại hàm ngược

Hàm $f:D\to T$ với $T$ là tập giá trị của $f$ có hàm ngược $f^{-1}:T\to D$ khi và chỉ khi $f$ đơn ánh. Khi đó $f^{-1}(y)=x$ đúng nghĩa là $f(x)=y$.

Chứng minh. Chứng minh cả hai chiều của "khi và chỉ khi":

• Chiều thuận — giả sử có hàm ngược $f^{-1}$; nếu $f(x_1)=f(x_2)=y$ thì áp $f^{-1}$ hai vế được $x_1=f^{-1}(y)=x_2$ vì $f^{-1}$ là hàm nên đơn trị, vậy $f$ đơn ánh.
• Chiều đảo — giả sử $f$ đơn ánh; với mỗi $y\in T$ tồn tại ít nhất một $x$ thỏa $f(x)=y$ vì $T$ là tập giá trị, và chỉ đúng một $x$ vì đơn ánh; quy luật gán $y$ với chính $x$ đó là một hàm vì mỗi $y$ ra đúng một $x$, đặt nó là $f^{-1}$.
• Kiểm khớp — theo cách dựng, $f^{-1}(f(x))=x$ và $f(f^{-1}(y))=y$, đúng vai trò hàm ngược. $◼$

Định lý — đối xứng đồ thị qua đường $y=x$

Đồ thị của $f$ và đồ thị của $f^{-1}$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$. Tập xác định của $f^{-1}$ là tập giá trị của $f$ và ngược lại.

Chứng minh. Điểm $(a,b)$ thuộc đồ thị $f$ nghĩa là $b=f(a)$, tương đương $a=f^{-1}(b)$ tức điểm $(b,a)$ thuộc đồ thị $f^{-1}$; mà $(a,b)$ và $(b,a)$ là hai điểm đối xứng nhau qua đường $y=x$ vì phép đối xứng đó hoán đổi hoành độ với tung độ. Việc tập xác định và tập giá trị hoán vai suy ra trực tiếp từ định nghĩa $f^{-1}:T\to D$. $◼$

Dạng câu hỏi trong đề

• Hàm ngược — hỏi điều kiện tồn tại, hoặc góc phần tư mà đồ thị hàm ngược đi qua.
• Phương trình hàm — cho $f$ của một biểu thức rồi hỏi $f(x)$; đặt ẩn phụ $t$ bằng biểu thức đó, rút $x$ theo $t$, thế ngược lại.

Quy trình không trượt bước

• Đặt ẩn phụ — đặt $t$ bằng biểu thức trong $f$; rút $x$ theo $t$ bằng đại số.
• Thế ngược — thế $x$ vào vế phải ra $f(t)$; đổi $t$ về $x$. Trượt bước rút $x$ là sai cả bài.

---

5. Hàm lũy thừa, mũ và logarit

5.1 Định nghĩa hàm lũy thừa

Hàm lũy thừa power function là hàm dạng $y=x^{\alpha }$ với $\alpha$ là hằng số, hệ số trước bằng $1$ và biến nằm ở cơ số.

• Phân biệt với đa thức — vì hệ số phải bằng $1$ và biến ở cơ số, nên $y=2x^2$, $y=3x$, $y=x^3-1$ đều không phải hàm lũy thừa, chỉ $y=x^{-1}$ mới đúng dạng.
• Tìm mũ qua một điểm — đồ thị $y=x^{\alpha }$ đi qua $(2,4)$ cho $2^{\alpha }=4$ nên $\alpha =2$, suy ra $f(3)=9$.

5.2 Định nghĩa hàm mũ

Hàm mũ exponential function là hàm dạng $y=a^x$ với cơ số $a>0$ và $a\ne 1$, biến nằm ở số mũ.

• Tập xác định và tập giá trị — tập xác định là toàn bộ $\mathbb{R}$, tập giá trị là $(0,+\mathrm{\infty })$ vì $a^x>0$ với mọi $x$, và đồ thị luôn đi qua điểm $(0,1)$ do $a^0=1$.

Định lý — chiều đơn điệu của hàm mũ theo cơ số

Hàm $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>1$ và nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$.

Định hướng chứng minh. Dùng đạo hàm $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$, các bước chính:

• Dấu của thừa số mũ — thừa số $a^x>0$ với mọi $x$ nên dấu đạo hàm chỉ phụ thuộc dấu của $\ln a$.
• Cơ số lớn hơn $1$ — khi $a>1$ thì $\ln a>0$ nên $a^x\ln a>0$, theo định lý dấu đạo hàm ở mục 3 hàm đồng biến.
• Cơ số nhỏ hơn $1$ — khi $0<a<1$ thì $\ln a<0$ nên đạo hàm âm, hàm nghịch biến. $◼$

5.3 Định nghĩa logarit

Cho $a>0$, $a\ne 1$ và $b>0$. Logarit logarithm của $b$ cơ số $a$, viết ${\log }_{a}b$, là số mũ $c$ duy nhất thỏa $a^c=b$. Nói gọn ${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$.

• Logarit là hàm ngược của mũ — định nghĩa này chính là phát biểu rằng ${\log }_a$ tháo ngược tác dụng của $a^x$, nên mọi luật logarit đều suy ra được từ luật số mũ qua phép đổi này.
• Hai trường hợp cố định — ${\log }_{a}1=0$ vì $a^0=1$, và ${\log }_{a}a=1$ vì $a^1=a$.

Định lý — ba luật logarit cơ bản

Với $a>0$, $a\ne 1$ và $b,c>0$ cùng số mũ $n$ thực:

$${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$$$${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$$$${\log }_a{b}^n=n{\log }_{a}b$$

• Chú thích biến:
  • $a$ — cơ số logarit, số dương khác $1$, là cái được nâng lũy thừa.
  • $b,c$ — các số dương lấy logarit.
  • $n$ — số mũ thực bất kỳ ở luật thứ ba.

Chứng minh. Cả ba luật suy từ định nghĩa đổi mũ và ba quy tắc số mũ. Đặt $x={\log }_{a}b$ và $y={\log }_{a}c$, tức $a^x=b$ và $a^y=c$:

• Luật tích — nhân hai đẳng thức được $bc=a^x{a}^y=a^{x+y}$ theo quy tắc cộng mũ khi nhân cùng cơ số; áp định nghĩa logarit cho $bc$ được ${\log }_a(bc)=x+y={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$.
• Luật thương — chia hai đẳng thức được ${\displaystyle \frac{b}{c}}={\displaystyle \frac{a^x}{a^y}}=a^{x-y}$ theo quy tắc trừ mũ khi chia cùng cơ số; áp định nghĩa logarit được ${\log }_a{\displaystyle \frac{b}{c}}=x-y={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$.
• Luật hạ mũ — nâng đẳng thức $a^x=b$ lên lũy thừa $n$ được $b^n=(a^x{)}^n=a^{nx}$ theo quy tắc nhân mũ của lũy thừa của lũy thừa; áp định nghĩa logarit cho $b^n$ được ${\log }_a{b}^n=nx=n{\log }_{a}b$. $◼$

Định lý — công thức đổi cơ số

Với $a,c>0$ khác $1$ và $b>0$: ${\log }_{a}b={\displaystyle \frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$.

Chứng minh. Đặt $x={\log }_{a}b$ nên $a^x=b$; lấy logarit cơ số $c$ hai vế được ${\log }_c(a^x)={\log }_{c}b$, áp luật hạ mũ vế trái được $x{\log }_{c}a={\log }_{c}b$, chia hai vế cho ${\log }_{c}a$ khác $0$ được $x={\displaystyle \frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$. $◼$

Định lý — so sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Cho $m>n$. Nếu $a>1$ thì $a^m>a^n$; nếu $0<a<1$ thì $a^m<a^n$.

Chứng minh. Viết $a^m=a^n\cdot a^{m-n}$ với $m-n>0$. Hàm $y=a^t$ đồng biến khi $a>1$ nên $a^{m-n}>a^0=1$, nhân với $a^n>0$ giữ chiều nên $a^m>a^n$; khi $0<a<1$ hàm nghịch biến nên $a^{m-n}<1$, do đó $a^m<a^n$. $◼$

Dạng câu hỏi trong đề

• Nhận dạng hàm lũy thừa — chọn biểu thức đúng dạng $y=x^{\alpha }$ hệ số $1$, loại biểu thức có hệ số hoặc cộng hằng.
• Tính chất hàm mũ — phát biểu đúng về tập giá trị, điểm đi qua, chiều đơn điệu theo cơ số.
• So sánh lũy thừa — so hai số cùng cơ số hoặc cùng mũ, chú ý dấu mũ và cơ số so với $1$.
• Quy tắc logarit — biểu diễn một logarit qua các logarit đã cho bằng luật tách đúng.
• Điểm cố định — tọa độ điểm cố định của đồ thị logarit hoặc mũ có dịch chuyển.
• Phương trình dạng $u^v=1$ — xét đủ ba trường hợp cho ra giá trị $1$.

Quy trình không trượt bước

• So sánh lũy thừa — xác định đang cùng cơ số hay cùng mũ; ghi rõ cơ số so với $1$ và dấu của mũ; áp đúng chiều rồi kết luận. Trượt bước kiểm dấu mũ âm là đảo chiều sai.
• Phương trình $u^v=1$ — xét đủ ba trường hợp: cơ số $u=1$, hoặc mũ $v=0$ kèm $u\ne 0$, hoặc $u=-1$ với $v$ chẵn; gom nghiệm hợp lệ.
• Biểu diễn logarit — viết số trong logarit thành tích các thừa số đã biết; tách tích thành tổng; hạ mũ xuống làm hệ số; gom theo các logarit cho sẵn.
• Điểm cố định — cho lượng trong logarit bằng $1$ hoặc cho mũ bằng $0$; giải ra hoành độ; thế lại tính tung độ kèm hằng số ngoài.

Bẫy hay gặp

• Hệ số khác $1$ — $y=2x^2$ không phải hàm lũy thừa vì hệ số khác $1$, dù trông giống.
• Đảo chiều khi cơ số nhỏ hơn $1$ — với $0<a<1$ mũ lớn cho giá trị nhỏ, dễ giữ nhầm chiều như cơ số lớn hơn $1$.
• Nhầm thương logarit với hiệu logarit — ${\log }_a{\displaystyle \frac{b}{c}}$ là hiệu ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c$, không phải thương hai logarit; thương hai logarit là công thức đổi cơ số.
• Sót trường hợp mũ bằng $0$ — phương trình $u^v=1$ bỏ trường hợp $v=0$ hoặc $u=-1$ mũ chẵn là mất nghiệm.

---

6. Đọc và nhận dạng đồ thị

Phần này không dựng định lý mới mà gom mọi tính chất đã dựng ở trên thành thủ thuật loại trừ: cho công thức chọn đồ thị, hoặc cho đồ thị chọn công thức, bằng cách bác các phương án sai theo từng đặc trưng quan sát nhanh.

6.1 Bốn dấu hiệu loại trừ

• Tính đối xứng — kiểm chẵn lẻ trước tiên khi biểu thức có trị tuyệt đối; hàm chẵn loại mọi đồ thị lệch trái phải, hàm lẻ loại đồ thị hai nửa cùng phía.
• Dấu của hàm theo khoảng — thử một $x$ dễ tính, xác định dấu $f(x)$, đối chiếu đồ thị nằm trên hay dưới trục tại đó; lệch dấu là loại.
• Dáng ở vô cực và điểm gãy — mẫu triệt tiêu cho tiệm cận đứng nơi hàm bắn ra vô cực; bậc mũ tử so với mẫu quyết định đồ thị bắn lên hay ép về $0$ ở xa.
• Giao với các trục — thử $x=0$ tìm giao với trục tung; thử nghiệm tử tìm giao với trục hoành; loại đồ thị không qua các điểm đó.

6.2 Phép biến đổi đồ thị

• Đối xứng — $y=-f(x)$ lật qua trục hoành $Ox$, $y=f(-x)$ lật qua trục tung $Oy$, $y=-f(-x)$ quay nửa vòng quanh gốc.
• Tịnh tiến — $y=f(x+h)$ dịch ngang sang trái $h$ đơn vị khi $h>0$, $y=f(x)+k$ dịch dọc lên $k$ đơn vị khi $k>0$; dấu trong ngoặc ngược với chiều dịch nên dễ nhầm.

Dạng câu hỏi trong đề

• Chọn đồ thị từ công thức — cho $f(x)$ chứa logarit, mũ với trị tuyệt đối, chọn đồ thị gần đúng nhất.
• Bất phương trình tích từ đồ thị — đọc dấu $f$ từ hình, nhân với dấu hàm cho sẵn, tìm tập nghiệm.
• Biến đổi đồ thị — từ hình gốc sang hình đích, chọn phép biến đổi dạng $y=-f(-x-1)$.

Bẫy hay gặp

• Quên kiểm chẵn lẻ trước — chọn đồ thị mà không bác đối xứng sai làm mất một chốt loại mạnh.
• Nhầm dấu trong ngoặc khi tịnh tiến — $f(x+1)$ dịch sang trái chứ không phải phải.
• Đọc thiếu tiệm cận — bỏ qua điểm mẫu triệt tiêu nên giữ đồ thị nối liền chỗ đáng lẽ gãy.
• Suy nhẩm cụm biến đổi — ghép nhiều phép trong đầu dễ sai thứ tự; phải thử điểm mốc qua từng phép.

---

7. Ví dụ mẫu có lời giải

7.1 Tìm tập xác định bằng phép giao

• Đề — tìm tập xác định của $f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x+2}}{\log (4-x)}}$.
• Bước 1, quét ràng buộc — căn bậc hai đòi $x+2\ge 0$, logarit đòi $4-x>0$, mẫu đòi $\log (4-x)\ne 0$ tức $4-x\ne 1$.
• Bước 2, giải từng điều kiện — được $x\ge -2$, rồi $x<4$, rồi $x\ne 3$.
• Bước 3, lấy giao — giao ba khoảng cho $-2\le x<4$ và bỏ điểm $x=3$, vậy tập xác định là $[-2,3)\cup (3,4)$.
• Neo về định lý — đây đúng là giao ba nguồn ràng buộc ở định lý mục 1, biên trái đóng vì căn cho dấu bằng, biên phải mở vì logarit cần dương ngặt.

7.2 Dùng luật logarit biểu diễn qua các logarit cho sẵn

• Đề — cho $\lg 2=a$ và $\lg 3=b$, tính $\lg 12$ theo $a$ và $b$.
• Bước 1, tách thành thừa số đã biết — viết $12=4\cdot 3=2^2\cdot 3$.
• Bước 2, áp luật tích — $\lg 12=\lg (2^2\cdot 3)=\lg 2^2+\lg 3$.
• Bước 3, áp luật hạ mũ — $\lg 2^2=2\lg 2=2a$, nên $\lg 12=2a+b$.
• Neo về định lý — bài chỉ dùng luật tích rồi luật hạ mũ ở định lý ba luật logarit mục 5, mỗi luật đều có gốc từ quy tắc số mũ.

---

8. Kết nối

• Lên đạo hàm — định lý dấu đạo hàm quyết định đơn điệu ở mục 3 là cửa ngõ sang cụm đạo hàm, nơi xét cực trị và khảo sát đầy đủ một hàm.
• Lên dãy số và lượng giác — dãy số là hàm với tập xác định là số tự nhiên, hàm lượng giác là hàm tuần hoàn có thêm tính chẵn lẻ, nên hai cụm sau kế thừa trực tiếp bốn trụ tính chất ở đây.
• Sang mô hình định lượng — hàm mũ và logarit là xương sống của lãi kép, chiết khấu dòng tiền và biến đổi lợi nhuận về log-return, nên cụm này là cầu nối thẳng sang phần tài chính định lượng.