Trắc nghiệm — Đếm và xác suất

Bộ câu hỏi trắc nghiệm cho cụm Đếm và xác suất, rút từ đề thật và phân theo chủ đề con. Phần lý thuyết xem ở đây.

• Làm thử — bấm từng đáp rồi kiểm tra, có lời giải ngay.
• Theo chủ đề — phần dưới liệt kê toàn bộ câu theo cây chủ đề con; câu nâng cao (cho học sinh giỏi) tách riêng cuối mỗi chủ đề.

Làm thử từng câu

Đếm và xác suấtCâu 1 / 76 · Điểm 0 / 0

Trường hợp nào sau đây là một mô hình xác suất cổ điển (classical probability)?

Toàn bộ câu hỏi theo chủ đề

Đếm và xác suất — 76 câu76 câu

Đếm và xác suất cổ điển

Câu 1

Trường hợp nào sau đây là một mô hình xác suất cổ điển (classical probability)?

• A.Gieo hai con xúc xắc bất kỳ, lấy tổng số chấm làm điểm mẫu (sample point)
• B.Tính xác suất chữ số hàng đơn vị của bình phương một số nguyên dương bất kỳ bằng $1$, lấy số nguyên dương rút ra làm điểm mẫu
• C.Từ bốn tình nguyện viên $A, B, C, D$ chọn một người thi nhảy cao; xác suất $A$ được chọnđáp án
• D.Tung một đồng xu cân bằng cho tới khi lần đầu xuất hiện mặt ngửa, lấy số lần tung làm điểm mẫu

Mô hình cổ điển đòi hỏi số kết quả hữu hạn và các kết quả đồng khả năng. Chọn $1$ trong $4$ người $A, B, C, D$ thỏa cả hai điều kiện ($4$ kết quả, đều khả năng như nhau). Các phương án còn lại có tổng chấm không đồng khả năng, hoặc không gian mẫu vô hạn (tung tới khi ra ngửa).

Câu 2

Từ năm học sinh $A, B, \ldots$ chọn ngẫu nhiên hai người. Quan sát hai người được chọn, gọi biến cố $M$ là "$A$ được chọn". Số điểm mẫu (sample point) thuộc biến cố $M$ là bao nhiêu?

• A.$2$
• B.$4$đáp án
• C.$6$
• D.$8$

Biến cố $M$ cố định $A$ đã được chọn, người còn lại chọn từ $4$ người kia. Đếm tổ hợp: số cách $= C_4^1 = 4$ cặp chứa $A$.

$$|M| = \binom{4}{1} = 4$$

Câu 3

Một hộp có $2$ bi trắng và $4$ bi đỏ. Lấy lần lượt không hoàn lại hai bi. Gọi $A$ là biến cố "hai bi cùng màu", $B$ là biến cố "có ít nhất một bi đỏ". Tính $P(B \mid A)$.

• A.$\dfrac{3}{4}$
• B.$\dfrac{5}{6}$
• C.$\dfrac{6}{7}$đáp án
• D.$\dfrac{7}{8}$

Dùng công thức xác suất có điều kiện $P(B \mid A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}$. $A$ gồm hai trắng hoặc hai đỏ: $P(A) = \dfrac{C_2^2 + C_4^2}{C_6^2} = \dfrac{1+6}{15} = \dfrac{7}{15}$. $A$ và $B$ đồng thời nghĩa là cùng màu và có bi đỏ, tức hai bi đỏ: $P(AB) = \dfrac{6}{15}$. Vậy $P(B \mid A) = \dfrac{6/15}{7/15} = \dfrac{6}{7}$.

$$P(B\mid A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{6/15}{7/15}=\dfrac{6}{7}$$

Câu 4

Một túi có bốn bi cùng kích thước và chất liệu: hai bi đỏ (đánh số $1$ và $2$) và hai bi xanh (đánh số $3$ và $4$). Lấy lần lượt không hoàn lại hai bi. Số biến cố sơ cấp trong không gian mẫu của phép thử là?

• A.$6$
• B.$9$
• C.$12$đáp án
• D.$16$

Lấy lần lượt không hoàn lại nên thứ tự có vai trò (chỉnh hợp). Lần đầu $4$ lựa chọn, lần sau còn $3$: số kết quả $= A_4^2 = 4 \times 3 = 12$.

$$A_4^2 = 4 \times 3 = 12$$

Câu 5

Xếp ngẫu nhiên 4 quả bóng đỏ giống nhau và 2 quả bóng vàng giống nhau thành một hàng. Xác suất để hai quả bóng vàng không đứng cạnh nhau là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{4}{5}$
• B.$\dfrac{2}{5}$
• C.$\dfrac{2}{3}$đáp án
• D.$\dfrac{1}{3}$

Chọn 2 trong 6 vị trí cho bóng vàng: $C_6^2=15$ cách. Số cách hai bóng vàng cạnh nhau là $5$. Vậy số cách không cạnh nhau là $15-5=10$, xác suất $\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$.

$$P=\dfrac{C_6^2-5}{C_6^2}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$$

Câu 6

Dùng phép tung đồng xu để sinh số ngẫu nhiên 1 và 2: mặt ngửa là 1, mặt sấp là 2. Khi tung đồng xu hai lần, xác suất để tổng hai số ngẫu nhiên bằng 3 là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{2}$đáp án
• B.$\dfrac{1}{3}$
• C.$\dfrac{1}{4}$
• D.$\dfrac{1}{5}$

Có 4 kết quả đồng khả năng: $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$. Tổng bằng 3 ứng với $(1,2)$ và $(2,1)$, nên xác suất là $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.

$$P=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$$

Câu 7

Một trường lớp 10 lập ba câu lạc bộ sở thích: Toán học, Tin học và Mô hình máy bay. Mỗi học sinh chỉ được chọn đúng hai câu lạc bộ. Số điểm mẫu (số kết quả có thể) là $(\ \ )$.

• A.$1$
• B.$2$
• C.$3$đáp án
• D.$4$

Số cách chọn 2 trong 3 câu lạc bộ là $C_3^2=3$.

$$C_3^2=3$$

Câu 8

Có 6 thị trấn đặc trưng. Một người dự định tham quan ngẫu nhiên 3 trong 6 thị trấn này trong kỳ nghỉ hè. Xác suất để trong đó có thị trấn suối nước nóng An Ninh là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{2}$đáp án
• B.$\dfrac{2}{3}$
• C.$\dfrac{1}{3}$
• D.$\dfrac{1}{6}$

Tổng số cách chọn 3 trong 6 là $C_6^3=20$. Số cách có chứa An Ninh là chọn thêm 2 trong 5 còn lại: $C_5^2=10$. Xác suất $\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$.

$$P=\dfrac{C_5^2}{C_6^3}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$$

Câu 9

Xếp ngẫu nhiên 4 quả bóng đỏ giống nhau và 2 quả bóng vàng giống nhau thành một hàng. Xác suất để hai quả bóng vàng không đứng cạnh nhau là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{4}{5}$
• B.$\dfrac{2}{5}$
• C.$\dfrac{2}{3}$đáp án
• D.$\dfrac{1}{3}$

Chọn 2 trong 6 vị trí cho bóng vàng: $C_6^2=15$ cách; số cách cạnh nhau là $5$. Xác suất không cạnh nhau $\dfrac{15-5}{15}=\dfrac{2}{3}$.

$$P=\dfrac{C_6^2-5}{C_6^2}=\dfrac{2}{3}$$

Câu 10

Một túi chứa 2 quả bóng trắng và 5 quả bóng đỏ cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Xác suất để hai quả bóng cùng màu là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{3}{7}$
• B.$\dfrac{4}{7}$
• C.$\dfrac{10}{21}$
• D.$\dfrac{11}{21}$đáp án

Tổng số cách lấy 2 trong 7 là $C_7^2=21$. Cùng màu: $C_2^2+C_5^2=1+10=11$. Xác suất $\dfrac{11}{21}$.

$$P=\dfrac{C_2^2+C_5^2}{C_7^2}=\dfrac{11}{21}$$

Câu 11

Phát biểu nào sau đây là KHÔNG đúng? $(\ \ )$.

• A.Xác suất xảy ra biến cố không thể là $0$, xác suất xảy ra biến cố chắc chắn là $1$
• B.Một người bắn 10 phát trúng tâm 8 lần, vậy xác suất bắn trúng tâm là $0.8$đáp án
• C.Mệnh đề: đường thẳng $y=k(x+1)$ luôn đi qua điểm cố định $(-1,0)$ là một biến cố chắc chắn
• D.Tung liên tiếp hai đồng xu, xác suất cả hai lần đều ra mặt sấp là $\dfrac{1}{4}$

Phương án B sai: $0.8$ là tần suất (frequency) trúng tâm trong 10 lần, không phải xác suất. Các phương án A, C, D đều đúng (định nghĩa biến cố, điểm cố định của đường thẳng, và $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$).

$$P(\text{2 sap})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$$

Câu 12

Hai du khách A và B mỗi người chọn ngẫu nhiên một trong năm điểm tham quan, trong đó có núi Kỳ Vân ở Sùng Nghĩa. Gọi biến cố $A$ là A và B chọn hai điểm khác nhau, biến cố $B$ là đúng một trong hai người chọn núi Kỳ Vân. Khi đó xác suất có điều kiện $P(B\mid A)=(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{5}$
• B.$\dfrac{2}{5}$đáp án
• C.$\dfrac{9}{25}$
• D.$\dfrac{9}{20}$

Tổng số kết quả là $5\times5=25$. $P(A)=\dfrac{20}{25}=\dfrac{4}{5}$ (hai người chọn khác nhau). $P(A\cap B)=\dfrac{8}{25}$ (đúng một người chọn Kỳ Vân và hai người khác nhau). Vậy $P(B\mid A)=\dfrac{8/25}{4/5}=\dfrac{2}{5}$.

$$P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{8/25}{20/25}=\dfrac{2}{5}$$

Câu 13

Xếp ngẫu nhiên hai bạn nam và một bạn nữ thành một hàng. Xác suất để hai bạn nam đứng cạnh nhau là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{3}$
• B.$\dfrac{1}{2}$
• C.$\dfrac{2}{3}$đáp án
• D.$\dfrac{5}{6}$

Tổng số cách xếp 3 người là $A_3^3=6$. Bó hai bạn nam thành một khối rồi xếp với bạn nữ: $A_2^2\cdot A_2^2=2\cdot2=4$ cách. Xác suất $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.

$$P=\dfrac{A_2^2\cdot A_2^2}{A_3^3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$$

Câu 14

Một trường trung học mở 7 môn học, trong đó có 3 môn thể dục thể thao. Một học sinh chọn ngẫu nhiên một môn trong 7 môn. Xác suất để chọn được một môn thể dục thể thao là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{7}$
• B.$\dfrac{1}{3}$
• C.$\dfrac{3}{7}$đáp án
• D.$\dfrac{4}{7}$

Có 3 môn thể dục trong 7 môn, chọn ngẫu nhiên một môn nên xác suất là $\dfrac{3}{7}$.

$$P=\dfrac{3}{7}$$

Câu 15

Một giá sách có $5$ cuốn tiếng Trung, $3$ cuốn tiếng Anh và $2$ cuốn tiếng Nhật. Xác suất chọn được một cuốn không phải tiếng Trung bằng $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{5}$
• B.$\dfrac{3}{10}$
• C.$\dfrac{2}{5}$
• D.$\dfrac{1}{2}$đáp án

Tổng số cuốn là $5+3+2=10$, số cuốn không phải tiếng Trung là $3+2=5$. Vậy $P=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$.

$$P=\dfrac{3+2}{10}=\dfrac{1}{2}$$

Câu 16

Một gia đình có hai con. Xác suất cả hai đều là con trai bằng $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{2}$
• B.$\dfrac{1}{3}$
• C.$\dfrac{1}{4}$đáp án
• D.$\dfrac{1}{8}$

Không gian mẫu gồm $4$ trường hợp đồng khả năng: $(T,T),(T,G),(G,T),(G,G)$. Biến cố cả hai là con trai chỉ có $1$ trường hợp. Vậy $P=\dfrac{1}{4}$.

$$P=\dfrac{1}{4}$$

Câu 17

Chọn ngẫu nhiên hai mặt trong sáu mặt của một hình lập phương. Xác suất hai mặt được chọn song song với nhau bằng $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{4}$
• B.$\dfrac{1}{3}$
• C.$\dfrac{1}{5}$đáp án
• D.$\dfrac{1}{6}$

Tổng số cách chọn $2$ mặt từ $6$ mặt là $\binom{6}{2}=15$. Hình lập phương có $3$ cặp mặt song song. Vậy $P=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}$.

$$P=\dfrac{3}{\binom{6}{2}}=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}$$

Câu 18

Khi tung hai đồng xu, gọi xác suất được "hai mặt ngửa", "hai mặt sấp", "một ngửa một sấp" lần lượt là $P_1$, $P_2$, $P_3$. Phát biểu nào sau đây là SAI? $(\ \ )$

• A.$P_1=P_2=P_3$đáp án
• B.$P_1+P_2=P_3$
• C.$P_1+P_2+P_3=1$
• D.$P_3=2P_1=2P_2$

Không gian mẫu gồm $4$ kết quả đồng khả năng nên $P_1=\dfrac{1}{4}$, $P_2=\dfrac{1}{4}$, $P_3=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$. Các phát biểu B, C, D đều đúng; chỉ A sai vì $P_1=P_2\neq P_3$.

$$P_1=P_2=\dfrac{1}{4}\neq P_3=\dfrac{1}{2}$$

Câu 19

Chọn ba chữ số phân biệt bất kỳ từ các số $1,2,3,4$. Xác suất tổng ba chữ số này chia hết cho $6$ bằng $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{2}$
• B.$\dfrac{1}{5}$
• C.$\dfrac{1}{4}$đáp án
• D.$\dfrac{2}{5}$

Tổng số cách chọn $3$ trong $4$ là $\binom{4}{3}=4$. Các bộ và tổng: $\{1,2,3\}=6$, $\{1,2,4\}=7$, $\{1,3,4\}=8$, $\{2,3,4\}=9$. Chỉ $1$ bộ có tổng chia hết cho $6$. Vậy $P=\dfrac{1}{4}$.

$$P=\dfrac{1}{\binom{4}{3}}=\dfrac{1}{4}$$

Câu 20

Hội thao của trường năm nay diễn ra từ ngày $3$ đến ngày $5$ tháng $12$. Hai học sinh $A$ và $B$ của một lớp mỗi người chọn hai nội dung trong ba nội dung sau với xác suất như nhau: chạy $100m$, chạy $200m$ và nhảy xa. Xác suất hai bạn chọn đúng cùng hai nội dung giống nhau bằng $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{3}$đáp án
• B.$\dfrac{2}{3}$
• C.$\dfrac{1}{2}$
• D.$\dfrac{1}{9}$

Mỗi bạn có $\binom{3}{2}=3$ cách chọn nên tổng số cặp lựa chọn là $3\times 3=9$, đồng khả năng. Số cặp mà cả hai chọn giống nhau là $3$. Vậy $P=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$.

$$P=\dfrac{3}{3\times 3}=\dfrac{1}{3}$$

Câu 21

Trong buổi sinh hoạt ngoại khóa ở trường, có ba hoạt động được tổ chức: nhảy dây, đá cầu và thể dục nhịp điệu. Hai học sinh A và B mỗi người chọn một hoạt động để tham gia. Xác suất họ chọn cùng một hoạt động là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{9}$
• B.$\dfrac{2}{9}$
• C.$\dfrac{1}{3}$đáp án
• D.$\dfrac{2}{3}$

Tổng số cách hai người chọn là $3\times 3=9$. Số cách chọn cùng hoạt động là $3$. Vậy xác suất là $\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$.

$$P=\dfrac{3}{3\times 3}=\dfrac{1}{3}$$

Câu 22

Từ một lô gồm sáu sản phẩm có bốn sản phẩm tốt và hai sản phẩm hỏng, chọn ngẫu nhiên ba sản phẩm. Xác suất chọn được đúng một sản phẩm hỏng là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{6}$
• B.$\dfrac{1}{3}$
• C.$\dfrac{2}{3}$
• D.$\dfrac{3}{5}$đáp án

Tổng số cách chọn $3$ từ $6$ là $C_6^3=20$. Số cách chọn đúng $1$ hỏng và $2$ tốt là $C_2^1\cdot C_4^2=2\times 6=12$. Vậy xác suất là $\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}$.

$$P=\dfrac{C_2^1\,C_4^2}{C_6^3}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}$$

Câu 23

Một học sinh gieo một con xúc xắc hai lần. Lần thứ nhất ra $x$, lần thứ hai ra $y$. Trong hệ tọa độ $xOy$, xác suất để điểm có tọa độ $(x,y)$ nằm trên đường thẳng $2x+y=8$ là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{6}$
• B.$\dfrac{1}{12}$đáp án
• C.$\dfrac{5}{36}$
• D.$\dfrac{1}{9}$

Tổng số kết quả là $6\times 6=36$. Các điểm thỏa $2x+y=8$ với $x,y\in\{1,\dots,6\}$ là $(1,6),(2,4),(3,2)$, tức $3$ kết quả. Vậy xác suất là $\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$.

$$P=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$$

Câu 24

Một lớp có $55$ học sinh, gồm $35$ nam và $20$ nữ. Trong số nam có $20$ là đoàn viên, trong số nữ có $12$ là đoàn viên. Nếu chọn ngẫu nhiên một học sinh từ lớp này và đó là một đoàn viên, thì xác suất học sinh được chọn là nam là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{4}{11}$
• B.$\dfrac{5}{8}$đáp án
• C.$\dfrac{43}{55}$
• D.$\dfrac{4}{7}$

Tổng số đoàn viên là $20+12=32$, trong đó nam là $20$. Theo xác suất có điều kiện, xác suất là $\dfrac{20}{32}=\dfrac{5}{8}$.

$$P(B\mid A)=\dfrac{20}{20+12}=\dfrac{5}{8}$$

Câu 25

Từ năm học sinh A, B, ... chọn ngẫu nhiên hai người. Quan sát hai người được chọn, gọi biến cố $M$ là "A được chọn". Số kết quả thuận lợi (sample point) chứa trong biến cố $M$ là $(\ \ )$.

• A.$2$
• B.$4$đáp án
• C.$6$
• D.$8$

Tổng số cách chọn $2$ từ $5$ là $C_5^2=10$. Số cặp có chứa A là chọn thêm $1$ trong $4$ người còn lại, tức $C_4^1=4$. Vậy biến cố $M$ có $4$ kết quả.

$$|M|=C_4^1=4$$

Câu 26

Ba bạn cùng lớp là Tiểu Minh, Tiểu Hồng và Tiểu Cường xếp hàng ngẫu nhiên để chụp ảnh. Xác suất Tiểu Minh đứng bên trái Tiểu Hồng là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{6}$
• B.$\dfrac{1}{3}$
• C.$\dfrac{1}{2}$đáp án
• D.$\dfrac{2}{3}$

Xét vị trí tương đối của Tiểu Minh và Tiểu Hồng: hai khả năng Minh trái Hồng hoặc Hồng trái Minh là đối xứng và đồng khả năng. Vậy xác suất là $\dfrac{1}{2}$.

$$P=\dfrac{1}{2}$$

Câu 27

Một túi chứa năm quả bóng nhỏ ghi số $1, 2, 3, 4, 5$, giống nhau hoàn toàn ngoại trừ số ghi. Chọn ngẫu nhiên hai quả từ túi. Xác suất để trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai quả được chọn bằng $2$ hoặc $4$ là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{10}$
• B.$\dfrac{3}{10}$
• C.$\dfrac{2}{5}$đáp án
• D.$\dfrac{1}{4}$

Tổng số cách chọn $2$ từ $5$ là $C_5^2=10$. Cặp có hiệu bằng $2$: $(1,3),(2,4),(3,5)$ là $3$ cặp; hiệu bằng $4$: $(1,5)$ là $1$ cặp; tổng $4$ cặp. Vậy xác suất là $\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$.

$$P=\dfrac{4}{C_5^2}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$$

Câu 28

Một hộp chứa $5$ quả bóng đỏ và $4$ quả bóng đen, giống nhau về kích thước chỉ khác màu. Chọn ngẫu nhiên một quả từ hộp, xác suất quả được chọn màu đỏ là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{9}$
• B.$\dfrac{5}{9}$đáp án
• C.$\dfrac{4}{9}$
• D.$\dfrac{4}{5}$

Tổng số bóng là $5+4=9$, số bóng đỏ là $5$. Vậy xác suất chọn được bóng đỏ là $\dfrac{5}{9}$.

$$P=\dfrac{5}{5+4}=\dfrac{5}{9}$$

Câu 29

Gieo một con xúc xắc cân đối ba lần liên tiếp. Xác suất để tổng ba số chấm xuất hiện bằng $6$ là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{12}$
• B.$\dfrac{5}{108}$đáp án
• C.$\dfrac{1}{72}$
• D.$\dfrac{1}{216}$

Không gian mẫu có $6^3 = 216$ kết quả. Số bộ $(a,b,c)$ với $a+b+c=6$, mỗi số từ $1$ đến $6$, là $10$ (các hoán vị của $(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2)$). Vậy xác suất bằng $\dfrac{10}{216}=\dfrac{5}{108}$.

$$P=\dfrac{10}{6^3}=\dfrac{5}{108}$$

Câu 30

Một túi chứa $8$ quả bóng gồm $3$ đỏ, $2$ trắng và $3$ đen. Lấy ngẫu nhiên $3$ quả từ túi. Xác suất để có nhiều nhất $1$ quả đỏ trong số đó là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{9}{14}$
• B.$\dfrac{37}{56}$
• C.$\dfrac{39}{56}$
• D.$\dfrac{5}{7}$đáp án

Tổng số cách chọn $3$ quả từ $8$ là $C_8^3 = 56$. Trường hợp $0$ quả đỏ: $C_5^3 = 10$; trường hợp đúng $1$ quả đỏ: $C_3^1 C_5^2 = 3 \cdot 10 = 30$. Vậy xác suất bằng $\dfrac{10+30}{56}=\dfrac{40}{56}=\dfrac{5}{7}$.

$$P=\dfrac{C_5^3+C_3^1 C_5^2}{C_8^3}=\dfrac{40}{56}=\dfrac{5}{7}$$

Nâng cao

Câu 31nâng cao

Gieo một con xúc xắc cân bằng hai lần, số chấm lần lượt là $a$ và $b$. Gọi biến cố $M$ là "phương trình $ax^2 + bx + 1 = 0$ có nghiệm thực". Số điểm mẫu thuộc biến cố $M$ là?

• A.$6$
• B.$17$
• C.$19$đáp án
• D.$21$

Có nghiệm thực khi biệt thức $b^2 - 4a \ge 0$, tức $b^2 \ge 4a$. Đếm theo từng $b$: $b=1$ không có $a$; $b=2$ có $1$; $b=3$ có $2$; $b=4$ có $4$; $b=5$ có $6$; $b=6$ có $6$. Tổng $= 0+1+2+4+6+6 = 19$.

$$b^2 \ge 4a \Rightarrow |M| = 0+1+2+4+6+6 = 19$$

Câu 32nâng cao

Năm người $A,B,C,D,E$ đứng thành một hàng. Xác suất để $B$ đứng giữa $A$ và $C$ (tức $A$ và $C$ ở hai phía của $B$, cạnh nhau hay không đều được) là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{6}$
• B.$\dfrac{1}{3}$đáp án
• C.$\dfrac{3}{10}$
• D.$\dfrac{3}{5}$

Tổng số cách xếp là $A_5^5=120$. Trong 3 vị trí tương đối của $A,B,C$, có 2 thứ tự để $B$ ở giữa ($A,B,C$ hoặc $C,B,A$) trong $3!=6$ hoán vị, nên xác suất $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.

$$P=\dfrac{2}{3!}=\dfrac{1}{3}$$

Câu 33nâng cao

Một trung tâm thương mại dự định chọn ngẫu nhiên ba ngày trong giai đoạn $10$ ngày liên tiếp sắp tới để chạy chương trình khuyến mãi. Xác suất ba ngày được chọn là ba ngày liên tiếp bằng $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{12}$
• B.$\dfrac{1}{15}$đáp án
• C.$\dfrac{1}{30}$
• D.$\dfrac{1}{90}$

Tổng số cách chọn $3$ ngày từ $10$ ngày là $\binom{10}{3}=120$. Bộ ba ngày liên tiếp có ngày đầu chạy từ $1$ đến $8$ nên có $8$ bộ. Vậy $P=\dfrac{8}{120}=\dfrac{1}{15}$.

$$P=\dfrac{8}{\binom{10}{3}}=\dfrac{8}{120}=\dfrac{1}{15}$$

Câu 34nâng cao

Một túi chứa năm quả bóng cùng kích thước và chất liệu, đánh số $1,2,3,4,5$. Lấy đồng thời ba quả bóng từ túi. Gọi $X$ là số lớn nhất trong ba quả bóng được lấy. Bảng phân phối của biến ngẫu nhiên $X$ là $(\ \ )$.

• A.$\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$
• B.$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ \frac{2}{5} & \frac{3}{10} & \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}$
• C.$\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ \frac{1}{10} & \frac{3}{10} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}$đáp án
• D.$\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ \frac{3}{5} & \frac{3}{10} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}$

Tổng số cách lấy là $\binom{5}{3}=10$. Với $X=k$ thì hai quả còn lại nhỏ hơn $k$: $P(X=3)=\dfrac{\binom{2}{2}}{10}=\dfrac{1}{10}$, $P(X=4)=\dfrac{\binom{3}{2}}{10}=\dfrac{3}{10}$, $P(X=5)=\dfrac{\binom{4}{2}}{10}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$.

$$P(X=3)=\dfrac{1}{10},\quad P(X=4)=\dfrac{3}{10},\quad P(X=5)=\dfrac{3}{5}$$

Câu 35nâng cao

Cho $A=\{-1,0,1\}$ và $B=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\mid x_i\in A,\ i=1,2,3,4,5\}$. Số phần tử của $B$ thỏa mãn $1\le |x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|+|x_5|\le 3$ là $(\ \ )$.

• A.$60$
• B.$100$
• C.$120$
• D.$130$đáp án

Gọi $k$ là số tọa độ khác $0$ (mỗi tọa độ khác $0$ có $2$ lựa chọn là $-1$ hoặc $1$), thì tổng $|x_i|$ bằng $k$. Cần $1\le k\le 3$. Số phần tử là $\sum_{k=1}^{3}\binom{5}{k}2^k=\binom{5}{1}2+\binom{5}{2}2^2+\binom{5}{3}2^3=10+40+80=130$.

$$\sum_{k=1}^{3}\binom{5}{k}2^{k}=10+40+80=130$$

Câu 36nâng cao

Hai người chơi $A$ và $B$ thi đấu tính điểm bằng bài. Ba lá của $A$ ký hiệu là $A,b,C$, ba lá của $B$ ký hiệu là $a,B,c$. Thứ tự mạnh yếu của sáu lá là $A>a>B>b>C>c$. Luật chơi: mỗi lá chỉ đánh một lần; mỗi lượt cả hai cùng đánh một lá; thi đấu ba lượt; trong mỗi lượt người có lá lớn hơn được $1$ điểm, người có lá nhỏ hơn được $0$ điểm. Nếu trước mỗi lượt không ai biết lá của người kia, xác suất $B$ được $2$ điểm sau khi đánh hết sáu lá bằng $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{6}$
• B.$\dfrac{2}{3}$
• C.$\dfrac{1}{2}$
• D.$\dfrac{1}{3}$đáp án

Cố định thứ tự ba lá của $A$, ba lá của $B$ có $3!=6$ cách ghép, đồng khả năng. Liệt kê cho thấy có đúng $2$ cách mà $B$ thắng $2$ trong $3$ lượt. Vậy $P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.

$$P=\dfrac{2}{3!}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$$

Câu 37nâng cao

Tỳ bà, nhị hồ, biên chung, tiêu và sáo, sắt, cầm, huân, sênh, trống được gọi chung là "Mười nhạc cụ cổ vĩ đại của Trung Hoa". Một trường tổ chức chuỗi bài giảng về "Nhạc cụ cổ Trung Hoa" trong hoạt động ngoại khóa cuối tuần, lấy mười nhạc cụ này làm chủ đề. Chuỗi gồm tám buổi liên tiếp, mỗi buổi dành cho một nhạc cụ và không nhạc cụ nào được quá một buổi. Biết rằng tỳ bà, nhị hồ và biên chung bắt buộc phải có mặt, xác suất để ba nhạc cụ này không được xếp liền kề nhau bằng $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{360}$
• B.$\dfrac{1}{6}$đáp án
• C.$\dfrac{7}{15}$
• D.$\dfrac{1}{15}$

Tổng số cách xếp $8$ buổi từ $10$ nhạc cụ là $A_{10}^{8}$. Số cách thuận lợi: xếp $5$ trong $7$ nhạc cụ còn lại theo $A_{7}^{5}$ tạo ra $6$ khoảng trống, rồi chèn ba nhạc cụ bắt buộc vào các khoảng trống đó theo $A_{6}^{3}$. Vậy $P=\dfrac{A_{7}^{5}A_{6}^{3}}{A_{10}^{8}}=\dfrac{1}{6}$.

$$P=\dfrac{A_{7}^{5}A_{6}^{3}}{A_{10}^{8}}=\dfrac{302400}{1814400}=\dfrac{1}{6}$$

Câu 38nâng cao

Chọn ngẫu nhiên ba số nguyên phân biệt từ sáu số nguyên từ $2$ đến $7$. Xác suất ba số này có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác bằng $(\ \ )$.

• A.$70\%$
• B.$65\%$đáp án
• C.$60\%$
• D.$50\%$

Tổng số cách chọn $3$ trong $6$ số là $\binom{6}{3}=20$. Liệt kê các bộ thỏa bất đẳng thức tam giác (tổng hai số nhỏ lớn hơn số lớn nhất) cho $13$ bộ. Vậy $P=\dfrac{13}{20}=65\%$.

$$P=\dfrac{13}{\binom{6}{3}}=\dfrac{13}{20}=65\%$$

Câu 39nâng cao

Chọn ba chữ số phân biệt từ $1, 2, 3, 4, 5$ để lập một số có ba chữ số. Xác suất số này chia hết cho $3$ là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{10}$
• B.$\dfrac{1}{5}$
• C.$\dfrac{3}{10}$
• D.$\dfrac{2}{5}$đáp án

Một số chia hết cho $3$ khi tổng các chữ số chia hết cho $3$. Trong $C_5^3=10$ bộ ba chữ số, các bộ có tổng chia hết cho $3$ là $\{1,2,3\},\{1,3,5\},\{2,3,4\},\{3,4,5\}$, tức $4$ bộ. Mỗi bộ tạo ra số hoán vị như nhau nên xác suất là $\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$.

$$P=\dfrac{4}{C_5^3}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$$

Câu 40nâng cao

Tứ Thư gồm Đại Học, Trung Dung, Luận Ngữ và Mạnh Tử. Một lớp tổ chức thi đọc Tứ Thư: bốn học sinh tham gia, mỗi người chọn một cuốn để chuẩn bị sao cho không hai người chọn trùng cuốn. Khi thi, mỗi học sinh lại chọn ngẫu nhiên một cuốn để đọc. Số học sinh trung bình bốc trúng cuốn mình đã chuẩn bị là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{2}$
• B.$1$đáp án
• C.$\dfrac{3}{2}$
• D.$2$

Việc bốc đọc là một hoán vị ngẫu nhiên của $4$ cuốn. Gọi $X$ là số học sinh bốc trúng cuốn đã chuẩn bị, tức số điểm cố định (fixed point) của hoán vị. Kỳ vọng số điểm cố định của hoán vị ngẫu nhiên luôn bằng $1$ với mọi cỡ, nên $E(X)=4\times\dfrac{1}{4}=1$.

$$E(X)=4\times\dfrac{1}{4}=1$$

Câu 41nâng cao

Một lớp chọn ngẫu nhiên $3$ tình nguyện viên từ $6$ ứng viên ($2$ nam và $4$ nữ) để chia sẻ kinh nghiệm. Số nữ trung bình trong $3$ người được chọn là $(\ \ )$.

• A.$1$
• B.$\dfrac{3}{2}$
• C.$2$đáp án
• D.$\dfrac{5}{2}$

Gọi $X$ là số nữ trong $3$ người được chọn, $X$ tuân theo phân phối siêu bội (hypergeometric). Kỳ vọng là $E(X)=n\cdot\dfrac{K}{N}=3\cdot\dfrac{4}{6}=2$.

$$E(X)=3\times\dfrac{4}{6}=2$$

Câu 42nâng cao

Trong một ngày thi đấu của Thế vận hội mùa đông Bắc Kinh 2022, một người muốn xem $6$ nội dung gồm: bi đá trên băng (không có huy chương), khúc côn cầu trên băng (không có huy chương), trượt băng nghệ thuật (có huy chương), nhảy trượt tuyết (có huy chương), trượt tuyết tự do (có huy chương) và xe trượt lòng máng (có huy chương). Như vậy có $2$ nội dung không trao huy chương và $4$ nội dung có trao huy chương. Người đó chọn ngẫu nhiên $3$ nội dung trong ngày để xem. Số trung bình (kỳ vọng) các nội dung có huy chương trong $3$ nội dung được chọn là $(\ \ )$.

• A.$1$
• B.$\dfrac{3}{2}$
• C.$2$đáp án
• D.$\dfrac{5}{2}$

Gọi $X$ là số nội dung có huy chương trong $3$ nội dung được chọn; $X$ tuân theo phân phối siêu bội với tổng thể $N=6$, số phần tử thuận lợi $K=4$, cỡ mẫu $n=3$. Kỳ vọng $E(X) = n\dfrac{K}{N} = 3 \cdot \dfrac{4}{6} = 2$.

$$E(X)=n\dfrac{K}{N}=3\cdot\dfrac{4}{6}=2$$

Phân phối chuẩn và nhị thức

Câu 43

Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối chuẩn $N(2, 7)$, và $P(X>1) = 0.8$. Khi đó $P(X \ge 3) = ?$

• A.$0.2$đáp án
• B.$0.3$
• C.$0.7$
• D.$0.8$

Phân phối chuẩn đối xứng quanh trung bình $\mu = 2$. Điểm $1$ và $3$ đối xứng qua $2$, nên $P(X \ge 3) = P(X \le 1) = 1 - P(X>1) = 1 - 0.8 = 0.2$.

$$P(X\ge 3) = P(X\le 1) = 1 - 0.8 = 0.2$$

Câu 44

Điểm một kỳ thi toán xấp xỉ phân phối chuẩn $X \sim N(70, \sigma^2)$. Nếu $P(X>60) = 0.872$ thì xác suất một bài thi đạt từ $80$ điểm trở lên ước lượng bằng?

• A.$0.372$
• B.$0.256$
• C.$0.128$đáp án
• D.$0.744$

Trung bình $\mu = 70$; điểm $60$ và $80$ đối xứng qua $70$. Do đối xứng phân phối chuẩn, $P(X \ge 80) = P(X \le 60) = 1 - P(X>60) = 1 - 0.872 = 0.128$.

$$P(X\ge 80) = 1 - P(X>60) = 1 - 0.872 = 0.128$$

Câu 45

Điểm $X$ của một bài kiểm tra Toán xấp xỉ tuân theo phân phối chuẩn $N(80,10^2)$. Xác suất điểm số vượt quá 80, tức $P(X>80)$, bằng $(\ \ )$.

• A.$0.25$
• B.$0.50$đáp án
• C.$0.68$
• D.$0.95$

Vì $80$ chính là kỳ vọng $\mu$ và phân phối chuẩn đối xứng quanh $\mu$, nên $P(X>80)=0.5$.

$$P(X>\mu)=0.5$$

Câu 46

Cho biến ngẫu nhiên $X\sim N(2,\sigma^2)$ và $P(X\le 4)=0.8$, khi đó $P(2\le X\le 4)=(\ \ )$.

• A.$0.2$
• B.$0.3$đáp án
• C.$0.4$
• D.$0.8$

Kỳ vọng $\mu=2$ nên $P(X\le 2)=0.5$. Do đó $P(2\le X\le 4)=P(X\le 4)-P(X\le 2)=0.8-0.5=0.3$.

$$P(2\le X\le 4)=0.8-0.5=0.3$$

Câu 47

Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối chuẩn, và tọa độ điểm cao nhất trên đường cong mật độ của nó là $\left(10,\dfrac{1}{2}\right)$. Khi đó phương sai của biến ngẫu nhiên này bằng $(\ \ )$.

• A.$10$
• B.$100$
• C.$\dfrac{2}{\pi}$đáp án
• D.$\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$

Đỉnh của đường cong chuẩn nằm tại $x=\mu$ với chiều cao $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$. Từ $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}=\dfrac{1}{2}$ suy ra $\sigma=\dfrac{2}{\sqrt{2\pi}}$, nên phương sai $\sigma^2=\dfrac{4}{2\pi}=\dfrac{2}{\pi}$.

$$\sigma^2=\frac{4}{2\pi}=\frac{2}{\pi}$$

Câu 48

Với biến ngẫu nhiên $X\sim N(2,1^2)$, khi đó $(\ \ )$.

• A.$P(X>0)=P(X<0)$
• B.$P(X>1)=P(X<1)$
• C.$P(X>2)=P(X<2)$đáp án
• D.$P(X>3)=P(X<3)$

Phân phối chuẩn đối xứng quanh kỳ vọng $\mu=2$, nên $P(X>2)=P(X<2)=0.5$.

$$P(X>\mu)=P(X<\mu)=0.5$$

Câu 49

Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối chuẩn $N(3,\sigma^2)$, và $P(X<1)=0.1$, khi đó $P(3\le X\le 5)=(\ \ )$.

• A.$0.1$
• B.$0.2$
• C.$0.3$
• D.$0.4$đáp án

Do đối xứng quanh $\mu=3$, từ $P(X<1)=0.1$ suy ra $P(X>5)=0.1$, nên $P(1\le X\le 5)=0.8$. Vì $\mu=3$ là tâm, $P(3\le X\le 5)=\dfrac{0.8}{2}=0.4$.

$$P(3\le X\le 5)=\frac{1-2\times 0.1}{2}=0.4$$

Câu 50

Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối chuẩn $N(\mu,\sigma^2)$. Nếu $P(X\ge 1+a)=P(X\le 1-a)$, thì $\mu=(\ \ )$.

• A.$0$
• B.$1$đáp án
• C.$2$
• D.$-1$

Hai điểm $1+a$ và $1-a$ đối xứng quanh $1$. Đẳng thức xác suất ở hai đuôi đối xứng buộc trục đối xứng (kỳ vọng) là trung điểm, nên $\mu=1$.

$$\mu=\frac{(1+a)+(1-a)}{2}=1$$

Câu 51

Với phân phối chuẩn $N(0,1)$, xác suất nhận giá trị trong các khoảng $(-2,-1)$ và $(1,2)$ lần lượt là $P_1$ và $P_2$. Quan hệ giữa hai xác suất này là $(\ \ )$.

• A.$P_1=P_2$đáp án
• B.$P_1<P_2$
• C.$P_1>P_2$
• D.Không xác định

Phân phối chuẩn tắc đối xứng quanh $0$. Hai khoảng $(-2,-1)$ và $(1,2)$ là ảnh gương của nhau qua $0$, nên $P_1=P_2$.

$$P_1=P_2$$

Câu 52

Cho biến ngẫu nhiên $X\sim N(0,1)$, và $P(-1\le X\le 1)\approx 0.6827$, khi đó $P(X>1)\approx(\ \ )$.

• A.$0.1587$đáp án
• B.$0.1827$
• C.$0.3173$
• D.$0.8413$

Theo quy tắc 68-95-99.7, $P(-1\le X\le 1)\approx 0.6827$. Phần còn lại $1-0.6827=0.3173$ chia đều cho hai đuôi đối xứng, nên $P(X>1)=\dfrac{0.3173}{2}\approx 0.1587$.

$$P(X>1)=\frac{1-0.6827}{2}\approx 0.1587$$

Câu 53

Hai lớp của một trường có tổng cộng 100 học sinh. Điểm thi Toán $X\ (X\in\mathbb{Z})$ tuân theo phân phối chuẩn $N(100,\sigma^2)$. Biết $P(90<X\le 100)=0.4$, hãy ước lượng số học sinh đạt từ 110 điểm trở lên $(\ \ )$.

• A.$5$
• B.$7$
• C.$10$đáp án
• D.$20$

Đối xứng quanh $\mu=100$ cho $P(100\le X<110)=P(90<X\le 100)=0.4$, nên $P(X\ge 110)=0.5-0.4=0.1$. Với 100 học sinh, ước lượng $0.1\times 100=10$ em.

$$P(X\ge 110)=0.5-0.4=0.1\ \Rightarrow\ 0.1\times 100=10$$

Câu 54

Cho biến ngẫu nhiên $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, và $P(X<a)=3P(X\ge a)$. Khi đó $P(X\ge a)=(\ \ )$.

• A.$0.75$
• B.$0.5$
• C.$0.3$
• D.$0.25$đáp án

Đặt $p=P(X\ge a)$ là biến cố đối của $P(X<a)=1-p$. Từ $1-p=3p$ suy ra $4p=1$, nên $p=0.25$.

$$1-p=3p\ \Rightarrow\ p=0.25$$

Câu 55

Một viện nghiên cứu lúa lai khảo sát chiều cao cây lúa (đơn vị: cm) ở một vùng và kết luận chiều cao tuân theo phân phối chuẩn với hàm mật độ $f(x)=\dfrac{1}{10\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-100)^2}{200}},\ x\in\mathbb{R}$. Phát biểu nào sau đây là SAI?

• A.Chiều cao trung bình của cây lúa trong vùng là $100$ cm
• B.Phương sai của chiều cao cây lúa trong vùng là $100$
• C.Xác suất một cây lúa chọn ngẫu nhiên cao hơn $120$ cm thấp hơn xác suất nó thấp hơn $70$ cmđáp án
• D.Xác suất một cây lúa chọn ngẫu nhiên có chiều cao trong $(90,100)$ bằng xác suất có chiều cao trong $(100,110)$ (đơn vị cm)

Từ hàm mật độ suy ra $\mu=100$, $\sigma=10$, nên $\sigma^2=100$. A và B đúng. D đúng do tính đối xứng quanh $\mu=100$. C: $P(X>120)=P(X>\mu+2\sigma)\approx 0.0228$ còn $P(X<70)=P(X<\mu-3\sigma)\approx 0.0013$, nên $P(X>120)$ LỚN hơn chứ không nhỏ hơn. Vậy C sai.

$$f(x)=\dfrac{1}{10\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-100)^2}{200}}\Rightarrow \mu=100,\ \sigma=10,\ \sigma^2=100$$

Câu 56

Cho hàm mật độ của phân phối chuẩn $\varphi_{\mu,\sigma}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$, $x\in(-\infty,+\infty)$. Phát biểu nào sau đây về đường cong chuẩn là SAI?

• A.Diện tích giữa đường cong và trục $x$ bằng $1$
• B.Đường cong đạt đỉnh tại $x=\mu$, với giá trị đỉnh $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}$
• C.Với $\sigma$ cố định, vị trí đường cong được xác định bởi $\mu$, và đường cong dịch ngang dọc trục $x$ khi $\mu$ thay đổi
• D.Khi $\mu$ cố định, hình dạng đường cong do $\sigma$ quyết định; $\sigma$ càng nhỏ thì đường cong càng "thấp và bè"đáp án

A, B, C đều đúng theo tính chất hàm mật độ chuẩn. D sai vì $\sigma$ càng nhỏ thì đường cong càng CAO và HẸP (đỉnh $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$ tăng khi $\sigma$ giảm), tức "cao và gầy" chứ không phải "thấp và bè".

$$\text{peak}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\uparrow \text{ as } \sigma\downarrow$$

Câu 57

Nếu $X\sim N(7,2.25)$, thì $P(X\le 10)=?$ (Dữ liệu tham chiếu: $P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)=0.682$, $P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)=0.9545$, $P(\mu-3\sigma\le X\le\mu+3\sigma)=0.9973$)

• A.$0.97725$đáp án
• B.$0.9545$
• C.$0.9973$
• D.$0.99865$

$\sigma^2=2.25\Rightarrow\sigma=1.5$, nên $10=7+2(1.5)=\mu+2\sigma$. Do đối xứng: $P(X\le\mu+2\sigma)=0.5+\dfrac{0.9545}{2}=0.5+0.47725=0.97725$.

$$P(X\le\mu+2\sigma)=0.5+\dfrac{0.9545}{2}=0.97725$$

Câu 58

Thống kê cho thấy trong kỳ nghỉ lễ 1/5 năm 2023, số khách tham quan mỗi ngày $X$ tại Đảo Mặt Trời (Cáp Nhĩ Tân) tuân theo phân phối chuẩn $N(2000,100^2)$. Xác suất số khách trong một ngày bất kỳ không ít hơn $1800$ là bao nhiêu? Phụ lục: $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, $P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=0.6827$, $P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)=0.9545$, $P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)=0.9973$.

• A.$0.4987$
• B.$0.8413$
• C.$0.9773$đáp án
• D.$0.9987$

$\mu=2000$, $\sigma=100$, nên $1800=\mu-2\sigma$. $P(X\ge\mu-2\sigma)=0.5+\dfrac{0.9545}{2}=0.97725\approx 0.9773$.

$$P(X\ge\mu-2\sigma)=0.5+\dfrac{0.9545}{2}\approx 0.9773$$

Câu 59

Biến ngẫu nhiên $\xi\sim N(\mu,\sigma^2)$ có hàm mật độ $\varphi(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-1)^2}{8}}$, $x\in\mathbb{R}$. Khi đó giá trị của $\sigma$ là?

• A.$1$
• B.$2$đáp án
• C.$4$
• D.$8$

So khớp với dạng $\varphi_{\mu,\sigma}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$: từ $2\sigma^2=8$ suy ra $\sigma^2=4$, $\sigma=2$; kiểm tra hệ số $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}$ cũng cho $\sigma=2$.

$$2\sigma^2=8\Rightarrow\sigma^2=4\Rightarrow\sigma=2$$

Câu 60

Có $60$ học sinh tham gia một kỳ thi, điểm số phân phối theo $X\sim N(110,25)$. Theo đó, khoảng nào chứa xấp xỉ $57$ học sinh?

• A.$[90,110]$
• B.$[95,125]$
• C.$[100,120]$đáp án
• D.$[105,115]$

$\mu=110$, $\sigma^2=25\Rightarrow\sigma=5$. Tỉ lệ $57/60=0.95\approx 0.9545$, ứng với $P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)$ trên $[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]=[100,120]$. $0.9545\times 60\approx 57$.

$$[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]=[100,120],\ 0.9545\times 60\approx 57$$

Câu 61

Trong thời kỳ dịch bệnh, một trường THPT ghi nhận số giờ học mỗi ngày (đơn vị: giờ) của $100$ học sinh học tại nhà, tuân theo phân phối chuẩn $N(9,1^2)$. Số học sinh học trên $10$ giờ mỗi ngày là bao nhiêu (làm tròn về số nguyên gần nhất)? Dữ liệu tham chiếu: $P(\mu-\sigma<Z\leqslant\mu+\sigma)=0.6826$, $P(\mu-2\sigma<Z\leqslant\mu+2\sigma)=0.9545$, $P(\mu-3\sigma<Z\leqslant\mu+3\sigma)=0.9973$.

• A.$15$
• B.$16$đáp án
• C.$31$
• D.$32$

$\mu=9$, $\sigma=1$, nên $10=\mu+\sigma$. $P(X>10)=\dfrac{1-0.6826}{2}=0.1587$. $0.1587\times 100=15.87\approx 16$.

$$P(X>\mu+\sigma)=\dfrac{1-0.6826}{2}=0.1587,\ \times 100\approx 16$$

Câu 62

Cho các biến ngẫu nhiên $X\sim B(6,p)$ và $Y\sim N(\mu,\sigma^2)$, với $P(Y\geqslant 2)=\dfrac{1}{2}$ và $E(X)=E(Y)$. Khi đó $p=?$

• A.$\dfrac{1}{2}$
• B.$\dfrac{1}{3}$đáp án
• C.$\dfrac{1}{4}$
• D.$\dfrac{1}{6}$

$X\sim B(6,p)\Rightarrow E(X)=6p$. $P(Y\ge 2)=\dfrac{1}{2}$ nghĩa là $\mu=2$, nên $E(Y)=\mu=2$. Từ $E(X)=E(Y)$: $6p=2\Rightarrow p=\dfrac{1}{3}$.

$$6p=E(Y)=\mu=2\Rightarrow p=\dfrac{1}{3}$$

Câu 63

Tuổi thọ $\xi$ (đơn vị: năm) của một linh kiện do một nhà máy sản xuất tuân theo phân phối chuẩn. Xác suất tuổi thọ không nhỏ hơn $20$ năm là $0.9$, xác suất không nhỏ hơn $40$ năm là $0.1$. Một sản phẩm cần dùng đồng thời $2$ linh kiện như vậy, hoạt động độc lập. Xác suất cả $2$ linh kiện đều hoạt động tốt trong $30$ năm là bao nhiêu?

• A.$0.1$
• B.$0.2$
• C.$0.25$đáp án
• D.$0.3$

$P(\xi\ge 20)=0.9$ và $P(\xi\ge 40)=0.1$ nên $20$ và $40$ đối xứng qua $\mu$, suy ra $\mu=30$. Do đối xứng $P(\xi\ge 30)=0.5$. Hai linh kiện độc lập: $0.5^2=0.25$.

$$\mu=\dfrac{20+40}{2}=30,\ P(\xi\ge 30)=0.5,\ 0.5^2=0.25$$

Câu 64

Cho hàm mật độ phân phối chuẩn của biến ngẫu nhiên $X$ là $f(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}\cdot e^{-\frac{(x+3)^2}{4}}$, $x\in(-\infty,+\infty)$. Khi đó các tham số $\mu$ và $\sigma$ lần lượt là?

• A.$\mu=3,\ \sigma=2$
• B.$\mu=-3,\ \sigma=2$
• C.$\mu=3,\ \sigma=\sqrt{2}$
• D.$\mu=-3,\ \sigma=\sqrt{2}$đáp án

Viết $(x+3)^2=(x-(-3))^2$ nên $\mu=-3$. Từ $2\sigma^2=4$ suy ra $\sigma^2=2$, $\sigma=\sqrt{2}$; kiểm tra hệ số $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}$ khớp.

$$\mu=-3,\ 2\sigma^2=4\Rightarrow\sigma=\sqrt{2}$$

Câu 65

Cho biến ngẫu nhiên $X\sim N(0,\sigma^2)$. Nếu $P(X>2)=0.023$, thì $P(-2<X\le 2)=?$

• A.$0.954$đáp án
• B.$0.977$
• C.$0.477$
• D.$0.628$

Vì $\mu=0$ nên phân phối đối xứng quanh $0$: $P(X<-2)=P(X>2)=0.023$. Do đó $P(-2<X\le 2)=1-2\times 0.023=0.954$.

$$P(-2<X\le 2)=1-2(0.023)=0.954$$

Câu 66

Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối chuẩn $N(3,4)$. Nếu $P(X>a-2)=P(X<6-3a)$, thì $a=?$

• A.$-2$
• B.$-1$đáp án
• C.$\dfrac{1}{2}$
• D.$1$

Do đối xứng quanh $\mu=3$, hai điểm $a-2$ và $6-3a$ phải đối xứng qua $\mu$: $(a-2)+(6-3a)=2\mu=6\Rightarrow 4-2a=6\Rightarrow a=-1$.

$$(a-2)+(6-3a)=2\mu=6\Rightarrow a=-1$$

Câu 67

Cho biến ngẫu nhiên $X\sim N(4,\sigma^2)$. Nếu $P(X>m)=0.8$ thì $P(X>8-m)$ bằng $(\ \ )$

• A.$0.2$đáp án
• B.$0.7$
• C.$0.8$
• D.$0.9$

Hai điểm $m$ và $8-m$ đối xứng qua kỳ vọng $4$ vì $\frac{m+(8-m)}{2}=4$. Do tính đối xứng của đường cong chuẩn, $P(X>8-m)=P(X<m)=1-P(X>m)=1-0.8=0.2$.

$$P(X>8-m)=P(X<m)=1-0.8=0.2$$

Câu 68

Điểm thi của một người tuân theo phân phối chuẩn với kỳ vọng $\mu=110$ và độ lệch chuẩn $\sigma=5$. Theo quy tắc $3\sigma$, điểm của người đó rơi vào khoảng $(\ \ )$ với xác suất khoảng $0.95$.

• A.$[90,110]$
• B.$[95,125]$
• C.$[100,120]$đáp án
• D.$[105,115]$

Khoảng tin cậy cỡ $0.9545$ là $[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]$. Thay $\mu=110,\ \sigma=5$ được $[110-10,\ 110+10]=[100,120]$.

$$[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]=[100,120]$$

Câu 69

Để kiểm tra cà phê đóng lon trên dây chuyền tự động, mỗi ngày kiểm định viên lấy ngẫu nhiên $k$ ($k\in\mathbb{N}^*$) lon và cân khối lượng (đơn vị: g). Trong điều kiện bình thường, khối lượng mỗi lon tuân theo phân phối chuẩn $N(\mu,\sigma^2)$. Gọi $X$ là số lon trong $k$ lon lấy mỗi ngày có khối lượng nằm ngoài khoảng $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$. Nếu kỳ vọng $E(X)>0.026$ thì giá trị nhỏ nhất của $k$ là $(\ \ )$.

• A.$10$
• B.$11$đáp án
• C.$12$
• D.$13$

Xác suất một lon nằm ngoài $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ là $1-0.9974=0.0026$, nên $X\sim B(k,0.0026)$ và $E(X)=0.0026k$. Từ $0.0026k>0.026$ suy ra $k>10$, vậy $k$ nhỏ nhất là $11$.

$$E(X)=0.0026k>0.026\Rightarrow k>10\Rightarrow k_{\min}=11$$

Câu 70

Một hộp xổ số chứa $15$ quả bóng bàn giống hệt nhau khác màu ($2$ đỏ, $3$ vàng, còn lại trắng). Rút được bóng đỏ trúng giải nhất, bóng vàng trúng giải nhì, bóng trắng không trúng. Có $90$ người lần lượt rút bóng có hoàn lại. Kỳ vọng và phương sai của số người trúng giải trong $90$ người này lần lượt là $(\ \ )$.

• A.$6,\ 0.4$
• B.$18,\ 14.4$
• C.$30,\ 10$
• D.$30,\ 20$đáp án

Xác suất trúng giải (đỏ hoặc vàng) là $\dfrac{2+3}{15}=\dfrac{1}{3}$. Số người trúng $X\sim B\left(90,\dfrac{1}{3}\right)$, nên $E(X)=90\cdot\dfrac{1}{3}=30$ và $D(X)=90\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=20$.

$$E(X)=90\cdot\dfrac{1}{3}=30,\quad D(X)=90\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=20$$

Câu 71

Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối chuẩn $N(3,\sigma^2)$ và $P(X>2)=0.7$. Khi đó $P(3<X<4)=(\ \ )$.

• A.$0.1$
• B.$0.2$đáp án
• C.$0.3$
• D.$0.4$

Kỳ vọng là $3$. Do đối xứng, $P(X<4)=P(X>2)=0.7$. Vậy $P(3<X<4)=P(X<4)-P(X<3)=0.7-0.5=0.2$.

$$P(3<X<4)=P(X<4)-0.5=0.7-0.5=0.2$$

Câu 72

Học sinh A có xác suất $p$ bắn trúng ở mỗi lần. Trong một thí nghiệm gồm $6$ lần bắn, kỳ vọng của số lần bắn trúng $X$ bằng $2{,}4$. Phương sai của $X$ bằng ( ).

• A.$1{,}24$
• B.$1{,}44$đáp án
• C.$1{,}2$
• D.$0{,}96$

$X$ tuân theo phân phối nhị thức $B(6, p)$. Từ kỳ vọng $E(X) = np = 6p = 2{,}4$ suy ra $p = 0{,}4$. Phương sai $D(X) = np(1-p) = 6 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 1{,}44$.

$$D(X) = np(1-p) = 6 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 1.44$$

Nâng cao

Câu 73nâng cao

Định lý giới hạn De Moivre-Laplace: nếu $Y \sim B(n, p)$ thì khi $n$ đủ lớn, $Y$ xấp xỉ biến ngẫu nhiên chuẩn $X$ có cùng kỳ vọng và phương sai. Tung một đồng xu cân bằng $100$ lần. Dùng xấp xỉ chuẩn, ước lượng xác suất mặt ngửa xuất hiện hơn $60$ lần. (Biết $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 0.6827$; $P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma) \approx 0.9545$; $P(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma) \approx 0.9973$.)

• A.$0.1587$
• B.$0.0228$đáp án
• C.$0.0027$
• D.$0.0014$

Gọi $X$ là số lần ngửa, $X \sim B(100, 0.5)$. Kỳ vọng $\mu = np = 50$, phương sai $\sigma^2 = np(1-p) = 25$ nên $\sigma = 5$. Mốc $60 = \mu + 2\sigma$. Theo quy tắc 68-95-99.7 và đối xứng phân phối chuẩn: $P(X>60) = \dfrac{1 - 0.9545}{2} \approx 0.0228$.

$$P(X>60)=\dfrac{1-0.9545}{2}\approx 0.0228$$

Câu 74nâng cao

Cho biến ngẫu nhiên $\xi$ tuân theo phân phối chuẩn $N(\mu,\sigma^2)$. Nếu hàm $f(x)=P(x\le\xi\le x+1)$ là hàm chẵn, thì $\mu=(\ \ )$.

• A.$-\dfrac{1}{2}$
• B.$0$
• C.$\dfrac{1}{2}$đáp án
• D.$1$

Hàm chẵn đòi $f(x)=f(-x)$, tức $P(x\le\xi\le x+1)=P(-x\le\xi\le -x+1)$. Hai khoảng có tâm $x+\tfrac{1}{2}$ và $-x+\tfrac{1}{2}$; để xác suất bằng nhau với mọi $x$, chúng phải đối xứng qua $\mu$, cho $\mu=\dfrac{1}{2}$.

$$\mu=\frac{(x+\frac{1}{2})+(-x+\frac{1}{2})}{2}=\frac{1}{2}$$

Câu 75nâng cao

Cho $\xi\sim N(2,5^2)$ và $P(\xi\le 1)=P(\xi\ge a+1)$. Giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{a-x}\ (0<x<a)$ là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{5}{3}$
• B.$2$
• C.$\dfrac{9}{2}$đáp án
• D.$6$

Đối xứng quanh $\mu=2$: hai điểm $1$ và $a+1$ phải đối xứng qua $2$, cho $\dfrac{1+(a+1)}{2}=2\Rightarrow a=2$. Khi đó $\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2-x}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2-x}\right)\big(x+(2-x)\big)\ge\dfrac{(1+2)^2}{2}=\dfrac{9}{2}$ theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

$$\min=\frac{(1+2)^2}{a}=\frac{9}{2}$$

Câu 76nâng cao

Mỗi lần kích hoạt, một thiết bị sinh ngẫu nhiên một số nhị phân $3$ chữ số $A=\overline{a_1a_2a_3}$. Với mỗi chữ số $a_k\ (k=1,2,3)$, xác suất nhận giá trị $0$ là $\dfrac{1}{3}$ và xác suất nhận giá trị $1$ là $\dfrac{2}{3}$. Nếu sinh ra $A=100$ thì lần thử được coi là thành công. Mỗi lần thành công được $2$ điểm, mỗi lần thất bại được $-1$ điểm. Thực hiện $81$ lần thử như vậy, kỳ vọng và phương sai của tổng điểm $X$ lần lượt là $(\ \ )$.

• A.$-63,\ \dfrac{50}{9}$
• B.$-63,\ 50$đáp án
• C.$6,\ \dfrac{50}{9}$
• D.$6,\ 50$

Xác suất một lần thành công ($a_1=1,a_2=0,a_3=0$) là $p=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{27}$. Gọi $Y\sim B\left(81,\dfrac{2}{27}\right)$ là số lần thành công thì $X=2Y-(81-Y)=3Y-81$. Ta có $E(Y)=81\cdot\dfrac{2}{27}=6$ nên $E(X)=3\cdot6-81=-63$; $D(Y)=81\cdot\dfrac{2}{27}\cdot\dfrac{25}{27}=\dfrac{50}{9}$ nên $D(X)=3^2\cdot\dfrac{50}{9}=50$.

$$E(X)=3E(Y)-81=-63,\quad D(X)=9D(Y)=9\cdot\dfrac{50}{9}=50$$