Trắc nghiệm — Hình giải tích phẳng

Bộ câu hỏi trắc nghiệm cho cụm Hình giải tích phẳng, rút từ đề thật và phân theo chủ đề con. Phần lý thuyết xem ở đây.

• Làm thử — bấm từng đáp rồi kiểm tra, có lời giải ngay.
• Theo chủ đề — phần dưới liệt kê toàn bộ câu theo cây chủ đề con; câu nâng cao (cho học sinh giỏi) tách riêng cuối mỗi chủ đề.

Làm thử từng câu

Hình giải tích phẳngCâu 1 / 81 · Điểm 0 / 0

Phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm $(-1, 0)$ là gì?

Toàn bộ câu hỏi theo chủ đề

Hình giải tích phẳng — 81 câu81 câu

Conic: parabol, elip, hyperbol

Câu 1

Phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm $(-1, 0)$ là gì?

• A.$y^2 = -2x$
• B.$x^2 = 2y$
• C.$x^2 = -4y$
• D.$y^2 = -4x$đáp án

Tiêu điểm nằm trên trục x âm nên parabol mở sang trái, dạng $y^2 = -2px$ với tiêu điểm $(-p/2, 0)$. Tiêu điểm $(-1, 0)$ cho $p/2 = 1$, tức $2p = 4$, nên $y^2 = -4x$.

$$y^2 = -4x$$

Câu 2

Cho $P$ là một điểm trên elip $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$, với $F_1$ và $F_2$ là hai tiêu điểm. Nếu $|PF_1| = 4$ thì $|PF_2|$ bằng bao nhiêu?

• A.$6$đáp án
• B.$1$
• C.$2$
• D.$14$

Theo định nghĩa elip, $|PF_1| + |PF_2| = 2a$. Ở đây $a^2 = 25$ nên $a = 5$, suy ra $2a = 10$. Vậy $|PF_2| = 10 - 4 = 6$.

$$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1,\quad |PF_1|+|PF_2|=2a=10$$

Câu 3

Ba chiếc đĩa hình elip có tỉ số trục lớn trên trục nhỏ lần lượt là $\dfrac{13}{9}$, $\dfrac{56}{45}$ và $\dfrac{10}{7}$. Gọi tâm sai của ba elip lần lượt là $e_1, e_2, e_3$. So sánh nào đúng?

• A.$e_1 > e_3 > e_2$đáp án
• B.$e_2 > e_3 > e_1$
• C.$e_1 > e_2 > e_3$
• D.$e_2 > e_1 > e_3$

Tâm sai $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, nên tỉ số $a/b$ càng lớn thì $e$ càng lớn. Các tỉ số $a/b$: $13/9 \approx 1.444$, $56/45 \approx 1.244$, $10/7 \approx 1.429$. Sắp xếp: $1.444 > 1.429 > 1.244$, suy ra $e_1 > e_3 > e_2$.

$$e=\sqrt{1-\left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Câu 4

Phương trình nào sau đây là phương trình của một hypebol (hyperbola)?

• A.$x^2+y^2=10$
• B.$x=2y^2$
• C.$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$
• D.$\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1$đáp án

Hypebol có dạng chính tắc với hai bình phương trái dấu $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$. Phương án $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1$ đúng dạng đó; $x^2+y^2=10$ là đường tròn, $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ là elip, $x=2y^2$ là parabol.

$$\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1$$

Câu 5

Bề lõm của parabol $y^2=4x$ hướng về phía nào?

• A.Lên trên
• B.Xuống dưới
• C.Sang trái
• D.Sang phảiđáp án

Với dạng $y^2=2px$ và $2p=4>0$, parabol nhận trục $Ox$ làm trục đối xứng và mở về phía $x$ dương, tức là sang phải.

$$y^2=4x,\quad 2p=4>0$$

Câu 6

Cho hypebol có phương trình $\dfrac{x^2}{36}-\dfrac{y^2}{12}=1$. Khẳng định nào sau đây đúng?

• A.Độ dài nửa trục thực bằng $6$.đáp án
• B.Độ dài nửa trục ảo bằng $12$.
• C.Tiêu cự bằng $4\sqrt{6}$.
• D.Tâm sai bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Ta có $a^2=36\Rightarrow a=6$ (nửa trục thực), $b^2=12\Rightarrow b=2\sqrt{3}$ (nửa trục ảo), $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$. Tiêu cự $2c=8\sqrt{3}$, tâm sai $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4\sqrt{3}}{6}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$. Chỉ khẳng định nửa trục thực bằng $6$ là đúng.

$$a=\sqrt{36}=6$$

Câu 7

Cho parabol $y^2=8x$ có tiêu điểm $F$. Điểm $P$ nằm trên parabol và có hoành độ bằng $6$. Khi đó $|PF|=?$

• A.$6$
• B.$7$
• C.$8$đáp án
• D.$9$

Với $y^2=8x$ thì $2p=8\Rightarrow p=4$, đường chuẩn $x=-2$. Theo định nghĩa parabol, $|PF|$ bằng khoảng cách từ $P$ tới đường chuẩn: $|PF|=x_P+\dfrac{p}{2}=6+2=8$.

$$|PF|=x_P+\dfrac{p}{2}=6+2=8$$

Câu 8

Phương trình đường chuẩn của parabol $y^2=-6x$ là?

• A.$x=\dfrac{3}{2}$đáp án
• B.$x=-\dfrac{3}{2}$
• C.$x=\dfrac{3}{4}$
• D.$x=-\dfrac{3}{4}$

Dạng $y^2=-2px$ với $2p=6\Rightarrow p=3$, parabol mở sang trái, đường chuẩn nằm bên phải: $x=\dfrac{p}{2}=\dfrac{3}{2}$.

$$x=\dfrac{p}{2}=\dfrac{3}{2}$$

Câu 9

Cho elip $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ có hai tiêu điểm $F_1,F_2$, điểm $P$ nằm trên elip. Khi đó $|PF_1|+|PF_2|=?$

• A.$4$
• B.$8$đáp án
• C.$16$
• D.$32$

Theo định nghĩa elip, tổng khoảng cách từ một điểm trên elip tới hai tiêu điểm là hằng số $2a$. Ở đây $a^2=16\Rightarrow a=4$, nên $|PF_1|+|PF_2|=2a=8$.

$$|PF_1|+|PF_2|=2a=8$$

Câu 10

Cho điểm $P(x,y)$ thỏa mãn $\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}-\sqrt{(x+3)^2+(y+3)^2}=\pm 4$. Quỹ tích của điểm $P$ là?

• A.Elip
• B.Hypebolđáp án
• C.Hai tia
• D.Không phải các đáp án trên

Hai biểu thức căn là khoảng cách từ $P$ tới hai điểm cố định $(1,1)$ và $(-3,-3)$, cách nhau $\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$. Hiệu hai khoảng cách bằng hằng số $4$ và $4<4\sqrt{2}$, đúng định nghĩa hypebol.

$$\big||PA|-|PB|\big|=4<4\sqrt{2}=|AB|$$

Câu 11

Tọa độ tiêu điểm của parabol $y=-2x^2$ là?

• A.$\left(0,-\dfrac{1}{8}\right)$đáp án
• B.$\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$
• C.$\left(0,-\dfrac{1}{2}\right)$
• D.$\left(-\dfrac{1}{8},0\right)$

Đưa về dạng chính tắc: $x^2=-\dfrac{1}{2}y$, dạng $x^2=-2py$ với $2p=\dfrac{1}{2}$. Tiêu điểm nằm trên trục $Oy$ tại $\left(0,-\dfrac{p}{2}\right)=\left(0,-\dfrac{1}{8}\right)$.

$$x^2=-\dfrac{1}{2}y\Rightarrow F\left(0,-\dfrac{1}{8}\right)$$

Câu 12

Cho $F_1,F_2$ là hai tiêu điểm của elip $C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$, điểm $M$ nằm trên $C$. Giá trị lớn nhất của $|MF_1|\cdot|MF_2|$ là?

• A.$13$
• B.$12$
• C.$9$đáp án
• D.$6$

Theo định nghĩa elip, $|MF_1|+|MF_2|=2a=6$. Theo bất đẳng thức AM-GM, $|MF_1|\cdot|MF_2|\le\left(\dfrac{|MF_1|+|MF_2|}{2}\right)^2=9$, dấu bằng khi $|MF_1|=|MF_2|=3$.

$$|MF_1|\cdot|MF_2|\le\left(\dfrac{2a}{2}\right)^2=9$$

Câu 13

Cho điểm $P\left(\dfrac{3}{2},y_0\right)$ nằm trên parabol $y^2=ax\ (a>0)$. Khoảng cách từ điểm này tới tiêu điểm $F$ của parabol bằng $2$. Giá trị của $a$ là?

• A.$1$
• B.$2$đáp án
• C.$4$
• D.$8$

Parabol $y^2=ax$ có đường chuẩn $x=-\dfrac{a}{4}$. Theo định nghĩa, $|PF|=x_P+\dfrac{a}{4}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{a}{4}=2\Rightarrow\dfrac{a}{4}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=2$.

$$\dfrac{3}{2}+\dfrac{a}{4}=2\Rightarrow a=2$$

Câu 14

Phương trình chính tắc của parabol có đỉnh tại gốc tọa độ và tiêu điểm $F(0,3)$ là $(\ \ )$.

• A.$y^2=21x$
• B.$x^2=12y$đáp án
• C.$y^2=\dfrac{1}{12}x$
• D.$x^2=\dfrac{1}{12}y$

Tiêu điểm nằm trên trục $Oy$ nên parabol có dạng $x^2=2py$ với tiêu điểm $\left(0,\dfrac{p}{2}\right)$. Từ $\dfrac{p}{2}=3$ suy ra $p=6$, vậy $x^2=12y$.

$$x^2=12y$$

Câu 15

Tọa độ tiêu điểm của parabol $y=2x^2$ là $(\ \ )$.

• A.$\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$
• B.$\left(\dfrac{1}{2},0\right)$
• C.$\left(0,\dfrac{1}{8}\right)$đáp án
• D.$\left(\dfrac{1}{8},0\right)$

Đưa về dạng chính tắc $x^2=\dfrac{1}{2}y$, tức $x^2=2py$ với $2p=\dfrac{1}{2}$. Tiêu điểm là $\left(0,\dfrac{p}{2}\right)=\left(0,\dfrac{1}{8}\right)$.

$$x^2=\dfrac{1}{2}y$$

Câu 16

Cho parabol $C:y^2=2x$ có tiêu điểm $F$, và $A(x_0,y_0)$ là một điểm trên $C$ sao cho $|AF|=\dfrac{5}{4}x_0$. Khi đó $x_0=(\ \ )$.

• A.$1$
• B.$2$đáp án
• C.$4$
• D.$5$

Với $y^2=2x$ thì $p=1$, đường chuẩn $x=-\dfrac{1}{2}$. Theo tính chất parabol, $|AF|=x_0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{4}x_0$, suy ra $\dfrac{1}{4}x_0=\dfrac{1}{2}$, vậy $x_0=2$.

$$x_0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{4}x_0\Rightarrow x_0=2$$

Câu 17

Cho parabol $C:y^2=2x$ có tiêu điểm $F$, và $A(x_0,y_0)$ là một điểm trên $C$ sao cho $|AF|=\dfrac{5}{4}x_0$. Khi đó $x_0=(\ \ )$.

• A.$1$
• B.$2$đáp án
• C.$4$
• D.$5$

Với $y^2=2x$ thì $p=1$, đường chuẩn $x=-\dfrac{1}{2}$. Theo tính chất parabol, $|AF|=x_0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{4}x_0$, suy ra $x_0=2$.

$$x_0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{4}x_0\Rightarrow x_0=2$$

Câu 18

Độ dài trục thực của hyperbol $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ là $(\ \ )$.

• A.$4$
• B.$8$đáp án
• C.$9$
• D.$18$

Hyperbol có $a^2=16$ nên $a=4$. Độ dài trục thực là $2a=8$.

$$2a=8$$

Câu 19

Cho ellipse có tâm tại gốc tọa độ, một tiêu điểm là $(-\sqrt{3},0)$ và độ dài trục lớn gấp đôi độ dài trục nhỏ. Phương trình chính tắc của ellipse này là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$đáp án
• B.$\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$
• C.$x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$
• D.$x^2+\dfrac{y^2}{3}=1$

Tiêu điểm trên trục $Ox$ nên $c=\sqrt{3}$. Trục lớn gấp đôi trục nhỏ: $2a=2(2b)$ suy ra $a=2b$. Từ $c^2=a^2-b^2=4b^2-b^2=3b^2=3$ được $b^2=1,a^2=4$. Vậy $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$.

$$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$$

Câu 20

Hyperbol $\dfrac{x^2}{m}-\dfrac{y^2}{n}=1\ (mn\ne 0)$ có tâm sai bằng $2$, và một trong các tiêu điểm trùng với tiêu điểm của parabol $y^2=4x$. Giá trị của $mn$ là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{3}{16}$đáp án
• B.$\dfrac{3}{8}$
• C.$\dfrac{16}{3}$
• D.$\dfrac{8}{3}$

Parabol $y^2=4x$ có tiêu điểm $(1,0)$ nên $c=1$, tức $m+n=c^2=1$. Tâm sai $e=\dfrac{c}{a}=2$ với $a^2=m$ cho $a=\dfrac{1}{2}$, suy ra $m=\dfrac{1}{4}$ và $n=\dfrac{3}{4}$. Vậy $mn=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{16}$.

$$mn=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{16}$$

Câu 21

Phương trình đường chuẩn của parabol $x^2=-16y$ là $(\ \ )$.

• A.$y=8$
• B.$y=4$đáp án
• C.$y=-8$
• D.$y=-4$

Parabol $x^2=-16y$ có $2p=16$ nên $p=8$, mở xuống dưới, tiêu điểm $(0,-4)$ và đường chuẩn $y=\dfrac{p}{2}=4$.

$$y=4$$

Câu 22

Một đường tròn có tâm nằm trên parabol $y=\dfrac{1}{4}x^2$ và tiếp xúc với đường thẳng $y+1=0$ thì luôn đi qua điểm $(\ \ )$.

• A.$(1,0)$
• B.$(0,1)$đáp án
• C.$(-1,0)$
• D.$(0,-1)$

Parabol $y=\dfrac{1}{4}x^2$ tức $x^2=4y$ có tiêu điểm $(0,1)$ và đường chuẩn $y=-1$. Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm đến $y=-1$, bằng khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm. Vậy đường tròn luôn qua tiêu điểm $(0,1)$.

$$x^2=4y\Rightarrow F(0,1)$$

Câu 23

Gọi $F_1,F_2$ lần lượt là tiêu điểm trái và phải của ellipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$. Gọi $P$ là điểm trên đường chuẩn phải có tung độ $\sqrt{3}c$ (với $c$ là nửa tiêu cự), và $|F_1F_2|=|F_2P|$. Khi đó tâm sai của ellipse là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B.$\dfrac{1}{2}$
• C.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$đáp án

Đường chuẩn phải $x=\dfrac{a^2}{c}$ nên $P=\left(\dfrac{a^2}{c},\sqrt{3}c\right)$, $F_2=(c,0)$. Ta có $|F_2P|^2=\left(\dfrac{a^2-c^2}{c}\right)^2+3c^2=\dfrac{b^4}{c^2}+3c^2$ và $|F_1F_2|^2=4c^2$. Cho bằng nhau được $\dfrac{b^4}{c^2}=c^2$ tức $b^2=c^2$, nên $a^2=2c^2$ và $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Câu 24

Cho elip có tâm tại gốc tọa độ, một tiêu điểm là $(-\sqrt{3},0)$, và độ dài trục lớn gấp đôi độ dài trục nhỏ. Phương trình chính tắc của elip này là:

• A.$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$đáp án
• B.$\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$
• C.$x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$
• D.$x^2+\dfrac{y^2}{3}=1$

Tiêu điểm trên trục hoành nên $a>b$ và $c=\sqrt{3}$. Trục lớn gấp đôi trục nhỏ cho $a=2b$. Từ $c^2=a^2-b^2$ ta có $3=4b^2-b^2=3b^2$, suy ra $b^2=1$, $a^2=4$.

$$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$$

Câu 25

Phương trình tiệm cận của hyperbol $\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{9}=1$ là:

• A.$y=\pm 3x$
• B.$y=\pm\dfrac{1}{3}x$
• C.$y=\pm\sqrt{3}\,x$đáp án
• D.$y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$

Với $a^2=3$, $b^2=9$, tiệm cận là $y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac{3}{\sqrt{3}}x=\pm\sqrt{3}\,x$.

$$y=\pm\sqrt{3}\,x$$

Câu 26

Tâm sai của elip $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ là:

• A.$\dfrac{\sqrt{13}}{3}$
• B.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$đáp án
• C.$\dfrac{2}{3}$
• D.$\dfrac{5}{9}$

Với $a=3$, $b=2$, ta có $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}$, nên $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.

$$e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$$

Câu 27

Cho $M(-2,0)$, $N(2,0)$ và $\big|\,|PM|-|PN|\,\big|=4$. Quỹ tích của điểm chuyển động $P$ là:

• A.Hyperbol
• B.Nhánh trái của hyperbol
• C.Một tiađáp án
• D.Nhánh phải của hyperbol

Vì $|MN|=4$ đúng bằng giá trị $\big|\,|PM|-|PN|\,\big|=4$, hiệu khoảng cách bằng đúng khoảng cách hai điểm cố định. Khi đó $P$ không tạo thành hyperbol mà nằm trên tia (phần kéo dài bên ngoài đoạn $MN$).

$$\big|\,|PM|-|PN|\,\big|=|MN|$$

Câu 28

Tọa độ các tiêu điểm của hyperbol $\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{4}=1$ là:

• A.$(-1,0),(1,0)$
• B.$(-\sqrt{7},0),(\sqrt{7},0)$đáp án
• C.$(0,-\sqrt{7}),(0,\sqrt{7})$
• D.$(0,-1),(0,1)$

Tiêu điểm nằm trên trục hoành. Với $a^2=3$, $b^2=4$ ta có $c^2=a^2+b^2=7$, nên tiêu điểm là $(\pm\sqrt{7},0)$.

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{7}$$

Câu 29

Điểm $M$ nằm trên parabol $y^2=4x$ có hoành độ bằng $1$. Khoảng cách từ $M$ đến tiêu điểm của parabol này là:

• A.$\dfrac{1}{2}$
• B.$\dfrac{3}{2}$
• C.$2$đáp án
• D.$3$

Parabol $y^2=4x$ có $p=2$, đường chuẩn $x=-1$. Theo định nghĩa, khoảng cách từ $M$ đến tiêu điểm bằng khoảng cách đến đường chuẩn, tức $1-(-1)=2$.

$$d=x_M+\dfrac{p}{2}=1+1=2$$

Câu 30

Cho tiêu điểm của parabol có tọa độ $\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$. Phương trình chính tắc của parabol là:

• A.$y^2=2x$
• B.$y^2=x$
• C.$x^2=2y$đáp án
• D.$x^2=-2y$

Tiêu điểm trên trục tung và dương nên parabol mở lên dạng $x^2=2py$, với $\dfrac{p}{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow p=1$, suy ra $x^2=2y$.

$$x^2=2y$$

Nâng cao

Câu 31nâng cao

Cho hai điểm $A(-2, 0)$, $B(2, 0)$. Đường $PA$ có hệ số góc $k_1$, đường $PB$ có hệ số góc $k_2$. Nếu $k_2 - k_1 = 1$ thì quỹ tích của điểm $P$ (trừ hai điểm $A$ và $B$) là hình gì?

• A.Đường thẳng
• B.Elip
• C.Hyperbol
• D.Parabolđáp án

Đặt $P(x, y)$ với $x \neq \pm 2$, $y \neq 0$. $k_2 - k_1 = \dfrac{y}{x-2} - \dfrac{y}{x+2} = \dfrac{4y}{x^2-4} = 1$, suy ra $4y = x^2 - 4$, tức $y = \dfrac{x^2 - 4}{4}$. Đây là một parabol (trừ $A$ và $B$).

$$\dfrac{y}{x-2}-\dfrac{y}{x+2}=\dfrac{4y}{x^2-4}=1 \Rightarrow y=\dfrac{x^2-4}{4}$$

Câu 32nâng cao

Cho đường thẳng $l$ cắt parabol $C:y^2=4x$ tại hai điểm $A,B$. Nếu $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ thì giá trị nhỏ nhất của $|AB|$ là?

• A.$4$
• B.$4\sqrt{2}$
• C.$8$đáp án
• D.$16$

Đặt $l:x=my+n$. Thế vào $y^2=4x$ được $y^2-4my-4n=0$, suy ra $y_1+y_2=4m$, $y_1y_2=-4n$ và $x_1x_2=n^2$. Điều kiện $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=n^2-4n=0\Rightarrow n=4$. Khi đó $|AB|=\sqrt{(1+m^2)\big[(4m)^2+64\big]}=4\sqrt{m^4+5m^2+4}$, nhỏ nhất khi $m=0$, cho $|AB|=8$.

$$|AB|=4\sqrt{m^4+5m^2+4}\ge 8$$

Câu 33nâng cao

Cho elip $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ có tiêu điểm trái $F_1$, tiêu điểm phải $F_2$, điểm $P$ nằm trên elip. Nếu trung điểm của đoạn $PF_1$ nằm trên trục $Oy$ thì $|PF_1|:|PF_2|=?$

• A.$3:5$
• B.$3:4$
• C.$5:3$đáp án
• D.$4:3$

Ta có $a=4$, $b^2=12$, $c=\sqrt{16-12}=2$, nên $F_1(-2,0)$, $F_2(2,0)$. Trung điểm $PF_1$ trên trục $Oy$ nghĩa là $\dfrac{x_P-2}{2}=0\Rightarrow x_P=2$, tức $PF_2\perp Ox$. Thế $x_P=2$ vào elip: $y^2=9\Rightarrow|PF_2|=3$. Suy ra $|PF_1|=2a-|PF_2|=8-3=5$. Vậy tỉ số là $5:3$.

$$|PF_1|:|PF_2|=5:3$$

Câu 34nâng cao

Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Apollonius dùng phương pháp cắt mặt nón bằng mặt phẳng để nghiên cứu các đường conic: cắt vuông góc với trục được đường tròn, nghiêng dần mặt phẳng được elip. Dùng một hình chữ nhật $ABCD$ có chu vi $72$ để cắt nón, thu được elip $\tau$ tiếp xúc cả bốn cạnh của $ABCD$, phương trình elip có dạng $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$. Phương trình nào sau đây thỏa mãn?

• A.$\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{16}=1$
• B.$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{81}=1$
• C.$\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{64}=1$đáp án
• D.$\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{100}=1$

Vì $a>b>0$ nên loại phương án có mẫu của $y^2$ lớn hơn mẫu của $x^2$ (loại B, D). Elip tiếp xúc bốn cạnh nên hình chữ nhật có kích thước $2a\times 2b$, chu vi $2(2a+2b)=72\Rightarrow a+b=18$. Với A: $a=9,b=4$ cho $a+b=13$ (loại). Với C: $a=10,b=8$ cho $a+b=18$ (thỏa).

$$2(2a+2b)=72\Rightarrow a+b=18$$

Câu 35nâng cao

Cho elip $\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=1\ (m>n>0)$ có tâm sai $e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Phương trình nào sau đây KHÔNG thỏa mãn điều kiện?

• A.$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$
• B.$\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1$
• C.$\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$đáp án
• D.$x^2+4y^2=1$

Với $m>n>0$ thì $a^2=m$, $b^2=n$, $e^2=\dfrac{m-n}{m}=1-\dfrac{n}{m}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow\dfrac{n}{m}=\dfrac{1}{4}$. Kiểm tra: A $(m=4,n=1)$ và B $(m=8,n=2)$ đều cho tỉ số $\dfrac{1}{4}$ (thỏa); D $x^2+4y^2=1$ tức $m=1,n=\dfrac{1}{4}$ cho $\dfrac{1}{4}$ (thỏa); C $(m=2,n=1)$ cho $\dfrac{n}{m}=\dfrac{1}{2}$ nên không thỏa.

$$\dfrac{n}{m}=1-e^2=\dfrac{1}{4}$$

Câu 36nâng cao

Cho $F$ là tiêu điểm của parabol $y^2=2px\ (p>0)$, $l$ là đường chuẩn. Từ điểm $A$ trên parabol kẻ $AB$ vuông góc với đường chuẩn tại chân $B$. Tia $AF$ cắt đường chuẩn $l$ tại điểm $C$. Nếu $|AB|=2$ và $|BC|=2\sqrt{3}$ thì phương trình parabol là?

• A.$y^2=x$
• B.$y^2=2x$đáp án
• C.$y^2=4x$
• D.$y^2=\dfrac{1}{2}x$

Vì $AB\perp BC$ nên $\tan\angle CAB=\dfrac{|BC|}{|AB|}=\sqrt{3}\Rightarrow\angle CAB=60^\circ$. Theo định nghĩa parabol $|AF|=|AB|=2$, mà $|BF|=|AB|$ nên tam giác $ABF$ đều, suy ra $F$ là trung điểm $AC$. Khoảng cách từ $F$ tới đường chuẩn bằng $p$ và bằng nửa khoảng cách từ $A$ tới đường chuẩn: $p=\dfrac{1}{2}|AB|=1$. Vậy $y^2=2x$.

$$p=\dfrac{1}{2}|AB|=1\Rightarrow y^2=2x$$

Câu 37nâng cao

Cho điểm $P$ có khoảng cách đến điểm $F(0,1)$ nhỏ hơn khoảng cách từ $P$ đến đường thẳng $l:y+2=0$ đúng $1$ đơn vị. Phương trình quỹ tích của điểm $P$ là $(\ \ )$.

• A.$x^2=-4y$
• B.$x^2=4y$đáp án
• C.$y^2=-4x$
• D.$y^2=4x$

Khoảng cách từ $P$ đến $l:y=-2$ trừ $1$ chính là khoảng cách từ $P$ đến đường thẳng $y=-1$. Vậy $P$ cách đều $F(0,1)$ và đường chuẩn $y=-1$, nên quỹ tích là parabol $x^2=4y$.

$$x^2=4y$$

Câu 38nâng cao

Cho ba điểm $A(0,-2)$, $B(0,2)$, $C(3,2)$. Điểm $P$ di động thỏa mãn $|PA|+|AC|=|PB|+|BC|$. Quỹ tích của điểm $P$ là $(\ \ )$.

• A.Ellipse
• B.Một hyperbol
• C.Một tia
• D.Một nhánh của hyperbolđáp án

Ta có $|AC|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ và $|BC|=3$. Từ giả thiết suy ra $|PB|-|PA|=|AC|-|BC|=5-3=2$, với $|AB|=4$. Vì $0<2<|AB|$ và hiệu khoảng cách không đổi nên $P$ chạy trên một nhánh của hyperbol có tiêu điểm $A,B$.

$$|PB|-|PA|=2<|AB|=4$$

Câu 39nâng cao

Cho hyperbol $C:2x^2-y^2=2$. Đường thẳng $l$ qua điểm $P(1,2)$ cắt $C$ tại hai điểm $M$ và $N$. Nếu $P$ là trung điểm của đoạn $MN$ thì độ dài dây $|MN|$ bằng $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
• B.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
• C.$4\sqrt{3}$
• D.$4\sqrt{2}$đáp án

Dùng phương pháp trừ vế cho hai điểm $M,N$ trên $2x^2-y^2=2$: hệ số góc $k=\dfrac{2(x_1+x_2)}{y_1+y_2}=\dfrac{2\cdot2}{4}=1$. Đường thẳng $y=x+1$ thế vào cho $x^2-2x-3=0$ nên $x_1+x_2=2$, $x_1x_2=-3$. Vậy $|MN|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{2}\cdot4=4\sqrt{2}$.

$$|MN|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=4\sqrt{2}$$

Câu 40nâng cao

Phương trình hyperbol có cùng tâm sai và cùng đường tiệm cận với hyperbol $\dfrac{x^2}{3}-y^2=1$ là $(\ \ )$.

• A.$x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$
• B.$y^2-\dfrac{x^2}{3}=1$
• C.$\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{3}=1$đáp án
• D.$\dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{3}=1$

Hyperbol gốc có tiệm cận $y=\pm\dfrac{x}{\sqrt{3}}$ và $e=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$. Họ hyperbol cùng tiệm cận có dạng $\dfrac{x^2}{3}-y^2=\lambda$. Đáp án C là $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{3}=1$, tương đương $\dfrac{x^2}{3}-y^2=3$, có $a^2=9,b^2=3,c^2=12$ nên $e=\dfrac{\sqrt{12}}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$, trùng cả tiệm cận lẫn tâm sai.

$$\dfrac{x^2}{3}-y^2=\lambda$$

Câu 41nâng cao

Cho hai đường tiệm cận của hyperbol $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ cắt đường chuẩn của parabol $y^2=4x$ tại hai điểm $A$ và $B$, với $O$ là gốc tọa độ. Nếu $S_{\triangle AOB}=2\sqrt{3}$ thì tâm sai của hyperbol là $e=(\ \ )$.

• A.$\dfrac{3}{2}$
• B.$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
• C.$2$
• D.$\sqrt{13}$đáp án

Tiệm cận $y=\pm\dfrac{b}{a}x$ cắt đường chuẩn $x=-1$ tại $A,B$ với $y=\pm\dfrac{b}{a}$, nên $|AB|=\dfrac{2b}{a}$ và chiều cao từ $O$ bằng $1$. Diện tích $S=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2b}{a}\cdot1=\dfrac{b}{a}=2\sqrt{3}$. Vậy $e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+12}=\sqrt{13}$.

$$e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}=\sqrt{13}$$

Câu 42nâng cao

Cho parabol $C:y^2=2px\ (p>0)$ có tiêu điểm tại $F(2,0)$, đường thẳng $l$ đi qua $F$ cắt parabol $C$ tại điểm $A(m,8)$. Phương trình đường thẳng $l$ là:

• A.$4x+3y-8=0$
• B.$4x-3y-8=0$đáp án
• C.$3x+4y-6=0$
• D.$3x-4y-6=0$

Tiêu điểm $(2,0)$ cho $\dfrac{p}{2}=2$, nên $p=4$ và parabol là $y^2=8x$. Thay $A$: $64=8m\Rightarrow m=8$, vậy $A(8,8)$. Đường thẳng qua $F(2,0)$ và $A(8,8)$ có hệ số góc $\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$, dẫn tới $4x-3y-8=0$.

$$4x-3y-8=0$$

Câu 43nâng cao

Cho hyperbol $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ có tiêu điểm trái và phải lần lượt là $F_1,F_2$. Đường tròn $x^2+y^2=a^2+b^2$ cắt $C$ tại điểm $M$ thuộc góc phần tư thứ nhất. Nếu diện tích $\triangle MF_1F_2$ bằng $ab$ thì tâm sai của hyperbol $C$ là:

• A.$\sqrt{2}$đáp án
• B.$\sqrt{3}$
• C.$2$
• D.$\sqrt{5}$

Bán kính đường tròn là $\sqrt{a^2+b^2}=c$, đúng bằng nửa $F_1F_2$, nên $\angle F_1MF_2=90^\circ$. Diện tích $\dfrac{1}{2}|MF_1||MF_2|=ab$ cho $|MF_1||MF_2|=2ab$. Kết hợp $\big||MF_1|-|MF_2|\big|=2a$ và $|MF_1|^2+|MF_2|^2=4c^2$ suy ra $4c^2-4ab=4a^2$, tức $b=a$. Vậy $c^2=2a^2$, $e=\sqrt{2}$.

$$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{2}$$

Đường thẳng và đường tròn

Câu 44

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(-2, 1)$ và $(1, 4)$ là gì?

• A.$y = -x + 3$
• B.$y = x - 3$
• C.$y = x + 3$đáp án
• D.$y = -x - 3$

Hệ số góc $= \dfrac{4 - 1}{1 - (-2)} = \dfrac{3}{3} = 1$. Dùng điểm $(-2, 1)$: $y - 1 = 1 \cdot (x + 2)$, suy ra $y = x + 3$.

$$k=\dfrac{4-1}{1-(-2)}=1,\quad y=x+3$$

Câu 45

Cho đường thẳng đi qua $A(-2, m)$ và $B(m, 4)$ song song với đường thẳng có hệ số góc $-2$. Giá trị của $m$ là bao nhiêu?

• A.$-8$đáp án
• B.$0$
• C.$2$
• D.$10$

Hệ số góc của $AB = \dfrac{4 - m}{m + 2}$. Vì song song nên bằng $-2$: $\dfrac{4 - m}{m + 2} = -2$, suy ra $4 - m = -2m - 4$, tức $m + 8 = 0$, vậy $m = -8$.

$$\dfrac{4-m}{m+2}=-2 \Rightarrow m=-8$$

Câu 46

Nếu điểm $P(-3, 1)$ là trung điểm của dây cung $AB$ của đường tròn $x^2 + y^2 = 16$, thì phương trình đường thẳng chứa dây cung $AB$ là gì?

• A.$x + 3y - 10 = 0$
• B.$3x + y + 8 = 0$
• C.$x - 3y + 10 = 0$
• D.$3x - y + 10 = 0$đáp án

Tâm $O(0, 0)$, $OP$ vuông góc với $AB$. Hệ số góc $OP = \dfrac{1 - 0}{-3 - 0} = -\dfrac{1}{3}$, nên hệ số góc $AB = 3$. Đường qua $P(-3, 1)$: $y - 1 = 3(x + 3)$, suy ra $3x - y + 10 = 0$.

$$k_{OP}=-\dfrac{1}{3},\quad k_{AB}=3,\quad 3x-y+10=0$$

Câu 47

Phương trình đường tròn có tâm $(-1,2)$ và bán kính $3$ là $(\ \ )$.

• A.$(x+1)^2+(y-2)^2=3$
• B.$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$
• C.$(x+1)^2+(y-2)^2=9$đáp án
• D.$(x-1)^2+(y-2)^2=9$

Phương trình đường tròn tâm $(a,b)$ bán kính $R$ là $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. Thay $a=-1$, $b=2$, $R=3$ được $(x+1)^2+(y-2)^2=9$.

$$(x+1)^2+(y-2)^2=9$$

Câu 48

Đường tròn có phương trình tổng quát $x^2+y^2-8x+2y-15=0$ có tâm là $(\ \ )$.

• A.$(1,4)$
• B.$(4,-1)$đáp án
• C.$(-4,1)$
• D.$(-1,4)$

Với phương trình $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$, tâm là $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$. Ở đây $D=-8$, $E=2$ nên tâm là $(4,-1)$.

$$\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)=(4,-1)$$

Câu 49

Nếu đường thẳng $l$ đi qua hai điểm $A(1,-2)$ và $B(-2,4)$ thì hệ số góc của $l$ là $(\ \ )$.

• A.$2$
• B.$-2$đáp án
• C.$\dfrac{1}{2}$
• D.$-\dfrac{1}{2}$

Hệ số góc $k=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{4-(-2)}{-2-1}=\dfrac{6}{-3}=-2$.

$$k=\dfrac{4-(-2)}{-2-1}=-2$$

Câu 50

Khoảng cách từ điểm $A(4,1)$ đến điểm $B(-1,-3)$ trên mặt phẳng là $|AB|=(\ \ )$.

• A.$\sqrt{41}$đáp án
• B.$41$
• C.$\sqrt{29}$
• D.$29$

$|AB|=\sqrt{(4+1)^2+(1+3)^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$.

$$|AB|=\sqrt{(4+1)^2+(1+3)^2}=\sqrt{41}$$

Câu 51

Đường thẳng $l$ có góc nghiêng (góc tạo với chiều dương trục hoành) bằng $60^\circ$ và đi qua điểm $(0,-1)$. Phương trình của $l$ là $(\ \ )$.

• A.$y=\sqrt{3}x-1$đáp án
• B.$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x-1$
• C.$y=\sqrt{3}x+1$
• D.$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+1$

Hệ số góc $k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}$; đường qua $(0,-1)$ nên $y=\sqrt{3}x-1$.

$$y=\tan 60^\circ\,x-1=\sqrt{3}x-1$$

Câu 52

Nếu đường tròn có phương trình $x^2+y^2-8x+2y-8=0$ thì tâm và bán kính lần lượt là $(\ \ )$.

• A.$(4,-1),\ 5$đáp án
• B.$(-4,1),\ 5$
• C.$(4,-1),\ \sqrt{5}$
• D.$(-4,1),\ \sqrt{5}$

Tâm $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)=(4,-1)$; bán kính $R=\sqrt{\dfrac{D^2+E^2}{4}-F}=\sqrt{16+1+8}=5$.

$$R=\sqrt{16+1+8}=5$$

Câu 53

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $l_1:2x+3y-6=0$ và $l_2:x-y+1=0$ là $(\ \ )$.

• A.$\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{8}{5}\right)$đáp án
• B.$\left(-\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{5}\right)$
• C.$\left(\dfrac{3}{5},-\dfrac{8}{5}\right)$
• D.$\left(-\dfrac{3}{5},-\dfrac{2}{5}\right)$

Từ $l_2$ có $x=y-1$; thay vào $l_1$: $2(y-1)+3y-6=0\Rightarrow 5y=8\Rightarrow y=\dfrac{8}{5}$, $x=\dfrac{3}{5}$.

$$\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{8}{5}\right)$$

Câu 54

Phương trình đường tròn có tâm tại $(2,-5)$ và bán kính $3$ là $(\ \ )$.

• A.$(x-2)^2+(y+5)^2=3$
• B.$(x+2)^2+(y-5)^2=3$
• C.$(x-2)^2+(y+5)^2=9$đáp án
• D.$(x+2)^2+(y-5)^2=9$

Thay tâm $(2,-5)$ và $R^2=9$ vào dạng $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ được $(x-2)^2+(y+5)^2=9$.

$$(x-2)^2+(y+5)^2=9$$

Câu 55

Khoảng cách giữa hai điểm $P(2,-4)$ và $Q(-1,2)$ là $(\ \ )$.

• A.$3\sqrt{5}$đáp án
• B.$\sqrt{17}$
• C.$5\sqrt{3}$
• D.$\sqrt{37}$

$|PQ|=\sqrt{(2+1)^2+(-4-2)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

$$|PQ|=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$$

Câu 56

Tâm và bán kính của đường tròn $(x+4)^2+(y-3)^2=7$ lần lượt là $(\ \ )$.

• A.$(-4,3),\ 7$
• B.$(-4,3),\ \sqrt{7}$đáp án
• C.$(4,-3),\ 7$
• D.$(4,-3),\ \sqrt{7}$

Dạng $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ cho tâm $(-4,3)$ và $R=\sqrt{7}$.

$$(-4,3),\ R=\sqrt{7}$$

Câu 57

Nếu đường thẳng $y=\sqrt{3}x+m$ tiếp xúc với đường tròn $x^2+y^2-2y=0$ thì giá trị của số thực $m$ là $(\ \ )$.

• A.$-\sqrt{3}+2$ hoặc $-\sqrt{3}-2$
• B.$1$ hoặc $-3$
• C.$-1$ hoặc $3$đáp án
• D.$\sqrt{3}+1$ hoặc $\sqrt{3}-1$

Đường tròn $x^2+(y-1)^2=1$ có tâm $(0,1)$, bán kính $1$. Tiếp xúc khi khoảng cách từ tâm tới $\sqrt{3}x-y+m=0$ bằng $1$: $\dfrac{|m-1|}{2}=1\Rightarrow m=3$ hoặc $m=-1$.

$$\dfrac{|m-1|}{\sqrt{3+1}}=1\Rightarrow m=3\ \vee\ m=-1$$

Câu 58

Hệ số góc của đường thẳng nhận được khi quay đường thẳng $x-y=0$ quanh gốc tọa độ ngược chiều kim đồng hồ một góc $90^\circ$ là $(\ \ )$.

• A.$-1$đáp án
• B.$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
• C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
• D.$1$

Đường $x-y=0$ có hệ số góc $1$, góc nghiêng $45^\circ$; quay thêm $90^\circ$ thành $135^\circ$, hệ số góc $\tan 135^\circ=-1$.

$$\tan(45^\circ+90^\circ)=\tan 135^\circ=-1$$

Câu 59

Đường tròn $x^2+y^2=8$ đối xứng với đường tròn $x^2+y^2+4x-4y=0$ qua đường thẳng $l$. Phương trình của $l$ là $(\ \ )$.

• A.$x-y=0$
• B.$x-y+2=0$đáp án
• C.$x-y-2=0$
• D.$x+y+2=0$

Tâm hai đường tròn là $O_1(0,0)$ và $O_2(-2,2)$, bán kính bằng nhau. Đường thẳng $l$ là trung trực của $O_1O_2$: trung điểm $(-1,1)$, hệ số góc $1$, nên $y-1=x+1$ tức $x-y+2=0$.

$$x-y+2=0$$

Câu 60

Đường thẳng $l$ đi qua gốc tọa độ $(0,0)$ và không đi qua góc phần tư thứ ba. Khoảng giá trị của góc nghiêng $\alpha$ của $l$ là $(\ \ )$.

• A.$0^\circ\le\alpha\le 90^\circ$
• B.$90^\circ\le\alpha<180^\circ$
• C.$90^\circ\le\alpha<180^\circ$ hoặc $\alpha=0^\circ$đáp án
• D.$90^\circ\le\alpha\le 135^\circ$

Đường qua gốc với hệ số góc dương đi qua góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tránh góc thứ ba thì hệ số góc âm $(90^\circ\le\alpha<180^\circ)$ hoặc nằm ngang $(\alpha=0^\circ)$.

$$90^\circ\le\alpha<180^\circ \ \text{or}\ \alpha=0^\circ$$

Câu 61

Phương trình nào sau đây biểu diễn một đường tròn? $(\ \ )$.

• A.$x^2+y^2+xy-1=0$
• B.$x^2+y^2+2x+2y+2=0$
• C.$x^2+y^2-3x+y+4=0$
• D.$2x^2+2y^2+4x+5y+1=0$đáp án

Phương trình là đường tròn khi hệ số $x^2,y^2$ bằng nhau, không có số hạng $xy$ và $D^2+E^2-4F>0$. A có $xy$; B cho $4+4-8=0$ (một điểm); C cho $9+1-16<0$; D chia $2$ cho $4+6.25-2>0$ nên là đường tròn.

$$D^2+E^2-4F>0$$

Câu 62

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $3x+4y=0$ và $6x+8y-5=0$ là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{10}$
• B.$\dfrac{1}{5}$
• C.$\dfrac{1}{2}$đáp án
• D.$1$

Viết $3x+4y=0$ thành $6x+8y=0$. Khoảng cách giữa hai đường song song: $\dfrac{|0-(-5)|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$.

$$\dfrac{|{-5}|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\dfrac{1}{2}$$

Câu 63

Đường cong biểu diễn bởi phương trình $x^2-xy=2x$ là $(\ \ )$.

• A.Một điểm
• B.Một đường thẳng
• C.Hai đường thẳngđáp án
• D.Một parabol

Biến đổi $x^2-xy-2x=0$ thành $x(x-y-2)=0$, suy ra $x=0$ hoặc $x-y-2=0$: hai đường thẳng.

$$x(x-y-2)=0$$

Câu 64

Góc nghiêng của đường thẳng $x+\sqrt{3}\,y-3=0$ là $(\ \ )$.

• A.$30^\circ$
• B.$60^\circ$
• C.$150^\circ$đáp án
• D.$120^\circ$

Hệ số góc $k=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. Vì $\tan\alpha<0$ nên $\alpha=150^\circ$.

$$k=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\alpha=150^\circ$$

Câu 65

Trong hệ tọa độ $xOy$, tung độ giao điểm với trục $Oy$ của đường thẳng $\dfrac{x}{4}-\dfrac{y}{8}=1$ là $(\ \ )$.

• A.$-8$đáp án
• B.$8$
• C.$-\dfrac{1}{8}$
• D.$\dfrac{1}{8}$

Cho $x=0$: $-\dfrac{y}{8}=1\Rightarrow y=-8$.

$$-\dfrac{y}{8}=1\Rightarrow y=-8$$

Câu 66

Phương trình đường tròn tâm $(1,2)$ và đi qua $(0,0)$ là $(\ \ )$.

• A.$(x+1)^2+(y+2)^2=\sqrt{5}$
• B.$x^2+y^2=5$
• C.$(x-1)^2+(y-2)^2=5$đáp án
• D.$x^2+y^2=\sqrt{5}$

Bán kính $r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$, nên $r^2=5$. Phương trình: $(x-1)^2+(y-2)^2=5$.

$$(x-1)^2+(y-2)^2=5$$

Câu 67

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $3x+4y=0$ và $6x+8y-5=0$ là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{1}{10}$
• B.$\dfrac{1}{5}$
• C.$\dfrac{1}{2}$đáp án
• D.$1$

Viết $3x+4y=0$ thành $6x+8y=0$. Khoảng cách giữa hai đường song song: $\dfrac{|0-(-5)|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\dfrac{1}{2}$.

$$\dfrac{|{-5}|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\dfrac{1}{2}$$

Câu 68

Nếu điểm $(1,1)$ nằm bên trong đường tròn $(x-a)^2+(y+a)^2=4$ thì khoảng giá trị của $a$ là $(\ \ )$.

• A.$-1<a<1$đáp án
• B.$a<-1$
• C.$a<-1$ hoặc $a>1$
• D.$a>1$

Điểm nằm trong: $(1-a)^2+(1+a)^2<4\Rightarrow 2+2a^2<4\Rightarrow a^2<1\Rightarrow -1<a<1$.

$$2+2a^2<4\Rightarrow -1<a<1$$

Câu 69

Cho $l_1: 3x-4y-2=0$ và $l_2: 3x-4y+3=0$. Khoảng cách giữa $l_1$ và $l_2$ là $(\ \ )$.

• A.$1$đáp án
• B.$\sqrt{2}$
• C.$2$
• D.$3$

Hai đường song song: $\dfrac{|3-(-2)|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{5}{5}=1$.

$$\dfrac{|3-(-2)|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1$$

Câu 70

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $(-1,2)$ và vuông góc với đường thẳng $y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+2$ là $(\ \ )$.

• A.$y-2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+1)$
• B.$y-2=\sqrt{3}(x+1)$
• C.$y-2=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+1)$
• D.$y-2=-\sqrt{3}(x+1)$đáp án

Đường đã cho có hệ số góc $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, nên đường vuông góc có hệ số góc $-\sqrt{3}$. Qua $(-1,2)$: $y-2=-\sqrt{3}(x+1)$.

$$y-2=-\sqrt{3}(x+1)$$

Câu 71

Nếu đường thẳng $x+2y-1=0$ song song với $mx-2y+2=0$ thì giá trị của số thực $m$ là $(\ \ )$.

• A.$-3$
• B.$-1$đáp án
• C.$1$
• D.$2$

Hai hệ số góc bằng nhau: $-\dfrac{1}{2}=\dfrac{m}{2}\Rightarrow m=-1$ (kiểm tra không trùng nhau).

$$-\dfrac{1}{2}=\dfrac{m}{2}\Rightarrow m=-1$$

Câu 72

Vị trí tương đối giữa đường tròn $C_1:x^2+y^2-14x=0$ và đường tròn $C_2:(x-3)^2+(y-4)^2=15$ là $(\ \ )$.

• A.Cắt nhauđáp án
• B.Tiếp xúc trong
• C.Tiếp xúc ngoài
• D.Ngoài nhau (rời nhau)

Viết lại $C_1$: $(x-7)^2+y^2=49$ nên tâm $I_1(7,0)$, bán kính $R_1=7$. Đường tròn $C_2$ có tâm $I_2(3,4)$, bán kính $R_2=\sqrt{15}\approx 3{,}87$. Khoảng cách hai tâm $d=\sqrt{(7-3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5{,}66$. Vì $R_1-R_2\approx 3{,}13 < d < R_1+R_2\approx 10{,}87$ nên hai đường tròn cắt nhau.

$$R_1-R_2 < d < R_1+R_2$$

Câu 73

Góc tạo bởi đường thẳng $y=x-1$ với chiều dương trục hoành (góc của hệ số góc) là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{\pi}{6}$
• B.$\dfrac{\pi}{4}$đáp án
• C.$\dfrac{\pi}{2}$
• D.$\dfrac{3\pi}{4}$

Hệ số góc của đường thẳng là $k=1$. Góc $\alpha$ thỏa $\tan\alpha=k=1$ với $\alpha\in[0,\pi)$, suy ra $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$.

$$\tan\alpha=1 \Rightarrow \alpha=\dfrac{\pi}{4}$$

Câu 74

Trong hệ tọa độ Descartes, phương trình đường tròn tâm tại gốc tọa độ với bán kính $3$ là $(\ \ )$.

• A.$x^2+y^2=1$
• B.$x^2+y^2=4$
• C.$x^2+y^2=9$đáp án
• D.$x^2+y^2=16$

Phương trình đường tròn tâm $O(0,0)$ bán kính $R$ là $x^2+y^2=R^2$. Với $R=3$ ta có $x^2+y^2=9$.

$$x^2+y^2=R^2=3^2=9$$

Câu 75

Tung độ gốc (giao điểm với trục tung) của đường thẳng $y-2x+1=0$ là $(\ \ )$.

• A.$0$
• B.$1$
• C.$-1$đáp án
• D.$\dfrac{1}{2}$

Viết lại đường thẳng dạng $y=2x-1$. Tung độ gốc là giá trị $y$ khi $x=0$, tức $y=-1$.

$$y=2x-1 \Rightarrow y(0)=-1$$

Câu 76

Phương trình đường tròn có tâm nằm trên trục $Oy$, bán kính $1$ và đi qua điểm $(1,3)$ là $(\ \ )$.

• A.$x^2+(y-2)^2=1$
• B.$x^2+(y+2)^2=1$
• C.$x^2+(y-3)^2=1$đáp án
• D.$x^2+(y+3)^2=1$

Tâm trên trục $Oy$ nên tâm là $I(0,b)$, đường tròn dạng $x^2+(y-b)^2=1$. Thay điểm $(1,3)$: $1+(3-b)^2=1$, suy ra $(3-b)^2=0$ nên $b=3$. Vậy phương trình là $x^2+(y-3)^2=1$.

$$1+(3-b)^2=1 \Rightarrow b=3$$

Nâng cao

Câu 77nâng cao

Nếu ba đường thẳng $l_1: 4x + y = 3$, $l_2: mx + y = 0$, $l_3: x - my = 2$ không thể tạo thành một tam giác, thì số thực $m$ nhận giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

• A.$2$
• B.$3$
• C.$4$đáp án
• D.$6$

Ba đường không tạo tam giác khi có hai đường song song hoặc cả ba đồng quy. Cho $l_1$ song song $l_2$: hệ số góc $-4 = -m$ nên $m = 4$; cho $l_1$ song song $l_3$: $-4 = 1/m$ nên $m = -1/4$. Giá trị $m$ lớn nhất là $4$.

$$l_1: 4x+y=3,\quad l_2: mx+y=0,\quad l_3: x-my=2$$

Câu 78nâng cao

Cho đường thẳng $l$ vuông góc với $l_1:2x-y+5=0$ và đi qua giao điểm của $l_2:x-3y+1=0$ và $l_3:3x+y-3=0$. Phương trình của $l$ là $(\ \ )$.

• A.$x+2y-4=0$đáp án
• B.$x-2y+2=0$
• C.$2x+y-5=0$
• D.$2x-y+1=0$

$l_1$ có hệ số góc $2$ nên $l$ có hệ số góc $-\dfrac{1}{2}$; trong các lựa chọn chỉ $x+2y-4=0$ có hệ số góc $-\dfrac{1}{2}$, tức vuông góc với $l_1$.

$$k_l=-\dfrac{1}{k_{l_1}}=-\dfrac{1}{2}$$

Câu 79nâng cao

Nếu đường thẳng $x+(1+m)y-2=0$ song song với đường thẳng $mx+2y+8=0$ thì giá trị của $m$ là $(\ \ )$.

• A.$1$
• B.$-2$
• C.$1$ hoặc $-2$đáp án
• D.$-\dfrac{2}{3}$

Điều kiện song song $1\cdot 2-m(1+m)=0\Rightarrow m^2+m-2=0\Rightarrow m=1$ hoặc $m=-2$; kiểm tra cả hai đều không trùng nhau nên đều thỏa.

$$m^2+m-2=0\Rightarrow m=1\ \vee\ m=-2$$

Câu 80nâng cao

Cho hai điểm cố định $A,B$ trong mặt phẳng, quỹ tích các điểm $P$ thỏa $\dfrac{|PA|}{|PB|}=\lambda\ (\lambda>0,\ \lambda\ne 1)$ là một đường tròn có tâm trên đường thẳng $AB$ và bán kính $\left|\dfrac{\lambda}{1-\lambda^2}\right|\cdot|AB|$, gọi là đường tròn Apollonius. Điểm $P$ di động trên mặt $ABB_1A_1$ của hình lập phương $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ cạnh $6$ và thỏa $|PA|=2|PB|$. Độ dài quỹ tích của $P$ là $(\ \ )$.

• A.$\dfrac{8\pi}{3}$
• B.$\dfrac{4\pi}{3}$đáp án
• C.$\sqrt{3}\,\pi$
• D.$\dfrac{\sqrt{15}\,\pi}{2}$

Đặt $A(0,0),B(6,0)$ trên mặt vuông. Từ $|PA|=2|PB|$ ta được $(x-8)^2+y^2=16$ (tâm $(8,0)$, bán kính $4$). Cung nằm trong hình vuông trải từ góc $120^\circ$ tới $180^\circ$, tức $\dfrac{\pi}{3}$, nên độ dài $=4\cdot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$.

$$L=4\cdot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$$

Câu 81nâng cao

Từ $3$ số nguyên tố $2,3,7$ chọn $2$ số phân biệt $a,b$ với $a<b$ để lập điểm $(a,b)$. Tất cả các điểm này nằm trên đường tròn $E$. Phương trình chính tắc của $E$ là $(\ \ )$.

• A.$(x-2)^2+\left(y-\dfrac{5}{2}\right)^2=4$
• B.$(x-2)^2+\left(y-\dfrac{5}{2}\right)^2=16$
• C.$\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+(y-5)^2=17$
• D.$\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+(y-5)^2=\dfrac{17}{4}$đáp án

Ba điểm là $(2,3),(2,7),(3,7)$. Góc vuông tại $(2,7)$ nên cạnh huyền $(2,3)$–$(3,7)$ là đường kính. Tâm là trung điểm $\left(\dfrac{5}{2},5\right)$, $r^2=\dfrac{1^2+4^2}{4}=\dfrac{17}{4}$.

$$\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+(y-5)^2=\dfrac{17}{4}$$