Mạch Kinh Tế

Appearance

Trắc nghiệm — Tập hợp và logic ​

Bộ câu hỏi trắc nghiệm cho cụm Tập hợp và logic, rút từ đề thật và phân theo chủ đề con. Phần lý thuyết xem ở đây.

  • Làm thử — bấm từng đáp rồi kiểm tra, có lời giải ngay.
  • Theo chủ đề — phần dưới liệt kê toàn bộ câu theo cây chủ đề con; câu nâng cao (cho học sinh giỏi) tách riêng cuối mỗi chủ đề.

Làm thử từng câu ​

Tập hợp và logicCâu 1 / 58 · Điểm 0 / 0

Cho sáu quan hệ: ① 22∈R\dfrac{\sqrt{2}}{2} \in \mathbb{R}; ② 3∈Z\sqrt{3} \in \mathbb{Z}; ③ 0∉N∗0 \notin \mathbb{N}^* (tập số nguyên dương); ④ 4∈N\sqrt{4} \in \mathbb{N}; ⑤ π∉Q\pi \notin \mathbb{Q}; ⑥ −2∉Z-\sqrt{2} \notin \mathbb{Z}. Số mệnh đề đúng là?

Toàn bộ câu hỏi theo chủ đề ​

Tập hợp và logic — 58 câu58 câu

Phép toán tập hợp

Câu 1

Cho sáu quan hệ: ① 22∈R\dfrac{\sqrt{2}}{2} \in \mathbb{R}; ② 3∈Z\sqrt{3} \in \mathbb{Z}; ③ 0∉N∗0 \notin \mathbb{N}^* (tập số nguyên dương); ④ 4∈N\sqrt{4} \in \mathbb{N}; ⑤ π∉Q\pi \notin \mathbb{Q}; ⑥ −2∉Z-\sqrt{2} \notin \mathbb{Z}. Số mệnh đề đúng là?

  • A.44
  • B.22
  • C.33
  • D.55đáp án

Xét từng quan hệ theo định nghĩa các tập số. ① đúng (22\dfrac{\sqrt{2}}{2} là số thực). ② sai (3\sqrt{3} vô tỉ, không nguyên). ③ đúng (00 không là số nguyên dương). ④ đúng (4=2∈N\sqrt{4} = 2 \in \mathbb{N}). ⑤ đúng (π\pi vô tỉ). ⑥ đúng (−2-\sqrt{2} vô tỉ, không nguyên). Vậy có 55 mệnh đề đúng.

Câu 2

Cho hai tập A={x∣x<4}A=\{x\mid x<4\} và B={x∣x<−2}B=\{x\mid x<-2\}. Khi đó A∪BA\cup B bằng?

  • A.{x∣x<4}\{x\mid x<4\}đáp án
  • B.{x∣x<−2}\{x\mid x<-2\}
  • C.00
  • D.{x∣x=−3}\{x\mid x=-3\}

Vì B⊂AB\subset A (khoảng x<−2x<-2 nằm trong khoảng x<4x<4) nên hợp hai tập lấy tập lớn hơn: A∪B={x∣x<4}A\cup B=\{x\mid x<4\}.

A∪B={x∣x<4}A\cup B=\{x\mid x<4\}

Câu 3

Nếu A={3,6,5,8}A=\{3,6,5,8\} và B={2,4,5,8}B=\{2,4,5,8\} thì A∪BA\cup B bằng?

  • A.{2,3,4,5,8}\{2,3,4,5,8\}
  • B.{2,3,8}\{2,3,8\}
  • C.{2,3,4,5,6,8}\{2,3,4,5,6,8\}đáp án
  • D.{2,3,4,5,5,6,8}\{2,3,4,5,5,6,8\}

Hợp hai tập gom mọi phần tử của cả hai, mỗi phần tử kể một lần: A∪B={2,3,4,5,6,8}A\cup B=\{2,3,4,5,6,8\}.

A∪B={2,3,4,5,6,8}A\cup B=\{2,3,4,5,6,8\}

Câu 4

Cho tập A={x∣xA=\{x\mid x là số lẻ dương nhỏ hơn 10}10\} và ∅\varnothing là tập rỗng. Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A.6∈A6\in A
  • B.3⊆A3\subseteq A
  • C.5⊂A5\subset A
  • D.∅⊆A\varnothing\subseteq Ađáp án

Ta có A={1,3,5,7,9}A=\{1,3,5,7,9\}. Câu A sai vì 66 chẵn; câu B, C sai vì 3,53,5 là phần tử nên phải viết ∈\in chứ không phải ⊆,⊂\subseteq,\subset. Tập rỗng là con của mọi tập nên ∅⊆A\varnothing\subseteq A đúng.

∅⊆A\varnothing\subseteq A

Câu 5

Cho tập A={x∣−3≤x<4}A=\{x\mid -3\le x<4\} và B={x∣x>1}B=\{x\mid x>1\}. Khi đó A∪BA\cup B bằng?

  • A.{x∣x>−3}\{x\mid x>-3\}
  • B.{x∣1≤x≤4}\{x\mid 1\le x\le 4\}
  • C.{x∣x≥−3}\{x\mid x\ge -3\}đáp án
  • D.{x∣−3<x<1}\{x\mid -3<x<1\}

Khoảng AA phủ từ −3-3 (lấy được) đến gần 44, khoảng BB phủ từ 11 tới vô cực. Hợp lại phủ toàn bộ x≥−3x\ge -3, tức {x∣x≥−3}\{x\mid x\ge -3\}. Lưu ý −3-3 thuộc AA nên dấu phải là ≥\ge.

A∪B={x∣x≥−3}A\cup B=\{x\mid x\ge -3\}

Câu 6

Cho hai tập A={1,3,5}A=\{1,3,5\} và B={3,4}B=\{3,4\}. Khi đó A∩BA\cap B bằng?

  • A.{5}\{5\}
  • B.{3}\{3\}đáp án
  • C.{1,3,4,5}\{1,3,4,5\}
  • D.{2,4,5}\{2,4,5\}

Giao hai tập lấy phần tử chung của cả hai. Chỉ có 33 vừa thuộc AA vừa thuộc BB nên A∩B={3}A\cap B=\{3\}.

A∩B={3}A\cap B=\{3\}

Câu 7

Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A.{0}\{0\} là tập rỗng
  • B.{x∈R∣x2+x+1=0}\{x\in\mathbb{R}\mid x^2+x+1=0\} không phải là tập rỗng
  • C.Hai tập A={y∣y=x2, x∈R}A=\{y\mid y=x^2,\ x\in\mathbb{R}\} và B={s∣s=(t+1)2, t∈R}B=\{s\mid s=(t+1)^2,\ t\in\mathbb{R}\} là bằng nhauđáp án
  • D.Tập {x∈Q∣6x∈N}\left\{x\in\mathbb{Q}\mid \dfrac{6}{x}\in\mathbb{N}\right\} có hữu hạn phần tử

A sai vì {0}\{0\} chứa phần tử 00 nên không rỗng. B sai vì x2+x+1=0x^2+x+1=0 có Δ<0\Delta<0, vô nghiệm thực, tập đó rỗng. C đúng vì cả AA và BB đều là tập các giá trị không âm [0,+∞)[0,+\infty). D sai vì x=6nx=\dfrac{6}{n} với mọi n∈Nn\in\mathbb{N} cho vô hạn giá trị hữu tỉ.

A=B=[0,+∞)A=B=[0,+\infty)

Câu 8

Cho tập toàn thể U=A∪B={x∈N∣0<x+1<6}U=A\cup B=\{x\in\mathbb{N}\mid 0<x+1<6\} và A={1,2}A=\{1,2\}. Nếu A∩B=∅A\cap B=\varnothing thì BB bằng?

  • A.{0,3,4}\{0,3,4\}đáp án
  • B.{0,1}\{0,1\}
  • C.{−1,0}\{-1,0\}
  • D.{2,3,4}\{2,3,4\}

Từ 0<x+1<60<x+1<6 suy ra −1<x<5-1<x<5, với x∈Nx\in\mathbb{N} được U={0,1,2,3,4}U=\{0,1,2,3,4\}. Vì A∩B=∅A\cap B=\varnothing và A∪B=UA\cup B=U, tập BB gồm các phần tử của UU không thuộc AA: B={0,3,4}B=\{0,3,4\}.

B={0,3,4}B=\{0,3,4\}

Câu 9

Cho hai tập A={x∣−1≤x<3}A=\{x\mid -1\le x<3\} và B={x∣3x≥4−x}B=\{x\mid 3x\ge 4-x\}. Khi đó A∩BA\cap B bằng?

  • A.{x∣−1≤x<3}\{x\mid -1\le x<3\}
  • B.{x∣−1≤x<1}\{x\mid -1\le x<1\}
  • C.{x∣1<x<3}\{x\mid 1<x<3\}
  • D.{x∣1≤x<3}\{x\mid 1\le x<3\}đáp án

Giải 3x≥4−x⇔4x≥4⇔x≥13x\ge 4-x\Leftrightarrow 4x\ge 4\Leftrightarrow x\ge 1, nên B={x∣x≥1}B=\{x\mid x\ge 1\}. Giao với A=[−1,3)A=[-1,3) được {x∣1≤x<3}\{x\mid 1\le x<3\}.

A∩B={x∣1≤x<3}A\cap B=\{x\mid 1\le x<3\}

Câu 10

Cho tập toàn thể U⊆RU\subseteq\mathbb{R} với ∁UA={1,2}\complement_U A=\{1,2\}, ∁UB={2,3}\complement_U B=\{2,3\} và A∪B={1,3,4,5}A\cup B=\{1,3,4,5\}. Khi đó AA bằng?

  • A.{3,5}\{3,5\}
  • B.{4,5}\{4,5\}
  • C.{3,4}\{3,4\}
  • D.{3,4,5}\{3,4,5\}đáp án

Theo luật De Morgan ∁U(A∪B)=∁UA∩∁UB={1,2}∩{2,3}={2}\complement_U(A\cup B)=\complement_U A\cap\complement_U B=\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}, nên U=(A∪B)∪{2}={1,2,3,4,5}U=(A\cup B)\cup\{2\}=\{1,2,3,4,5\}. Suy ra A=∁U(∁UA)=U∖{1,2}={3,4,5}A=\complement_U(\complement_U A)=U\setminus\{1,2\}=\{3,4,5\}.

A=U∖{1,2}={3,4,5}A=U\setminus\{1,2\}=\{3,4,5\}

Câu 11

Nhóm đối tượng nào sau đây lập thành một tập hợp?

  • A.Các số thực rất gần 22
  • B.Toàn bộ các nhà khoa học nổi tiếng
  • C.Tất cả các bàn học trong một lớp học cụ thểđáp án
  • D.Các số sai khác rất ít so với số vô tỉ π\pi

Phần tử của tập hợp phải có tính xác định (xác định rõ thuộc hay không). Các phương án A, B, D dùng từ mơ hồ (rất gần, nổi tiếng, sai khác rất ít) nên không xác định. Chỉ phương án C xác định rõ ràng.

xac dinh, phan biet, khong thu tu\text{xac dinh, phan biet, khong thu tu}

Câu 12

Cho hai tập A={x∣x2−2x−8<0}A=\{x\mid x^2-2x-8<0\} và B={x∣x>0}B=\{x\mid x>0\}. Khi đó A∩BA\cap B bằng?

  • A.{x∣x>2}\{x\mid x>2\}
  • B.{x∣0<x<2}\{x\mid 0<x<2\}
  • C.{x∣0<x<4}\{x\mid 0<x<4\}đáp án
  • D.{x∣2<x<4}\{x\mid 2<x<4\}

Giải x2−2x−8<0⇔(x−4)(x+2)<0⇔−2<x<4x^2-2x-8<0\Leftrightarrow (x-4)(x+2)<0\Leftrightarrow -2<x<4, nên A=(−2,4)A=(-2,4). Giao với B=(0,+∞)B=(0,+\infty) được {x∣0<x<4}\{x\mid 0<x<4\}.

A∩B={x∣0<x<4}A\cap B=\{x\mid 0<x<4\}

Câu 13

Cho hai tập M={(x,y)∣x+y=2}M=\{(x,y)\mid x+y=2\} và N={(x,y)∣x−y=2}N=\{(x,y)\mid x-y=2\}. Khi đó M∩NM\cap N bằng?

  • A.{0,2}\{0,2\}
  • B.{2,0}\{2,0\}
  • C.{(0,2)}\{(0,2)\}
  • D.{(2,0)}\{(2,0)\}đáp án

Mỗi tập là tập các điểm (x,y)(x,y) trên một đường thẳng; giao là nghiệm hệ. Giải x+y=2, x−y=2x+y=2,\ x-y=2 được x=2, y=0x=2,\ y=0, nên M∩N={(2,0)}M\cap N=\{(2,0)\} là một cặp điểm chứ không phải tập số.

M∩N={(2,0)}M\cap N=\{(2,0)\}

Câu 14

Trong các tập sau, tập nào là tập rỗng?

  • A.{x∈R∣x2−1=0}\{x\in\mathbb{R}\mid x^2-1=0\}
  • B.{x∣x>6 or x<1}\{x\mid x>6 \text{ or } x<1\}
  • C.{(x,y)∣x2+y2=0}\{(x,y)\mid x^2+y^2=0\}
  • D.{x∣x>6 and x<1}\{x\mid x>6 \text{ and } x<1\}đáp án

A có nghiệm ±1\pm 1; B là hợp hai khoảng nên có vô số phần tử; C có nghiệm (0,0)(0,0). Riêng D đòi x>6x>6 và đồng thời x<1x<1 là điều kiện mâu thuẫn, không có xx nào thỏa, nên là tập rỗng.

{x∣x>6 and x<1}=∅\{x\mid x>6 \text{ and } x<1\}=\varnothing

Câu 15

Cho tập M={x∈R∣x≤33}M=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 3\sqrt{3}\} và số a=26a=2\sqrt{6}. Khẳng định nào đúng?

  • A.a∉Ma\notin M
  • B.a∈Ma\in Mđáp án
  • C.{a}∈M\{a\}\in M
  • D.{a∣a=26}∈M\{a\mid a=2\sqrt{6}\}\in M

So sánh dưới dạng căn của cùng một số. Ta có a=26=24a=2\sqrt{6}=\sqrt{24} và 33=273\sqrt{3}=\sqrt{27}. Vì 24<27\sqrt{24}<\sqrt{27} nên a≤33a\le 3\sqrt{3}, do đó a∈Ma\in M. Các lựa chọn còn lại sai quan hệ phần tử và tập hợp.

26=24<27=332\sqrt{6}=\sqrt{24}<\sqrt{27}=3\sqrt{3}

Câu 16

Cho hai tập A={x∣−2<x<3}A=\{x\mid -2<x<3\} và B={1,2,3,4}B=\{1,2,3,4\}. Khi đó A∩BA\cap B bằng?

  • A.{1,2}\{1,2\}đáp án
  • B.{2,3}\{2,3\}
  • C.{1,2,3}\{1,2,3\}
  • D.{2,3,4}\{2,3,4\}

Lấy các phần tử của BB nằm trong khoảng mở A=(−2,3)A=(-2,3). Số 33 không thuộc khoảng mở (vì bất phương trình là x<3x<3), nên A∩B={1,2}A\cap B=\{1,2\}.

A∩B={1,2}A\cap B=\{1,2\}

Câu 17

Cho tập vũ trụ U={1,2,3,4,5}U=\{1,2,3,4,5\} và các tập M={1,4}M=\{1,4\}, N={2,5}N=\{2,5\}. Khi đó N∪∁UMN\cup\complement_U M bằng?

  • A.{2,3,5}\{2,3,5\}đáp án
  • B.{1,3,4}\{1,3,4\}
  • C.{1,2,4,5}\{1,2,4,5\}
  • D.{2,3,4,5}\{2,3,4,5\}

Phần bù ∁UM={2,3,5}\complement_U M=\{2,3,5\}. Hợp với N={2,5}N=\{2,5\} vẫn là {2,3,5}\{2,3,5\}.

N∪∁UM={2,5}∪{2,3,5}={2,3,5}N\cup\complement_U M=\{2,5\}\cup\{2,3,5\}=\{2,3,5\}

Câu 18

Cho tập M={5,x2}M=\{5,x^2\} và N={5x,5}N=\{5x,5\}. Nếu M=NM=N thì tập các số thực xx là?

  • A.{5}\{5\}
  • B.{1}\{1\}
  • C.{0,5}\{0,5\}đáp án
  • D.{0,1}\{0,1\}

Hai tập cùng chứa 55, nên cần x2=5xx^2=5x, tức x(x−5)=0x(x-5)=0, cho x=0x=0 hoặc x=5x=5. Cả hai đều cho các phần tử phân biệt hợp lệ, nên tập giá trị của xx là {0,5}\{0,5\}.

x2=5x⇒x∈{0,5}x^2=5x\Rightarrow x\in\{0,5\}

Câu 19

Tập nào sau đây là tập rỗng ∅\varnothing?

  • A.{0}\{0\}
  • B.{∅}\{\varnothing\}
  • C.{x∣x2+4=0}\{x\mid x^2+4=0\}đáp án
  • D.{x∣x+1≤2x}\{x\mid x+1\le 2x\}

{0}\{0\} có một phần tử; {∅}\{\varnothing\} chứa phần tử là tập rỗng; {x∣x+1≤2x}={x≥1}\{x\mid x+1\le 2x\}=\{x\ge 1\} khác rỗng. Phương trình x2+4=0x^2+4=0 vô nghiệm thực nên tập tương ứng là ∅\varnothing.

x2+4=0 ⇒ x2=−4 (no real root)x^2+4=0\ \Rightarrow\ x^2=-4\ \text{(no real root)}

Câu 20

Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A.Các sự kiện lớn xảy ra trong nửa đầu năm 20212021 tạo thành một tập hợp.
  • B.Tập gồm các số nguyên nhỏ hơn 100100 là tập vô hạn.đáp án
  • C.Tập rỗng chứa phần tử 00.
  • D.Tập số tự nhiên không chứa phần tử 00.

Khái niệm sự kiện lớn không xác định rõ nên không lập thành tập hợp; tập rỗng không chứa phần tử nào; số tự nhiên có chứa 00. Các số nguyên nhỏ hơn 100100 gồm …,−1,0,1,…,99\dots,-1,0,1,\dots,99 là vô hạn nên khẳng định B đúng.

{x∈Z∣x<100} is infinite\{x\in\mathbb{Z}\mid x<100\}\ \text{is infinite}

Câu 21

Trong đợt xét nghiệm, một số đảng viên tham gia chống dịch ở vai trò quét mã hoặc giữ trật tự. Có 2020 người quét mã, 4040 người giữ trật tự, 55 người làm cả hai. Số đảng viên tham gia chống dịch là?

  • A.6565
  • B.6060
  • C.5555đáp án
  • D.5050

Áp dụng nguyên lý bao hàm-loại trừ: tổng số =20+40−5=55=20+40-5=55 (trừ phần đếm trùng của nhóm làm cả hai việc).

20+40−5=5520+40-5=55

Câu 22

Cho các tập A={x∣(x−3)(x+1)>0}A=\{x\mid (x-3)(x+1)>0\} và B={x∣∣x−1∣>1}B=\{x\mid |x-1|>1\}. Khi đó (∁RA)∩B(\complement_R A)\cap B bằng?

  • A.[−1,0)∪(2,3][-1,0)\cup(2,3]đáp án
  • B.(2,3](2,3]
  • C.(−∞,0)∪(2,+∞)(-\infty,0)\cup(2,+\infty)
  • D.(−1,0)∪(2,3)(-1,0)\cup(2,3)

Ta có A=(−∞,−1)∪(3,+∞)A=(-\infty,-1)\cup(3,+\infty) nên ∁RA=[−1,3]\complement_R A=[-1,3]; và B={x>2 or x<0}=(−∞,0)∪(2,+∞)B=\{x>2 \text{ or } x<0\}=(-\infty,0)\cup(2,+\infty). Giao lại được [−1,0)∪(2,3][-1,0)\cup(2,3].

[−1,3]∩((−∞,0)∪(2,+∞))=[−1,0)∪(2,3][-1,3]\cap\big((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\big)=[-1,0)\cup(2,3]

Câu 23

Cho các tập A={−1,0,1}A=\{-1,0,1\} và B={x∣x=ab, a,b∈A}B=\{x\mid x=ab,\ a,b\in A\}. Số tập con thực sự của BB là?

  • A.33
  • B.44
  • C.77đáp án
  • D.88

Các tích abab với a,b∈{−1,0,1}a,b\in\{-1,0,1\} chỉ cho −1,0,1-1,0,1, nên B={−1,0,1}B=\{-1,0,1\} có 33 phần tử. Số tập con thực sự là 23−1=72^3-1=7.

23−1=72^{3}-1=7

Câu 24

Cho các tập A={x∣x2−3x<0}A=\{x\mid x^2-3x<0\} và B={x∣3x≥3}B=\{x\mid 3^x\ge\sqrt{3}\}. Khi đó A∩(∁RB)A\cap(\complement_R B) bằng?

  • A.(0,12)\left(0,\dfrac{1}{2}\right)đáp án
  • B.(12,3)\left(\dfrac{1}{2},3\right)
  • C.(0,2)(0,\sqrt{2})
  • D.(1,3)(1,3)

Ta có A=(0,3)A=(0,3). Từ 3x≥31/23^x\ge 3^{1/2} suy ra B={x≥12}B=\{x\ge\tfrac{1}{2}\}, nên ∁RB={x<12}\complement_R B=\{x<\tfrac{1}{2}\}. Giao lại được (0,12)\left(0,\tfrac{1}{2}\right).

(0,3)∩{x<12}=(0,12)(0,3)\cap\left\{x<\tfrac{1}{2}\right\}=\left(0,\tfrac{1}{2}\right)

Câu 25

Cho các tập A={x∣x2−3x+2=0, x∈R}A=\{x\mid x^2-3x+2=0,\ x\in\mathbb{R}\} và B={x∣0<x<4, x∈N}B=\{x\mid 0<x<4,\ x\in\mathbb{N}\}. Số tập CC thỏa mãn A⊆C⊆BA\subseteq C\subseteq B là?

  • A.11
  • B.22đáp án
  • C.33
  • D.44

Ta có A={1,2}A=\{1,2\} và B={1,2,3}B=\{1,2,3\}. Tập CC phải chứa {1,2}\{1,2\} và nằm trong {1,2,3}\{1,2,3\}, tức phần tử 33 có thể thêm hoặc không. Vậy C∈{{1,2},{1,2,3}}C\in\{\{1,2\},\{1,2,3\}\}, có 22 tập.

2∣B∖A∣=21=22^{|B\setminus A|}=2^{1}=2

Câu 26

Biết số tập con khác rỗng của tập MM là 77. Số phần tử của tập MM là:

  • A.33đáp án
  • B.44
  • C.22
  • D.55

Tập có nn phần tử thì số tập con khác rỗng là 2n−12^n-1. Giải 2n−1=72^n-1=7 được 2n=82^n=8, suy ra n=3n=3.

2n−1=7⇒n=32^n-1=7\Rightarrow n=3

Câu 27

Cho A={2, a−1, a2−2a+4}A=\{2,\ a-1,\ a^2-2a+4\}. Nếu 3∈A3\in A thì a=a=

  • A.11
  • B.22
  • C.11 hoặc 44đáp án
  • D.44

Xét a−1=3a-1=3 được a=4a=4, khi đó a2−2a+4=12a^2-2a+4=12, ba phần tử {2,3,12}\{2,3,12\} phân biệt nên nhận. Xét a2−2a+4=3a^2-2a+4=3 được a=1a=1, khi đó các phần tử {2,0,3}\{2,0,3\} phân biệt nên nhận. Vậy a=1a=1 hoặc a=4a=4.

a−1=3∨a2−2a+4=3a-1=3 \lor a^2-2a+4=3

Câu 28

Cho A={−1,0,1}A=\{-1,0,1\} và B={x∣x=ab, a,b∈A}B=\{x\mid x=ab,\ a,b\in A\}. Số tập con thực sự của tập BB là:

  • A.33
  • B.44
  • C.77đáp án
  • D.88

Các tích abab với a,b∈Aa,b\in A cho ra {−1,0,1}\{-1,0,1\}, nên B={−1,0,1}B=\{-1,0,1\} có 33 phần tử. Số tập con thực sự là 23−1=72^3-1=7.

23−1=72^3-1=7

Câu 29

Nhóm đối tượng nào sau đây lập thành một tập hợp?

  • A.Tất cả các số thực rất gần 11
  • B.Tất cả học sinh lớp 10 của trường thực nghiệm Vân Nam thuộc Đại học Bắc Kinh trong học kỳ hai năm học 2020−20212020-2021đáp án
  • C.Các học sinh lớp 10 có thị lực tương đối tốt
  • D.Các giáo viên dạy giỏi xuất sắc của khối lớp 10

Phần tử của một tập hợp phải xác định rõ ràng. Các lựa chọn A, C, D dùng tiêu chí mơ hồ (rất gần, tương đối tốt, giỏi xuất sắc) nên không xác định. Chỉ B có tiêu chí rõ ràng nên lập thành tập hợp.

Câu 30

Cho tập A={x∈Q∣x>−1}A=\{x\in\mathbb{Q}\mid x>-1\}. Khi đó:

  • A.0∉A0\notin A
  • B.2∉A\sqrt{2}\notin Ađáp án
  • C.{2}∈A\{2\}\in A
  • D.{2}⊆A\{\sqrt{2}\}\subseteq A

00 là số hữu tỉ và 0>−10>-1 nên 0∈A0\in A, loại A. 2\sqrt{2} là số vô tỉ, không thuộc Q\mathbb{Q} nên 2∉A\sqrt{2}\notin A, đúng B. Lựa chọn C, D sai vì {2}\{2\} là tập chứ không phải phần tử, và 2∉A\sqrt{2}\notin A.

2∉Q⇒2∉A\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{2}\notin A

Câu 31

Cho A={x∣x>1}A=\{x\mid x>1\} và B={x∣x≤3}B=\{x\mid x\le 3\}. Tập {x∣x≤1 hay x>3}\{x\mid x\le 1 \text{ hay } x>3\} là:

  • A.A∩BA\cap B
  • B.A∪BA\cup B
  • C.∁R(A∩B)\complement_{\mathbb{R}}(A\cap B)đáp án
  • D.∁R(A∪B)\complement_{\mathbb{R}}(A\cup B)

Ta có A∩B={1<x≤3}A\cap B=\{1<x\le 3\}. Tập {x≤1 hay x>3}\{x\le 1 \text{ hay } x>3\} chính là phần bù của khoảng (1,3](1,3], tức ∁R(A∩B)\complement_{\mathbb{R}}(A\cap B).

A∩B=(1,3]A\cap B=(1,3]

Câu 32

Cho A={x∣x2−3x<0}A=\{x\mid x^2-3x<0\} và B={x∣3x≥3}B=\{x\mid 3^x\ge\sqrt{3}\}. Khi đó A∩(∁RB)=A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B)=

  • A.(0,12)\left(0,\dfrac{1}{2}\right)đáp án
  • B.(12,3)\left(\dfrac{1}{2},3\right)
  • C.(0,2)\left(0,\sqrt{2}\right)
  • D.(1,3)(1,3)

Giải x2−3x<0x^2-3x<0 được A=(0,3)A=(0,3). Giải 3x≥31/23^x\ge 3^{1/2} được B={x≥12}B=\{x\ge \tfrac{1}{2}\} nên ∁RB={x<12}\complement_{\mathbb{R}}B=\{x<\tfrac{1}{2}\}. Giao lại được A∩∁RB=(0,12)A\cap\complement_{\mathbb{R}}B=(0,\tfrac{1}{2}).

(0,3)∩(−∞,12)=(0,12)(0,3)\cap(-\infty,\tfrac{1}{2})=(0,\tfrac{1}{2})

Câu 33

Cho A={−1,0,1,2}A=\{-1,0,1,2\} và B={1,2,3}B=\{1,2,3\}. Khi đó A∪B=A\cup B=

  • A.{1,2}\{1,2\}
  • B.{0,1,2}\{0,1,2\}
  • C.{−1,0,1,2}\{-1,0,1,2\}
  • D.{−1,0,1,2,3}\{-1,0,1,2,3\}đáp án

Hợp hai tập gom mọi phần tử của cả hai: A∪B={−1,0,1,2,3}A\cup B=\{-1,0,1,2,3\}.

A∪B={−1,0,1,2,3}A\cup B=\{-1,0,1,2,3\}

Câu 34

Cho A={x∣x−3<2}A=\{x\mid \sqrt{x-3}<2\} và B={x∣x≤5}B=\{x\mid x\le 5\}. Khi đó A∩B=A\cap B=

  • A.{x∣x≤5}\{x\mid x\le 5\}
  • B.{x∣3≤x≤5}\{x\mid 3\le x\le 5\}đáp án
  • C.{x∣3≤x<7}\{x\mid 3\le x<7\}
  • D.{x∣3<x≤5}\{x\mid 3<x\le 5\}

Điều kiện căn x−3≥0x-3\ge 0 cho x≥3x\ge 3; bình phương x−3<4x-3<4 cho x<7x<7, nên A=[3,7)A=[3,7). Giao với B={x≤5}B=\{x\le 5\} được [3,5][3,5].

[3,7)∩(−∞,5]=[3,5][3,7)\cap(-\infty,5]=[3,5]

Câu 35

Cho A={x∣∣x−1∣≤1}A=\{x\mid |x-1|\le 1\} và B={x∣2x−1>0}B=\{x\mid 2x-1>0\}. Khi đó A∩B=A\cap B=

  • A.[12,2]\left[\dfrac{1}{2},2\right]
  • B.[12,2)\left[\dfrac{1}{2},2\right)
  • C.(12,2]\left(\dfrac{1}{2},2\right]đáp án
  • D.(12,2)\left(\dfrac{1}{2},2\right)

Giải ∣x−1∣≤1|x-1|\le 1 được A=[0,2]A=[0,2]. Giải 2x−1>02x-1>0 được B=(12,+∞)B=(\tfrac{1}{2},+\infty). Giao lại được (12,2](\tfrac{1}{2},2].

[0,2]∩(12,+∞)=(12,2][0,2]\cap(\tfrac{1}{2},+\infty)=(\tfrac{1}{2},2]

Câu 36

Cho A={x∣x≥1, x∈N}A=\{x\mid x\ge 1,\ x\in\mathbb{N}\} và B={x∣2x<8}B=\{x\mid 2^x<8\}. Khi đó A∩B=A\cap B=

  • A.[1,3)[1,3)
  • B.(1,3)(1,3)
  • C.{1,2}\{1,2\}đáp án
  • D.{1,2,3}\{1,2,3\}

Giải 2x<8=232^x<8=2^3 được x<3x<3. Tập AA gồm số tự nhiên từ 11 trở lên, giao với x<3x<3 chỉ còn các số tự nhiên {1,2}\{1,2\}.

2x<23⇒x<32^x<2^3\Rightarrow x<3

Câu 37

Cho hai tập hợp M={x∣1x>1}M=\left\{x\mid \dfrac{1}{x}>1\right\} và N={x∣x2>12}N=\left\{x\mid x^2>\dfrac{1}{2}\right\}. Khi đó M∩NM\cap N bằng?

  • A.(0,22)\left(0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
  • B.(22,1)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)đáp án
  • C.(0,12)\left(0,\dfrac{1}{2}\right)
  • D.(12,1)\left(\dfrac{1}{2},1\right)

Giải 1x>1⇔1−xx>0⇔0<x<1\dfrac{1}{x}>1 \Leftrightarrow \dfrac{1-x}{x}>0 \Leftrightarrow 0<x<1, nên M=(0,1)M=(0,1). Giải x2>12⇔x<−22x^2>\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x<-\dfrac{\sqrt{2}}{2} hoặc x>22x>\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Giao hai tập cho M∩N=(22,1)M\cap N=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right).

M∩N=(22, 1)M\cap N=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\,1\right)

Câu 38

Cho tập vũ trụ U=RU=\mathbb{R}, tập A={x∣x2−x−6≤0}A=\{x\mid x^2-x-6\le 0\} và tập B={x∣x+1x−4>0}B=\left\{x\mid \dfrac{x+1}{x-4}>0\right\}. Khi đó A∩(∁UB)A\cap(\complement_U B) bằng?

  • A.{x∣−2≤x<4}\{x\mid -2\le x<4\}
  • B.{x∣x≤3 or x≥4}\{x\mid x\le 3 \text{ or } x\ge 4\}
  • C.{x∣−2≤x<−1}\{x\mid -2\le x<-1\}
  • D.{x∣−1≤x≤3}\{x\mid -1\le x\le 3\}đáp án

Từ x2−x−6≤0⇔(x−3)(x+2)≤0x^2-x-6\le 0 \Leftrightarrow (x-3)(x+2)\le 0 nên A=[−2,3]A=[-2,3]. Từ x+1x−4>0\dfrac{x+1}{x-4}>0 nên B=(−∞,−1)∪(4,+∞)B=(-\infty,-1)\cup(4,+\infty), suy ra ∁UB=[−1,4]\complement_U B=[-1,4]. Vậy A∩(∁UB)=[−1,3]A\cap(\complement_U B)=[-1,3].

A∩(∁UB)={x∣−1≤x≤3}A\cap(\complement_U B)=\{x\mid -1\le x\le 3\}

Câu 39

Cho hai tập hợp A={−2,−1,1,2}A=\{-2,-1,1,2\} và B={x∣x2<2}B=\{x\mid x^2<2\}. Khi đó A∩BA\cap B bằng?

  • A.{−1,−2,2}\{-1,-2,2\}
  • B.{−1,1}\{-1,1\}đáp án
  • C.{−2,2}\{-2,2\}
  • D.{−2,−1,1,2}\{-2,-1,1,2\}

Ta có x2<2⇔−2<x<2x^2<2 \Leftrightarrow -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}, tức B≈(−1,41; 1,41)B\approx(-1{,}41;\,1{,}41). Trong AA chỉ có −1-1 và 11 thuộc khoảng này, nên A∩B={−1,1}A\cap B=\{-1,1\}.

A∩B={−1,1}A\cap B=\{-1,1\}

Câu 40

Cho tập vũ trụ U={0,−1,−2,−3,−4}U=\{0,-1,-2,-3,-4\} và tập M={0,−1,−2}M=\{0,-1,-2\}. Khi đó ∁UM\complement_U M bằng?

  • A.{0}\{0\}
  • B.{−3,−4}\{-3,-4\}đáp án
  • C.{−1,−2}\{-1,-2\}
  • D.∅\varnothing

Phần bù của MM trong UU gồm các phần tử của UU không thuộc MM, tức ∁UM={−3,−4}\complement_U M=\{-3,-4\}.

∁UM={−3,−4}\complement_U M=\{-3,-4\}

Câu 41

Cho hai tập hợp M={0, x2}M=\{0,\ x^2\} và N={1,2}N=\{1,2\}. Nếu M∩N={2}M\cap N=\{2\} thì M∪NM\cup N bằng?

  • A.{0,x2,1,2}\{0,x^2,1,2\}
  • B.{2,0,1,2}\{2,0,1,2\}
  • C.{0,1,2}\{0,1,2\}đáp án
  • D.{0,1,−2,2,2}\{0,1,-\sqrt{2},\sqrt{2},2\}

Vì M∩N={2}M\cap N=\{2\} nên 2∈M2\in M, suy ra x2=2x^2=2 và M={0,2}M=\{0,2\}. Khi đó M∪N={0,2}∪{1,2}={0,1,2}M\cup N=\{0,2\}\cup\{1,2\}=\{0,1,2\}.

M∪N={0,1,2}M\cup N=\{0,1,2\}

Câu 42

Cho tập A={x∣x2≤1}A=\{x\mid x^2\le 1\} và tập B={x∣x∈Z∧x+1∈A}B=\{x\mid x\in\mathbb{Z}\wedge x+1\in A\}. Khi đó BB bằng?

  • A.{−1,0,1}\{-1,0,1\}
  • B.{−2,−1,0}\{-2,-1,0\}đáp án
  • C.{−2,−1,0,1}\{-2,-1,0,1\}
  • D.{−2,−1,0,1,2}\{-2,-1,0,1,2\}

Ta có x2≤1⇔−1≤x≤1x^2\le 1 \Leftrightarrow -1\le x\le 1, nên A=[−1,1]A=[-1,1]. Điều kiện x+1∈Ax+1\in A cho −1≤x+1≤1⇔−2≤x≤0-1\le x+1\le 1 \Leftrightarrow -2\le x\le 0. Kết hợp x∈Zx\in\mathbb{Z} được B={−2,−1,0}B=\{-2,-1,0\}.

B={−2,−1,0}B=\{-2,-1,0\}

Nâng cao

Câu 43nâng cao

Cho hai tập khác rỗng A,BA, B thỏa: (1) A∪B={1,2,3,4}A \cup B = \{1,2,3,4\} và A∩B=∅A \cap B = \varnothing; (2) số phần tử của AA không là phần tử của AA, số phần tử của BB không là phần tử của BB. Số cặp có thứ tự (A,B)(A, B) là?

  • A.11
  • B.22đáp án
  • C.44
  • D.66

AA và BB là một phân hoạch của {1,2,3,4}\{1,2,3,4\} (rời nhau, hợp đầy đủ, đều khác rỗng). Cỡ của AA và BB cộng lại bằng 44. Ràng buộc ∣A∣∉A|A| \notin A và ∣B∣∉B|B| \notin B chỉ chừa đúng một cách chia không tính thứ tự: {3}\{3\} và {1,2,4}\{1,2,4\} (vì ∣{3}∣=1∉{3}|\{3\}|=1 \notin \{3\}, ∣{1,2,4}∣=3∉{1,2,4}|\{1,2,4\}|=3 \notin \{1,2,4\}). Hoán vai trò A,BA,B cho 22 cặp có thứ tự.

(A,B)∈{({3},{1,2,4}),({1,2,4},{3})}(A,B)\in\{(\{3\},\{1,2,4\}),(\{1,2,4\},\{3\})\}

Câu 44nâng cao

Cho tập A={2, a2−a+2, 1−a}A = \{2,\ a^2 - a + 2,\ 1 - a\}. Nếu 4∈A4 \in A thì giá trị của aa là?

  • A.−1, 2-1,\ 2
  • B.−3-3
  • C.−1, −3, 2-1,\ -3,\ 2
  • D.−3, 2-3,\ 2đáp án

Để 4∈A4 \in A: hoặc a2−a+2=4a^2 - a + 2 = 4 (suy ra a2−a−2=0a^2 - a - 2 = 0, được a=2a = 2 hoặc a=−1a = -1), hoặc 1−a=41 - a = 4 (được a=−3a = -3). Kiểm tính khác nhau của phần tử: với a=−1a = -1 thì 1−a=21 - a = 2 trùng phần tử 22 nên tập không hợp lệ, loại. Với a=2a = 2 ta được {2,4,−1}\{2, 4, -1\} và a=−3a = -3 ta được {2,14,4}\{2, 14, 4\}, đều hợp lệ. Vậy a∈{−3,2}a \in \{-3, 2\}.

a∈{2, −3}a \in \{2,\ -3\}

Câu 45nâng cao

Gọi C(A)C(A) là số phần tử của tập khác rỗng AA. Định nghĩa A∗B=∣C(A)−C(B)∣A*B = |C(A) - C(B)|. Biết tập AA có đúng ba tập con thực sự, và B={x∣(ax2+3x)(x2+ax+2)=0, x∈R}B = \{x \mid (a x^2 + 3x)(x^2 + a x + 2) = 0,\ x \in \mathbb{R}\}. Nếu A∗B=1A*B = 1 và SS là tập mọi giá trị thực của aa thỏa điều kiện, thì C(S)C(S) bằng?

  • A.11
  • B.22
  • C.33
  • D.55đáp án

AA có 33 tập con thực sự nên C(A)=2C(A) = 2 (vì 22−1=32^2 - 1 = 3). Từ A∗B=1A*B = 1 suy ra C(B)=1C(B) = 1 hoặc 33, tức phương trình có 11 hoặc 33 nghiệm thực phân biệt. Xét các trường hợp của aa: a=0a=0 cho đúng 11 nghiệm (x=0x=0); a=3a=3 và a=−3a=-3 làm nghiệm −3a-\dfrac{3}{a} trùng nghiệm của thừa số bậc hai, còn 33 nghiệm; a=22a=2\sqrt{2} và a=−22a=-2\sqrt{2} làm thừa số bậc hai có nghiệm kép, tổng 33 nghiệm. Vậy a∈{0, 3, −3, 22, −22}a \in \{0,\ 3,\ -3,\ 2\sqrt{2},\ -2\sqrt{2}\}, C(S)=5C(S) = 5.

S={0, 3, −3, 22, −22}⇒C(S)=5S=\{0,\,3,\,-3,\,2\sqrt{2},\,-2\sqrt{2}\}\Rightarrow C(S)=5

Câu 46nâng cao

Cho ba tập M={x∣x=m+16, m∈Z}M=\left\{x\mid x=m+\dfrac{1}{6},\,m\in\mathbb{Z}\right\}, N={x∣x=n2−13, n∈Z}N=\left\{x\mid x=\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3},\,n\in\mathbb{Z}\right\}, P={x∣x=p2+16, p∈Z}P=\left\{x\mid x=\dfrac{p}{2}+\dfrac{1}{6},\,p\in\mathbb{Z}\right\}. Quan hệ giữa M,N,PM,N,P là?

  • A.M=N⊆PM=N\subseteq P
  • B.M⊆N=PM\subseteq N=Pđáp án
  • C.M=P⊆NM=P\subseteq N
  • D.N⊆P⊆MN\subseteq P\subseteq M

Quy đồng mẫu 66: M=6m+16M=\dfrac{6m+1}{6} (tử ≡1(mod6)\equiv 1\pmod 6), N=3n−26N=\dfrac{3n-2}{6} và P=3p+16P=\dfrac{3p+1}{6} (cả hai có tử ≡1(mod3)\equiv 1\pmod 3). Do NN và PP cùng cho mọi tử ≡1(mod3)\equiv 1\pmod 3 nên N=PN=P; còn MM chỉ lấy tử ≡1(mod6)\equiv 1\pmod 6, là tập con. Vậy M⊆N=PM\subseteq N=P.

M⊆N=PM\subseteq N=P

Câu 47nâng cao

Cho A={x∈R∣∣x−a∣<1}A=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-a|<1\} và B={x∈R∣∣x−b∣>2}B=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-b|>2\}. Nếu A∩B=∅A\cap B=\varnothing thì các số thực a,ba,b phải thỏa?

  • A.∣a−b∣<1|a-b|<1
  • B.∣a−b∣>1|a-b|>1
  • C.∣a−b∣≥1|a-b|\ge 1
  • D.∣a−b∣≤1|a-b|\le 1đáp án

Ta có A=(a−1,a+1)A=(a-1,a+1) và B={x<b−2B=\{x<b-2 hoặc x>b+2}x>b+2\}. Để A∩B=∅A\cap B=\varnothing thì AA phải nằm gọn trong [b−2,b+2][b-2,b+2]: a−1≥b−2a-1\ge b-2 và a+1≤b+2a+1\le b+2, tức −1≤a−b≤1-1\le a-b\le 1, nghĩa là ∣a−b∣≤1|a-b|\le 1.

∣a−b∣≤1|a-b|\le 1

Câu 48nâng cao

Cho các tập A={x∣x2−2x−3=0}A=\{x\mid x^2-2x-3=0\} và B={x∣ax−1=0}B=\{x\mid ax-1=0\}. Nếu B⊆AB\subseteq A thì tập các giá trị của tham số thực aa là?

  • A.{−1,13}\left\{-1,\dfrac{1}{3}\right\}
  • B.{−13,1}\left\{-\dfrac{1}{3},1\right\}
  • C.{−1,0,13}\left\{-1,0,\dfrac{1}{3}\right\}đáp án
  • D.{−13,0,1}\left\{-\dfrac{1}{3},0,1\right\}

Giải A={3,−1}A=\{3,-1\}. Xét BB: nếu a=0a=0 thì B=∅⊆AB=\varnothing\subseteq A; nếu a≠0a\ne 0 thì B={1/a}B=\{1/a\}, cần 1/a=31/a=3 hoặc 1/a=−11/a=-1, tức a=13a=\tfrac{1}{3} hoặc a=−1a=-1. Vậy a∈{−1,0,13}a\in\{-1,0,\tfrac{1}{3}\}.

a∈{−1, 0, 13}a\in\left\{-1,\,0,\,\tfrac{1}{3}\right\}

Câu 49nâng cao

Cho các tập A={x∣x2+3x−4=0}A=\{x\mid x^2+3x-4=0\} và B={x∣x2+(a+1)x−a−2=0}B=\{x\mid x^2+(a+1)x-a-2=0\}. Nếu A∪B=AA\cup B=A thì tập các giá trị của tham số thực aa là?

  • A.{−3,2}\{-3,2\}đáp án
  • B.{−3,0,2}\{-3,0,2\}
  • C.{a∣a≥−3}\{a\mid a\ge -3\}
  • D.{a∣a<−3 or a=2}\{a\mid a<-3 \text{ or } a=2\}

Ta có A={−4,1}A=\{-4,1\} và điều kiện A∪B=AA\cup B=A tương đương B⊆AB\subseteq A. Phương trình của BB luôn nhận x=1x=1, nghiệm còn lại theo Viète là −(a+2)-(a+2). Cần −(a+2)∈{−4,1}-(a+2)\in\{-4,1\}, cho a=2a=2 hoặc a=−3a=-3. Vậy a∈{−3,2}a\in\{-3,2\}.

B={1, −(a+2)}⊆{−4,1}⇒a∈{−3,2}B=\{1,\,-(a+2)\}\subseteq\{-4,1\}\Rightarrow a\in\{-3,2\}

Câu 50nâng cao

Trong các nhóm sau, nhóm nào có MM và PP cùng biểu diễn một tập hợp?

  • A.M={3,−1}, P={(3,−1)}M=\{3,-1\},\ P=\{(3,-1)\}
  • B.M={(3,1)}, P={(1,3)}M=\{(3,1)\},\ P=\{(1,3)\}
  • C.M={y∣y=x2+1,x∈R}, P={x∣x=t2+1,t∈R}M=\{y\mid y=x^2+1,x\in\mathbb{R}\},\ P=\{x\mid x=t^2+1,t\in\mathbb{R}\}đáp án
  • D.M={y∣y=x2−1,x∈R}, P={(x,y)∣y=x2−1,x∈R}M=\{y\mid y=x^2-1,x\in\mathbb{R}\},\ P=\{(x,y)\mid y=x^2-1,x\in\mathbb{R}\}

A và B trộn tập số với tập điểm hoặc đổi thứ tự tọa độ nên khác nhau; D so tập số với tập điểm. Ở C, cả hai đều là tập miền giá trị [1,+∞)[1,+\infty) (chỉ khác tên biến câm), nên M=PM=P.

{y∣y=x2+1}=[1,+∞)={x∣x=t2+1}\{y\mid y=x^2+1\}=[1,+\infty)=\{x\mid x=t^2+1\}

Câu 51nâng cao

Cho hai tập M={x∣x=19(2k+1), k∈Z}M=\left\{x \mid x=\dfrac{1}{9}(2k+1),\ k\in\mathbb{Z}\right\} và N={x∣x=4k9±19, k∈Z}N=\left\{x \mid x=\dfrac{4k}{9}\pm\dfrac{1}{9},\ k\in\mathbb{Z}\right\}. Quan hệ giữa hai tập MM và NN là:

  • A.M=NM=Nđáp án
  • B.M⊊NM\subsetneq N
  • C.N⊊MN\subsetneq M
  • D.Quan hệ giữa MM và NN không xác định

Tử số của MM là 2k+12k+1 chạy hết các số lẻ. Tử số của NN là 4k±14k\pm 1 cũng chạy hết các số lẻ (mọi số lẻ đều đồng dư 11 hoặc −1-1 theo modulo 44). Vậy hai tập trùng nhau, M=NM=N.

{2k+1}={4k±1}, k∈Z\{2k+1\}=\{4k\pm 1\},\ k\in\mathbb{Z}

Câu 52nâng cao

Cho M={(x,y)∣x2+y2≤25}M=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 25\} và N={(x,y)∣(x−a)2+y2≤9}N=\{(x,y)\mid (x-a)^2+y^2\le 9\}. Nếu M∪N=MM\cup N=M thì khoảng giá trị của số thực aa là:

  • A.{−2,2}\{-2,2\}
  • B.(−∞,−2)∪(2,+∞)(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)
  • C.(−2,2)(-2,2)
  • D.[−2,2][-2,2]đáp án

M∪N=MM\cup N=M tương đương N⊆MN\subseteq M, tức hình tròn tâm (a,0)(a,0) bán kính 33 nằm trọn trong hình tròn tâm OO bán kính 55. Điều kiện chứa nhau: khoảng cách tâm cộng bán kính nhỏ không vượt bán kính lớn, ∣a∣+3≤5|a|+3\le 5, suy ra −2≤a≤2-2\le a\le 2.

∣a∣+3≤5⇔−2≤a≤2|a|+3\le 5 \Leftrightarrow -2\le a\le 2

Câu 53nâng cao

Cho A={x∣x=k+16, k∈Z}A=\{x\mid x=k+\dfrac{1}{6},\ k\in\mathbb{Z}\}, B={x∣x=m2−13, m∈Z}B=\{x\mid x=\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{3},\ m\in\mathbb{Z}\} và C={x∣x=n2+16, n∈Z}C=\{x\mid x=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{6},\ n\in\mathbb{Z}\}. Quan hệ giữa các tập A, B, CA,\ B,\ C là:

  • A.A⊊C⊊BA\subsetneq C\subsetneq B
  • B.C⊊A⊊BC\subsetneq A\subsetneq B
  • C.A⊊C=BA\subsetneq C=Bđáp án
  • D.A=B=CA=B=C

Quy đồng mẫu 66: A=6k+16A=\dfrac{6k+1}{6}, B=3m−26B=\dfrac{3m-2}{6}, C=3n+16C=\dfrac{3n+1}{6}. Tử số của BB và CC đều đồng dư 11 theo modulo 33 nên B=CB=C. Tử số của AA là 6k+16k+1 là tập con thực sự của tập tử CC, nên A⊊C=BA\subsetneq C=B.

A=6k+16, B=C=3m+16A=\tfrac{6k+1}{6},\ B=C=\tfrac{3m+1}{6}

Câu 54nâng cao

Tập AA thỏa tính chất: nếu a∈Aa\in A thì 1+a1−a∈A\dfrac{1+a}{1-a}\in A (với a≠1a\ne 1). Khi 13∈A\dfrac{1}{3}\in A, số phần tử của tập AA là:

  • A.11
  • B.22
  • C.33
  • D.44đáp án

Lặp phép biến đổi từ 13\dfrac{1}{3}: ra 22, rồi −3-3, rồi −12-\dfrac{1}{2}, rồi quay lại 13\dfrac{1}{3}. Chu kỳ dài 44 nên A={13,2,−3,−12}A=\{\dfrac{1}{3},2,-3,-\dfrac{1}{2}\} có 44 phần tử.

13→2→−3→−12→13\tfrac{1}{3}\to 2\to -3\to -\tfrac{1}{2}\to \tfrac{1}{3}

Mệnh đề và điều kiện

Câu 55

Cho x∈Rx \in \mathbb{R}. Khi đó mệnh đề xx−4≤0\dfrac{x}{x-4} \le 0 so với mệnh đề x<2\sqrt{x} < 2 là?

  • A.Điều kiện cần và đủđáp án
  • B.Điều kiện đủ nhưng không cần
  • C.Điều kiện cần nhưng không đủ
  • D.Không cần cũng không đủ

Giải xx−4≤0\dfrac{x}{x-4} \le 0 (với x−4≠0x-4 \ne 0) được 0≤x<40 \le x < 4. Giải x<2\sqrt{x} < 2 cần x≥0x \ge 0 và x<4x < 4, tức 0≤x<40 \le x < 4. Hai tập nghiệm trùng nhau hoàn toàn nên đây là điều kiện cần và đủ.

xx−4≤0  ⟺  0≤x<4  ⟺  x<2\frac{x}{x-4}\le 0 \iff 0\le x<4 \iff \sqrt{x}<2

Câu 56

Phát biểu nào sau đây đúng?

  • A.Thu nhập tháng xx đồng không vượt quá 20002000 đồng được viết là x<2000x < 2000
  • B.Chiều cao Tiểu Minh là xx, Tiểu Hoa là yy; "Tiểu Minh thấp hơn Tiểu Hoa" được viết là x>yx > y
  • C.Biến xx không nhỏ hơn aa được viết là x≥ax \ge ađáp án
  • D.Biến yy không vượt quá aa được viết là y>ay > a

C đúng: "không nhỏ hơn aa" nghĩa là lớn hơn hoặc bằng aa, tức x≥ax \ge a. A sai vì "không vượt quá" phải là x≤2000x \le 2000. B sai vì thấp hơn nghĩa là x<yx < y. D sai vì "không vượt quá aa" phải là y≤ay \le a.

x≥ax \ge a

Câu 57

Cho mệnh đề pp: với mọi số thực, m+1≥0m + 1 \ge 0; mệnh đề qq: tồn tại số thực xx sao cho x2+mx+1≤0x^2 + m x + 1 \le 0. Nếu (¬p)∨(¬q)(\neg p) \lor (\neg q) là mệnh đề sai, thì khoảng giá trị của mm là?

  • A.(−∞,−2](-\infty, -2]
  • B.[−2,2][-2, 2]
  • C.[2,+∞)[2, +\infty)đáp án
  • D.(−∞,−2]∪(−1,+∞)(-\infty, -2] \cup (-1, +\infty)

(¬p)∨(¬q)(\neg p) \lor (\neg q) sai thì cả hai vế phủ định đều sai, tức pp đúng và qq đúng. pp đúng cho m+1≥0m + 1 \ge 0, tức m≥−1m \ge -1. qq đúng (tồn tại xx với x2+mx+1≤0x^2 + m x + 1 \le 0) khi biệt thức m2−4≥0m^2 - 4 \ge 0, tức m≤−2m \le -2 hoặc m≥2m \ge 2. Giao hai điều kiện: m≥2m \ge 2, tức [2,+∞)[2, +\infty).

{m+1≥0m2−4≥0⇒m≥2\begin{cases} m+1\ge 0 \\ m^2-4\ge 0 \end{cases} \Rightarrow m\ge 2

Nâng cao

Câu 58nâng cao

Cho m,nm, n là hằng số khác 00. Tập nghiệm bất phương trình m(x+1)(x−3)≥0m(x+1)(x-3) \ge 0 là AA, tập nghiệm bất phương trình n(x+1)(x−3)>0n(x+1)(x-3) > 0 là BB. Khi đó mệnh đề mn<0mn < 0 so với mệnh đề A∪B=RA \cup B = \mathbb{R} là?

  • A.Điều kiện đủ nhưng không cần
  • B.Điều kiện cần nhưng không đủ
  • C.Điều kiện cần và đủđáp án
  • D.Không cần cũng không đủ

Hai bất phương trình có cùng hai nghiệm biên −1-1 và 33. Khi mn<0mn < 0, một bất phương trình lấy phần ngoài (kèm biên) và bất phương trình kia lấy phần trong, hợp lại phủ kín R\mathbb{R} nên A∪B=RA \cup B = \mathbb{R}; ngược lại nếu A∪B=RA \cup B = \mathbb{R} thì buộc dấu m,nm, n trái nhau, tức mn<0mn < 0. Hai chiều đều đúng nên là điều kiện cần và đủ.

mn<0  ⟺  A∪B=Rmn<0 \iff A\cup B = \mathbb{R}