Cụm 9 — Vector

Cụm này trả lời câu hỏi: làm sao gói cả hướng lẫn độ lớn của một đại lượng vào một đối tượng tính toán được, rồi đo góc và quan hệ vuông góc giữa chúng.

• Đối tượng gốc — vector là lớp tương đương các đoạn thẳng có hướng cùng độ dài cùng chiều, không gắn với điểm đặt cụ thể.
• Phép toán nền — cộng, trừ, nhân vô hướng dựng từ các tiên đề của không gian vector, hiện hình qua quy tắc hình bình hành.
• Cầu nối số — chọn hệ tọa độ thì mọi vector quy về một bộ số, mọi phép toán hình học thành phép tính số học trên thành phần.
• Trục trung tâm — tích vô hướng dot product nối độ dài với góc qua định lý $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$, từ đó suy ra điều kiện vuông góc, cách tính góc và độ dài.
• Vì sao là nền — cụm này là ngôn ngữ chung cho hình giải tích phẳng, hình không gian, và mọi mô hình tuyến tính ở các cụm sau.

---

Đồ thị khái niệm

Đọc đồ thị:

• Màu — node xanh đậm là đối tượng gốc tiên đề; xanh nhạt là tầng phép toán và tọa độ; xanh lá là các kết quả ứng dụng đo góc, độ dài, vuông góc, thẳng hàng.
• Hướng — mọi mũi tên đổ về Dot product rồi tỏa ra ứng dụng, nên đây là trục cần nắm chắc nhất của cụm.

Glossary nhãn chart (English keyword -> tiếng Việt):

• Directed segment $\overrightarrow{AB}$ — đoạn thẳng có hướng, đối tượng hình học gốc trước khi trừu tượng hóa.
• Vector $\overrightarrow{a}$ — lớp tương đương các đoạn thẳng cùng độ dài cùng hướng.
• Vector operations — ba phép toán cơ bản cộng, trừ, nhân vô hướng dựng từ tiên đề không gian vector.
• Coordinates $(x,y)$ — biểu diễn vector thành bộ số nhờ một hệ tọa độ.
• Dot product $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ — phép nhân hai vector ra một số vô hướng.
• Angle $\theta$ — góc giữa hai vector suy từ tích vô hướng và hai độ dài.
• Orthogonality — điều kiện vuông góc, tích vô hướng bằng $0$.
• Modulus $|\overrightarrow{a}|$ — độ dài của một vector và của tổng, hiệu.
• Collinearity and normal — ba điểm thẳng hàng và vector pháp tuyến.

---

1. Vector — đối tượng gốc

1.1 Tiên đề & khái niệm nền

Trước khi tính toán, ta phải chốt vector LÀ GÌ một cách chính xác, vì mọi tính chất sau đều suy ra từ định nghĩa này.

• Đoạn thẳng có hướng:
  • Lấy hai điểm $A$ và $B$ phân biệt, đoạn thẳng có hướng $\overrightarrow{AB}$ là đoạn $AB$ kèm chiều đi từ $A$ tới $B$.
  • $A$ là điểm đầu, $B$ là điểm cuối; đổi vai hai điểm cho đoạn ngược chiều $\overrightarrow{BA}$.
• Hai đặc trưng bất biến:
  • Độ dài là khoảng cách $AB$, ký hiệu $|\overrightarrow{AB}|$.
  • Phương chiều là đường thẳng chứa đoạn cùng chiều mũi tên trên đó.

1.2 Định nghĩa vector

• Quan hệ cùng hướng cùng độ dài: hai đoạn thẳng có hướng gọi là tương đương khi chúng có cùng độ dài và cùng hướng, bất kể điểm đặt.
• Vector là lớp tương đương: một vector là tập hợp tất cả các đoạn thẳng có hướng tương đương với nhau, nên một vector không gắn với điểm đặt cố định mà chỉ mang thông tin độ dài và hướng.

Định lý — điều kiện hai vector bằng nhau

Hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng độ dài và cùng hướng; KHÔNG đòi hỏi trùng điểm đầu.

Chứng minh. Theo định nghĩa, mỗi vector là một lớp tương đương của các đoạn cùng độ dài cùng hướng. Hai lớp trùng nhau khi và chỉ khi mọi phần tử của lớp này tương đương với mọi phần tử của lớp kia, mà quan hệ tương đương được định nghĩa đúng bằng "cùng độ dài và cùng hướng". Do đó $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ tương đương với cùng độ dài cùng hướng. Vì điểm đặt không vào định nghĩa quan hệ, hai vector bằng nhau có thể đặt ở hai vị trí khác nhau. $◼$

1.3 Vector đặc biệt

• Vector không:
  • Ký hiệu $\overrightarrow{0}$, có độ dài $0$, ứng với các đoạn có điểm đầu trùng điểm cuối.
  • Quy ước $\overrightarrow{0}$ cùng phương với mọi vector, đây là ổ bẫy phá nhiều phát biểu nền.
• Vector đối:
  • Vector đối của $\overrightarrow{a}$, ký hiệu $-\overrightarrow{a}$, cùng độ dài nhưng ngược hướng.
  • Hệ quả trực tiếp $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$.
• Hai vector cùng phương collinear: giá của chúng song song hoặc trùng nhau; cùng phương gồm cả cùng hướng lẫn ngược hướng.

---

2. Phép toán trên vector

2.1 Tiên đề & khái niệm nền

Tập các vector cùng với hai phép toán cộng vector và nhân vô hướng tạo thành một không gian vector, nghĩa là hai phép toán này thỏa các tiên đề sau và ta chấp nhận chúng làm luật chơi.

• Tiên đề của phép cộng:
  • Giao hoán $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.
  • Kết hợp $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$.
  • Phần tử trung hòa $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}$.
  • Phần tử đối $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$.
• Tiên đề của nhân vô hướng: với mọi số thực $m,n$ và vector $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$:
  • Phân phối với cộng vector $m(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=m\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}$.
  • Phân phối với cộng số $(m+n)\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{a}$.
  • Kết hợp số $m(n\overrightarrow{a})=(mn)\overrightarrow{a}$.
  • Đơn vị $1\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

2.2 Định nghĩa phép cộng — quy tắc hình bình hành

• Quy tắc nối đuôi: đặt $\overrightarrow{b}$ nối tiếp ngọn của $\overrightarrow{a}$, tổng $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ là vector đi từ gốc $\overrightarrow{a}$ tới ngọn $\overrightarrow{b}$.
• Quy tắc hình bình hành: đặt $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ chung gốc, dựng hình bình hành nhận hai vector làm hai cạnh, đường chéo từ gốc chung chính là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Định lý — quy tắc ba điểm

Với ba điểm $A,B,C$ bất kỳ luôn có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Chứng minh. Vector $\overrightarrow{BC}$ đặt nối tiếp ngọn của $\overrightarrow{AB}$ vì điểm cuối của $\overrightarrow{AB}$ đúng là điểm đầu $B$ của $\overrightarrow{BC}$. Theo định nghĩa cộng nối đuôi, tổng đi từ điểm đầu $A$ tới điểm cuối $C$, tức là $\overrightarrow{AC}$. $◼$

• Hệ quả: cho $C\equiv A$ thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$, khớp với việc $\overrightarrow{BA}$ là vector đối của $\overrightarrow{AB}$.

2.3 Định nghĩa phép trừ và nhân vô hướng

• Phép trừ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$, cộng với vector đối, nên trừ không phải phép mới mà rút từ cộng và đối.
• Nhân vô hướng: $m\overrightarrow{a}$ là vector cùng phương $\overrightarrow{a}$, độ dài $|m||\overrightarrow{a}|$, cùng hướng khi $m>0$ và ngược hướng khi $m<0$.

Định lý — điều kiện cùng phương

Hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ với $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại duy nhất số thực $\lambda$ sao cho $\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}$.

Định hướng chứng minh.

• Chiều thuận: nếu $\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}$ thì theo định nghĩa nhân vô hướng $\overrightarrow{a}$ cùng phương $\overrightarrow{b}$.
• Chiều đảo: nếu cùng phương, lấy $\lambda ={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}}$ khi cùng hướng và $\lambda =-{\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}}$ khi ngược hướng, kiểm lại $\lambda \overrightarrow{b}$ có đúng độ dài và đúng hướng của $\overrightarrow{a}$.
• Tính duy nhất: giả sử ${\lambda }_1\overrightarrow{b}={\lambda }_2\overrightarrow{b}$ thì $({\lambda }_1-{\lambda }_2)\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$, mà $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ nên ${\lambda }_1={\lambda }_2$.

2.4 Cơ sở và phân tích vector

• Cơ sở của mặt phẳng: cặp $\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\}$ là cơ sở khi hai vector không cùng phương, tức không cái nào là bội của cái kia.
• Phân tích duy nhất: với cơ sở đã chọn, mọi vector $\overrightarrow{u}$ trong mặt phẳng viết được duy nhất thành $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$, hai số $x,y$ là tọa độ của $\overrightarrow{u}$ theo cơ sở đó.

---

3. Tọa độ vector

3.1 Tiên đề & khái niệm nền

• Hệ tọa độ trực chuẩn: chọn các vector đơn vị đôi một vuông góc và độ dài $1$, trong mặt phẳng là $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$, trong không gian thêm $\overrightarrow{k}$.
• Tọa độ là hệ số phân tích: vector $\overrightarrow{a}=(x,y)$ nghĩa là $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$, còn trong không gian $\overrightarrow{a}=(x,y,z)$ nghĩa là $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$.

Định lý — phép toán theo thành phần

Với $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$ và $\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ và $m\overrightarrow{a}=(m{x}_1,m{y}_1)$.

Chứng minh. Viết $\overrightarrow{a}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{b}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}$. Cộng hai vế và dùng tiên đề giao hoán, kết hợp, phân phối của không gian vector để gom hệ số: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2)\overrightarrow{i}+(y_1+y_2)\overrightarrow{j}$. Tương tự $m\overrightarrow{a}=m(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j})=(m{x}_1)\overrightarrow{i}+(m{y}_1)\overrightarrow{j}$. Theo định nghĩa tọa độ, đó chính là các bộ số ở vế phải. $◼$

3.2 Độ dài theo tọa độ

$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$$

• Biến:
  • $x$ — thành phần thứ nhất của vector theo trục hoành.
  • $y$ — thành phần thứ hai theo trục tung.
  • $|\overrightarrow{a}|$ — độ dài modulus, luôn không âm.
• Ý nghĩa: chính là định lý Pythagore áp cho hình chiếu vuông góc của vector lên hai trục; trong không gian thêm hạng tử $z^2$ dưới căn.

3.3 Song song theo tọa độ

Định lý — điều kiện song song bằng tọa độ

Hai vector $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$ và $\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$ cùng phương khi và chỉ khi $x_1{y}_2=x_2{y}_1$.

Chứng minh. Theo định lý cùng phương, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương khi $\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}$, tức $x_1=\lambda x_2$ và $y_1=\lambda y_2$. Khử $\lambda$ bằng cách nhân chéo: $x_1{y}_2=\lambda x_2{y}_2$ và $x_2{y}_1=\lambda x_2{y}_2$, hai vế phải bằng nhau nên $x_1{y}_2=x_2{y}_1$. Ngược lại, từ $x_1{y}_2=x_2{y}_1$ ta dựng được $\lambda$ chung cho hai thành phần, suy ra cùng phương. $◼$

• Cách nhớ: tích chéo bằng nhau; viết dạng tỉ lệ ${\displaystyle \frac{x_1}{x_2}}={\displaystyle \frac{y_1}{y_2}}$ khi mẫu khác $0$, trong không gian nối thêm ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$.

---

4. Tích vô hướng — trục trung tâm

4.1 Định nghĩa tích vô hướng

• Định nghĩa hình học: tích vô hướng dot product của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là số $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$, với $\theta$ là góc giữa hai vector đặt chung gốc.
• Kết quả là một số: khác phép cộng cho ra vector, tích vô hướng cho ra một số thực, nên gọi là vô hướng.

Định lý — tích vô hướng theo tọa độ

Với $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$ và $\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$ thì $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$.

Định hướng chứng minh. Đây là cầu nối quan trọng nhất của cụm, nối định nghĩa góc với phép tính số.

• Bước 1 — xét hiệu: đặt $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$, theo tọa độ $\overrightarrow{c}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$.
• Bước 2 — định lý cosin: trong tam giác dựng từ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và cạnh đối $\overrightarrow{c}$, định lý cosin cho $|\overrightarrow{c}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$.
• Bước 3 — thay độ dài bằng tọa độ: khai triển $|\overrightarrow{c}{|}^2$, $|\overrightarrow{a}{|}^2$, $|\overrightarrow{b}{|}^2$ theo công thức độ dài rồi rút gọn.
• Bước 4 — đối chiếu: vế còn lại $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta =\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ theo định nghĩa, cân hai vế thu được $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$.

Định lý — công thức góc và định lý cosin

Góc giữa hai vector khác không thỏa $\cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}}$.

Chứng minh. Đây chỉ là phép biến đổi đại số của định nghĩa $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$: chia hai vế cho $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$, hợp lệ vì cả hai vector khác $\overrightarrow{0}$ nên hai độ dài đều khác $0$. $◼$

$$\cos \theta =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$$

• Biến:
  • $x_1{x}_2+y_1{y}_2$ — tích vô hướng theo tọa độ, dấu của nó quyết định góc nhọn hay tù.
  • $\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ — độ dài vector thứ nhất.
  • $\sqrt{x_2^2+y_2^2}$ — độ dài vector thứ hai.
  • $\theta$ — góc giữa hai vector, nằm trong khoảng từ $0$ tới $180$ độ.

4.2 Điều kiện vuông góc

Định lý — điều kiện vuông góc

Hai vector khác không $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$, theo tọa độ là $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$.

Chứng minh. Hai vector khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90$ độ, lúc đó $\cos {90}^{\circ }=0$. Thay vào định nghĩa $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$ thì tích vô hướng bằng $0$. Ngược lại, nếu $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ với hai độ dài đều dương thì bắt buộc $\cos \theta =0$, suy ra $\theta =90$ độ. $◼$

4.3 Module của tổng và hiệu

Định lý — khai triển bình phương module

Với hai vector bất kỳ: $|\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2\pm 2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2$.

Chứng minh. Viết bình phương module thành tích vô hướng của vector với chính nó: $|\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}{|}^2=(\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b})$. Khai triển theo tính phân phối của tích vô hướng và tính giao hoán $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$: thu được $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}\pm 2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}$. Vì $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}{|}^2$ nên có điều phải chứng minh. $◼$

• Khi nào dùng: đề cho độ dài và góc giữa $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ rồi hỏi $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$; thay $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$ vào khai triển, đừng quên khai căn ở bước cuối.

4.4 Hình chiếu vô hướng

$${\text{proj}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$$

• Biến:
  • $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ — tích vô hướng, mang dấu theo góc nhọn hay tù.
  • $|\overrightarrow{b}|$ — độ dài vector ta chiếu lên.
  • ${\text{proj}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}$ — hình chiếu vô hướng của $\overrightarrow{a}$ lên hướng $\overrightarrow{b}$.
• Ý nghĩa: độ dài bóng đổ của $\overrightarrow{a}$ trên giá của $\overrightarrow{b}$, mang dấu dương khi góc nhọn và âm khi góc tù, nên hình chiếu là một số có dấu chứ không phải luôn dương.

---

5. Thẳng hàng và pháp tuyến

Định lý — điều kiện ba điểm thẳng hàng

Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$.

Chứng minh. Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $C$ nằm trên đường thẳng qua $A,B$, tức hai vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương. Theo định lý cùng phương với $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{0}$, điều này tương đương tồn tại $k$ với $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$. $◼$

5.1 Định nghĩa pháp tuyến

• Vector pháp tuyến normal vector: vector pháp tuyến của một đường thẳng là vector khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với vector chỉ phương của đường thẳng đó.
• Lấy nhanh trong mặt phẳng: chỉ phương $(p,q)$ cho ngay pháp tuyến $(q,-p)$, vì tích vô hướng $p\cdot q+q\cdot (-p)=0$ nên hai vector vuông góc.

5.2 Dạng câu hỏi trong đề

• Rút gọn biểu thức vector — gom $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ về dạng $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ bằng các tiên đề phân phối.
• Khái niệm nền đúng sai — chọn phát biểu sai về vector bằng nhau, vector đối, vector không, cùng phương.
• Cơ sở và cùng phương — cặp nào làm cơ sở, hoặc xét điều kiện cần và đủ của cùng phương.
• Tọa độ song song vuông góc tìm tham số — cho điều kiện song song hoặc vuông góc rồi giải tham số, gồm cả không gian ba chiều.
• Tích vô hướng và module tổng hiệu — cho độ dài và góc tính $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$ hoặc ngược lại tìm $t$.
• Hình chiếu — chiếu một vector lên hướng vector khác, giữ đúng dấu.
• Góc giữa hai vector — tính góc của tổ hợp theo cơ sở, hoặc cho cos rồi tìm tham số.
• Thẳng hàng và pháp tuyến — tìm bộ ba điểm thẳng hàng, hoặc pháp tuyến của đường thẳng và mặt phẳng.
• Hình bình hành dựng đỉnh — tìm đỉnh thứ tư hợp lệ từ ba đỉnh cho trước.

5.3 Quy trình không trượt bước

• Module tổng hoặc hiệu — viết bình phương $|\overrightarrow{a}\pm t\overrightarrow{b}{|}^2$, khai triển bằng định lý bình phương module, thay $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$ và độ dài, rồi giải phương trình theo ẩn.
• Song song hoặc vuông góc bằng tọa độ — viết tọa độ từng vector, song song thì lập tích chéo, vuông góc thì cho tích vô hướng bằng $0$, giải tham số rồi kiểm lại nghiệm.
• Hình chiếu — tính tích vô hướng, chia cho độ dài vector chiếu lên, giữ đúng dấu theo kết quả.
• Góc giữa hai tổ hợp cơ sở — khai triển tích vô hướng theo các tích cơ sở đã biết, tính độ dài từng tổ hợp bằng bình phương, ráp vào công thức $\cos \theta$.
• Ba điểm thẳng hàng — lập hai vector chung gốc, kiểm chúng có là bội của nhau không.

5.4 Bẫy hay gặp

• Vector không cùng phương với mọi vector — đừng coi $\overrightarrow{0}$ là ngoại lệ, nó quy ước cùng phương với tất cả nên phá nhiều phát biểu nền.
• Lẫn điều kiện song song với vuông góc — song song là tích chéo bằng nhau, vuông góc là tích vô hướng bằng $0$, đảo hai cái là sai ngay.
• Quên dấu của hình chiếu — hình chiếu là số có dấu, góc tù cho giá trị âm.
• Bỏ căn bậc hai khi tính module — tính ra $|\overrightarrow{v}{|}^2$ rồi quên khai căn để lấy $|\overrightarrow{v}|$.
• Hình bình hành có nhiều đỉnh thứ tư — ba đỉnh cho ba khả năng, phải dựng đủ ba mới loại đúng.
• Vector bằng nhau không cần trùng điểm — chỉ cần cùng độ dài cùng hướng, không bắt buộc chung điểm đầu cuối.

---

6. Ví dụ mẫu có lời giải

6.1 Tính góc và kiểm vuông góc

• Đề: cho $\overrightarrow{a}=(1,2)$ và $\overrightarrow{b}=(3,-1)$, tính tích vô hướng, suy ra góc giữa hai vector và xét chúng có vuông góc không.
• Bước 1 — tích vô hướng: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\cdot 3+2\cdot (-1)=3-2=1$.
• Bước 2 — hai độ dài: $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ và $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{10}$.
• Bước 3 — cosin của góc: $\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{50}}}\approx 0.141$, suy ra $\theta \approx 81.9$ độ.
• Bước 4 — kết luận vuông góc: vì $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\ne 0$ nên hai vector KHÔNG vuông góc, đúng với góc lệch $90$ độ một chút.

6.2 Module của tổng theo độ dài và góc

• Đề: cho $|\overrightarrow{a}|=3$, $|\overrightarrow{b}|=4$, góc giữa hai vector là $60$ độ, tính $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$.
• Bước 1 — tích vô hướng: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos {60}^{\circ }=3\cdot 4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=6$.
• Bước 2 — bình phương module: $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2=9+12+16=37$.
• Bước 3 — khai căn: $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{37}\approx 6.08$, nhớ khai căn ở bước cuối để khỏi rơi vào bẫy bỏ căn.

6.3 Ba điểm thẳng hàng

• Đề: cho $A=(1,1)$, $B=(3,5)$, $C=(0,-1)$, hỏi ba điểm có thẳng hàng không.
• Bước 1 — hai vector chung gốc: $\overrightarrow{AB}=(2,4)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1,-2)$.
• Bước 2 — kiểm bội: $\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}$ vì $(2,4)=-2\cdot (-1,-2)$, tồn tại $k=-2$.
• Bước 3 — kết luận: hai vector cùng phương nên ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng.

---

7. Kết nối

• Nền cho hình giải tích phẳng — phương trình đường thẳng dùng trực tiếp vector chỉ phương và vector pháp tuyến của cụm này.
• Nền cho hình không gian — pháp tuyến mặt phẳng và điều kiện vuông góc trong không gian ba chiều mở rộng tự nhiên từ tích vô hướng hai thành phần lên ba thành phần.
• Nền cho mô hình tuyến tính — tích vô hướng chính là phép nhân giữa vector trọng số và vector đặc trưng trong hồi quy, góc và độ dài là ngôn ngữ đo độ tương đồng ở các cụm về sau.