Bài tập — cụm Probability Trees

Hai bài chốt hai trục của cụm: kỳ vọng/rủi ro từ mô hình xác suất, và cập nhật xác suất bằng Bayes. Bài Bayes lấy từ answer key Schweser Reading 4 (đáp án độc lập); bài kỳ vọng tự dựng (số tự chọn, tự tính minh bạch). Cả hai là mầm test cho vòng 2.

Cách dùng: che phần Đáp án, tự giải theo công thức ở concept.md, rồi đối chiếu.

---

1. Kỳ vọng và rủi ro từ mô hình xác suất

Bài 1.1 — Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn (ví dụ tự dựng)

• Đề: lợi nhuận một cổ phiếu năm tới theo ba kịch bản kinh tế:
  • Bùng nổ — xác suất $0.25$, lợi nhuận $+25\mathrm{\%}$.
  • Bình thường — xác suất $0.50$, lợi nhuận $+10\mathrm{\%}$.
  • Suy thoái — xác suất $0.25$, lợi nhuận $-15\mathrm{\%}$.
• Cách làm — kỳ vọng:
  • $E(X)=0.25\times 25+0.50\times 10+0.25\times (-15)$.
  • $=6.25+5-3.75=7.5\mathrm{\%}$.
• Cách làm — phương sai: lấy sai lệch mỗi kịch bản so với $7.5$, bình phương, cân theo xác suất.
  • $0.25\times (25-7.5{)}^2=0.25\times 306.25=76.5625$.
  • $0.50\times (10-7.5{)}^2=0.50\times 6.25=3.125$.
  • $0.25\times (-15-7.5{)}^2=0.25\times 506.25=126.5625$.
  • Tổng ${\sigma }^2=206.25$ (phần trăm bình phương).
• Cách làm — độ lệch chuẩn: $\sigma =\sqrt{206.25}$.
• Đáp án: kỳ vọng $7.5\mathrm{\%}$; phương sai $206.25$; độ lệch chuẩn $14.36\mathrm{\%}$.

---

3. Cập nhật xác suất bằng Bayes

Bài 3.1 — Đảo chiều xác suất (Schweser answer key)

• Đề:
  • Kinh tế có $60\mathrm{\%}$ khả năng vượt kỳ vọng; nếu vượt, cổ phiếu tăng giá với xác suất $70\mathrm{\%}$, giảm $30\mathrm{\%}$.
  • Kinh tế có $40\mathrm{\%}$ khả năng kém; nếu kém, cổ phiếu tăng với xác suất $20\mathrm{\%}$, giảm $80\mathrm{\%}$.
  • Hỏi: đã thấy cổ phiếu tăng giá, xác suất kinh tế đã vượt kỳ vọng là bao nhiêu?
• Cây xác suất:

• Cách làm:
  • Xác suất đồng thời (nhân dọc nhánh): vượt và tăng $=0.60\times 0.70=0.42$; kém và tăng $=0.40\times 0.20=0.08$.
  • Xác suất cổ phiếu tăng (quy tắc toàn phần): $P(\text{tăng})=0.42+0.08=0.50$.
  • Bayes: $P(\text{vượt}\mid \text{tăng})={\displaystyle \frac{0.42}{0.50}}$.
• Đáp án: $0.84$ — thấy giá tăng thì niềm tin "kinh tế đã vượt kỳ vọng" nhảy từ tiên nghiệm $0.60$ lên hậu nghiệm $0.84$.