Bài tập — cụm Portfolio Mathematics

Ba bài chốt ba trục: phương sai danh mục (thấy lợi ích đa dạng hóa), hiệp phương sai từ xác suất, và chọn danh mục bằng tiêu chí Roy. Bài Roy lấy từ Schweser Reading 5 (đáp án độc lập); hai bài đầu tự dựng (số tự chọn, tự tính minh bạch). Cả ba là mầm test cho vòng 2.

Cách dùng: che phần Đáp án, tự giải theo công thức ở concept.md, rồi đối chiếu.

---

1. Phương sai danh mục

Bài 1.1 — Rủi ro danh mục hai tài sản (ví dụ tự dựng)

• Đề: danh mục hai tài sản:
  • Tài sản A — trọng số $0.6$, độ lệch chuẩn $20\mathrm{\%}$.
  • Tài sản B — trọng số $0.4$, độ lệch chuẩn $10\mathrm{\%}$.
  • Tương quan ${\rho }_{AB}=0.3$.
• Cách làm — hiệp phương sai: $\text{Cov}={\rho }_{AB}{\sigma }_A{\sigma }_B=0.3\times 20\times 10=60$.
• Cách làm — phương sai danh mục:
  • ${0.6}^2\times {20}^2=0.36\times 400=144$.
  • ${0.4}^2\times {10}^2=0.16\times 100=16$.
  • $2\times 0.6\times 0.4\times 60=28.8$.
  • Tổng ${\sigma }_p^2=144+16+28.8=188.8$ (phần trăm bình phương).
• Cách làm — độ lệch chuẩn danh mục: ${\sigma }_p=\sqrt{188.8}=13.74\mathrm{\%}$.
• Đáp án: ${\sigma }_p=13.74\mathrm{\%}$.
• Đọc kết quả: trung bình có trọng số của hai độ lệch chuẩn là $0.6\times 20+0.4\times 10=16\mathrm{\%}$. Rủi ro danh mục $13.74\mathrm{\%}$ thấp hơn $16\mathrm{\%}$ — đúng phần đa dạng hóa nhờ tương quan $<1$.

---

2. Hiệp phương sai từ phân phối xác suất chung

Bài 2.1 — Hiệp phương sai và tương quan từ mô hình xác suất (ví dụ tự dựng)

• Đề: lợi nhuận hai tài sản theo ba trạng thái kinh tế:
  • Bùng nổ — xác suất $0.3$; A $=20\mathrm{\%}$, B $=30\mathrm{\%}$.
  • Bình thường — xác suất $0.5$; A $=12\mathrm{\%}$, B $=10\mathrm{\%}$.
  • Suy thoái — xác suất $0.2$; A $=-5\mathrm{\%}$, B $=-10\mathrm{\%}$.
• Cách làm — kỳ vọng:
  • $E(R_A)=0.3\times 20+0.5\times 12+0.2\times (-5)=11\mathrm{\%}$.
  • $E(R_B)=0.3\times 30+0.5\times 10+0.2\times (-10)=12\mathrm{\%}$.
• Cách làm — hiệp phương sai: cân tích hai sai lệch theo xác suất trạng thái.
  • $0.3\times (20-11)(30-12)=0.3\times 162=48.6$.
  • $0.5\times (12-11)(10-12)=0.5\times (-2)=-1$.
  • $0.2\times (-5-11)(-10-12)=0.2\times 352=70.4$.
  • Tổng $\text{Cov}(R_A,R_B)=118$ (phần trăm bình phương).
• Cách làm — tương quan: cần ${\sigma }_A=\sqrt{76}=8.72\mathrm{\%}$, ${\sigma }_B=\sqrt{196}=14\mathrm{\%}$ → $\rho ={\displaystyle \frac{118}{8.72\times 14}}$.
• Đáp án: hiệp phương sai $118$; tương quan $\rho \approx 0.97$ — hai tài sản đồng biến rất chặt.

---

3. Chọn danh mục bằng tiêu chí Roy

Bài 3.1 — Safety-first ratio (Schweser answer key)

• Đề: nhà đầu tư muốn ít rơi vào lỗ nhất (ngưỡng $R_L=0\mathrm{\%}$), chọn giữa hai danh mục, giả định lợi nhuận phân phối chuẩn:
  • Danh mục A — kỳ vọng $12\mathrm{\%}$, độ lệch chuẩn $18\mathrm{\%}$.
  • Danh mục B — kỳ vọng $10\mathrm{\%}$, độ lệch chuẩn $12\mathrm{\%}$.
• Cách làm — tỷ số an toàn: $\text{SFRatio}={\displaystyle \frac{E(R_p)-R_L}{{\sigma }_p}}$.
  • A: ${\displaystyle \frac{12-0}{18}}=0.67$.
  • B: ${\displaystyle \frac{10-0}{12}}=0.83$.
• Chọn: SFRatio của B lớn hơn → chọn danh mục B (xa vùng lỗ hơn).
• Cách làm — xác suất hụt ngưỡng: $P(R_p<0)=F(-\text{SFRatio})$ tra bảng z.
  • A: $F(-0.67)\approx 25\mathrm{\%}$.
  • B: $F(-0.83)\approx 20\mathrm{\%}$.
• Đáp án: chọn B; xác suất lỗ của B ($20\mathrm{\%}$) thấp hơn A ($25\mathrm{\%}$).