CFA Foundation

Appearance

Bài tập cụm mô hình nhị phân một bước ​

Mầm test vòng sau. Đề lấy từ Module Quiz 75.1 (Schweser 2025 L1) cộng vài bài tính tự dựng cho phần hedge ratio, định giá call/put và risk-neutral probability. Mỗi câu kèm lời giải đầy đủ và trỏ về file con liên quan.

Phần 1 — Module Quiz 75.1 nguồn ​

Ba câu lý thuyết, đề Schweser nguyên văn rút gọn.

Câu 1. Để dựng mô hình nhị phân một bước định giá quyền chọn, có cần xác suất của một bước lên hay một bước xuống của giá cơ sở không?

  • A. Không.
  • B. Có, nhưng tính được từ lợi suất của bước lên và bước xuống.
  • C. Có, mô hình cần ước lượng xác suất thật của bước lên và bước xuống.

Đáp án: A. Mô hình nhị phân một bước dựng được bằng replication và định giá no-arbitrage, không cần biết xác suất của bước lên hay bước xuống. Đáp án C nhầm sang xác suất thật (vốn không bao giờ vào công thức); B nhầm risk-neutral probability là "xác suất thật tính ra" (nó là xác suất giả định). (Schweser answer key, LOS 75.a). Xem 01_dinh-gia-hedge.md mục 1.2.

Câu 2. Trong mô hình nhị phân một bước dựa trên risk neutrality, giá một quyền chọn được mô tả đúng nhất là hiện giá của:

  • A. một trung bình có trọng số xác suất của hai kết cục khả dĩ.
  • B. một trung bình có trọng số xác suất của một số kết cục khả dĩ chọn trước.
  • C. một trong hai kết cục khả dĩ theo độ lớn tăng/giảm chọn trước.

Đáp án: A. Trong mô hình một bước dựa trên risk-neutral probability, giá quyền chọn là hiện giá của trung bình có trọng số của hai payoff khả dĩ cuối một kỳ duy nhất, kỳ mà giá cơ sở giả định đi lên hoặc xuống tới hai mức cụ thể. B sai vì một bước chỉ có đúng hai kết cục, không phải số tùy ý. (Schweser answer key, LOS 75.b). Xem 02_risk-neutral.md mục 3.1.

Câu 3. Mô hình nhị phân một bước định giá quyền chọn dùng risk-neutral probability vì:

  • A. mô hình dựa trên quan hệ no-arbitrage.
  • B. chúng là ước lượng không chệch của xác suất thật.
  • C. người mua được phép để quyền chọn ngoài giá đáo hạn không thực hiện.

Đáp án: A. Vì mô hình một bước dựa trên quan hệ no-arbitrage, ta được chiết khấu kỳ vọng payoff ở lãi suất phi rủi ro. Đây là bẫy kinh điển: B nghe hợp lý nhưng sai — risk-neutral probability KHÔNG phải ước lượng xác suất thật. (Schweser answer key, LOS 75.b). Xem 02_risk-neutral.md mục 4.

Phần 2 — Bài tính tự dựng ​

Bài tính dựng lại đúng quy trình hai con đường trên số liệu Schweser, để luyện tay tính. Số liệu nền lấy từ ví dụ trong text; bước trung gian là tự dựng và đã tự kiểm bằng Python.

Câu 4 (đường hedge portfolio — call). Cổ phiếu S0 = 50 đô, sau một kỳ lên Su = 60 đô (u = 1.20) hoặc xuống Sd = 42 đô (d = 0.84). Lãi suất phi rủi ro một kỳ là 3%. Tính hedge ratio và giá quyền mua với giá thực hiện X = 55 đô.

Lời giải.

  • Payoff: cu = Max(0, 60 − 55) = 5; cd = Max(0, 42 − 55) = 0.
  • Hedge ratio:
h=cu−cdSu−Sd=5−060−42=0.278
  • Giá trị danh mục một kỳ sau (short call + long h cổ phiếu): hai nhánh bằng nhau, 0.278×60−5=11.67 đô.
  • Chiết khấu: V0=11.67/1.03=11.34 đô.
  • Giá quyền mua: c0=hS0−V0=0.278×50−11.34=2.56 đô.

Đáp số c0 = 2.56 đô (Schweser answer key). Xem 01_dinh-gia-hedge.md mục 3 và 4.

Câu 5 (đường hedge portfolio — put). Cùng cây như câu 4 (S0 = 50, Su = 60, Sd = 42, r = 3%). Tính giá quyền bán với giá thực hiện X = 48 đô.

Lời giải.

  • Payoff put: pu = Max(0, 48 − 60) = 0; pd = Max(0, 48 − 42) = 6.
  • Hedge ratio (độ lớn): |pu−pdSu−Sd|=|0−6|60−42=0.333.
  • Danh mục mẫu put là long put + long cổ phiếu; giá trị một kỳ sau khớp ở hai nhánh, chiết khấu về V0=19.42 đô.
  • Giá quyền bán: p0=V0−hS0=19.42−0.333×50=2.75 đô.

Đáp số p0 = 2.75 đô (Schweser answer key). Xem 01_dinh-gia-hedge.md mục 4.3.

Câu 6 (đường risk-neutral — call). Cổ phiếu S0 = 30 đô, hệ số lên u = 1.15 và hệ số xuống d = 1/u. Lãi suất phi rủi ro một năm là 7%. Tính risk-neutral probability rồi định giá quyền mua một năm với X = 30 đô.

Lời giải.

  • Hệ số xuống: d=1/1.15=0.87; suy ra Su = 30×1.15 = 34.50 đô, Sd = 30×0.87 = 26.10 đô.
  • Risk-neutral probability:
π=(1+0.07)−0.871.15−0.87=0.200.28=0.715
  • Payoff: cu = Max(0, 34.50 − 30) = 4.50; cd = Max(0, 26.10 − 30) = 0.
  • Kỳ vọng và chiết khấu:
c0=0.715×4.50+0.285×01.07=3.221.07=3.01

Đáp số c0 = 3.01 đô (Schweser answer key). Xem 02_risk-neutral.md mục 2 và 3.

Câu 7 (đường risk-neutral — put). Dùng đúng cây và risk-neutral probability câu 6 (pi = 0.715). Tính giá quyền bán một năm với X = 30 đô.

Lời giải.

  • Payoff put: pu = Max(0, 30 − 34.50) = 0; pd = Max(0, 30 − 26.10) = 3.90.
  • Kỳ vọng và chiết khấu:
p0=0.715×0+0.285×3.901.07=1.111.07=1.04

Đáp số p0 = 1.04 đô (Schweser answer key). Xem 02_risk-neutral.md mục 3.3.

Câu 8 (bẫy khái niệm). Trong câu 6, giả sử thêm rằng xác suất thật của bước lên là 80%. Con số này thay đổi giá quyền mua thế nào?

Lời giải. Không thay đổi gì cả: giá vẫn 3.01 đô. Xác suất thật không vào công thức định giá phái sinh — giá khóa bằng no-arbitrage, dùng risk-neutral probability 0.715 chứ không phải 0.80. Đây chính là điểm cốt lõi của LOS 75.b. Xem 02_risk-neutral.md mục 4.

Phần 3 — Đối chiếu hai con đường ​

Câu 9 (tổng hợp). Vì sao đường hedge portfolio (câu 4) và đường risk-neutral (câu 6) lại được coi là cùng một mô hình, dù số liệu ví dụ khác nhau?

Lời giải. Vì cả hai đều suy từ cùng nguyên tắc no-arbitrage. Risk-neutral probability sinh ra chính từ việc lập hedge tạo payoff chắc chắn; do dựa trên quan hệ arbitrage, ta được chiết khấu kỳ vọng payoff ở lãi suất phi rủi ro. Khi áp lên cùng một bộ dữ liệu (cùng S0, u, d, r, X), hai đường ra đúng một con số — ví dụ call S0 = 50 cho c0 = 2.56 đô bằng cả hai cách. Hai ví dụ ở câu 4 và câu 6 chỉ khác bộ số liệu, không khác bản chất mô hình. Xem concept.md và 02_risk-neutral.md mục 1.2.