Bài tập: Mô hình định giá nhị phân một bước

Danh sách các câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết và bài tập lượng hóa giúp củng cố kiến thức về lập danh mục phòng hộ phi rủi ro, xác định tỷ lệ phòng hộ Delta ($h$), tính toán xác suất trung lập rủi ro ($\pi$) và định giá quyền chọn mua/bán theo các kịch bản nhị phân.

---

1. Câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết

Bài 1.1: Vai trò của xác suất thực tế trong mô hình nhị phân

• Nguồn: Schweser L1, Reading 75.

• Đề bài: Để xây dựng mô hình nhị phân một bước định giá quyền chọn, nhà phân tích có cần thông tin về xác suất thực tế của kịch bản tăng hay giảm giá tài sản cơ sở hay không:

  • (A) Không cần thiết.
  • (B) Có, nhưng có thể tính gián tiếp thông qua hệ số tăng và giảm.
  • (C) Có, mô hình bắt buộc phải ước lượng xác suất thực tế đi lên của tài sản.

• Đáp án: A.

• Giải thích:

  Đáp án và Giải thích chi tiết

  • Đáp án đúng: (A) Không cần thiết.
  • Giải thích: Giá trị hợp lý của quyền chọn được xác định hoàn toàn bằng nguyên lý sao chép danh mục phòng hộ phi rủi ro (no-arbitrage replication). Do dòng tiền đáo hạn của danh mục phòng thủ này đã được khóa cân bằng tuyệt đối ở cả hai trạng thái, giá trị hiện tại của nó độc lập với xác suất xảy ra kịch bản nào. Xác suất thực tế đi lên/xuống (lựa chọn C) hoàn toàn không xuất hiện trong bất kỳ công thức định giá phái sinh nào. (Xem thêm tại 01_dinh-gia-hedge.md)

Bài 1.2: Định nghĩa giá quyền chọn trong môi trường trung lập rủi ro

• Nguồn: Schweser L1, Reading 75.

• Đề bài: Trong mô hình định giá nhị phân dựa trên nguyên lý trung lập rủi ro, giá trị hợp lý của quyền chọn hôm nay được mô tả đúng nhất là:

  • (A) Hiện giá của trung bình có trọng số xác suất trung lập của hai dòng payoff tương lai khả dĩ.
  • (B) Hiện giá của trung bình có trọng số xác suất của nhiều trạng thái thị trường giả định khác nhau.
  • (C) Hiện giá của một trong hai kịch bản hoàn trả ròng có độ lớn lớn hơn.

• Đáp án: A.

• Giải thích:

  Đáp án và Giải thích chi tiết

  • Đáp án đúng: (A) Hiện giá của trung bình có trọng số xác suất trung lập của hai dòng payoff tương lai khả dĩ.
  • Giải thích: Trong mô hình một bước (one-period), tương lai chỉ có đúng 2 kết cục khả dĩ (tài sản tăng hoặc giảm). Giá trị quyền chọn hôm nay chính là hiện giá chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro của kỳ vọng toán học các payoff này, sử dụng xác suất trung lập rủi ro ($\pi$ và $1-\pi$) làm trọng số: $c_0=[\pi c_u+(1-\pi )c_d]/(1+r)$. (Xem thêm tại 02_risk-neutral.md)

Bài 1.3: Lý do sử dụng xác suất trung lập rủi ro

• Nguồn: Schweser L1, Reading 75.

• Đề bài: Mô hình nhị phân định giá quyền chọn áp dụng xác suất trung lập rủi ro (risk-neutral probability) chủ yếu là vì:

  • (A) Mô hình được xây dựng dựa trên điều kiện phi chênh lệch giá (no-arbitrage).
  • (B) Xác suất trung lập rủi ro là ước lượng không chệch của xác suất thực tế ngoài thị trường.
  • (C) Người mua có đặc quyền bỏ qua các kịch bản đáo hạn chịu lỗ.

• Đáp án: A.

• Giải thích:

  Đáp án và Giải thích chi tiết

  • Đáp án đúng: (A) Mô hình được xây dựng dựa trên điều kiện phi chênh lệch giá (no-arbitrage).
  • Giải thích: Do sự cân bằng của danh mục phòng thủ triệt tiêu hoàn toàn rủi ro biến động giá, no-arbitrage bắt buộc danh mục phải sinh lời đúng bằng lãi suất phi rủi ro. Việc biểu diễn toán học tương đương dưới dạng kỳ vọng chiết khấu (định giá trung lập rủi ro) cho phép áp dụng lãi suất phi rủi ro làm tỷ lệ chiết khấu mà không cần ước lượng phần bù rủi ro. B sai vì xác suất trung lập là xác suất giả định, hoàn toàn không phản ánh xác suất thực tế. (Xem thêm tại 02_risk-neutral.md)

---

2. Bài tập tự luận và tính toán thực tế

Bài 2.1: Định giá quyền chọn mua qua danh mục phòng hộ

• Nguồn: Ví dụ tự dựng.

• Đề bài: Cổ phiếu đang có giá giao ngay $S_0=50$ USD, sau 1 kỳ có thể tăng lên $S_u=60$ USD hoặc giảm xuống $S_d=42$ USD. Lãi suất phi rủi ro hằng năm là 3%/kỳ. Hãy xác định tỷ lệ phòng hộ $h$ (hedge ratio) và giá trị của quyền chọn mua châu Âu strike 55 USD đáo hạn sau 1 kỳ.

• Đáp án: Tỷ lệ phòng hộ $h=0.278$; Phí quyền chọn mua call lý thuyết là 2.56 USD.

• Giải thích:

  Đáp án và Lời giải chi tiết

  Các bước tính toán chi tiết:

  1. Xác định payoff của quyền chọn mua tại đáo hạn ở hai trạng thái:$$c_u=max(0,S_u-X)=max(0,60-55)=5.00\text{ USD}$$$$c_d=max(0,S_d-X)=max(0,42-55)=0\text{ USD}$$
  2. Xác định tỷ lệ phòng hộ $h$ (độ nhạy Delta):$$h=\frac{c_u-c_d}{S_u-S_d}=\frac{5-0}{60-42}=\frac{5}{18}\approx 0.278$$
  3. Giá trị ròng danh mục ròng cuối kỳ chắc chắn (short 1 call + long $h$ cổ phiếu):$$V_{\text{up}}=h{S}_u-c_u=0.278\times 60-5=11.67\text{ USD}$$(Hoặc $V_{\text{down}}=h{S}_d-c_d=0.278\times 42-0=11.67$ USD).
  4. Chiết khấu danh mục ròng về hiện tại bằng lãi suất phi rủi ro $3\mathrm{\%}$:$$V_0=\frac{11.67}{1+0.03}\approx 11.33\text{ USD}$$
  5. Bóc tách ra giá trị call hôm nay ($c_0$):$$c_0=h{S}_0-V_0=(0.278\times 50)-11.33=13.89-11.33=2.56\text{ USD}$$

  Giá trị hợp lý của quyền chọn mua châu Âu hôm nay là $2.56$ USD. (Xem thêm tại 01_dinh-gia-hedge.md)

Bài 2.2: Định giá quyền chọn bán qua danh mục phòng hộ

• Nguồn: Ví dụ tự dựng.

• Đề bài: Sử dụng các dữ liệu về cây nhị phân của cổ phiếu ở Bài 2.1 ($S_0=50,S_u=60,S_d=42,r=3\mathrm{\%}$). Hãy xác định giá trị của quyền chọn bán châu Âu strike 48 USD đáo hạn sau 1 kỳ bằng phương pháp lập danh mục phòng hộ.

• Đáp án: Phí quyền chọn bán put lý thuyết là 2.75 USD.

• Giải thích:

  Đáp án và Lời giải chi tiết

  Các bước tính toán chi tiết:

  1. Xác định payoff của quyền chọn bán tại đáo hạn ở hai trạng thái:$$p_u=max(0,X-S_u)=max(0,48-60)=0\text{ USD}$$$$p_d=max(0,X-S_d)=max(0,48-42)=6.00\text{ USD}$$
  2. Xác định tỷ lệ phòng hộ $h$ cho put (do put nghịch chiều nên danh mục là long put + long $h$ cổ phiếu):$$h=\left|\frac{p_u-p_d}{S_u-S_d}\right|=\frac{|0-6|}{60-42}=\frac{6}{18}\approx 0.333$$
  3. Giá trị ròng danh mục ròng cuối kỳ chắc chắn (long 1 put + long $h$ cổ phiếu):$$V_{\text{up}}=h{S}_u+p_u=0.333\times 60+0=20.00\text{ USD}$$(Hoặc $V_{\text{down}}=h{S}_d+p_d=0.333\times 42+6=20.00$ USD).
  4. Chiết khấu danh mục về hiện tại bằng lãi suất phi rủi ro $3\mathrm{\%}$:$$V_0=\frac{20.00}{1+0.03}\approx 19.4175\text{ USD}$$
  5. Bóc tách ra giá trị put hôm nay ($p_0$):$$V_0=h{S}_0+p_0⟹p_0=V_0-h{S}_0$$$$p_0=19.42-(0.333\times 50)=19.42-16.67=2.75\text{ USD}$$

  Giá trị hợp lý của quyền chọn bán châu Âu hôm nay là $2.75$ USD. (Xem thêm tại 01_dinh-gia-hedge.md)

Bài 2.3: Định giá quyền chọn mua bằng xác suất trung lập rủi ro

• Nguồn: Ví dụ tự dựng.

• Đề bài: Cổ phiếu đang có giá giao ngay $S_0=30$ USD, hệ số tăng giá $u=1.15$ và hệ số giảm giá $d=\frac{1}{u}$. Lãi suất phi rủi ro là 7%/kỳ. Hãy xác định xác suất trung lập rủi ro $\pi$ và giá trị của quyền chọn mua strike 30 USD đáo hạn sau 1 kỳ.

• Đáp án: Xác suất trung lập rủi ro $\pi =0.715$; Phí quyền chọn mua call lý thuyết là 3.01 USD.

• Giải thích:

  Đáp án và Lời giải chi tiết

  Các bước tính toán chi tiết:

  1. Xác định hệ số giảm giá $d$:$$d=\frac{1}{1.15}\approx 0.8696$$
  2. Xác định các mức giá cổ phiếu tương lai:$$S_u=30\times 1.15=34.50\text{ USD}$$$$S_d=30\times 0.8696=26.09\text{ USD}$$
  3. Tính toán xác suất trung lập rủi ro $\pi$:$$\pi =\frac{(1+r)-d}{u-d}=\frac{1.07-0.8696}{1.15-0.8696}=\frac{0.2004}{0.2804}\approx 0.715$$
  4. Xác định payoff của call tại đáo hạn:$$c_u=max(0,34.50-30)=4.50\text{ USD}$$$$c_d=max(0,26.09-30)=0\text{ USD}$$
  5. Định giá call bằng cách lấy kỳ vọng chiết khấu:$$c_0=\frac{\pi c_u+(1-\pi )c_d}{1+r}$$$$c_0=\frac{(0.715\times 4.50)+(0.285\times 0)}{1.07}=\frac{3.2175}{1.07}\approx 3.01\text{ USD}$$

  Giá trị hợp lý của call là $3.01$ USD. (Xem thêm tại 02_risk-neutral.md)

Bài 2.4: Định giá quyền chọn bán bằng xác suất trung lập rủi ro

• Nguồn: Ví dụ tự dựng.

• Đề bài: Sử dụng các dữ liệu về cây nhị phân của cổ phiếu ở Bài 2.3 ($S_0=30,u=1.15,d=0.8696,\pi =0.715,r=7\mathrm{\%}$). Hãy xác định giá trị của quyền chọn bán strike 30 USD đáo hạn sau 1 kỳ bằng phương pháp risk-neutral pricing.

• Đáp án: Phí quyền chọn bán put lý thuyết là 1.04 USD.

• Giải thích:

  Đáp án và Lời giải chi tiết

  Các bước tính toán chi tiết:

  1. Xác định payoff của put tại đáo hạn:$$p_u=max(0,X-S_u)=max(0,30-34.50)=0\text{ USD}$$$$p_d=max(0,X-S_d)=max(0,30-26.09)=3.91\text{ USD}$$
  2. Định giá put bằng cách lấy kỳ vọng chiết khấu trung lập rủi ro:$$p_0=\frac{\pi p_u+(1-\pi )p_d}{1+r}$$$$p_0=\frac{(0.715\times 0)+(0.285\times 3.91)}{1.07}=\frac{1.11435}{1.07}\approx 1.04\text{ USD}$$

  Giá trị hợp lý của put là $1.04$ USD. (Xem thêm tại 02_risk-neutral.md)

Bài 2.5: Phân tích ảnh hưởng của xác suất thực tế

• Nguồn: Ví dụ tự dựng.

• Đề bài: Sử dụng các dữ liệu của Bài 2.3, giả sử có thêm thông tin dự báo rằng xác suất thực tế cổ phiếu đi lên là 80%. Hãy phân tích ảnh hưởng của thông tin này đối với giá quyền chọn mua vừa tính được.

• Đáp án: Không ảnh hưởng (giá call giữ nguyên ở mức 3.01 USD).

• Giải thích:

  Đáp án và Lời giải chi tiết

  • Nhận định: Giá quyền chọn mua không có bất kỳ thay đổi nào và duy trì cố định ở mức $3.01$ USD.
  • Lý giải: Xác suất thực tế phản ánh niềm tin chủ quan của các nhà đầu tư về xu hướng của giá cổ phiếu. Tuy nhiên, giá quyền chọn được khóa cứng bằng nguyên lý không chênh lệch giá (no-arbitrage) thông qua việc sao chép danh mục. Mọi mức giá khác $3.01$ USD đều tạo cơ hội arbitrage ròng chắc chắn trên thị trường và sẽ bị triệt tiêu ngay lập tức. Do đó, mô hình chỉ sử dụng xác suất trung lập rủi ro $\pi =0.715$, không sử dụng xác suất thực tế $80\mathrm{\%}$. (Xem thêm tại 02_risk-neutral.md)