Risk neutrality — định giá phái sinh bằng risk-neutral probability ⚖️

File trước khóa được giá quyền chọn mà không đụng tới xác suất nào. Câu hỏi tự nhiên bật ra: nếu không cần xác suất, vậy hai con số 0.278 và 11.34 thực ra đang giấu xác suất ở đâu, hay quả thật giá đứng độc lập với khả năng lên/xuống?

Có một nghịch lý đáng dừng lại: hai nhà đầu tư, một người tin cổ phiếu chắc chắn lên, một người tin chắc chắn xuống, vẫn phải đồng ý cùng một giá quyền chọn. Nếu giá phụ thuộc niềm tin thì điều này vô lý — vậy thứ gì khóa giá lại?

File này dựng con đường thứ hai trả lời: viết lại giá quyền chọn thành "kỳ vọng payoff chiết khấu", nhưng dùng một bộ xác suất giả định gọi là risk-neutral probability, suy ra từ u, d, lãi suất phi rủi ro — không phải từ niềm tin nhà đầu tư. Trục xuyên suốt: vì sao khẩu vị rủi ro không vào giá, công thức xác suất giả định, và vì sao hai con đường ra cùng một số.

Ký hiệu trong file

Format VIẾT TẮT — English — nghĩa. Bản gom toàn cụm xem concept.md.

pi — risk-neutral probability — xác suất trung lập rủi ro của trạng thái lên (viết là chữ pi).
u — up-move factor — hệ số lên.
d — down-move factor — hệ số xuống.
r — risk-free rate — lãi suất phi rủi ro một kỳ.
cu, cd — call payoff up/down — payoff quyền mua ở trạng thái lên và xuống.
c0 — call value today — giá quyền mua hôm nay.
X — exercise price — giá thực hiện.
S0, Su, Sd — underlying price today / up / down — giá cơ sở hôm nay và hai trạng thái.

1. Bức tranh tổng — vì sao khẩu vị rủi ro không vào giá

1.1. Câu hỏi lõi

Câu hỏi: vì sao giá quyền chọn không phụ thuộc xác suất thật, cũng không phụ thuộc việc nhà đầu tư ngại rủi ro hay ưa rủi ro? Trả lời theo ba mảnh:

Mảnh 1 — giá đã bị arbitrage khóa cứng: file 01 cho thấy giá là kết quả lập danh mục hết rủi ro. Một khi rủi ro bị triệt tiêu, mức bù rủi ro mà nhà đầu tư đòi không còn chỗ len vào.
Mảnh 2 — viết lại thành kỳ vọng giả định: cùng một giá đó viết được thành "trung bình payoff theo một bộ xác suất, rồi chiết khấu". Bộ xác suất ấy là xác suất giả định pi, không phải xác suất thật.
Mảnh 3 — pi chỉ do u, d, lãi suất quyết định: công thức pi không chứa biến niềm tin nào, nên giá ra cùng cho mọi nhà đầu tư.

1.2. Hai cách tính gặp nhau ở một số

Một gốc, hai đường, một đích — cùng u, d, lãi suất; đi đường lập danh mục hết rủi ro hay đường xác suất giả định đều về cùng một giá.
💡 Ý nghĩa: risk-neutral không phải mô hình khác, chỉ là cách viết lại gọn hơn của cùng lập luận no-arbitrage. Hiểu vậy thì không bị sốc khi thấy "xác suất giả định".

2. Risk-neutral probability — công thức xác suất giả định

2.1. Công thức

π = \frac{(1 + r) - d}{u - d}

Biến (trái sang phải):
- pi — risk-neutral probability — xác suất giả định của trạng thái lên; xác suất xuống là phần bù $1 - π$ .
- r — risk-free rate — lãi suất phi rủi ro một kỳ; $(1 + r)$ là hệ số gộp một kỳ.
- d — down-move factor — hệ số xuống.
- u — up-move factor — hệ số lên.

Công thức này nói gì: pi là cái xác suất khiến cổ phiếu kỳ vọng tăng đúng bằng lãi suất phi rủi ro — tức trong "thế giới trung lập rủi ro", không ai đòi bù thêm cho rủi ro, mọi tài sản đều kỳ vọng sinh lời đúng bằng lãi suất phi rủi ro. Nó là số học thuần từ u, d, r, không liên quan niềm tin thật. Ví dụ Schweser (S0 = 30, u = 1.15, d = 1/u ≈ 0.87, r = 7%):

π = \frac{1.07 - 0.87}{1.15 - 0.87} = \frac{0.20}{0.28} = 0.715

Con số 0.715 nghĩa là: trong thế giới trung lập rủi ro, trạng thái lên mang "trọng số" 71.5%, xuống 28.5% (Schweser answer key).

⚠️ Bẫy — đây KHÔNG phải xác suất thật: Schweser nhấn mạnh đây là "pseudo probability" (xác suất giả). Đề có thể cho thêm "xác suất thật lên là 60%" làm mồi nhử — số đó vô dụng, không bao giờ vào công thức định giá.

2.2. Quan hệ hệ số khi đề cho gọn

🔍 Cách nhận diện: ví dụ Schweser dùng $d = 1 / u$ (hệ số xuống là nghịch đảo hệ số lên) và xác suất xuống bằng một trừ xác suất lên. Đây là cách ra đề phổ biến — chỉ cho u rồi bắt suy d. Với u = 1.15 thì d = 1/1.15 ≈ 0.87, nên Su = 30×1.15 = 34.50 và Sd = 30×0.87 = 26.10 (Schweser answer key).

3. Định giá ba bước bằng xác suất giả định

3.1. Quy trình ba bước

Một khi có pi, định giá quyền chọn nào cũng ba bước như nhau:

Bước 1 — payoff hai trạng thái: tính cu, cd (call) hoặc pu, pd (put) tại Su, Sd.
Bước 2 — kỳ vọng payoff theo pi: trung bình payoff có trọng số là risk-neutral probability.
Bước 3 — chiết khấu một kỳ ở lãi suất phi rủi ro: chia cho $(1 + r)$ .

3.2. Công thức giá quyền mua

c_{0} = \frac{π c_{u} + (1 - π) c_{d}}{1 + r}

Biến (trái sang phải):
- c0 — call value today — giá quyền mua hôm nay.
- pi — risk-neutral probability — trọng số trạng thái lên; $(1 - π)$ — trọng số trạng thái xuống.
- cu, cd — call payoff up/down — payoff quyền mua hai trạng thái.
- r — risk-free rate — lãi suất phi rủi ro một kỳ.

Công thức này nói gì: tử số là kỳ vọng payoff trong thế giới trung lập rủi ro; chia $(1 + r)$ là kéo về hiện giá. Vì arbitrage cho phép chiết khấu ở lãi suất phi rủi ro (không phải lãi suất có bù rủi ro), công thức này đúng. Ví dụ Schweser, quyền mua X = 30: cu = Max(0, 34.50 − 30) = 4.50, cd = Max(0, 26.10 − 30) = 0.

c_{0} = \frac{0.715 \times 4.50 + 0.285 \times 0}{1.07} = \frac{3.22}{1.07} = 3.01

Con số 3.01 đô là giá quyền mua hôm nay (Schweser answer key). Bước trung gian 3.22 đô là kỳ vọng payoff sau một năm.

3.3. Quyền bán dùng đúng khung, chỉ đổi payoff

p_{0} = \frac{π p_{u} + (1 - π) p_{d}}{1 + r}

Biến: p0 — put value today — giá quyền bán hôm nay; pu, pd — put payoff up/down — payoff quyền bán hai trạng thái, tính bằng $Max (0, X - S)$ .

Công thức này nói gì: khung y hệt quyền mua, chỉ payoff đổi chiều. Ví dụ cùng cây, put X = 30: pu = Max(0, 30 − 34.50) = 0, pd = Max(0, 30 − 26.10) = 3.90.

p_{0} = \frac{0.715 \times 0 + 0.285 \times 3.90}{1.07} = \frac{1.11}{1.07} = 1.04

Con số 1.04 đô là giá quyền bán hôm nay (Schweser answer key).

4. Vì sao xác suất thật không vào giá

⚙️ Cơ chế cốt lõi: risk-neutral probability sinh ra từ việc lập một hedge tạo payoff chắc chắn (file 01). Vì dựa trên quan hệ arbitrage, ta được phép chiết khấu kỳ vọng payoff ở lãi suất phi rủi ro. Cả hai thứ — bộ xác suất pi và lãi suất chiết khấu — đều không chứa biến "nhà đầu tư ngại rủi ro tới đâu".
💡 Ý nghĩa thực tế: ai tin gì mặc kệ, giá vẫn một. Nếu ai đó định giá quyền chọn lệch khỏi 3.01 đô, người khác lập danh mục arbitrage hưởng lời chắc chắn cho tới khi giá bị kéo về. Khẩu vị rủi ro của thị trường đã nằm trong giá cổ phiếu S0 rồi, nên không cần đưa lại lần nữa vào định giá quyền chọn.
⚠️ Bẫy đề thi: câu hỏi kinh điển hỏi "vì sao mô hình dùng risk-neutral probability". Đáp án đúng luôn quy về no-arbitrage (mô hình dựa trên quan hệ không arbitrage), KHÔNG phải "vì đó là ước lượng không chệch của xác suất thật".

5. Liên hệ bức tranh gốc

Hai con đường, một giá — lập danh mục hết rủi ro (file 01) và kỳ vọng theo xác suất giả định (file này) là hai cách viết của cùng lập luận no-arbitrage; ví dụ call ở hai file đều khớp khi cùng dữ liệu.
Khẩu vị rủi ro đã nằm trong S0 — giá quyền chọn chỉ cần u, d, lãi suất phi rủi ro vì mọi thông tin về kỳ vọng và mức ngại rủi ro của thị trường đã được nhúng vào giá cổ phiếu hiện tại; định giá phái sinh chỉ là quan hệ tương đối với S0.
Risk-neutral là khuôn tính phổ quát — "kỳ vọng payoff chiết khấu ở lãi suất phi rủi ro" dùng lại được cho cây nhiều bước và mô hình liên tục; đây là cây cầu khái niệm sang Black-Scholes ở các bậc sau.

✅ Tự kiểm nhanh

Risk-neutral probability bằng gì? → pi = ((1+r) − d) / (u − d); xác suất xuống là 1 − pi. (mục 2.1)
Cho u = 1.15, d = 0.87, r = 7% — pi bằng bao nhiêu và nó có phải xác suất thật không? → pi = (1.07 − 0.87)/(1.15 − 0.87) = 0.715; KHÔNG phải xác suất thật, là xác suất giả định. (mục 2.1)
Ba bước định giá bằng risk-neutral là gì? → Tính payoff hai trạng thái, lấy kỳ vọng theo pi, chiết khấu một kỳ ở lãi suất phi rủi ro. (mục 3.1)
Mô hình dùng risk-neutral probability VÌ lý do gì? → Vì dựa trên quan hệ no-arbitrage nên được chiết khấu ở lãi suất phi rủi ro; không phải vì pi xấp xỉ xác suất thật. (mục 4)
Đề cho thêm "xác suất thật lên là 60%" — dùng vào đâu? → Không dùng; xác suất thật không vào công thức định giá phái sinh. (mục 2.1, mục 4)

Risk neutrality — định giá phái sinh bằng risk-neutral probability ⚖️ ​

Ký hiệu trong file ​

1. Bức tranh tổng — vì sao khẩu vị rủi ro không vào giá ​

1.1. Câu hỏi lõi ​

1.2. Hai cách tính gặp nhau ở một số ​

2. Risk-neutral probability — công thức xác suất giả định ​

2.1. Công thức ​

2.2. Quan hệ hệ số khi đề cho gọn ​

3. Định giá ba bước bằng xác suất giả định ​

3.1. Quy trình ba bước ​

3.2. Công thức giá quyền mua ​

3.3. Quyền bán dùng đúng khung, chỉ đổi payoff ​

4. Vì sao xác suất thật không vào giá ​

5. Liên hệ bức tranh gốc ​

✅ Tự kiểm nhanh ​