Định giá quyền chọn bằng danh mục phòng hộ phi rủi ro

Trong định giá tài sản phái sinh, việc xác định phí quyền chọn (premium) hôm nay đối mặt với một thách thức lớn khi giá trị của quyền chọn phụ thuộc vào phân phối xác suất của giá tài sản cơ sở trong tương lai. Trực quan thông thường gợi ý rằng chúng ta cần ước lượng xác suất thực tế của kịch bản tăng hoặc giảm của tài sản để tính toán kỳ vọng toán học.

Nghịch lý ở chỗ, mô hình nhị phân chứng minh rằng mức giá quyền chọn công bằng hoàn toàn độc lập với xác suất xảy ra các trạng thái. Bằng cách thiết lập một danh mục phòng hộ phi rủi ro (hedge portfolio) kết hợp quyền chọn và tài sản cơ sở, rủi ro biến động giá hoàn toàn bị triệt tiêu, cho phép chiết khấu dòng tiền tương lai ở lãi suất phi rủi ro.

Bài viết này sẽ trình bày phương pháp định giá quyền chọn thông qua việc lập danh mục phòng hộ, xây dựng công thức tính tỷ lệ phòng hộ (hedge ratio) và áp dụng nguyên lý phi chênh lệch giá để chiết xuất giá trị quyền chọn.

---

1. Trực quan hóa danh mục phòng hộ nhị phân

Cơ cấu định giá quyền chọn thông qua việc lập danh mục phòng hộ phi rủi ro được mô tả dưới đây:

1.1. Khung đọc biểu đồ

• Bài toán cần giải: Triệt tiêu rủi ro biến động giá để tìm ra mức giá quyền chọn công bằng tại thời điểm 0.
• Giả định nền: Không phát sinh chi phí giao dịch và cho phép bán khống tài sản.
• Ý nghĩa các thành phần:
  • Tỷ lệ phòng hộ h: Tỷ số co giãn giữa biên độ giá quyền chọn và biên độ giá tài sản.
  • V_0: Hiện giá của danh mục phòng hộ ròng.
• Cách đọc và áp dụng:
  • Thực hiện tính toán tuần tự từ trái sang phải theo bốn nhịp để chiết xuất giá trị call lý thuyết.

---

2. Glossary: Thuật ngữ và viết tắt cốt lõi

• hedge ratio → Hedge Ratio → Dịch nghĩa: Tỷ lệ phòng hộ. Số lượng cổ phiếu cơ sở cần mua (hoặc bán) trên mỗi hợp đồng quyền chọn để triệt tiêu hoàn toàn rủi ro danh mục ($h$).
• up-move factor → Up-move Factor → Dịch nghĩa: Hệ số tăng giá. Tỷ lệ tăng giá của cổ phiếu cơ sở trong kịch bản đi lên ($u$).
• down-move factor → Down-move Factor → Dịch nghĩa: Hệ số giảm giá. Tỷ lệ giảm giá của cổ phiếu cơ sở trong kịch bản đi xuống ($d$).
• riskless hedge portfolio → Riskless Hedge Portfolio → Dịch nghĩa: Danh mục phòng hộ phi rủi ro. Danh mục kết hợp quyền chọn và cổ phiếu sao cho giá trị danh mục bằng nhau ở mọi trạng thái đáo hạn.
• arbitrage pricing → Arbitrage Pricing → Dịch nghĩa: Định giá phi chênh lệch giá. Nguyên tắc định giá trong đó giá trị hôm nay của một danh mục phi rủi ro phải bằng hiện giá chiết khấu của dòng tiền chắc chắn.

---

3. Nhịp 1: Thiết lập cây nhị phân và xác định dòng hoàn trả

Từ mức giá giao ngay hôm nay ($S_0$), giá trị của tài sản cơ sở ở kỳ tiếp theo được mô tả qua hai kịch bản tăng ($S_u$) và giảm ($S_d$) dựa trên hệ số $u$ và $d$:

$$S_u=S_0\times u,S_d=S_0\times d$$

Trong đó:

• $S_u$ là giá tài sản cơ sở ở trạng thái tăng.
• $S_d$ là giá tài sản cơ sở ở trạng thái giảm.
• $S_0$ là giá giao ngay hiện tại của tài sản cơ sở.
• $u$ là hệ số tăng giá (up-move factor).
• $d$ là hệ số giảm giá (down-move factor).

Payoff tại đáo hạn của quyền chọn mua ứng với từng trạng thái là:

$$c_u=max(0,S_u-X),c_d=max(0,S_d-X)$$

Trong đó:

• $c_u$ là payoff của quyền chọn mua tại đáo hạn trong kịch bản tăng.
• $c_d$ là payoff của quyền chọn mua tại đáo hạn trong kịch bản giảm.
• $X$ là giá thực hiện của quyền chọn.

Khung đọc cây nhị phân:

• Đề bài: Mô tả đường đi nhị phân của giá cổ phiếu từ mức $50$ USD sang kịch bản tăng $60$ USD và giảm $42$ USD.
• Cách đọc: Nhánh màu xanh dốc lên biểu thị kịch bản tăng (hệ số $u=1.20$), mang lại payoff call $5$ USD. Nhánh màu đỏ dốc xuống biểu thị kịch bản giảm (hệ số $d=0.84$), mang lại payoff call $0$ USD.

---

4. Nhịp 2: Xây dựng danh mục phòng hộ phi rủi ro

3.1. Nguyên lý triệt tiêu rủi ro biến động giá

Để triệt tiêu rủi ro biến động giá, người bán quyền chọn mua thiết lập một danh mục phòng hộ bằng cách bán khống 1 quyền chọn mua và mua vào $h$ cổ phiếu cơ sở. Giá trị của danh mục này hôm nay là $V_0=h{S}_0-c_0$ (dấu âm biểu thị vị thế bán quyền chọn).

3.2. Xác định tỷ lệ phòng hộ tối ưu

• ⚙️ Cơ chế: Tỷ lệ phòng hộ $h$ (hedge ratio) được lựa chọn sao cho giá trị của danh mục tại kỳ kế tiếp bằng nhau tuyệt đối trong cả hai kịch bản tăng và giảm: $h{S}_u-c_u=h{S}_d-c_d$. Giải phương trình này, ta thu được tỷ lệ phòng hộ tối ưu:

$$h=\frac{c_u-c_d}{S_u-S_d}$$

Trong đó:

• $h$ là tỷ lệ phòng hộ (hedge ratio).

• $c_u-c_d$ là chênh lệch payoff của quyền chọn giữa hai kịch bản tăng và giảm.

• $S_u-S_d$ là chênh lệch giá tài sản cơ sở giữa hai kịch bản tăng và giảm.

• 🔍 Cách nhận diện: Số lượng cổ phiếu cơ sở cần nắm giữ cho mỗi quyền chọn bán ra để thiết lập danh mục phòng hộ phi rủi ro. Hệ số này tương đương với Delta ($\mathrm{\Delta }$) của quyền chọn.

• 💡 Ý nghĩa: Cho biết độ nhạy của giá quyền chọn đối với sự thay đổi của giá tài sản cơ sở, làm cơ sở để tái lập trạng thái cân bằng danh mục liên tục.

• ⚠️ Bẫy: Bẫy dấu vị thế đối ứng. Cần lưu ý dấu vị thế: đối với call, để phòng hộ vị thế bán (short call), nhà đầu tư phải mua (long) $h$ cổ phiếu ($h>0$). Đối với put, do put tăng giá khi cổ phiếu giảm, danh mục phòng hộ (protective put) sử dụng vị thế mua cổ phiếu đi kèm với mua put (cùng chiều long).

3.3. Minh họa thực tế danh mục phòng hộ cân bằng

Áp dụng số liệu: $S_0=50$, $u=1.20$, $d=0.84$, strike $X=55$. Ta có $S_u=60$, $S_d=42$, $c_u=5$, $c_d=0$.

• Tỷ lệ phòng hộ tối ưu:$$h=\frac{5-0}{60-42}=\frac{5}{18}\approx 0.278$$
• Kiểm chéo giá trị danh mục cuối kỳ:$$V_{\text{up}}=0.278\times 60-5=11.67\text{ USD}$$$$V_{\text{down}}=0.278\times 42-0=11.67\text{ USD}$$

Giá trị danh mục ròng rốt cuộc bằng đúng $11.67$ USD ở cả hai kịch bản. Rủi ro biến động giá hoàn toàn biến mất.

Khung đọc biểu đồ danh mục phòng hộ:

• Đề bài: Minh họa giá trị của hai danh mục tương ứng với hai kịch bản tăng và giảm khi sử dụng tỷ lệ phòng hộ $h=0.278$.
• Cách đọc: Cột bên trái đại diện cho kịch bản tăng, cột bên phải đại diện cho kịch bản giảm. Đường gạch ngang nét đứt biểu thị giá trị ròng của danh mục, nằm cân bằng tuyệt đối ở mức $11.67$ USD trong cả hai trường hợp.

---

5. Nhịp 3 và 4: Chiết khấu phi chênh lệch và xác định phí quyền chọn

4.1. Chiết khấu danh mục phòng hộ theo lãi suất phi rủi ro

Do danh mục phòng hộ không còn rủi ro, theo Luật một giá, tỷ suất sinh lời của nó bắt buộc phải bằng lãi suất phi rủi ro ($r$). Giá trị hiện tại hôm nay của danh mục ($V_0$) là:

$$V_0=\frac{V_{\text{up}}}{1+r}$$

Với ví dụ trên, lãi suất phi rủi ro kỳ hạn là $3\mathrm{\%}$:

$$V_0=\frac{11.67}{1+0.03}=11.33\text{ USD}$$

4.2. Chiết xuất giá trị quyền chọn mua

Từ giá trị danh mục $V_0=h{S}_0-c_0$, chúng ta bóc tách ra giá trị quyền chọn mua hôm nay:

$$c_0=h{S}_0-V_0$$$$c_0=(0.278\times 50)-11.33=13.89-11.33=2.56\text{ USD}$$

Đây là mức giá quyền chọn mua công bằng duy nhất. Mọi sự sai lệch so với mức giá $2.56$ USD này sẽ lập tức tạo cơ hội chênh lệch giá phi rủi ro trên thị trường.

4.3. Phương pháp định giá quyền chọn bán tương đương

Đối với quyền chọn bán (put option), dòng tiền của put và cổ phiếu biến động ngược chiều nhau (cổ phiếu tăng thì put giảm và ngược lại), do đó chúng tự phòng hộ lẫn nhau khi được nắm giữ cùng một hướng. Danh mục phòng hộ phi rủi ro cho put là protective put (mua 1 put và mua $h_{\text{put}}$ cổ phiếu). Payoff của put tại đáo hạn là:

$$p_u=max(0,X-S_u),p_d=max(0,X-S_d)$$

---

6. Ý nghĩa đối với hoạt động định lượng và quản trị danh mục

• Phục vụ tái cân bằng danh mục động (Dynamic Rebalancing): Các hệ thống định lượng sử dụng tỷ lệ $h$ để xác định quy mô cổ phiếu cần mua hoặc bán hàng ngày để duy trì trạng thái trung lập rủi ro (Delta Neutrality) cho các danh mục phái sinh quy mô lớn.
• Tính toán chi phí cấp vốn phòng hộ (Funding Cost Estimation): Do danh mục phòng hộ đòi hỏi phải đi vay hoặc cho vay ở lãi suất phi rủi ro ($r$), mô hình nhị phân giúp ước lượng chính xác chi phí vốn (cost of carry) phát sinh trong suốt thời kỳ duy trì vị thế phòng thủ.
• Áp dụng để quản trị thanh khoản: Lượng hóa giá trị danh mục phòng hộ tại ngày đáo hạn ($V_{\text{up}}=11.67$ USD) hỗ trợ các định chế tài chính lập kế hoạch dòng tiền mặt chi trả thực tế khi hợp đồng phái sinh đến hạn kết toán ròng.

---

7. Câu hỏi tự kiểm tra kiến thức

• Câu hỏi 1: Hãy giải thích tại sao xác suất thực tế của kịch bản tăng hay giảm giá tài sản cơ sở lại hoàn toàn không xuất hiện trong mô hình định giá quyền chọn nhị phân.

  Đáp án và Giải thích chi tiết

  • Cơ chế: Mô hình nhị phân định giá quyền chọn bằng cách xây dựng một danh mục phòng hộ phi rủi ro (hedge portfolio) kết hợp cổ phiếu và quyền chọn. Giá trị của danh mục này tại ngày đáo hạn được thiết lập để bằng nhau tuyệt đối trong cả hai kịch bản tăng và giảm ($V_{\text{up}}=V_{\text{down}}$).
  • Lý giải: Do dòng tiền hoàn trả tại đáo hạn của danh mục là chắc chắn và không có rủi ro, chúng ta không cần quan tâm đến xác suất xảy ra kịch bản nào. Để ngăn chặn cơ hội arbitrage, giá trị hiện tại của danh mục hôm nay bắt buộc phải bằng hiện giá chiết khấu của dòng tiền chắc chắn đó theo lãi suất phi rủi ro ($R_f$). Vì vậy, xác suất thực tế bị triệt tiêu hoàn toàn khỏi công thức định giá.

  (Xem thêm chi tiết tại mục 1.2 và mục 5.1)

• Câu hỏi 2: Cổ phiếu đang có giá giao ngay $S_0=50$ USD. Hệ số tăng giá $u=1.20$, hệ số giảm giá $d=0.84$. Lãi suất phi rủi ro là $3\mathrm{\%}$/kỳ. Một quyền chọn mua châu Âu strike $55$ USD đáo hạn sau 1 kỳ. Hãy tính tỷ lệ phòng hộ $h$ (hedge ratio) và giá trị danh mục phòng hộ ròng cuối kỳ.

  Đáp án và Lời giải chi tiết

  Các bước tính toán chi tiết:

  1. Tính các giá trị cổ phiếu tương lai:$$S_u=50\times 1.20=60.00\text{ USD}$$$$S_d=50\times 0.84=42.00\text{ USD}$$
  2. Tính payoff của quyền chọn mua tại đáo hạn:$$c_u=max(0,S_u-X)=max(0,60-55)=5.00\text{ USD}$$$$c_d=max(0,S_d-X)=max(0,42-55)=0\text{ USD}$$
  3. Tính tỷ lệ phòng hộ $h$:$$h=\frac{c_u-c_d}{S_u-S_d}=\frac{5-0}{60-42}=\frac{5}{18}\approx 0.278$$
  4. Tính giá trị danh mục phòng hộ cuối kỳ ở mỗi trạng thái:$$V_{\text{up}}=h{S}_u-c_u=0.278\times 60-5=11.67\text{ USD}$$$$V_{\text{down}}=h{S}_d-c_d=0.278\times 42-0=11.67\text{ USD}$$

  Giá trị danh mục cuối kỳ chắc chắn bằng $11.67$ USD trong cả hai kịch bản, xác nhận danh mục đã được loại bỏ hoàn toàn rủi ro.

  (Xem thêm chi tiết tại mục 4.2 và mục 4.3)

• Câu hỏi 3: Sử dụng kết quả tính toán của Câu hỏi 2. Hãy tính toán giá trị danh mục phòng hộ hôm nay $V_0$ và bóc tách ra giá trị hợp lý của quyền chọn mua $c_0$.

  Đáp án và Lời giải chi tiết

  Các bước tính toán chi tiết:

  1. Chiết khấu giá trị danh mục phòng hộ cuối kỳ chắc chắn ($11.67$ USD) về hiện tại bằng lãi suất phi rủi ro $3\mathrm{\%}$:$$V_0=\frac{11.67}{1+0.03}=11.33\text{ USD}$$
  2. Áp dụng phương trình định nghĩa danh mục V0 để giải giá trị quyền chọn $c_0$:$$V_0=h{S}_0-c_0⟹c_0=h{S}_0-V_0$$
  3. Thay số và tính toán:$$c_0=(0.278\times 50)-11.33=13.89-11.33=2.56\text{ USD}$$

  Giá trị hợp lý phi chênh lệch giá của quyền chọn mua hôm nay là $2.56$ USD.

  (Xem thêm chi tiết tại mục 5.1 và mục 5.2)