📐 Phương sai và Hiệp phương sai — Variance and Covariance

Xét trường hợp một nhà quản lý danh mục đầu tư sở hữu hai tài sản khác nhau, trong đó mỗi tài sản đều có mức độ biến động riêng lẻ là 20% mỗi năm. Trực giác thông thường có thể gợi ý rằng rủi ro của danh mục kết hợp theo tỷ lệ bằng nhau cũng sẽ bằng 20%. Tuy nhiên, trên thực tế, độ biến động của danh mục tổng thể có thể dao động ở bất kỳ mức nào từ 0% đến 20%, tùy thuộc hoàn toàn vào mức độ dịch chuyển đồng bộ giữa hai tài sản.

Sự sai lệch của phép cộng rủi ro thông thường được quyết định bởi số hạng thứ ba trong công thức tính phương sai danh mục: hiệp phương sai (covariance). Đây là đại lượng phản ánh cách thức hai tài sản tương tác và cộng hưởng với nhau, làm nền tảng cốt lõi cho sự tồn tại của toàn bộ lý thuyết danh mục đầu tư.

Tài liệu này hệ thống hóa các thước đo rủi ro cơ bản bao gồm phương sai (variance) và độ lệch chuẩn (standard deviation) của một tài sản riêng lẻ, hiệp phương sai (covariance) và hệ số tương quan (correlation) giữa hai tài sản, từ đó xây dựng công thức xác định độ lệch chuẩn của danh mục đầu tư tổng thể.

---

Ký hiệu trong file

Bản thuật ngữ tra cứu nhanh được thiết lập tập trung tại concept.md.

• R → Return → Lợi nhuận: Tỷ suất sinh lời trong một kỳ của tài sản.
• EXPECTED RETURN → Expected return (μ or E(R)): Lợi nhuận kỳ vọng (trung bình tổng thể).
• SAMPLE MEAN → Sample mean (R̄): Lợi nhuận trung bình mẫu.
• POPULATION VARIANCE → Population variance (σ²): Phương sai tổng thể.
• SAMPLE VARIANCE → Sample variance (s²): Phương sai mẫu (sử dụng mẫu dữ liệu lịch sử).
• STANDARD DEVIATION → Standard deviation (σ): Độ lệch chuẩn của lợi nhuận.
• T → Number of periods → Số kỳ quan sát: Số lượng mẫu dữ liệu lịch sử.
• COVARIANCE → Covariance (Cov): Hiệp phương sai giữa hai tài sản.
• CORRELATION → Correlation coefficient (ρ): Hệ số tương quan.
• WEIGHT → Weight (w): Tỷ trọng phân bổ của một tài sản trong danh mục đầu tư.
• PORTFOLIO RISK → Portfolio standard deviation (σ_p): Độ lệch chuẩn (rủi ro) của danh mục đầu tư.

---

1. Bức tranh tổng — các tầng đo lường rủi ro danh mục

1.1. Chuỗi liên kết logic

⚙ Cơ chế: Phương pháp xác định rủi ro danh mục được xây dựng theo ba cấp độ tích lũy:

• Cấp độ tài sản đơn lẻ: Đo lường mức độ biến động nội tại của từng tài sản qua phương sai và độ lệch chuẩn (Mục 2).
• Cấp độ cặp tài sản: Đo lường hướng dịch chuyển và cường độ liên kết giữa hai tài sản qua hiệp phương sai và hệ số tương quan (Mục 3).
• Cấp độ danh mục: Kết hợp rủi ro riêng lẻ và mối tương quan chéo vào công thức độ lệch chuẩn danh mục tổng thể (Mục 4).

1.2. Ý nghĩa phương pháp

💡 Ý nghĩa: Nếu chỉ dựa vào rủi ro của từng tài sản đơn lẻ, nhà quản lý không thể tối ưu hóa hoặc dự báo được rủi ro của toàn bộ hệ thống. Hiệp phương sai đóng vai trò là cầu nối định lượng, giúp phát hiện cơ hội giảm thiểu rủi ro mà không cần hạ thấp lợi nhuận kỳ vọng của danh mục.

---

2. Phương sai và Độ lệch chuẩn của Tài sản Đơn lẻ — Variance and Standard Deviation

2.1. Phương sai tổng thể so với Phương sai mẫu

⚙️ Cơ chế: Phương sai đo lường độ phân tán bình quân của các kết quả lợi nhuận thực tế xung quanh giá trị trung bình. Việc tính toán được phân biệt rõ giữa tổng thể và mẫu:

$${\sigma }^2=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T(R_t-\mu {)}^2{s}^2=\frac{1}{T-1}\sum _{t=1}^T(R_t-\overline{R}{)}^2$$

• ${\sigma }^2$: Phương sai tổng thể.
• $T$: Số kỳ quan sát.
• $R_t$: Lợi nhuận thực tế tại kỳ $t$.
• $\mu$: Lợi nhuận trung bình tổng thể.
• $s^2$: Phương sai mẫu.
• $\overline{R}$: Lợi nhuận trung bình mẫu.

Mỗi độ lệch so với giá trị trung bình được bình phương để triệt tiêu dấu âm và gia tăng trọng số phạt đối với các độ lệch lớn. Khi sử dụng mẫu lịch sử, việc chia cho $T-1$ thay vì $T$ (hiệu chỉnh Bessel) nhằm bù đắp cho việc ước lượng trung bình mẫu đã làm mất đi một bậc tự do, tránh hiện tượng ước lượng thiếu (underestimation) rủi ro thật.

🔍 Cách nhận diện: Dữ liệu lợi nhuận lịch sử thực tế hầu hết là dữ liệu mẫu, do đó công thức tính phương sai mẫu (chia cho $T-1$) luôn được áp dụng mặc định.

💡 Ý nghĩa: Phương sai mẫu phản ánh rủi ro biến động lịch sử của tài sản, làm cơ sở dự báo rủi ro tương lai dưới giả định các đặc tính thống kê không đổi.

⚠️ Bẫy: Việc sử dụng nhầm mẫu số $T$ cho dữ liệu mẫu (đặc biệt khi số kỳ quan sát $T$ nhỏ) sẽ dẫn đến kết quả phương sai bị lệch thấp hơn đáng kể so với thực tế.

2.2. Minh họa tính toán thực tế

🔍 Ví dụ thực tế: Xét dữ liệu lợi nhuận mẫu của một tài sản trong 5 năm: 5%, -3%, -4%, 2%, và 6%.

• Trung bình mẫu ($\overline{R}$):$$\overline{R}=\frac{5\mathrm{\%}-3\mathrm{\%}-4\mathrm{\%}+2\mathrm{\%}+6\mathrm{\%}}{5}=1.2\mathrm{\%}$$
• Tổng bình phương độ lệch:$$\sum _{t=1}^5(R_t-\overline{R}{)}^2=(5-1.2{)}^2+(-3-1.2{)}^2+(-4-1.2{)}^2+(2-1.2{)}^2+(6-1.2{)}^2=82.8$$
• Phương sai mẫu ($s^2$):$$s^2=\frac{82.8}{5-1}=20.7$$
• Độ lệch chuẩn mẫu ($s$):$$s=\sqrt{20.7}=4.55\mathrm{\%}$$

---

3. Hiệp phương sai và Hệ số tương quan — Covariance and Correlation

3.1. Hiệp phương sai — Covariance

⚙️ Cơ chế: Hiệp phương sai đo lường mức độ đồng biến động giữa lợi nhuận của hai tài sản theo công thức:

$${\text{Cov}}_{1,2}=\frac{1}{T-1}\sum _{t=1}^T(R_{1,t}-{\overline{R}}_1)(R_{2,t}-{\overline{R}}_2)$$

• ${\text{Cov}}_{1,2}$: Hiệp phương sai mẫu giữa tài sản 1 và tài sản 2.
• $T$: Số kỳ quan sát.
• $R_{1,t},R_{2,t}$: Lợi nhuận của tài sản 1 và tài sản 2 tại kỳ $t$.
• ${\overline{R}}_1,{\overline{R}}_2$: Lợi nhuận trung bình mẫu tương ứng của tài sản 1 và tài sản 2.

Tích của hai độ lệch sẽ mang dấu dương nếu cả hai tài sản cùng vượt trội hoặc cùng kém hơn mức trung bình tại một kỳ, và mang dấu âm nếu chúng dịch chuyển ngược chiều nhau.

🔍 Cách nhận diện:

• $\text{Cov}>0$: Hai tài sản có xu hướng dịch chuyển cùng chiều.
• $\text{Cov}<0$: Hai tài sản có xu hướng dịch chuyển ngược chiều.
• $\text{Cov}=0$: Không có mối quan hệ tuyến tính giữa biến động của hai tài sản.

⚠️ Bẫy: Hiệp phương sai là thước đo tuyệt đối, đo bằng đơn vị bình phương của lợi nhuận (ví dụ: ${\mathrm{\%}}^2$). Trị số của nó phụ thuộc vào độ lớn của độ lệch chuẩn cá thể, do đó rất khó để so sánh cường độ liên kết chéo giữa các cặp tài sản khác nhau nếu chỉ nhìn vào giá trị hiệp phương sai trần.

3.2. Hệ số tương quan — Correlation

⚙️ Cơ chế: Hệ số tương quan chuẩn hóa hiệp phương sai bằng cách chia cho tích độ lệch chuẩn của hai tài sản, chuyển đổi thước đo về một hệ số không đơn vị nằm trong khoảng cố định:

$${\rho }_{1,2}=\frac{{\text{Cov}}_{1,2}}{{\sigma }_1{\sigma }_2}⟺{\text{Cov}}_{1,2}={\rho }_{1,2}{\sigma }_1{\sigma }_2$$

• ${\rho }_{1,2}$: Hệ số tương quan giữa lợi nhuận tài sản 1 và tài sản 2 (giới hạn từ -1 đến +1).
• ${\text{Cov}}_{1,2}$: Hiệp phương sai mẫu giữa hai tài sản.
• ${\sigma }_1,{\sigma }_2$: Độ lệch chuẩn tương ứng của tài sản 1 và tài sản 2.

🔍 Cách nhận diện ba mốc giới hạn:

• $\rho =+1$: Tương quan dương hoàn hảo (dịch chuyển đồng điệu tuyệt đối).
• $\rho =-1$: Tương quan âm hoàn hảo (dịch chuyển ngược chiều tuyệt đối).
• $\rho =0$: Không tương quan tuyến tính.

---

4. Độ lệch chuẩn của Danh mục đầu tư — Portfolio Standard Deviation

4.1. Phương sai danh mục gồm hai tài sản

⚙️ Cơ chế: Phương sai lợi nhuận của danh mục đầu tư gồm hai tài sản được tính toán dựa trên cấu trúc toàn phương:

$${\sigma }_p^2=w_1^2{\sigma }_1^2+w_2^2{\sigma }_2^2+2w_1{w}_2{\text{Cov}}_{1,2}$$

• ${\sigma }_p^2$: Phương sai của danh mục đầu tư.
• $w_1,w_2$: Tỷ trọng vốn phân bổ tương ứng vào tài sản 1 và tài sản 2 ($w_1+w_2=1$).
• ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$: Phương sai tương ứng của tài sản 1 và tài sản 2.
• ${\text{Cov}}_{1,2}$: Hiệp phương sai giữa hai tài sản.

Số hạng thứ ba ($2w_1{w}_2{\text{Cov}}_{1,2}$) quyết định phần rủi ro cộng hưởng chéo, là lý do khiến rủi ro danh mục không bằng trung bình cộng đơn giản của rủi ro các cấu phần.

4.2. Biểu diễn phương sai danh mục theo hệ số tương quan

⚙️ Cơ chế: Thay thế hiệp phương sai bằng tích của hệ số tương quan và hai độ lệch chuẩn:

$${\sigma }_p=\sqrt{w_1^2{\sigma }_1^2+w_2^2{\sigma }_2^2+2w_1{w}_2{\rho }_{1,2}{\sigma }_1{\sigma }_2}$$

• ${\sigma }_p$: Độ lệch chuẩn (rủi ro) của danh mục đầu tư.
• $w_1,w_2$: Tỷ trọng của tài sản 1 và tài sản 2.
• ${\sigma }_1,{\sigma }_2$: Độ lệch chuẩn của tài sản 1 và tài sản 2.
• ${\rho }_{1,2}$: Hệ số tương quan giữa hai tài sản.

💡 Ý nghĩa: Hệ số tương quan ${\rho }_{1,2}$ đóng vai trò là tham số điều chỉnh rủi ro danh mục. Khi ${\rho }_{1,2}<+1$, số hạng thứ ba giảm đi, kéo độ lệch chuẩn danh mục xuống dưới mức trung bình gia quyền rủi ro của các cấu phần.

🔍 Ví dụ tính toán: Xét danh mục gồm 30% cổ phiếu (${\sigma }_1=20\mathrm{\%}$) và 70% trái phiếu (${\sigma }_2=12\mathrm{\%}$), hệ số tương quan ${\rho }_{1,2}=0.60$.

• Phương sai danh mục:$${\sigma }_p^2={0.30}^2(0.20{)}^2+{0.70}^2(0.12{)}^2+2(0.30)(0.70)(0.60)(0.20)(0.12)=0.016704$$
• Độ lệch chuẩn danh mục:$${\sigma }_p=\sqrt{0.016704}=12.92\mathrm{\%}$$(Nếu tương quan ${\rho }_{1,2}=+1$, độ lệch chuẩn danh mục sẽ bằng bình quân gia quyền: $0.3\times 20\mathrm{\%}+0.7\times 12\mathrm{\%}=14.4\mathrm{\%}$. Việc tương quan thấp hơn 1 đã giúp giảm rủi ro danh mục đi 1.48%).

---

5. Liên hệ thực tế trong Quantitative Research

• Dạng ma trận hiệp phương sai: Trong mô hình phân tích định lượng với nhiều tài sản ($N>2$), công thức phương sai danh mục được viết dưới dạng ma trận:$${\sigma }_p^2={\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\Sigma }\mathbf{w}$$Trong đó $\mathbf{w}$ là vectơ tỷ trọng và $\mathbf{\Sigma }$ là ma trận hiệp phương sai (covariance matrix).
• Mối liên hệ với thống kê học: Cấu trúc này đồng nhất với việc tính toán phương sai sai số của các bộ dự báo kết hợp tuyến tính trong mô hình học máy.

---

✅ Tự kiểm nhanh

• Câu hỏi 1: Tại sao khi tính toán phương sai mẫu từ dữ liệu lịch sử, chúng ta lại chia cho $T-1$ thay vì $T$?

  Đáp án

  Chia cho $T-1$ nhằm hiệu chỉnh bậc tự do bị mất khi ước lượng trung bình mẫu, giúp phương sai mẫu trở thành ước lượng không chệch (unbiased estimator) của phương sai tổng thể.

• Câu hỏi 2: Hệ số tương quan $\rho$ có giới hạn giá trị trong khoảng nào và nó khác hiệp phương sai ở điểm cốt lõi nào?

  Đáp án

  Hệ số tương quan giới hạn từ -1 đến +1. Khác với hiệp phương sai (là thước đo tuyệt đối phụ thuộc đơn vị), hệ số tương quan là thước đo tương đối không có đơn vị, giúp dễ dàng so sánh giữa các cặp tài sản khác nhau.

• Câu hỏi 3: Đối với danh mục gồm hai tài sản, hệ số tương quan giữa chúng càng nhỏ thì độ lệch chuẩn của danh mục thay đổi thế nào khi giữ nguyên tỷ trọng?

  Đáp án

  Hệ số tương quan càng nhỏ (tiến về -1) thì số hạng chéo trong công thức phương sai danh mục càng nhỏ (hoặc mang giá trị âm lớn hơn), làm giảm độ lệch chuẩn của danh mục đầu tư tổng thể.