📐 Variance và covariance — đo rủi ro của tài sản và danh mục

Anh có hai tài sản, mỗi cái biến động 20% một năm. Trộn nửa-nửa thì danh mục biến động bao nhiêu? Trực giác nói 20%. Nhưng câu trả lời thật có thể là bất cứ con số nào từ 0% tới 20%, tùy hai tài sản đi cùng nhịp hay ngược nhịp.

Điều khiến phép cộng đơn giản sai là một số hạng thứ ba: hai tài sản phối hợp nhịp với nhau thế nào. Số hạng đó tên là hiệp phương sai, và nó là lý do cả lý thuyết danh mục tồn tại. Đo nó ra sao, và nó chen vào công thức rủi ro danh mục ở chỗ nào?

File này dựng bộ đo rủi ro từ gốc: variance và standard deviation của một tài sản, rồi covariance và correlation của hai tài sản, cuối cùng ghép tất cả thành portfolio standard deviation (độ lệch chuẩn danh mục hai tài sản).

---

Ký hiệu trong file

Format English — tiếng Việt (nghĩa). Bản gom toàn cụm xem concept.md.

• R — return — lợi nhuận một kỳ của tài sản.
• mu — mean / expected return — trung bình tổng thể (ký hiệu Hy Lạp mu).
• R bar — sample mean — trung bình mẫu (ký hiệu R có gạch ngang trên).
• sigma^2 — population variance — phương sai tổng thể.
• s^2 — sample variance — phương sai mẫu (chia cho T trừ 1).
• sigma — standard deviation — độ lệch chuẩn: căn bậc hai phương sai.
• T — number of periods — số kỳ quan sát.
• Cov — covariance — hiệp phương sai của hai tài sản.
• rho — correlation coefficient — hệ số tương quan, nằm trong khoảng -1 tới +1.
• w — weight — tỷ trọng tài sản trong danh mục (tổng bằng 1).
• sigma_p — portfolio standard deviation — độ lệch chuẩn danh mục.

---

1. Bức tranh tổng — ba tầng đo rủi ro

1.1. Câu hỏi lõi

⚙️ Cơ chế: rủi ro danh mục dựng từ ba viên gạch chồng lên nhau:

• Một tài sản dao động bao nhiêu — variance và standard deviation. Mục 2.
• Hai tài sản phối hợp thế nào — covariance (tuyệt đối) và correlation (chuẩn hóa). Mục 3.
• Gộp lại rủi ro danh mục bằng bao nhiêu — công thức portfolio standard deviation, có cả ba viên gạch trên. Mục 4.

1.2. Vì sao cần cả ba

• Variance đơn lẻ chưa đủ — biết rủi ro từng tài sản không suy ra rủi ro danh mục.
• Covariance là cầu nối — nó định lượng phần "cộng hưởng" giữa hai tài sản, quyết định danh mục êm hơn hay không.
• Correlation để so sánh — covariance phụ thuộc đơn vị, correlation chuẩn hóa về khoảng cố định để dễ diễn giải.

---

2. Variance và standard deviation của một tài sản

2.1. Phương sai tổng thể và phương sai mẫu

⚙️ Cơ chế: phương sai đo độ phân tán của lợi nhuận quanh trung bình. Khi biết toàn bộ tổng thể, dùng phương sai tổng thể chia cho T; khi chỉ có một mẫu (tình huống thường gặp trong tài chính), dùng phương sai mẫu chia cho T trừ 1.

$${\sigma }^2=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T(R_t-\mu {)}^2{s}^2=\frac{1}{T-1}\sum _{t=1}^T(R_t-\overline{R}{)}^2$$

• Biến (trái sang phải):
  • sigma^2 — population variance — phương sai tổng thể.
  • T — number of periods — số kỳ quan sát.
  • Rt — return — lợi nhuận ở kỳ t.
  • mu — population mean — trung bình tổng thể.
  • s^2 — sample variance — phương sai mẫu.
  • R bar — sample mean — trung bình mẫu.

Công thức này nói gì: lấy mỗi độ lệch khỏi trung bình, bình phương để bỏ dấu và phạt nặng độ lệch lớn, rồi bình quân. Khác biệt duy nhất: tổng thể chia T, mẫu chia $(T-1)$ — chia số nhỏ hơn để bù cho việc trung bình mẫu đã "ăn" mất một bậc tự do, tránh ước thiếu phương sai thật.

⚠️ Bẫy mẫu so với tổng thể: dữ liệu lợi nhuận lịch sử gần như luôn là mẫu, nên mặc định dùng $(T-1)$. Dùng nhầm T cho mẫu nhỏ làm phương sai bị ước thiếu rõ rệt.

🔍 Ví dụ tính (Module Quiz 83.3 câu 1): năm lợi nhuận 5%, -3%, -4%, 2%, 6%.

• Trung bình: $(5-3-4+2+6)/5=1,2\mathrm{\%}$ (Schweser answer key).
• Tổng bình phương độ lệch: $14,44+17,64+27,04+0,64+23,04=82,8$ (Schweser answer key).
• Phương sai mẫu: $82,8/(5-1)=20,7$ (Schweser answer key).
• Độ lệch chuẩn mẫu: $\sqrt{20,7}=4,55\mathrm{\%}$ (Schweser answer key).
• Số này nghĩa là gì: lợi nhuận năm điển hình lệch khỏi trung bình 1,2% khoảng cộng trừ 4,55% — đó là thước đo rủi ro của khoản đầu tư.

---

3. Covariance và correlation của hai tài sản

3.1. Covariance — hiệp phương sai

⚙️ Cơ chế: covariance đo mức hai biến cùng dịch chuyển theo thời gian.

$${\text{Cov}}_{1,2}=\frac{1}{T-1}\sum _{t=1}^T(R_{1,t}-{\overline{R}}_1)(R_{2,t}-{\overline{R}}_2)$$

• Biến (trái sang phải):
  • Cov(1,2) — covariance — hiệp phương sai mẫu giữa tài sản 1 và 2.
  • T — số kỳ quan sát.
  • R(1,t), R(2,t) — lợi nhuận tài sản 1 và 2 ở kỳ t.
  • R bar 1, R bar 2 — trung bình mẫu của hai tài sản.

Công thức này nói gì: mỗi kỳ, nhân độ lệch của tài sản 1 với độ lệch của tài sản 2. Cùng vượt trung bình hoặc cùng hụt thì tích dương; ngược chiều thì tích âm. Bình quân các tích cho biết xu hướng chung.

🔍 Cách nhận diện dấu:

• Covariance dương — hai tài sản hay cùng nhịp (cùng lên cùng xuống).
• Covariance âm — hai tài sản hay ngược nhịp.
• Covariance bằng 0 — không có quan hệ tuyến tính; biết lợi nhuận kỳ tới của cái này không cho biết gì về cái kia.

⚠️ Bẫy đơn vị: covariance là thước đo tuyệt đối, đo bằng đơn vị lợi nhuận bình phương, và độ lớn phụ thuộc độ lệch chuẩn của từng tài sản. Vì vậy con số covariance trần khó diễn giải — cần chuẩn hóa.

3.2. Correlation — hệ số tương quan

⚙️ Cơ chế: correlation là covariance chia cho tích hai độ lệch chuẩn, chuẩn hóa về khoảng cố định và bỏ đơn vị.

$${\rho }_{1,2}=\frac{{\text{Cov}}_{1,2}}{{\sigma }_1{\sigma }_2}⟺{\text{Cov}}_{1,2}={\rho }_{1,2}{\sigma }_1{\sigma }_2$$

• Biến (trái sang phải):
  • rho(1,2) — correlation coefficient — hệ số tương quan giữa hai tài sản.
  • Cov(1,2) — hiệp phương sai hai tài sản.
  • sigma_1, sigma_2 — độ lệch chuẩn của tài sản 1 và 2.

Công thức này nói gì: chia covariance cho tích hai độ lệch chuẩn để được một số không đơn vị nằm gọn trong khoảng -1 tới +1. Viết ngược lại, covariance bằng correlation nhân hai độ lệch chuẩn — đường tắt hay dùng để suy covariance khi đã có correlation.

🔍 Cách diễn giải ba mốc:

• rho bằng +1 — tương quan dương hoàn hảo: độ lệch khỏi trung bình luôn tỷ lệ cùng chiều.
• rho bằng -1 — tương quan âm hoàn hảo: độ lệch luôn tỷ lệ ngược chiều.
• rho bằng 0 — không tương quan: không có quan hệ tuyến tính, biết cái này không cho biết gì về cái kia.

🔍 Ví dụ tính correlation (Module Quiz 83.3 câu 4): phương sai A là 0,09, phương sai B là 0,04, hiệp phương sai 0,006.

• Độ lệch chuẩn: ${\sigma }_A=\sqrt{0,09}=0,30$, ${\sigma }_B=\sqrt{0,04}=0,20$.
• Correlation: $\mathrm{0,006}/(0,30\times 0,20)=0,10$ (Schweser answer key).
• Số này nghĩa là gì: hai cổ phiếu tương quan dương yếu — cùng nhịp nhẹ, còn nhiều phần dao động riêng, nên trộn vào nhau vẫn còn lợi đa dạng hóa.

3.3. Ví dụ đầy đủ bốn thước đo cùng lúc

🔍 Ví dụ tính (ví dụ tự dựng, dựng để correlation đúng bằng +1 như ghi chú nguồn): ba năm lợi nhuận phần trăm của tài sản A và B.

Năm	Lợi nhuận A	Lợi nhuận B
1	10	15
2	12	19
3	8	11

• Trung bình: A là $(10+12+8)/3=10$; B là $(15+19+11)/3=15$.
• Phương sai mẫu A: $[(0{)}^2+(2{)}^2+(-2{)}^2]/(3-1)=8/2=4$; độ lệch chuẩn A = $\sqrt{4}=2$.
• Phương sai mẫu B: $[(0{)}^2+(4{)}^2+(-4{)}^2]/(3-1)=32/2=16$; độ lệch chuẩn B = $\sqrt{16}=4$.
• Covariance: $[(0)(0)+(2)(4)+(-2)(-4)]/(3-1)=16/2=8$.
• Correlation: $8/(2\times 4)=1,0$ (ví dụ tự dựng).
• Số này nghĩa là gì: A và B tương quan dương hoàn hảo (B luôn bằng $2A-5$), nên trộn hai cái này không giảm rủi ro chút nào — đây là trường hợp xấu nhất cho đa dạng hóa, sẽ làm rõ ở file 03.

---

4. Portfolio standard deviation — độ lệch chuẩn danh mục

4.1. Công thức phương sai danh mục hai tài sản

⚙️ Cơ chế: phương sai lợi nhuận của danh mục hai tài sản rủi ro gồm ba số hạng: rủi ro riêng của từng tài sản (có trọng số bình phương) cộng một số hạng chéo chứa covariance.

$${\sigma }_p^2=w_1^2{\sigma }_1^2+w_2^2{\sigma }_2^2+2w_1{w}_2{\text{Cov}}_{1,2}$$

• Biến (trái sang phải):
  • sigma_p^2 — portfolio variance — phương sai danh mục.
  • w1, w2 — weight — tỷ trọng tài sản 1 và 2; $w_2=1-w_1$.
  • sigma_1^2, sigma_2^2 — phương sai từng tài sản.
  • Cov(1,2) — hiệp phương sai hai tài sản.

Công thức này nói gì: hai số hạng đầu là rủi ro riêng của mỗi tài sản, đã thu nhỏ theo bình phương tỷ trọng. Số hạng thứ ba — số hạng chéo — là chỗ phép cộng đơn giản sai: nó cộng thêm (nếu hai tài sản cùng nhịp) hoặc trừ bớt (nếu ngược nhịp) rủi ro tổng. Độ lệch chuẩn danh mục là căn bậc hai của phương sai này.

4.2. Viết theo correlation

⚙️ Cơ chế: thay ${\text{Cov}}_{1,2}={\rho }_{1,2}{\sigma }_1{\sigma }_2$ vào để thấy rõ correlation tác động lên rủi ro danh mục.

$${\sigma }_p=\sqrt{w_1^2{\sigma }_1^2+w_2^2{\sigma }_2^2+2w_1{w}_2{\rho }_{1,2}{\sigma }_1{\sigma }_2}$$

• Biến (trái sang phải):
  • sigma_p — độ lệch chuẩn danh mục.
  • w1, w2 — tỷ trọng hai tài sản.
  • sigma_1, sigma_2 — độ lệch chuẩn hai tài sản.
  • rho(1,2) — correlation hai tài sản.

Công thức này nói gì: correlation nằm gọn trong số hạng thứ ba. Nó càng nhỏ (tiến về -1) thì số hạng thứ ba càng nhỏ hoặc âm, kéo cả phương sai danh mục xuống — đó chính là cơ chế đa dạng hóa, làm rõ ở file 03.

4.3. Ví dụ tính độ lệch chuẩn danh mục

🔍 Ví dụ tính (số nguồn, 83.e): danh mục 30% cổ phiếu (độ lệch chuẩn 20%), 70% trái phiếu (độ lệch chuẩn 12%), correlation 0,60.

• Phương sai danh mục:

$${\sigma }_p^2=0,{30}^2(0,20{)}^2+0,{70}^2(0,12{)}^2+2(0,30)(0,70)(0,60)(0,20)(0,12)=\mathrm{0,016}704$$

• Độ lệch chuẩn danh mục: $\sqrt{\mathrm{0,016}704}=12,92\mathrm{\%}$ (Schweser answer key).
• So với nếu correlation bằng +1: lúc đó độ lệch chuẩn chỉ là bình quân gia quyền $0,30(20\mathrm{\%})+0,70(12\mathrm{\%})=14,4\mathrm{\%}$ (Schweser answer key).
• Số này nghĩa là gì: correlation thật 0,60 (nhỏ hơn 1) kéo rủi ro danh mục xuống 12,92%, thấp hơn mức 14,4% của trường hợp cùng nhịp hoàn hảo — phần chênh 1,48% chính là lợi ích đa dạng hóa.

🔍 Ví dụ tính (Module Quiz 83.3 câu 5): 25% tài sản A (độ lệch chuẩn 15%), 75% tài sản B (độ lệch chuẩn 10%), correlation -0,75.

• Phương sai danh mục:

$${\sigma }_p^2=0,{25}^2(0,15{)}^2+0,{75}^2(0,10{)}^2+2(0,25)(0,75)(-0,75)(0,15)(0,10)=\mathrm{0,002}81$$

• Độ lệch chuẩn danh mục: $\sqrt{\mathrm{0,002}81}=5,30\mathrm{\%}$ (Schweser answer key).
• Số này nghĩa là gì: correlation âm mạnh (-0,75) khiến danh mục chỉ còn rủi ro 5,30% — thấp hơn cả độ lệch chuẩn của tài sản ít rủi ro hơn (10%), một biểu hiện rõ của đa dạng hóa khi hai tài sản ngược nhịp.

---

5. Liên hệ bức tranh gốc

• Ba tầng đo chồng lên nhau — variance đo rủi ro một tài sản, covariance và correlation đo quan hệ hai tài sản, công thức danh mục ghép cả ba lại.
• Số hạng chéo là linh hồn — phép cộng rủi ro thất bại vì số hạng thứ ba chứa covariance; correlation càng thấp số hạng đó càng kéo rủi ro xuống.
• Vì sao quan trọng cho anh: công thức phương sai danh mục chính là dạng toàn phương $w^{\mathrm{\top }}\mathrm{\Sigma }w$ với $\mathrm{\Sigma }$ là ma trận hiệp phương sai — đúng thứ xuất hiện khi tính phương sai của một tổ hợp tuyến tính trong thống kê. File 03 đẩy correlation chạy từ +1 xuống -1 để thấy đường rủi ro danh mục cong dần, dẫn tới biên hiệu quả.

---

✅ Tự kiểm nhanh

• Phương sai mẫu khác phương sai tổng thể ở đâu? → Chia $(T-1)$ thay vì T, bù bậc tự do đã mất khi ước trung bình. (mục 2.1)
• Năm lợi nhuận 5, -3, -4, 2, 6 phần trăm, độ lệch chuẩn mẫu? → Phương sai 20,7, độ lệch chuẩn 4,55%. (mục 2.1)
• Covariance dương, âm, bằng 0 nghĩa là gì? → Cùng nhịp, ngược nhịp, không quan hệ tuyến tính. (mục 3.1)
• Vì sao cần correlation khi đã có covariance? → Covariance phụ thuộc đơn vị và độ lớn từng tài sản; correlation chuẩn hóa về -1 tới +1. (mục 3.2)
• Cov 0,006, phương sai 0,09 và 0,04, correlation bằng bao nhiêu? → $\mathrm{0,006}/(0,30\times 0,20)=0,10$. (mục 3.2)
• Công thức phương sai danh mục hai tài sản có mấy số hạng? → Ba: hai rủi ro riêng cộng một số hạng chéo chứa covariance. (mục 4.1)
• Danh mục 30/70 độ lệch chuẩn 20%/12% correlation 0,60, rủi ro bằng bao nhiêu? → 12,92%, thấp hơn mức 14,4% nếu correlation bằng +1. (mục 4.3)