Put-call forward parity — ngang giá khi thay tài sản bằng hợp đồng kỳ hạn 🔁

Put-call parity cần một cổ phiếu thật trong danh mục protective put. Nhưng nếu thứ ta nắm không phải cổ phiếu mà là một hợp đồng kỳ hạn trên cổ phiếu đó thì sao? Quan hệ ngang giá có còn dùng được không?

Còn — chỉ cần thay tài sản cơ sở bằng một tài sản tổng hợp dựng từ hợp đồng kỳ hạn. Đây là cùng một ý tưởng replication, áp lên một cấu phần thay thế.

File này dựng put-call forward parity bằng cách thay giá cổ phiếu $S_0$ trong parity gốc bằng giá hiện tại của giá kỳ hạn, rồi cho thấy nó vẫn ra một phương trình ngang giá no-arbitrage.

---

Ký hiệu trong file

Format VIẾT TẮT — English — nghĩa. Bản gom toàn cụm xem concept.md.

• $F_0(T)$ — forward price — giá kỳ hạn thỏa thuận hôm nay để giao dịch tại đáo hạn T.
• $S_0$ — underlying price — giá tài sản cơ sở hôm nay.
• X — exercise/strike price — giá thực thi.
• $c_0,p_0$ — call/put price — giá call, giá put hôm nay.
• Rf — risk-free rate — lãi suất phi rủi ro.
• T — time to expiration — thời gian tới đáo hạn.
• synthetic asset — synthetic asset — tài sản tổng hợp dựng từ trái phiếu cộng vị thế long forward.

---

1. Bức tranh tổng — tài sản tổng hợp từ hợp đồng kỳ hạn

1.1. Dựng tài sản tổng hợp

⚙️ Cơ chế: thay vì mua thẳng cổ phiếu, ghép hai thứ để tạo ra cùng kết quả tại đáo hạn:

• Long một hợp đồng kỳ hạn — cam kết mua tài sản giá $F_0(T)$ tại T; vào hợp đồng không tốn tiền (giá trị ban đầu bằng 0).
• Long một trái phiếu chiết khấu trả $F_0(T)$ tại T — tốn $\frac{F_0(T)}{(1+R_f{)}^T}$ hôm nay.

Tại đáo hạn, tiền trái phiếu vừa đủ trả giá $F_0(T)$ mà hợp đồng kỳ hạn yêu cầu → ta sở hữu tài sản. Vậy danh mục này là một tài sản tổng hợp, với chi phí hôm nay đúng bằng giá hiện tại của giá kỳ hạn:

$$\text{synthetic asset cost}=\frac{F_0(T)}{(1+R_f{)}^T}$$

• Biến (trái sang phải):
  • $F_0(T)$ — forward price — giá kỳ hạn.
  • Rf — lãi suất phi rủi ro; T thời gian tới đáo hạn.

Công thức này nói gì: chi phí tạo ra tài sản (qua đường kỳ hạn) bằng giá hiện tại của giá kỳ hạn. Đây chính là thứ sẽ thế chỗ $S_0$ trong parity gốc.

1.2. Đồ thị tổng

• Node xanh đậm — put-call parity gốc dùng cổ phiếu thật.
• Node xanh nhạt — dựng tài sản tổng hợp rồi thay nó vào chỗ cổ phiếu.
• Node xanh lá — kết quả là put-call forward parity.

---

2. Phương trình ngang giá kỳ hạn

2.1. Dạng chuẩn

Thay $\frac{F_0(T)}{(1+R_f{)}^T}$ vào chỗ $S_0$ trong parity gốc $S_0+p_0=c_0+\frac{X}{(1+R_f{)}^T}$:

$$\frac{F_0(T)}{(1+R_f{)}^T}+p_0=c_0+\frac{X}{(1+R_f{)}^T}$$

• Biến (trái sang phải):
  • $\frac{F_0(T)}{(1+R_f{)}^T}$ — PV của forward price — giá hiện tại của giá kỳ hạn, thế chỗ giá cổ phiếu.
  • $p_0$ — put price — giá put hôm nay.
  • $c_0$ — call price — giá call hôm nay.
  • $\frac{X}{(1+R_f{)}^T}$ — PV(X) — giá hiện tại của trái phiếu chiết khấu mệnh giá X.

Công thức này nói gì: giá hiện tại của giá kỳ hạn cộng giá put bằng giá call cộng giá hiện tại của strike. Đây đúng là parity gốc nhưng thay cổ phiếu thật bằng tài sản tổng hợp dựng từ hợp đồng kỳ hạn; vẫn là một quan hệ ngang giá no-arbitrage tại lúc ký hợp đồng.

2.2. Dạng sắp lại

Gom hai số hạng chiết khấu về một vế:

$$c_0-p_0=\frac{F_0(T)-X}{(1+R_f{)}^T}$$

• Biến (trái sang phải):
  • $c_0-p_0$ — chênh lệch giá call và put.
  • $F_0(T)-X$ — chênh giá kỳ hạn và strike.
  • mẫu $(1+R_f{)}^T$ — hệ số chiết khấu về hôm nay.

Công thức này nói gì: chênh lệch giá call trừ put bằng giá hiện tại của khoản chênh giữa giá kỳ hạn và strike. Nếu giá kỳ hạn cao hơn strike thì call đắt hơn put, và ngược lại.

• 🔍 Cách nhận diện: đề cho giá kỳ hạn (không cho giá cổ phiếu) cùng X, Rf, T và một trong hai giá call/put → dùng dạng forward parity, cô lập cái còn thiếu.
• ⚠️ Bẫy: put-call forward parity gồm trái phiếu phi rủi ro, call và put, và HỢP ĐỒNG KỲ HẠN — KHÔNG gồm tài sản cơ sở trực tiếp (tài sản đã được thay bằng đường kỳ hạn).

---

3. Ví dụ định giá put qua forward parity

• Đề (ví dụ tự dựng): lãi suất phi rủi ro 4%, kỳ hạn 6 tháng, strike $55. Giá kỳ hạn 6 tháng của cổ phiếu là $61.19. Call strike $55 giá $7.00. Tính giá put.
• Tính:

$$p_0=c_0+\frac{X}{(1+R_f{)}^T}-\frac{F_0(T)}{(1+R_f{)}^T}=7+\frac{55}{(1.04{)}^{0.5}}-\frac{61.19}{(1.04{)}^{0.5}}$$

• $\frac{55}{(1.04{)}^{0.5}}=53.93$; $\frac{61.19}{(1.04{)}^{0.5}}=60.00$.
• $p_0=7+53.93-60.00=0.93$.
• Số này nghĩa là gì: giá put quanh $0.93/cổ phiếu. Con số trùng với ví dụ ở 04_put-call-parity.md vì giá kỳ hạn không-có-chi-phí-nắm-giữ $61.19$ có giá hiện tại đúng bằng giá cổ phiếu $60$ — hai đường (cổ phiếu thật và tài sản tổng hợp) gặp nhau, nên hai parity cho cùng đáp án.

---

4. Liên hệ bức tranh gốc

• Cùng ý tưởng, đổi cấu phần — forward parity là parity gốc thay cổ phiếu bằng tài sản tổng hợp dựng từ trái phiếu cộng long forward.
• Thành phần là forward, không phải tài sản trực tiếp — đây là điểm phân biệt hay thi: danh mục forward parity gồm trái phiếu, call, put và hợp đồng kỳ hạn.
• Khi giá kỳ hạn không-carry thì hai parity gặp nhau — vì giá hiện tại của giá kỳ hạn bằng giá cổ phiếu, hai phương trình cho cùng kết quả; nối thẳng về 04_put-call-parity.md.

---

✅ Tự kiểm nhanh

• Tài sản tổng hợp trong forward parity dựng từ gì? → Long một hợp đồng kỳ hạn cộng long một trái phiếu chiết khấu trả $F_0(T)$ tại đáo hạn. (mục 1.1)
• Phương trình put-call forward parity viết thế nào? → $\frac{F_0(T)}{(1+R_f{)}^T}+p_0=c_0+\frac{X}{(1+R_f{)}^T}$. (mục 2.1)
• Forward parity có chứa tài sản cơ sở trực tiếp không? → Không; nó chứa trái phiếu, call, put và hợp đồng kỳ hạn (tài sản đã được thay bằng đường kỳ hạn). (mục 2.2)
• $c_0-p_0$ bằng gì theo forward parity? → $\frac{F_0(T)-X}{(1+R_f{)}^T}$. (mục 2.2)
• Vì sao ví dụ put ra cùng $0.93 như parity gốc? → Vì giá kỳ hạn không-carry có giá hiện tại đúng bằng giá cổ phiếu, hai parity gặp nhau. (mục 3)