Arbitrage và replication — vì sao định giá quyền chọn khác hợp đồng kỳ hạn ⚖️

Hợp đồng kỳ hạn (forward) định giá bằng một câu đơn giản: tại lúc ký, giá trị với cả hai bên bằng 0. Nhưng quyền chọn thì người mua phải trả phí ngay từ đầu — giá trị ban đầu khác 0.

Vì sao cùng là phái sinh mà cách định giá lại khác nhau? Câu trả lời nằm ở hai điểm: payoff một chiều và giá ban đầu dương khiến mô hình giá-zero của forward không dùng được cho quyền chọn.

File này dựng sự đối lập đó, rồi cho thấy quyền chọn vẫn định giá bằng arbitrage — nhưng qua replication (dựng danh mục cùng payoff) thay vì qua giá-zero, từ đó suy ra cận trên và cận dưới của giá quyền chọn châu Âu.

Ký hiệu trong file

Format VIẾT TẮT — English — nghĩa. Bản gom toàn cụm xem concept.md.

forward commitment — forward commitment — cam kết kỳ hạn buộc cả hai bên.
contingent claim — contingent claim — quyền chọn có điều kiện, chỉ một bên có quyền.
arbitrage — arbitrage — kinh doanh chênh lệch giá không rủi ro, không vốn.
replication — replication — dựng danh mục có payoff trùng để định giá.
c, p — call/put price — giá quyền chọn mua, quyền chọn bán.
S — underlying price — giá tài sản cơ sở; $S_{0}$ hôm nay, $S_{T}$ tại đáo hạn.
X — exercise price — giá thực thi.
Rf — risk-free rate — lãi suất phi rủi ro.
T — time to expiration — thời gian tới đáo hạn.
PV — present value — giá trị hiện tại.

1. Bức tranh tổng — hai loại phái sinh hai cách định giá

1.1. Câu hỏi lõi

Cả forward lẫn quyền chọn đều định giá bằng nguyên tắc không-arbitrage. Nhưng điểm xuất phát khác nhau:

Forward commitment — định giá quanh điều kiện giá trị ban đầu bằng 0 cho cả hai bên.
Contingent claim (quyền chọn) — giá ban đầu dương, payoff một chiều, nên dựng danh mục replication rồi áp no-arbitrage để chặn giá.

1.2. Đồ thị tổng

Node xanh đậm — cùng một nguyên tắc gốc: không cho phép arbitrage.
Node xanh nhạt — hai nhánh áp dụng: forward dùng giá-zero, quyền chọn dùng replication.
Node xanh lá — kết quả của nhánh quyền chọn: bộ cận trên cận dưới của giá.

2. Hai khác biệt cốt lõi giữa forward và quyền chọn

2.1. Giá ban đầu

⚙️ Cơ chế:

Forward commitment — giá khởi điểm đặt sao cho giá trị hợp đồng bằng 0 với cả hai bên; không bên nào trả tiền cho bên kia lúc ký.
Contingent claim — người mua trả phí (premium) cho người bán ngay từ đầu, nên giá trị ban đầu dương.

2.2. Hình dạng payoff

⚙️ Cơ chế:

Forward — payoff hai chiều, lời/lỗ về cơ bản không giới hạn cho cả hai bên (chỉ bị chặn bởi giá không xuống dưới 0).
Quyền chọn — payoff một chiều: người mua lỗ tối đa bằng phí đã trả, người bán lời tối đa bằng phí đã thu.
💡 Ý nghĩa: chính vì hai khác biệt này (giá ban đầu dương + payoff một chiều), mô hình giá-zero của forward không áp được cho quyền chọn. Quyền chọn cần một cách no-arbitrage khác: dựng danh mục replication.

Tiêu chí	Forward commitment	Contingent claim
Giá ban đầu	bằng 0 hai bên	dương (phí premium)
Payoff	hai chiều	một chiều
Lỗ tối đa người mua	không chặn	bằng phí đã trả
Cách định giá	giá-zero	replication chặn giá

3. Replication — dựng danh mục để chặn giá quyền chọn

3.1. Ý tưởng chung

⚙️ Cơ chế: ghép quyền chọn với một vị thế trái phiếu chiết khấu và một vị thế (long hoặc short) tài sản cơ sở, sao cho danh mục không bao giờ có payoff âm. Một danh mục không thể có payoff âm thì giá hôm nay không thể âm — đó là điều kiện no-arbitrage để suy ra cận giá.

3.2. Cận dưới của call châu Âu

Danh mục: long một call (strike X, đáo hạn T), long một trái phiếu chiết khấu trả X tại T, short một cổ phiếu giá $S_{0}$ .

c_{0} \geq max (0, S_{0} - \frac{X}{(1 + R_{f})^{T}})

Biến (trái sang phải):
- $c_{0}$ — call price — giá call hôm nay.
- max — toán tử lấy số lớn hơn (chặn dưới 0).
- $S_{0}$ — underlying price — giá cổ phiếu hôm nay.
- $\frac{X}{(1 + R_{f})^{T}}$ — PV(X) — giá trị hiện tại của trái phiếu chiết khấu mệnh giá X, với X giá thực thi, Rf lãi suất phi rủi ro, T thời gian tới đáo hạn.

Công thức này nói gì: giá call ít nhất bằng giá cổ phiếu trừ đi giá hiện tại của strike, và không bao giờ âm. Lý do: danh mục trên tại đáo hạn luôn cho payoff $\geq 0$ (nếu $S_{T} \geq X$ thì payoff bằng 0, nếu $S_{T} < X$ thì payoff dương $X - S_{T}$ ), nên giá hôm nay của nó $c_{0} - S_{0} + \frac{X}{(1 + R_{f})^{T}} \geq 0$ , sắp lại ra cận trên đây.

3.3. Cận dưới của put châu Âu

Danh mục: long một put (strike X, đáo hạn T), short trái phiếu (vay $\frac{X}{(1 + R_{f})^{T}}$ ), long một cổ phiếu giá $S_{0}$ .

p_{0} \geq max (0, \frac{X}{(1 + R_{f})^{T}} - S_{0})

Biến (trái sang phải):
- $p_{0}$ — put price — giá put hôm nay.
- $\frac{X}{(1 + R_{f})^{T}}$ — PV(X) — giá hiện tại của strike.
- $S_{0}$ — giá cổ phiếu hôm nay.

Công thức này nói gì: giá put ít nhất bằng giá hiện tại của strike trừ giá cổ phiếu, không âm. Cùng lập luận no-arbitrage: danh mục put không có payoff âm nên giá hôm nay không âm.

3.4. Cận trên

c_{0} \leq S_{0}, p_{0} \leq \frac{X}{(1 + R_{f})^{T}}

Công thức này nói gì:
- Call — không ai trả cho quyền mua một tài sản nhiều hơn chính giá tài sản đó; mua thẳng còn rẻ hơn.
- Put châu Âu — giá trị cao nhất khi cổ phiếu về 0 là nhận X, nhưng vì chỉ nhận tại đáo hạn nên chặn trên là giá hiện tại của X, không phải X.
⚠️ Bẫy: cận trên của put là $\frac{X}{(1 + R_{f})^{T}}$ (đã chiết khấu), KHÔNG phải X. Lý do là put châu Âu không thực thi sớm được, tiền X chỉ về tại đáo hạn.
🔍 Cách nhận diện: đề cho S, X, Rf, T và hỏi giá quyền chọn "ít nhất / nhiều nhất là bao nhiêu" → áp đúng cận. Giáo trình ghi rõ chỉ cần dùng các cận này, không phải tự suy ra.

4. Liên hệ bức tranh gốc

Cùng gốc no-arbitrage, khác cách dùng — forward dùng giá-zero, quyền chọn dùng replication; nguyên nhân là quyền chọn có giá ban đầu dương và payoff một chiều.
Replication là cầu nối sang parity — chính tư duy "danh mục cùng payoff phải cùng giá" ở đây sẽ dựng nên put-call parity ở 04_put-call-parity.md.
Cận giá đặt nền cho mô hình định lượng — bộ cận trên cận dưới là khung tối thiểu trước khi vào các mô hình tính giá chính xác (cây nhị phân, Black-Scholes).

✅ Tự kiểm nhanh

Vì sao mô hình giá-zero của forward không dùng cho quyền chọn? → Vì quyền chọn có giá ban đầu dương (trả phí) và payoff một chiều, khác hẳn forward giá-zero hai chiều. (mục 2)
Cách định giá quyền chọn dùng nguyên tắc gì? → No-arbitrage qua replication: dựng danh mục không có payoff âm thì giá hôm nay không âm. (mục 3.1)
Cận trên của call châu Âu là gì? → $c_{0} \leq S_{0}$ , vì không ai trả cho quyền mua nhiều hơn giá tài sản. (mục 3.4)
Cận trên của put châu Âu là X hay PV của X? → Là $\frac{X}{(1 + R_{f})^{T}}$ , vì put châu Âu chỉ nhận X tại đáo hạn nên phải chiết khấu. (mục 3.4)
Lỗ tối đa của người mua quyền chọn so với người mua forward khác nhau ra sao? → Người mua quyền chọn lỗ tối đa bằng phí đã trả; người mua forward lỗ về cơ bản không chặn. (mục 2.2)

Arbitrage và replication — vì sao định giá quyền chọn khác hợp đồng kỳ hạn ⚖️ ​

Ký hiệu trong file ​

1. Bức tranh tổng — hai loại phái sinh hai cách định giá ​

1.1. Câu hỏi lõi ​

1.2. Đồ thị tổng ​

2. Hai khác biệt cốt lõi giữa forward và quyền chọn ​

2.1. Giá ban đầu ​

2.2. Hình dạng payoff ​

3. Replication — dựng danh mục để chặn giá quyền chọn ​

3.1. Ý tưởng chung ​

3.2. Cận dưới của call châu Âu ​

3.3. Cận dưới của put châu Âu ​

3.4. Cận trên ​

4. Liên hệ bức tranh gốc ​

✅ Tự kiểm nhanh ​