Bài tập cụm duration và convexity

Mầm test vòng sau. Đề lấy từ Module Quiz 57.1 và 58.1 (Schweser 2025 L1) cộng vài bài tính tự dựng cho phần PVBP, money duration và danh mục. Mỗi câu kèm lời giải đầy đủ và trỏ về file con liên quan.

---

Phần 1 — Thước đo duration

Đề Module Quiz 57.1.

Câu 1. Trái phiếu coupon 14% trả mỗi năm, còn 6 năm tới đáo hạn, đang giao dịch ngang mệnh giá. Dùng thay đổi lợi suất 25 điểm cơ bản, approximate modified duration của trái phiếu gần nhất với:

• A. 0,392.
• B. 3,888.
• C. 3,970.

Đáp án: B. Trái phiếu ngang mệnh giá nên lợi suất bằng coupon 14%. Định giá lại ở hai phía: V− (lợi suất 13,75%) và V+ (lợi suất 14,25%), V0 = 100.

$$\text{ModDur}=\frac{V_{-}-V_{+}}{2\times V_0\times \mathrm{\Delta }y}=\frac{V_{-}-V_{+}}{2\times 100\times \mathrm{0,002}5}=\mathrm{3,888}$$

Đáp án A (0,392) là lỗi quên nhân Δy dạng thập phân; C (3,970) sai do làm tròn. (file 01, mục 2.3)

Câu 2. Trái phiếu mệnh giá 1.000 đô, 7 năm, coupon 5,5% trả nửa năm, đang có giá 1.029,23 đô. Price value of a basis point của trái phiếu gần nhất với:

• A. 0,05 đô.
• B. 0,60 đô.
• C. 5,74 đô.

Đáp án: B. Trước hết tìm lợi suất: định giá ngược ra YTM = 5,00% (lãi mỗi kỳ 2,50%, 14 kỳ, coupon 27,50 đô/kỳ). Định giá lại ở hai bp lân cận:

• Lợi suất 5,01% (2,505%/kỳ) → 1.028,63 đô (V+).
• Lợi suất 4,99% (2,495%/kỳ) → 1.029,82 đô (V−).

$$\text{PVBP}=\frac{1.029,82-1.028,63}{2}=\mathrm{0,595}\text{ đô}$$

(Schweser answer key). (file 01, mục 4)

Câu 3. Modified duration của một trái phiếu là 7,87. Approximate phần trăm thay đổi giá dùng duration-only khi lợi suất giảm 110 điểm cơ bản gần nhất với:

• A. −8,657%.
• B. +7,155%.
• C. +8,657%.

Đáp án: C. Lợi suất giảm nên giá tăng:

$$\mathrm{\%}\mathrm{\Delta }\text{giá}=-\text{ModDur}\times \mathrm{\Delta }y=-7,87\times (-\mathrm{0,011})=+\mathrm{8,657}\mathrm{\%}$$

(Schweser answer key). (file 01, mục 2.2)

Câu 4. Yếu tố khác như nhau, trái phiếu nào dưới đây nhiều khả năng có rủi ro giá cao nhất?

• A. Trái phiếu lãi thả nổi trả nửa năm, kỳ hạn 10 năm.
• B. Trái phiếu không coupon kỳ hạn 2 năm.
• C. Trái phiếu coupon 10% trả nửa năm, kỳ hạn 2 năm.

Đáp án: B. Trái phiếu lãi thả nổi rủi ro giá rất thấp vì coupon đặt lại theo lãi suất thị trường, giá quay về sát mệnh giá. Coupon thấp hơn (yếu tố khác như nhau) cho rủi ro giá lớn hơn, nên trái phiếu không coupon 2 năm có rủi ro giá cao hơn trái phiếu coupon 10% cùng kỳ hạn. (file 02, mục 3)

---

Phần 2 — Convexity và danh mục

Đề Module Quiz 58.1.

Câu 5. Annualized convexity của trái phiếu 2 năm, coupon 10% trả mỗi năm, giao dịch ngang mệnh giá, gần nhất với:

• A. 1,65.
• B. 4,66.
• C. 4,96.

Đáp án: B. Trái phiếu ngang mệnh giá nên lợi suất bằng coupon 10%. Convexity từng dòng tiền:

• Kỳ 1: $(1\times 2)/1,{10}^2=\mathrm{1,653}$.
• Kỳ 2: $(2\times 3)/1,{10}^2=\mathrm{4,959}$.

Trọng số hiện giá: kỳ 1 = 0,09091; kỳ 2 = 0,90909.

$$\text{convexity}=\mathrm{0,090}91(\mathrm{1,653})+\mathrm{0,909}09(\mathrm{4,959})=4,66$$

Coupon trả mỗi năm nên không cần annualize thêm. (file 03, mục 2.1)

Câu 6. Trái phiếu đang có giá 104,4518. Lợi suất tăng 10 điểm cơ bản thì giá giảm còn 103,9954; lợi suất giảm 10 điểm cơ bản thì giá tăng lên 104,9108. Approximate convexity của trái phiếu gần nhất với:

• A. 12,45.
• B. 24,89.
• C. 49,78.

Đáp án: B. V0 = 104,4518; V+ = 103,9954; V− = 104,9108; Δy = 0,001.

$$\text{convexity}=\frac{V_{+}+V_{-}-2V_0}{V_0\times (\mathrm{\Delta }y{)}^2}=\frac{\mathrm{103,995}4+\mathrm{104,910}8-2\times \mathrm{104,451}8}{\mathrm{104,451}8\times {\mathrm{0,001}}^2}=24,89$$

(Schweser answer key). (file 03, mục 2.2)

Câu 7. Annualized convexity của trái phiếu 2 năm, coupon 10% trả nửa năm, giao dịch ngang mệnh giá, gần nhất với:

• A. 4,12.
• B. 4,66.
• C. 16,47.

Đáp án: A. Ngang mệnh giá nên lợi suất bằng coupon 10%; trả nửa năm nên lãi mỗi kỳ 5%, có 4 kỳ. Convexity từng dòng tiền (chia $1,{05}^2$): kỳ 1 = 1,8141; kỳ 2 = 5,4422; kỳ 3 = 10,8844; kỳ 4 = 18,1406.

$$\text{convexity (kỳ)}=\mathrm{0,047}6(\mathrm{1,814}1)+\mathrm{0,045}4(\mathrm{5,442}2)+\mathrm{0,043}2(\mathrm{10,884}4)+\mathrm{0,863}8(\mathrm{18,140}6)=16,47$$

Annualize bằng cách chia cho bình phương số kỳ một năm:

$$\text{annualized convexity}=\frac{16,47}{2^2}=4,12$$

(Schweser answer key). Lưu ý đáp án C (16,47) là bẫy quên annualize. (file 03, mục 2.1)

Câu 8. Trái phiếu có convexity 114,6. Hiệu ứng convexity khi lợi suất giảm 110 điểm cơ bản gần nhất với:

• A. −1,673%.
• B. +0,693%.
• C. +1,673%.

Đáp án: B. Hiệu ứng convexity luôn dương:

$$\frac{1}{2}\times \text{convexity}\times (\mathrm{\Delta }y{)}^2=0,5\times 114,6\times (-\mathrm{0,011}{)}^2=\mathrm{0,006}93=+\mathrm{0,693}\mathrm{\%}$$

(Schweser answer key). (file 03, mục 3.1)

Câu 9. Duration danh mục dựa trên bình quân gia quyền duration các thành phần giả định điều gì?

• A. lợi suất đổi đồng đều ở mọi kỳ hạn.
• B. danh mục không chứa trái phiếu có quyền chọn gắn kèm.
• C. tỷ suất sinh lời nội bộ của danh mục bằng lợi suất dòng tiền của nó.

Đáp án: A. Duration danh mục bị giới hạn vì giả định dịch song song đường cong lợi suất, tức lãi suất chiết khấu ở mọi kỳ hạn đổi cùng một lượng. (file 03, mục 4.3)

---

Phần 3 — Bài tính tự dựng

Câu 10 (ví dụ tự dựng). Trái phiếu mệnh giá 5 triệu đô, modified duration 6,25, giá đầy đủ 98,40. Tính money duration cả trái phiếu, và mức tiền vị thế đổi nếu lợi suất tăng 40 điểm cơ bản.

Lời giải. Money duration là ModDur nhân giá trị thị trường đầy đủ:

$$\text{MoneyDur}=6,25\times 5.000.000\times \mathrm{0,984}0=30.750.000\text{ đô}$$

Lợi suất tăng 40bp (Δy = 0,004), giá giảm:

$$\mathrm{\Delta }\text{giá}=-30.750.000\times \mathrm{0,004}=-123.000\text{ đô}$$

Vị thế mất khoảng 123.000 đô. (file 01, mục 3)

Câu 11 (ví dụ tự dựng). Trái phiếu modified duration 4,80 và convexity 32,0, hiện giá 95,00. Ước phần trăm thay đổi giá và giá mới nếu lợi suất tăng 150 điểm cơ bản, dùng cả duration và convexity. So với ước duration-only.

Lời giải. Δy = +0,015.

• Hiệu ứng duration: $-4,80\times \mathrm{0,015}=-\mathrm{0,072}=-7,20\mathrm{\%}$.
• Hiệu ứng convexity: $\frac{1}{2}\times 32,0\times {\mathrm{0,015}}^2=\mathrm{0,003}6=+0,36\mathrm{\%}$.
• Tổng phần trăm giá đổi: $-7,20\mathrm{\%}+0,36\mathrm{\%}=-6,84\mathrm{\%}$.

$$\text{giá mới}=95,00\times (1-\mathrm{0,068}4)=88,50\text{ đô}$$

Ước duration-only cho −7,20% (giá 88,16) — giảm sâu hơn thực tế; convexity cộng dương kéo bớt phần giảm. Với cú đổi lớn 150bp, phần convexity (0,36%) đã đáng kể. (file 03, mục 3.1)

Câu 12 (ví dụ tự dựng). Danh mục ba trái phiếu theo giá trị thị trường: trái phiếu X chiếm 50%, duration 2,0, convexity 8; trái phiếu Y chiếm 30%, duration 6,0, convexity 50; trái phiếu Z chiếm 20%, duration 11,0, convexity 160. Tính duration và convexity danh mục. Thước đo này hỏng khi nào?

Lời giải. Bình quân gia quyền theo tỷ trọng:

$$\text{duration}=0,5\times 2,0+0,3\times 6,0+0,2\times 11,0=1,0+1,8+2,2=5,0$$$$\text{convexity}=0,5\times 8+0,3\times 50+0,2\times 160=4+15+32=51$$

Danh mục hành xử như một trái phiếu duration 5,0, convexity 51. Thước đo này chỉ đúng khi đường cong lợi suất dịch song song — mọi kỳ hạn đổi cùng một lượng. Khi đường cong xoắn hoặc dốc lên (lãi ngắn và dài đổi khác nhau), bình quân gia quyền không còn ước đúng vì trái phiếu Z dài hạn chịu cú sốc khác trái phiếu X ngắn hạn. (file 03, mục 4.2 và 4.3)