Bài tập cụm cấu trúc kỳ hạn

Mầm test vòng 2. Đề lấy từ Module Quiz 55.1 (Schweser 2025 L1) cộng vài bài tính tự dựng cho phần forward bootstrapping và par rate. Mỗi câu kèm lời giải đầy đủ và trỏ về file con liên quan.

---

Phần 1 — Module Quiz 55.1

Câu 1. Nếu spot rate là 3,2% cho 1 năm, 3,4% cho 2 năm, 3,5% cho 3 năm, giá của một trái phiếu mệnh giá 100.000 đô, kỳ hạn 3 năm, trả coupon hàng năm với coupon 4% gần nhất với:

• A. 101.420 đô.
• B. 101.790 đô.
• C. 108.230 đô.

Đáp án: A. Chiết mỗi dòng tiền theo spot kỳ đó. Coupon hàng năm 4.000 đô; năm cuối cộng gốc 100.000 đô.

$$P=\frac{4000}{\mathrm{1,032}}+\frac{4000}{{\mathrm{1,034}}^2}+\frac{104000}{{\mathrm{1,035}}^3}=101.419\text{ đô}$$

Gần nhất với 101.420 đô. (Schweser answer key; file 01, mục 2.1)

Câu 2. Lãi suất chiết khấu thị trường cho một khoản chi trả đơn lẻ trong tương lai là một:

• A. spot rate.
• B. simple yield.
• C. forward rate.

Đáp án: A. Spot rate là lãi chiết khấu cho một dòng tiền đơn trong tương lai. Simple yield đo lợi suất có tính coupon và khấu hao tuyến tính phần chiết khấu/phụ trội. Forward rate là lãi cho một kỳ tương lai (như lãi 3 tháng bắt đầu sau 6 tháng). (Schweser answer key; file 01, mục 1.1)

Câu 3. Đường cong lợi suất nào ít khả năng nhất gồm các lợi suất quan sát được trên thị trường?

• A. Forward yield curve.
• B. Par bond yield curve.
• C. Coupon bond yield curve.

Đáp án: B. Par bond yield curve dựa trên lợi suất lý thuyết làm trái phiếu mỗi kỳ hạn giá bằng par — phải dựng từ spot, không quan sát thẳng. Lợi suất trái phiếu coupon và forward rate quan sát thẳng từ giao dịch thị trường. (Schweser answer key; file 03, mục 1.1)

Câu 4. Spot rate 4 năm là 9,45%, spot rate 3 năm là 9,85%. Forward rate 1 năm bắt đầu sau 3 năm (3y1y) là bao nhiêu?

• A. 8,258%.
• B. 9,850%.
• C. 11,059%.

Đáp án: A. Quan hệ không-arbitrage: $(\mathrm{1,094}5{)}^4=(\mathrm{1,098}5{)}^3(1+3y1y)$.

$$3y1y=\frac{\mathrm{1,094}{5}^4}{\mathrm{1,098}{5}^3}-1=8,26\mathrm{\%}$$

Kiểm tra xấp xỉ: $4(9,45\mathrm{\%})-3(9,85\mathrm{\%})=8,25\mathrm{\%}$ — sát. (Schweser answer key; file 02, mục 4.3)

Câu 5. Cho spot 1 năm 5,5%; 1y1y 7,63%; 2y1y 12,18%; 3y1y 15,5%. Giá trị một trái phiếu 4 năm, coupon 10% trả hàng năm, mệnh giá 1.000 đô gần nhất với:

• A. 870 đô.
• B. 996 đô.
• C. 1.009 đô.

Đáp án: C. Định giá bằng forward — chiết mỗi dòng tiền bằng tích các thừa số forward. Coupon 100 đô; năm cuối 1.100 đô.

$$V=\frac{100}{\mathrm{1,055}}+\frac{100}{\mathrm{1,055}\cdot \mathrm{1,076}3}+\frac{100}{\mathrm{1,055}\cdot \mathrm{1,076}3\cdot \mathrm{1,121}8}+\frac{1100}{\mathrm{1,055}\cdot \mathrm{1,076}3\cdot \mathrm{1,121}8\cdot \mathrm{1,155}}$$$$V=1.009\text{ đô}$$

Gần nhất 1.009 đô. (Schweser answer key; file 02, mục 6.1)

Câu 6. Spot 1 năm là 1% và 1y1y là 3%. Phát biểu nào chính xác nhất?

• A. Spot 2 năm hơi dưới 2%, và par yield 2 năm hơi dưới spot 2 năm.
• B. Spot 2 năm hơi dưới 2%, và par yield 2 năm hơi trên spot 2 năm.
• C. Spot 2 năm hơi dưới 4%, và par yield 2 năm hơi dưới spot 2 năm.

Đáp án: A. Spot 2 năm phản ánh lãi từng kỳ 1% năm đầu và 3% năm hai, nên xấp xỉ 2% (chính xác $\sqrt{1,01\times 1,03}-1=1,99\mathrm{\%}$, hơi dưới 2%). Forward đang tăng theo kỳ hạn nên spot tăng theo kỳ hạn chậm hơn, par yield cũng tăng nhưng hơi dưới spot. (Schweser answer key; file 03, mục 2.2 và 3)

---

Phần 2 — Bài tính tự dựng

Câu 7 (ví dụ tự dựng). Định giá bằng spot. Trái phiếu 2 năm, coupon 6% trả hàng năm, mệnh giá 1.000 đô. Spot 1 năm 2,5%, spot 2 năm 3,5%. Tính giá.

Lời giải. Coupon 60 đô; năm cuối cộng gốc 1.060 đô.

$$P=\frac{60}{\mathrm{1,025}}+\frac{1060}{{\mathrm{1,035}}^2}=58,54+989,52=1.048,06\text{ đô}$$

Giá trên par vì cả hai spot (2,5% và 3,5%) thấp hơn coupon 6%. (file 01, mục 2.1)

Câu 8 (ví dụ tự dựng). Forward bootstrapping — suy cả đường forward từ spot. Spot 1 năm 2%, 2 năm 3%, 3 năm 4%, 4 năm 5%. Tính các forward 1 năm: 1y1y, 2y1y, 3y1y.

Lời giải. Mỗi forward suy từ quan hệ $(1+S_{n+1}{)}^{n+1}=(1+S_n{)}^n(1+ny1y)$:

$$1y1y=\frac{1,{03}^2}{1,02}-1=4,01\mathrm{\%}$$$$2y1y=\frac{1,{04}^3}{1,{03}^2}-1=6,03\mathrm{\%}$$$$3y1y=\frac{1,{05}^4}{1,{04}^3}-1=8,06\mathrm{\%}$$

Forward tăng dần (4,01% lên 6,03% lên 8,06%) trong khi spot tăng chậm hơn (3% lên 4% lên 5%) — đúng quan hệ forward trên spot khi đường cong dốc lên. (file 02, mục 4.3; file 03, mục 2.2)

Câu 9 (ví dụ tự dựng). Spot bootstrapping — suy spot từ đường forward. Spot 1 năm 3% (cũng là forward kỳ đầu), 1y1y 4%, 2y1y 5%, 3y1y 6%. Tính spot 2, 3, 4 năm.

Lời giải. Spot kỳ n là bình quân nhân các forward tới kỳ đó:

$$S_2=(1,03\times 1,04{)}^{1/2}-1=3,50\mathrm{\%}$$$$S_3=(1,03\times 1,04\times 1,05{)}^{1/3}-1=4,00\mathrm{\%}$$$$S_4=(1,03\times 1,04\times 1,05\times 1,06{)}^{1/4}-1=4,49\mathrm{\%}$$

Spot dốc lên (3% lên 4,49%) nhưng chậm hơn forward (3% lên 6%) — spot bị kéo lại bởi các forward kỳ đầu thấp. (file 02, mục 4.2; file 03, mục 3)

Câu 10 (ví dụ tự dựng). Tính par rate. Spot 1 năm 2%, 2 năm 3%, 3 năm 4%. Tính par rate 3 năm.

Lời giải. Tìm coupon PMT (mệnh giá 100) để bond giá bằng par:

$$100=\frac{PMT}{1,02}+\frac{PMT}{1,{03}^2}+\frac{PMT+100}{1,{04}^3}$$

Thừa số chiết khấu: $1/1,02=\mathrm{0,980}4$; $1/1,{03}^2=\mathrm{0,942}6$; $1/1,{04}^3=\mathrm{0,889}0$.

$$PMT=\frac{100-100\times \mathrm{0,889}0}{\mathrm{0,980}4+\mathrm{0,942}6+\mathrm{0,889}0}=\frac{11,10}{\mathrm{2,812}0}=3,95$$

Par rate 3 năm là 3,95% — nằm giữa các spot và sát ngay dưới spot 3 năm (4%), đúng quan hệ par dưới spot khi dốc lên. (file 02, mục 2.1; file 03, mục 2.2)

Câu 11 (ví dụ tự dựng). Forward nhiều kỳ. Spot 1 năm 3%, 2 năm 4%, 3 năm 5%, 4 năm 6%. Tính 2y2y (lãi vay 2 năm bắt đầu sau 2 năm).

Lời giải. Quan hệ $(1+S_4{)}^4=(1+S_2{)}^2(1+2y2y{)}^2$:

$$2y2y={\left[\frac{1,{06}^4}{1,{04}^2}\right]}^{1/2}-1=8,04\mathrm{\%}$$

Lấy căn bậc hai vì khoản vay dài 2 năm nên phải ra lãi hàng năm. Xấp xỉ: chênh 4 năm ở 6% (24%) và 2 năm ở 4% (8%) là 16%, chia 2 ra 8% — sát. (file 02, mục 5)

Câu 12 (ví dụ tự dựng). Kiểm chứng hai cách định giá cho cùng kết quả. Spot 1 năm 4%, 2 năm 8%. Định giá trái phiếu 2 năm coupon 8% trả hàng năm mệnh giá 1.000 đô bằng (a) spot và (b) forward, rồi so sánh.

Lời giải. Trước hết suy 1y1y: $1,{08}^2/1,04-1=\mathrm{12,154}\mathrm{\%}$.

Cách spot:

$$P=\frac{80}{1,04}+\frac{1080}{1,{08}^2}=76,92+925,93=1.002,85\text{ đô}$$

Cách forward:

$$P=\frac{80}{1,04}+\frac{1080}{1,04\times \mathrm{1,121}54}=76,92+925,93=1.002,85\text{ đô}$$

Hai cách ra đúng cùng con số vì thừa số chiết khấu năm 2 bằng nhau: $1,{08}^2=1,04\times \mathrm{1,121}54=\mathrm{1,166}4$. Đây là minh chứng định giá bằng forward bằng định giá bằng spot. (file 02, mục 6.1)