Appearance
Spot rate — lãi suất giao ngay và định giá không-arbitrage 💵
Lợi suất đáo hạn (YTM) coi như mọi dòng tiền của một trái phiếu đều được chiết khấu bằng cùng một lãi suất.
Nhưng tiền nhận sau 1 năm và tiền nhận sau 3 năm rõ ràng không cùng một mức rủi ro thời gian — vậy một lãi suất phẳng có thực sự đúng không?
File này dựng spot rate: lãi suất riêng cho từng dòng tiền đơn theo kỳ hạn, công thức chiết mỗi dòng tiền theo đúng spot kỳ đó, và lý do giá tính ra gọi là giá không-arbitrage.
Ký hiệu trong file
Format English — tiếng Việt (nghĩa). Bản gom toàn cụm xem concept.md.
- spot rate (St, zt) — spot rate — lãi suất giao ngay: lãi chiết khấu cho một dòng tiền đơn nhận ở kỳ hạn xác định; còn gọi zero rate vì quan sát qua bond zero-coupon.
- CFt — cash flow at t — dòng tiền trái phiếu nhận cuối kỳ t.
- P — price — giá trái phiếu hôm nay.
- t, N — period / number of periods — chỉ số kỳ và số kỳ tới đáo hạn.
- YTM — yield to maturity — lợi suất đáo hạn: lãi suất phẳng duy nhất chiết mọi dòng tiền.
- no-arbitrage — no-arbitrage — không-arbitrage: không có lợi nhuận chắc chắn từ chênh giá.
1. Bức tranh tổng — mỗi dòng tiền một lãi suất riêng
1.1. Định nghĩa spot rate
⚙️ Cơ chế: spot rate là lãi suất chiết khấu cho một khoản tiền nhận ở một thời điểm tương lai. Mỗi kỳ hạn có một spot rate riêng — lãi cho tiền nhận sau 1 năm khác lãi cho tiền nhận sau 3 năm.
- Quan sát ở đâu — spot rate quan sát được bằng cách tính lãi suất chiết khấu của bond zero-coupon (trái phiếu chỉ trả một lần khi đáo hạn). Vì zero-coupon chỉ có đúng một dòng tiền, lãi suất chiết của nó chính là spot rate kỳ hạn đó.
- Tên gọi khác — vì gắn với zero-coupon, spot rate còn gọi là zero-coupon rate hay zero rate.
1.2. Định nghĩa spot curve
🔍 Cách nhận diện: spot curve (đường cong spot) là biểu đồ vẽ spot rate theo kỳ hạn, cho một loại trái phiếu hoặc tổ chức phát hành cụ thể (ví dụ spot rate trái phiếu chính phủ Mỹ). Trục hoành là kỳ hạn, trục tung là spot rate.
1.3. Cây các ý trong file
- Định nghĩa — spot rate và spot curve (mục 1.1, 1.2).
- Công thức định giá — chiết từng dòng tiền theo spot kỳ đó (mục 2).
- Giá không-arbitrage — vì sao gọi như vậy và liên hệ YTM (mục 3).
2. Định giá trái phiếu bằng spot rate
2.1. Công thức
Để định giá trái phiếu bằng spot rate, cộng hiện giá của từng khoản chi trả, mỗi khoản chiết theo spot rate ứng với số kỳ trước khi nó được trả.
- Biến (trái sang phải):
- P — price — giá trái phiếu hôm nay.
- CFt — cash flow at t — dòng tiền nhận cuối kỳ t (coupon, hoặc coupon cộng gốc ở kỳ cuối).
- St — spot rate at t — spot rate cho kỳ hạn t kỳ.
- t, N — chỉ số kỳ chạy từ 1 tới số kỳ đáo hạn N.
Công thức này nói gì: mỗi dòng tiền chiết khấu bằng đúng spot rate của kỳ hạn nó được nhận — không dùng chung một lãi suất. Khác hẳn YTM, vốn thay mọi St bằng một con số duy nhất.
2.2. Ví dụ định giá bằng spot rate
🔍 Ví dụ Schweser: trái phiếu 3 năm, coupon 5%/năm (trả hàng năm), mệnh giá 100 đô. Spot rate: 1 năm 3%, 2 năm 4%, 3 năm 5%.
- Dòng tiền: coupon 5 đô cuối năm 1, 5 đô cuối năm 2, và 105 đô cuối năm 3 (coupon cộng gốc).
- Giá:
(Schweser answer key). - Số này nghĩa là gì: trái phiếu đáng giá 100,180 đô — nhỉnh trên mệnh giá 100. Vì giá trên par, ta biết ngay YTM thấp hơn coupon 5% một chút.
2.3. Liên hệ với YTM
⚙️ Cơ chế: với giá 100,180 đô vừa tính, có thể giải ngược ra YTM của chính trái phiếu đó.
- Phép tính: N = 3; PMT = 5; FV = 100; PV = −100,180; tính ra I/Y = 4,93% (Schweser answer key).
- Trực giác giáo sư Schweser: YTM là một kiểu bình quân có trọng số của các spot rate. Coupon năm 1 hưởng 3%, năm 2 hưởng 4%, còn coupon năm 3 cộng gốc hưởng 5%. Vì phần lớn dòng tiền dồn vào năm 3 (lúc trả gốc), bình quân nghiêng mạnh về 5% — nên thấy ngay YTM phải hơi dưới 5%.
3. Giá không có kẽ hở chênh lệch
⚙️ Cơ chế: giá tính bằng spot rate gọi là giá không-arbitrage (no-arbitrage price). Nếu một trái phiếu được định giá khác con số này, sẽ có cơ hội kiếm lời chắc chắn bằng cách mua bán chênh lệch giữa các trái phiếu.
- Vì sao chắc chắn có lời — một trái phiếu coupon có thể coi như một gói nhiều dòng tiền đơn. Mỗi dòng tiền đơn phải có cùng giá với một zero-coupon cùng kỳ hạn. Nếu trái phiếu coupon lệch giá so với tổng giá các zero-coupon thành phần, người ta mua rẻ bán đắt giữa hai bên để hưởng chênh không rủi ro.
- Hệ quả — định giá đúng phải dùng spot rate từng kỳ, không dùng một YTM phẳng. YTM chỉ là kết quả suy ra sau khi đã có giá, không phải đầu vào để định giá không-arbitrage.
💡 Ý nghĩa: spot rate là nền tảng định giá chuẩn của trái phiếu — mọi dòng tiền chiết theo đúng lãi suất kỳ hạn của nó thì không còn kẽ hở arbitrage.
4. Liên hệ bức tranh gốc
- Spot rate vá lỗ hổng của YTM — YTM giả định một lãi suất phẳng cho mọi dòng tiền; spot rate cho mỗi dòng tiền đúng lãi suất kỳ hạn của nó, ra giá không-arbitrage.
- YTM là hệ quả, không phải nguyên nhân — sau khi định giá bằng spot, mới giải ngược ra YTM như một bình quân có trọng số của các spot rate (trọng số dồn vào kỳ trả gốc).
- Vì sao quan trọng cho anh: giá không-arbitrage là một ràng buộc kiểm chứng được — nếu một hệ định giá tự dựng cho kết quả lệch giá zero-coupon thành phần thì chắc chắn có lỗi, đúng tinh thần dùng ràng buộc cứng để bắt sai sót.
✅ Tự kiểm nhanh
- Spot rate đo lãi cho cái gì? → Một dòng tiền đơn nhận ở một kỳ hạn xác định; quan sát qua bond zero-coupon. (mục 1.1)
- Định giá bond bằng spot rate làm sao? → Chiết mỗi dòng tiền bằng đúng spot rate của kỳ đó rồi cộng lại. (mục 2.1)
- Bond 3 năm coupon 5% với spot 3/4/5% có giá bao nhiêu? → 100,180 đô, hơi trên par nên YTM hơi dưới 5%. (mục 2.2)
- Vì sao gọi là giá không-arbitrage? → Lệch giá này thì có lời chắc chắn từ mua bán chênh giữa bond và các zero-coupon thành phần. (mục 3)
- YTM liên hệ spot thế nào? → YTM là bình quân có trọng số của các spot rate, trọng số dồn vào kỳ trả gốc. (mục 2.3)