Bài tập — cụm Simple Linear Regression

Bài lấy từ Schweser 2025 L1 Reading 10 ghi (Schweser answer key) — số có thật trong text nguồn. Các bài tính phân rã SST/SSR/SSE/$R^2$/SEE/F dùng ví dụ tự dựng (bảng ANOVA của Schweser nằm trong ảnh, pdftotext không lấy được số) — số tự tính, tự kiểm, ghi rõ (ví dụ tự dựng). Đây cũng là mầm test cho vòng 2 (mỗi đáp án thành một assert).

Cách dùng: che phần Đáp án, tự giải theo công thức ở concept.md, rồi đối chiếu.

---

1. Đường khớp OLS

Bài 1.1 — Đọc nghĩa hệ số (Schweser answer key)

• Đề: hồi quy lợi nhuận vượt trội của cổ phiếu ABC (Y) lên lợi nhuận vượt trội của S&P 500 (X) trên 36 tháng cho đường khớp: hệ số chặn $-2.3\mathrm{\%}$, độ dốc $0.64$. Đọc nghĩa từng hệ số.
• Cách làm:
  • Hệ số chặn = Y dự báo khi X bằng 0.
  • Độ dốc = Y đổi bao nhiêu cho mỗi 1 đơn vị X tăng.
• Đáp án:
  • Độ dốc $0.64$: khi lợi nhuận vượt trội S&P 500 tăng (giảm) $1\mathrm{\%}$, lợi nhuận vượt trội ABC dự báo tăng (giảm) $0.64\mathrm{\%}$. Vì độ dốc < 1 nên ABC ít nhạy hơn thị trường (beta < 1, rủi ro hệ thống dưới trung bình).
  • Hệ số chặn $-2.3\mathrm{\%}$: khi lợi nhuận vượt trội S&P 500 bằng 0, lợi nhuận ABC dự báo là $-2.3\mathrm{\%}$.

Bài 1.2 — Phần dư của một quan sát (Schweser answer key)

• Đề: tháng 5/20X4 có lợi nhuận vượt trội S&P 500 là $-7.8\mathrm{\%}$ và ABC thực tế là $1.1\mathrm{\%}$. Đường khớp ở bài 1.1. Tính giá trị dự báo và phần dư tháng đó.
• Cách làm:
  • Dự báo: $\hat{Y}=-2.3\mathrm{\%}+0.64\times (-7.8\mathrm{\%})$.
  • Phần dư: thực tế trừ dự báo.
• Đáp án:
  • Dự báo $=-2.3+0.64\times (-7.8)=-7.3\mathrm{\%}$.
  • Phần dư $=1.1\mathrm{\%}-(-7.3\mathrm{\%})=8.4\mathrm{\%}$ — mô hình dự báo thấp hơn thực tế $8.4$ điểm phần trăm ở tháng này.

---

3. Phân rã biến thiên + đo độ khớp

Bốn bài dưới dùng chung một bộ dữ liệu tự dựng để chạy trọn vẹn phân rã ANOVA bằng tay (số tròn để kiểm dễ).

Dữ liệu 5 quan sát, X = lợi nhuận vượt trội thị trường (%), Y = lợi nhuận vượt trội cổ phiếu (%):

Quan sát	X	Y
1	0	1
2	1	2
3	2	2
4	3	5
5	4	5

Trung bình: $\overline{X}=2$, $\overline{Y}=3$.

Bài 3.1 — Độ dốc và hệ số chặn (ví dụ tự dựng)

• Cách làm:
  • Sai lệch X tới $\overline{X}=2$: $-2,-1,0,1,2$. Sai lệch Y tới $\overline{Y}=3$: $-2,-1,-1,2,2$.
  • Tử số (hiệp phương sai chưa chia): $\sum (X-\overline{X})(Y-\overline{Y})=4+1+0+2+4=11$.
  • Mẫu số (phương sai X chưa chia): $\sum (X-\overline{X}{)}^2=4+1+0+1+4=10$.
  • Độ dốc: ${\hat{b}}_1=11/10=1.1$.
  • Hệ số chặn: ${\hat{b}}_0=\overline{Y}-{\hat{b}}_1\overline{X}=3-1.1\times 2=0.8$.
• Đáp án: ${\hat{b}}_1=1.1$, ${\hat{b}}_0=0.8$ → đường khớp $\hat{Y}=0.8+1.1X$. Độ dốc > 1 nên cổ phiếu này nhạy hơn thị trường (beta > 1).

Bài 3.2 — Phân rã SST, SSR, SSE (ví dụ tự dựng)

• Cách làm:
  • Giá trị dự báo $\hat{Y}=0.8+1.1X$ cho X = 0..4: $0.8,1.9,3.0,4.1,5.2$.
  • SST $=\sum (Y-\overline{Y}{)}^2=(-2{)}^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2+2^2+2^2=4+1+1+4+4=14$.
  • SSR $=\sum (\hat{Y}-\overline{Y}{)}^2=(0.8-3{)}^2+(1.9-3{)}^2+(3-3{)}^2+(4.1-3{)}^2+(5.2-3{)}^2=4.84+1.21+0+1.21+4.84=12.1$.
  • SSE $=\sum (Y-\hat{Y}{)}^2=(1-0.8{)}^2+(2-1.9{)}^2+(2-3{)}^2+(5-4.1{)}^2+(5-5.2{)}^2=0.04+0.01+1+0.81+0.04=1.9$.
• Đáp án: SST $=14$, SSR $=12.1$, SSE $=1.9$. Kiểm tra phân rã: $12.1 + 1.9 = 14 = $ SST → khớp.

Bài 3.3 — Hệ số xác định và sai số chuẩn ước lượng (ví dụ tự dựng)

• Cách làm:
  • $R^2=\text{SSR}/\text{SST}=12.1/14$.
  • Bậc tự do $=n-2=5-2=3$.
  • $\text{SEE}=\sqrt{\text{SSE}/(n-2)}=\sqrt{1.9/3}$.
• Đáp án:
  • $R^2=12.1/14=0.864$ → X giải thích được $86.4\mathrm{\%}$ biến thiên của Y.
  • $\text{SEE}=\sqrt{0.6333}=0.796\mathrm{\%}$ → sai số dự báo điển hình khoảng $0.8$ điểm phần trăm.
  • Kiểm chéo: tương quan $r=\sqrt{R^2}=\sqrt{0.864}=0.93$, và $r^2=0.864$ đúng bằng $R^2$ (mẹo hồi quy đơn).

Bài 3.4 — Thống kê F (ví dụ tự dựng)

• Cách làm:
  • MSR $=\text{SSR}/1=12.1$ (hồi quy đơn nên MSR = SSR).
  • MSE $=\text{SSE}/(n-2)=1.9/3=0.6333$.
  • $F=\text{MSR}/\text{MSE}=12.1/0.6333$.
• Đáp án: $F=19.1$ với bậc tự do $(1,3)$. F lớn = phần X giải thích lấn át phần sót → độ dốc có ý nghĩa. Kiểm chéo: $\sqrt{F}=\sqrt{19.1}=4.37$, đúng bằng thống kê t của độ dốc ở bài 4.2 (quan hệ $t=\sqrt{F}$ trong hồi quy đơn).

---

4. Kiểm định độ dốc

Bài 4.1 — t-test độ dốc với sai số chuẩn cho sẵn (Schweser answer key)

• Đề: độ dốc ABC ước lượng $0.64$, sai số chuẩn của độ dốc $0.26$, mẫu 36 quan sát. Kiểm tra độ dốc có khác 0 ở mức ý nghĩa $5\mathrm{\%}$ không.
• Cách làm:
  • $H_0:b_1=0$ vs $H_a:b_1\ne 0$ (hai phía).
  • $t=({\hat{b}}_1-0)/s_{{\hat{b}}_1}=0.64/0.26$.
  • Bậc tự do $=36-2=34$; t tới hạn hai phía $\pm 2.03$.
• Đáp án: $t=0.64/0.26=2.46$. Vì $2.46>2.03$ → bác $H_0$ → độ dốc khác 0 có ý nghĩa → S&P 500 thật sự giải thích lợi nhuận ABC.

Bài 4.2 — t-test độ dốc từ ví dụ tự dựng (ví dụ tự dựng)

• Đề: dùng bộ dữ liệu nhóm 3 (độ dốc $1.1$). Sai số chuẩn của độ dốc tính bằng $s_{{\hat{b}}_1}=\text{SEE}/\sqrt{\sum (X-\overline{X}{)}^2}$. Kiểm tra độ dốc khác 0 ở mức $5\mathrm{\%}$.
• Cách làm:
  • $s_{{\hat{b}}_1}=0.796/\sqrt{10}=0.796/3.162=0.252$.
  • $t=1.1/0.252=4.37$, bậc tự do $=5-2=3$.
  • t tới hạn hai phía mức $5\mathrm{\%}$, df = 3 là $\pm 3.18$.
• Đáp án: $t=4.37>3.18$ → bác $H_0$ → độ dốc khác 0 có ý nghĩa. Khớp với $\sqrt{F}=4.37$ ở bài 3.4 (mẫu nhỏ nên ngưỡng tới hạn lớn, nhưng vẫn qua).

---

5. Dự báo + khoảng tin

Bài 5.1 — Giá trị dự báo (Schweser answer key)

• Đề: đường khớp ABC $\hat{Y}=-2.3\mathrm{\%}+0.64X$. Dự báo lợi nhuận vượt trội ABC nếu dự báo lợi nhuận vượt trội S&P 500 là $10\mathrm{\%}$.
• Cách làm: cắm $X_p=10$ vào phương trình: $-2.3+0.64\times 10$.
• Đáp án: ${\hat{Y}}_p=-2.3+6.4=4.1\mathrm{\%}$.

Bài 5.2 — Khoảng dự báo 95% (Schweser answer key)

• Đề: từ bài 5.1, sai số chuẩn của dự báo $s_f=3.67$, mẫu 36 quan sát. Tính khoảng dự báo $95\mathrm{\%}$.
• Cách làm:
  • Bậc tự do $=36-2=34$; t tới hạn hai phía mức $5\mathrm{\%}$ là $2.03$.
  • Khoảng: ${\hat{Y}}_p\pm t_c\cdot s_f=4.1\pm 2.03\times 3.67$.
  • $2.03\times 3.67=7.45$.
• Đáp án: $4.1\mathrm{\%}\pm 7.45\mathrm{\%}$ → khoảng $-3.4\mathrm{\%}$ tới $11.6\mathrm{\%}$. Đọc: với S&P 500 dự báo $10\mathrm{\%}$, ta tin $95\mathrm{\%}$ rằng lợi nhuận ABC rơi vào khoảng $-3.4\mathrm{\%}$ đến $11.6\mathrm{\%}$ — dải khá rộng, nhắc rằng một con số dự báo điểm trần ($4.1\mathrm{\%}$) che giấu sai số lớn.

Bài 5.3 — Khoảng tin từ mô hình mẫu lớn (Schweser answer key)

• Đề: mô hình $Y=5+3.5X$ (mẫu lớn), sai số chuẩn dự báo $s_f=2.5$, sai số chuẩn độ dốc $0.8$. Tính khoảng tin $90\mathrm{\%}$ cho Y khi $X=10$.
• Cách làm:
  • Dự báo điểm: ${\hat{Y}}_p=5+3.5\times 10=40$.
  • Mẫu lớn → t tới hạn hai phía mức $10\mathrm{\%}$ xấp xỉ z $=1.645$.
  • Khoảng: $40\pm 1.645\times 2.5=40\pm 4.11$. (Dùng $s_f=2.5$, KHÔNG dùng sai số chuẩn độ dốc $0.8$ — đó là bẫy của câu hỏi.)
• Đáp án: $40\pm 4.11$ → khoảng $35.9$ tới $44.1$ (đáp án C của Module Quiz 10.3).