Bài tập — cụm Tests of Independence

Bài kiểm định t (1.1) lấy số từ ví dụ Schweser 2025 L1 Reading 9 (answer key). Bài Spearman và chi-square là ví dụ tự dựng — số liệu Schweser nằm trong bảng-ảnh nên pdftotext không lấy được; tôi tự dựng dữ liệu, tự tính đúng. Mỗi bài chốt một node, đồng thời là mầm test cho vòng 2.

Cách dùng: che phần Đáp án, tự giải theo công thức ở concept.md, rồi đối chiếu.

---

1. Kiểm định tham số trên tương quan

Bài 1.1 — Kiểm định tương quan bằng 0 (Schweser answer key)

• Đề: một nhà nghiên cứu tính tương quan mẫu của hai biến phân phối chuẩn là $r=0.35$ trên cỡ mẫu $n=42$. Ở mức ý nghĩa 5%, có bác bỏ giả thuyết tương quan tổng thể bằng 0 không?
• Cách làm:
  • Thống kê kiểm định: $t={\displaystyle \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}}={\displaystyle \frac{0.35\sqrt{40}}{\sqrt{1-0.1225}}}$.
  • Tử số: $0.35\times 6.3246=2.2136$; mẫu số: $\sqrt{0.8775}=0.9368$ → $t=2.363$.
  • Bậc tự do $=n-2=40$; giá trị tới hạn hai phía mức 5% từ bảng t $=2.021$.
  • So sánh: $2.363>2.021$.
• Đáp án: bác bỏ $H_0$ — kết luận hai biến có tương quan thật (dương), không phải may rủi của mẫu. Lưu ý $t$ vượt ngưỡng một phần nhờ cỡ mẫu 42 đủ lớn; cùng $r=0.35$ nhưng mẫu rất nhỏ có thể không bác bỏ được.

Bài 1.2 — Cùng tương quan, mẫu nhỏ (ví dụ tự dựng)

• Đề: vẫn $r=0.35$ nhưng chỉ có $n=12$ quan sát. Kiểm định ở mức 5% (giá trị tới hạn hai phía với 10 bậc tự do là $2.228$).
• Cách làm:
  • $t={\displaystyle \frac{0.35\sqrt{12-2}}{\sqrt{1-0.1225}}}={\displaystyle \frac{0.35\times 3.1623}{0.9368}}={\displaystyle \frac{1.1068}{0.9368}}=1.181$.
  • So với tới hạn $2.228$: $1.181<2.228$.
• Đáp án: KHÔNG bác bỏ $H_0$ — với mẫu 12, cùng một tương quan $0.35$ không đủ sức loại trừ khả năng may rủi. Đây là minh họa: bác bỏ hay không phụ thuộc cả $r$ lẫn cỡ mẫu, không chỉ độ mạnh tương quan.

---

2. Kiểm định phi tham số trên thứ hạng

Bài 2.1 — Tương quan hạng Spearman (ví dụ tự dựng)

• Đề: hai nhà phân tích xếp hạng 6 quỹ từ tốt nhất (1) đến tệ nhất (6).

Quỹ	Hạng theo A	Hạng theo B
1	1	2
2	2	1
3	3	4
4	4	3
5	5	6
6	6	5

Tính tương quan hạng Spearman $r_s$.

• Cách làm:
  • Chênh lệch hạng $d_i$ (A trừ B): $-1,+1,-1,+1,-1,+1$.
  • Bình phương $d_i^2$: $1,1,1,1,1,1$ → $\sum d_i^2=6$.
  • $r_s=1-{\displaystyle \frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}}=1-{\displaystyle \frac{6\times 6}{6\times (36-1)}}=1-{\displaystyle \frac{36}{210}}$.
• Đáp án: $r_s=1-0.1714=0.829$ — hai bảng xếp hạng đi cùng nhau rất chặt (chỉ tráo vài cặp liền kề), dù không trùng khít hoàn toàn.

Bài 2.2 — Xử lý hạng bằng nhau (ví dụ tự dựng)

• Đề: ba quỹ có lợi nhuận $[8\mathrm{\%},5\mathrm{\%},8\mathrm{\%}]$. Gán hạng từ cao xuống thấp, xử lý hai giá trị $8\mathrm{\%}$ bằng nhau.
• Cách làm:
  • Hai quỹ cùng $8\mathrm{\%}$ lẽ ra chiếm hạng 1 và 2 → chia đều: mỗi quỹ nhận $(1+2)/2=1.5$.
  • Quỹ $5\mathrm{\%}$ nhận hạng 3.
• Đáp án: hạng lần lượt $1.5,3,1.5$. Quy tắc: giá trị bằng nhau thì chia trung bình các hạng mà chúng cùng chiếm.

---

3. Kiểm định độc lập trên bảng chéo

Bài 3.1 — Chi-square test of independence (ví dụ tự dựng)

• Đề: 150 cổ phiếu được phân theo hai đặc tính — động lượng (cao / thấp) và hiệu suất năm sau (vượt chuẩn / kém chuẩn). Bảng quan sát thực tế:

Động lượng	Vượt chuẩn	Kém chuẩn	Tổng hàng
Cao	40	20	60
Thấp	30	60	90
Tổng cột	70	80	150

Ở mức 5%, hai đặc tính có độc lập không? (giá trị tới hạn chi-square với 1 bậc tự do là $3.841$).

• Cách làm:
  • Tần suất kỳ vọng $E_{ij}={\displaystyle \frac{\text{tổng hàng}\times \text{tổng cột}}{150}}$:
    • Ô (Cao, Vượt): $60\times 70/150=28$.
    • Ô (Cao, Kém): $60\times 80/150=32$.
    • Ô (Thấp, Vượt): $90\times 70/150=42$.
    • Ô (Thấp, Kém): $90\times 80/150=48$.
  • Đóng góp từng ô ${\displaystyle \frac{(O-E{)}^2}{E}}$:
    • $(40-28{)}^2/28=144/28=5.143$.
    • $(20-32{)}^2/32=144/32=4.500$.
    • $(30-42{)}^2/42=144/42=3.429$.
    • $(60-48{)}^2/48=144/48=3.000$.
  • ${\chi }^2=5.143+4.500+3.429+3.000=16.07$.
  • Bậc tự do $=(2-1)(2-1)=1$; so với tới hạn $3.841$.
• Đáp án: $16.07>3.841$ → bác bỏ giả thuyết độc lập. Động lượng và hiệu suất năm sau KHÔNG độc lập trong mẫu này (cổ phiếu động lượng cao thiên về vượt chuẩn). Lưu ý: kết luận chỉ nói "có liên quan", chưa nói động lượng gây ra hiệu suất.

Bài 3.2 — Đọc bậc tự do bảng 3x3 (ví dụ tự dựng)

• Đề: một bảng chéo 3 hàng × 3 cột (vd tăng trưởng lợi nhuận thấp/vừa/cao × cổ tức thấp/vừa/cao). Bậc tự do của kiểm định chi-square là bao nhiêu?
• Cách làm: $(r-1)(c-1)=(3-1)(3-1)$.
• Đáp án: 4 bậc tự do. Trực giác: khi đã cố định các tổng lề hàng và cột, chỉ 4 ô được tự do điền; 5 ô còn lại bị suy ra → 4 mẩu thông tin tự do.