Bài tập — cụm Hypothesis Testing

Đề + đáp án phần lớn lấy từ Schweser 2025 L1 Reading 8 (ghi Schweser answer key); vài bài nhỏ tự dựng để lấp khoảng trống công thức, tự tính tay đã kiểm số học (ghi ví dụ tự dựng). Mỗi bài chốt một node; đây cũng là mầm test cho vòng 2 (mỗi đáp án thành một assert).

Cách dùng: che phần Đáp án, tự giải theo công thức ở concept.md, rồi đối chiếu.

---

1. Dựng giả thuyết

Bài 1.1 — Đặt null và alternative (ví dụ tự dựng)

• Đề: một nhà nghiên cứu tin rằng trung bình lợi nhuận ngày của một danh mục khác 0. Viết $H_0$ và $H_a$, và cho biết một hay hai phía.
• Cách làm:
  • Điều muốn chứng minh ("khác 0") luôn đặt vào $H_a$.
  • $H_0$ giữ dấu bằng.
  • "Khác 0" quan tâm cả hai hướng (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0).
• Đáp án: $H_0:\mu =0$; $H_a:\mu \ne 0$ → kiểm hai phía.

Bài 1.2 — Một phía (ví dụ tự dựng)

• Đề: nhà nghiên cứu giờ chỉ muốn biết trung bình lợi nhuận có lớn hơn 0 hay không. Viết lại giả thuyết và cho biết số phía.
• Cách làm: "lớn hơn 0" chỉ quan tâm một hướng → một phía; mệnh đề muốn chứng minh vào $H_a$.
• Đáp án: $H_0:\mu \le 0$; $H_a:\mu >0$ → kiểm một phía (đuôi phải).

---

2. Sai lầm và độ mạnh

Bài 2.1 — Đọc nghĩa hai loại sai lầm (Schweser answer key)

• Đề: một kiểm định có xác suất sai lầm loại II là 60% và xác suất sai lầm loại I là 5%. Phát biểu nào đúng?
  • A. Độ mạnh là 40%, và có 5% khả năng thống kê vượt giá trị tới hạn.
  • B. Có 95% khả năng thống kê nằm giữa hai giá trị tới hạn (nếu hai phía).
  • C. Có 5% khả năng bác bỏ $H_0$ khi nó thật sự đúng, và xác suất bác bỏ $H_0$ khi nó sai là 40%.
• Cách làm:
  • Loại I = bác bỏ $H_0$ đúng → xác suất chính là $\alpha =5\mathrm{\%}$.
  • Độ mạnh = $1-P(\text{loại II})=1-0.60=40\mathrm{\%}$ = xác suất bác bỏ $H_0$ khi nó sai.
  • A và B chỉ đúng khi biết $H_0$ đúng/sai cụ thể, không chắc trong mọi tình huống.
• Đáp án: C (Schweser answer key).

Bài 2.2 — Tính độ mạnh (Schweser answer key)

• Đề: mức ý nghĩa của một kiểm định là 0.05 và xác suất sai lầm loại II là 0.15. Độ mạnh bằng bao nhiêu?
• Cách làm: Power $=1-P(\text{loại II})=1-0.15$.
• Đáp án: 0.85 (Schweser answer key). Mức ý nghĩa 0.05 là số gây nhiễu, không vào công thức power.

Bài 2.3 — Đánh đổi loại I và loại II (ví dụ tự dựng)

• Đề: giữ nguyên cỡ mẫu, hạ mức ý nghĩa từ 5% xuống 1%. Xác suất sai lầm loại II và độ mạnh thay đổi ra sao?
• Cách làm: $\alpha$ nhỏ → giá trị tới hạn xa 0 hơn → khó bác bỏ hơn → loại II (bỏ sót) tăng → power giảm.
• Đáp án: loại II tăng, độ mạnh giảm. Muốn vừa giảm loại II vừa giữ $\alpha$ thì chỉ còn cách tăng cỡ mẫu.

---

3. Thống kê kiểm định cho trung bình

Bài 3.1 — z-test một trung bình, mẫu lớn (Schweser answer key)

• Đề: lợi nhuận ngày của một danh mục quyền chọn trong 250 ngày: trung bình $\overline{x}=0.1\mathrm{\%}$, độ lệch chuẩn mẫu $s=0.25\mathrm{\%}$. Nhà nghiên cứu tin trung bình khác 0. Kiểm ở mức ý nghĩa 5% (hai phía).
• Cách làm:
  • $H_0:\mu =0$; $H_a:\mu \ne 0$.
  • Mẫu 250 rất lớn → z chấp nhận được; giá trị tới hạn hai phía 5% là $\pm 1.96$.
  • Sai số chuẩn $=s/\sqrt{n}=0.25/\sqrt{250}=0.25/15.811=0.0158\mathrm{\%}$.
  • Thống kê $=(0.1-0)/0.0158=6.33$.
• Đáp án: test stat $\approx 6.33>1.96$ → bác bỏ $H_0$; trung bình lợi nhuận khác 0 có ý nghĩa thống kê (Schweser answer key).

Bài 3.2 — t-test một trung bình, mẫu nhỏ (ví dụ tự dựng)

• Đề: mẫu $n=25$ lợi nhuận tháng, trung bình $\overline{x}=1.2\mathrm{\%}$, độ lệch chuẩn mẫu $s=2.0\mathrm{\%}$. Kiểm $H_0:\mu =0$ ở mức 5% (hai phía). Giá trị tới hạn t với $df=24$ là $\pm 2.064$.
• Cách làm:
  • $\sigma$ chưa biết + mẫu nhỏ → dùng t, $df=n-1=24$.
  • Sai số chuẩn $=s/\sqrt{n}=2.0/\sqrt{25}=2.0/5=0.4\mathrm{\%}$.
  • Thống kê $t=(1.2-0)/0.4=3.0$.
• Đáp án: $t=3.0>2.064$ → bác bỏ $H_0$; trung bình lợi nhuận khác 0 ở mức 5% (ví dụ tự dựng).

Bài 3.3 — Sai số chuẩn của trung bình (ví dụ tự dựng)

• Đề: $\sigma =20\mathrm{\%}$ (đã biết), $n=36$. Tính sai số chuẩn của trung bình mẫu.
• Cách làm: ${\sigma }_{\overline{x}}=\sigma /\sqrt{n}=20/\sqrt{36}=20/6$.
• Đáp án: $\approx 3.33\mathrm{\%}$ (ví dụ tự dựng). Mẫu lớn gấp 4 lần sẽ làm số này còn một nửa ($\sqrt{4}=2$).

Bài 3.4 — Chọn loại t-test, độc lập hay cặp đôi (ví dụ tự dựng)

• Đề: (a) so lợi nhuận bất thường giữa thâu tóm ngang và thâu tóm dọc (hai nhóm công ty khác nhau); (b) so beta của cùng một nhóm công ty trước và sau bãi bỏ quản chế. Mỗi câu dùng kiểm nào?
• Cách làm: mẫu độc lập → kiểm hiệu hai trung bình; mẫu phụ thuộc (cùng đối tượng, hai thời điểm / cùng chịu một yếu tố chung) → kiểm cặp đôi.
• Đáp án: (a) hiệu hai trung bình (độc lập); (b) cặp đôi (phụ thuộc, lấy hiệu từng cặp rồi t-test) (ví dụ tự dựng).

Bài 3.5 — Hiệu hai trung bình độc lập (Schweser answer key)

• Đề: lợi nhuận bất thường thâu tóm ngang (trung bình 1.0%, lệch 1.0%) so với thâu tóm dọc (trung bình 2.5%, lệch 2.0%), giả định độc lập + phương sai bằng nhau. Thống kê tính được $t=-5.474$, $df=120$. Giá trị tới hạn hai phía 5% là $\pm 1.980$. Kết luận?
• Cách làm: so $|t|$ với giá trị tới hạn; $-5.474$ nằm bên trái $-1.980$ → rơi vùng bác bỏ.
• Đáp án: $-5.474<-1.980$ → bác bỏ $H_0$; lợi nhuận bất thường khác nhau giữa hai loại thâu tóm (Schweser answer key).

Bài 3.6 — Kiểm cặp đôi (Schweser answer key)

• Đề: beta của các công ty viễn thông trước/sau bãi bỏ quản chế (mẫu phụ thuộc). Thống kê $t=10.26$ trên cỡ mẫu $n=39$. Giá trị tới hạn hai phía 5% với $df=38$ là $\pm 2.024$. Có thay đổi beta không?
• Cách làm:
  • Mẫu phụ thuộc → kiểm cặp đôi, $df=n-1=38$.
  • $H_0$: trung bình các hiệu $=0$ (không đổi); hai phía.
  • So $10.26$ với $\pm 2.024$.
• Đáp án: $10.26>2.024$ → bác bỏ $H_0$; beta thay đổi có ý nghĩa thống kê (Schweser answer key).

---

4. Kiểm định phương sai

Bài 4.1 — Chi-square cho một phương sai (Schweser answer key)

• Đề: quỹ High-Return quảng cáo lợi nhuận tháng có độ lệch chuẩn $4\mathrm{\%}$ (từ dữ liệu 2005–2013). Lấy 24 tháng giai đoạn 2013–2015, đo được độ lệch chuẩn $3.8\mathrm{\%}$. Ở mức ý nghĩa 5% (hai phía), độ lệch chuẩn gần đây có khác mức quảng cáo không?
• Cách làm:
  • $H_0:{\sigma }^2=(0.04{)}^2=0.0016$ so với $H_a:{\sigma }^2\ne 0.0016$ → hai phía.
  • Thống kê: ${\chi }^2={\displaystyle \frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}}={\displaystyle \frac{23\times (0.038{)}^2}{(0.04{)}^2}}=23\times {\displaystyle \frac{0.001444}{0.0016}}=23\times 0.9025=20.76$.
  • Bậc tự do $=n-1=23$; hai giá trị tới hạn hai phía 5%: cận dưới $11.689$, cận trên $38.076$.
  • So sánh: $11.689<20.76<38.076$ → thống kê nằm TRONG khoảng.
• Đáp án: không bác bỏ $H_0$ (Schweser answer key) — độ lệch chuẩn gần đây không khác mức quảng cáo $4\mathrm{\%}$ một cách có ý nghĩa. Lưu ý chi-square không đối xứng nên phải tra hai cận riêng, khác z/t chỉ một số $\pm$.

Bài 4.2 — F-test cho hai phương sai (Schweser answer key)

• Đề: nghi ngờ phương sai lợi nhuận ngành dệt may khác ngành giấy. Mẫu 31 hãng dệt may có độ lệch chuẩn $\mathrm{\$}4.30$; mẫu 41 hãng giấy có độ lệch chuẩn $\mathrm{\$}3.80$. Ở mức 5% (hai phía), hai phương sai có khác nhau không?
• Cách làm:
  • $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ so với $H_a:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$.
  • Đặt phương sai lớn lên tử số: $F={\displaystyle \frac{s_1^2}{s_2^2}}={\displaystyle \frac{(4.30{)}^2}{(3.80{)}^2}}={\displaystyle \frac{18.49}{14.44}}=1.2805$.
  • Bậc tự do $(d{f}_1,d{f}_2)=(30,40)$; giá trị tới hạn đuôi phải (2.5% mỗi đuôi) $=1.94$.
  • So sánh: $1.2805<1.94$.
• Đáp án: không bác bỏ $H_0$ (Schweser answer key) — phương sai lợi nhuận hai ngành không khác nhau có ý nghĩa ở mức 5%. Mẹo lớn-trên-nhỏ-dưới khiến $F\ge 1$ nên chỉ cần tra một giá trị tới hạn đuôi phải.

---

5. Quy tắc quyết định và p-value

Bài 5.1 — z-test một phía, đọc bảng (Schweser answer key)

• Đề: lợi nhuận của một cổ phiếu trong 36 ngày không liên tiếp, trung bình $\overline{x}=2.0\mathrm{\%}$, $\sigma =20.0\mathrm{\%}$ (đã biết). Nói được với độ tin cậy 95% rằng trung bình lớn hơn 0% không?
• Cách làm:
  • $H_0:\mu \le 0$; $H_a:\mu >0$ → một phía, đuôi phải.
  • Mức ý nghĩa $=1-0.95=0.05$; giá trị tới hạn z một phía 5% $\approx 1.65$.
  • Sai số chuẩn $=20/\sqrt{36}=20/6=3.333\mathrm{\%}$; thống kê $z=(2.0-0)/3.333=0.60$.
• Đáp án: $z=0.60<1.65$ → không bác bỏ $H_0$; không kết luận được trung bình lớn hơn 0 (Schweser answer key).

Bài 5.2 — z-test hai phía, đổi độ tin cậy (Schweser answer key)

• Đề: cùng dữ liệu bài 4.1, giờ hỏi với độ tin cậy 99% rằng lợi nhuận khác 0% không.
• Cách làm:
  • $H_0:\mu =0$; $H_a:\mu \ne 0$ → hai phía.
  • Mức ý nghĩa $=1-0.99=0.01$; mỗi đuôi 0.005 → giá trị tới hạn z $\approx 2.58$.
  • Thống kê vẫn là $z=(2.0-0)/(20/6)=0.60$.
• Đáp án: $0.60<2.58$ → không bác bỏ $H_0$; lợi nhuận coi như bằng 0 ở mức này (Schweser answer key).

Bài 5.3 — Đọc p-value (ví dụ tự dựng)

• Đề: một phép kiểm cho ra p-value $=0.03$. Quyết định gì ở mức ý nghĩa 5%? Còn ở mức 1%?
• Cách làm: quy tắc $p<\alpha$ thì bác bỏ.
• Đáp án: ở 5%: $0.03<0.05$ → bác bỏ $H_0$; ở 1%: $0.03>0.01$ → không bác bỏ. Cùng dữ liệu, ngưỡng khắt khe hơn cho kết luận ngược — đó là lý do p-value tiện hơn (mỗi người tự so với $\alpha$ riêng) (ví dụ tự dựng).