Bài tập — cụm Simulation Methods

Reading 6 là phần định tính: nguồn Schweser gần như không có công thức số (các hình minh họa phân phối là ảnh, pdftotext không lấy được số), nên mọi ví dụ số dưới đây tự dựng và tự tính minh bạch. Các câu hỏi khái niệm (bài 1.2, 2.3, 3.3) bám sát ý của module quiz Schweser Reading 6 và 7 — đáp án về ý thì độc lập, nhưng số liệu cụ thể trong ví dụ là tự đặt. Cả ba nhóm là mầm test cho vòng 2 (dựng code Monte Carlo + bootstrap).

Cách dùng: che phần Đáp án, tự giải theo công thức ở concept.md, rồi đối chiếu.

---

1. Quan hệ phân phối chuẩn và log-chuẩn

Bài 1.1 — Từ lợi nhuận chuẩn ra giá log-chuẩn (ví dụ tự dựng)

• Đề: một cổ phiếu giá hiện tại $P_0=100$. Lợi nhuận gộp liên tục một năm $r_{0,T}$ giả định phân phối chuẩn với trung bình $0.08$ và độ lệch chuẩn $0.20$. Tính giá kỳ vọng ở ba kịch bản: lợi nhuận bằng trung bình, bằng trung bình trừ một độ lệch chuẩn, bằng trung bình cộng một độ lệch chuẩn. Nhận xét tính đối xứng của giá.
• Cách làm: giá tương lai $P_T=P_0{e}^{r_{0,T}}$.
  • Lợi nhuận trung bình $r=0.08$: $P_T=100\times e^{0.08}=100\times 1.0833=108.33$.
  • Một độ lệch dưới $r=0.08-0.20=-0.12$: $P_T=100\times e^{-0.12}=100\times 0.8869=88.69$.
  • Một độ lệch trên $r=0.08+0.20=0.28$: $P_T=100\times e^{0.28}=100\times 1.3231=132.31$.
• Đáp án: giá ở ba kịch bản lần lượt $88.69$, $108.33$, $132.31$.
• Đọc kết quả: dù lợi nhuận đối xứng quanh $0.08$ (xuống $-0.12$ và lên $0.28$ cách đều), giá không đối xứng quanh $108.33$: khoảng lên là $132.31-108.33=23.98$, khoảng xuống chỉ $108.33-88.69=19.64$. Đuôi lên dài hơn đuôi xuống — đúng đặc tính lệch phải của phân phối log-chuẩn, và giá luôn dương vì $e^x>0$.

Bài 1.2 — Tính chất phân phối log-chuẩn (ví dụ tự dựng, ý theo quiz Schweser)

• Đề: với một biến phân phối log-chuẩn, phát biểu nào đúng — (A) trung bình bằng trung vị; (B) xác suất ra giá trị âm bằng 0; (C) xác suất ra giá trị dương bằng 50%?
• Cách làm: log-chuẩn sinh từ $e^x$ với $x$ chuẩn; mà $e^x>0$ với mọi $x$. Log-chuẩn lệch phải nên trung bình không bằng trung vị (loại A). Vì luôn dương nên xác suất dương là 100%, không phải 50% (loại C).
• Đáp án: (B) — biến log-chuẩn không bao giờ âm, nên xác suất ra giá trị âm bằng 0.

---

2. Mô phỏng Monte Carlo

Bài 2.1 — Mô phỏng giá quyền chọn thu nhỏ (ví dụ tự dựng)

• Đề: định giá một quyền chọn mua (call) thực thi giá $K=105$, đáo hạn cuối năm. Để minh họa quy trình Monte Carlo, ta sinh ra (bằng máy) năm giá cổ phiếu cuối năm: $90,100,108,115,130$. Lợi ích quyền chọn mua khi đáo hạn là $max(P_T-K,0)$. Ước lượng giá trị quyền chọn bằng trung bình lợi ích (bỏ qua chiết khấu cho gọn).
• Cách làm: tính lợi ích từng kịch bản rồi lấy trung bình.
  • $P_T=90$: $max(90-105,0)=0$.
  • $P_T=100$: $max(100-105,0)=0$.
  • $P_T=108$: $max(108-105,0)=3$.
  • $P_T=115$: $max(115-105,0)=10$.
  • $P_T=130$: $max(130-105,0)=25$.
  • Trung bình $=(0+0+3+10+25)/5=38/5=7.6$.
• Đáp án: giá trị ước lượng quyền chọn $=7.6$.
• Đọc kết quả: đây đúng bốn bước Monte Carlo (đặt phân phối → sinh giá → định giá mỗi kịch bản → lấy trung bình), chỉ thu nhỏ về năm lần lặp. Thực tế chạy hàng nghìn lần để trung bình ổn định; năm mẫu chỉ để thấy cơ chế. Hai kịch bản giá dưới $K$ cho lợi ích 0 — phần lệch lên của log-chuẩn là chỗ quyền chọn mua sinh giá trị.

Bài 2.2 — Ước lượng VaR từ phân phối mô phỏng (ví dụ tự dựng)

• Đề: một mô phỏng cho ra 20 giá trị lãi/lỗ danh mục (triệu đồng), sắp tăng dần: $-50,-38,-30,-25,-20,-15,-12,-8,-5,-2,1,4,7,10,14,18,22,28,35,50$. Ước lượng VaR mức tin cậy 95% (mức lỗ mà chỉ 5% kịch bản tệ hơn).
• Cách làm: 5% của 20 kịch bản là $0.05\times 20=1$ kịch bản tệ nhất nằm dưới ngưỡng. Kịch bản tệ nhất là $-50$; ngưỡng VaR 95% lấy ở giá trị thứ nhất từ dưới lên, tức ranh giới quanh giá trị xấu thứ nhất/thứ hai. Theo quy ước lấy phân vị 5% (giá trị mà 5% kết cục thấp hơn), điểm cắt nằm ở quan sát thứ nhất ($-50$) và thứ hai ($-38$); lấy giá trị thứ hai làm ngưỡng thực dụng.
• Đáp án: VaR 95% xấp xỉ 38 triệu đồng — diễn nôm: với độ tin cậy 95%, mức lỗ một kỳ được ước lượng không vượt quá 38 triệu; chỉ 5% kịch bản (ở đây là 1 trong 20, giá trị $-50$) tệ hơn mức đó.
• Đọc kết quả: đây là ứng dụng "tính VaR" của Monte Carlo nêu trong concept. Mẫu chỉ 20 điểm nên ngưỡng thô; chạy nhiều nghìn lần thì phân vị 5% mượt và đáng tin hơn. VaR đọc được trực tiếp từ phân phối mô phỏng mà không cần công thức đóng.

Bài 2.3 — Hạn chế của Monte Carlo (ví dụ tự dựng, ý theo quiz Schweser)

• Đề: phát biểu nào ít có khả năng là hạn chế của phân tích Monte Carlo — (A) là phương pháp thống kê chứ không phải giải tích; (B) kết quả không tốt hơn các giả định dùng để sinh ra nó; (C) không trả lời được câu hỏi "what if"?
• Cách làm: (A) và (B) đều là hạn chế thật (thống kê không cho cái nhìn nhân quả; rác vào rác ra). Còn khả năng trả lời "what if" — thử kịch bản chưa từng xảy ra, vượt khoảng dữ liệu lịch sử — chính là ưu điểm của Monte Carlo, không phải hạn chế.
• Đáp án: (C) — trả lời được câu hỏi "what if" là thế mạnh, nên đây là phát biểu ít có khả năng là hạn chế nhất.

---

3. Lấy mẫu lại bootstrap

Bài 3.1 — Sai số chuẩn của trung vị bằng bootstrap (ví dụ tự dựng)

• Đề: ta có mẫu lịch sử nhỏ 5 lợi nhuận tháng (%): $2,-1,4,0,3$. Muốn ước lượng sai số chuẩn của trung vị — thứ không có công thức đóng đẹp. Minh họa bằng ba mẫu bootstrap (rút 5 quan sát, có hoàn lại):
  • Mẫu B1: $\{2,2,4,0,3\}$.
  • Mẫu B2: $\{-1,4,4,3,3\}$.
  • Mẫu B3: $\{2,-1,0,0,3\}$.
  • Tính trung vị mỗi mẫu rồi lấy độ lệch chuẩn của ba trung vị làm ước lượng sai số chuẩn.
• Cách làm — trung vị mỗi mẫu (sắp xếp, lấy giá trị giữa):
  • B1 sắp xếp $\{0,2,2,3,4\}$ → trung vị $=2$.
  • B2 sắp xếp $\{-1,3,3,4,4\}$ → trung vị $=3$.
  • B3 sắp xếp $\{-1,0,0,2,3\}$ → trung vị $=0$.
• Cách làm — độ lệch chuẩn ba trung vị $\{2,3,0\}$:
  • Trung bình $=(2+3+0)/3=5/3=1.667$.
  • Sai lệch bình phương: $(2-1.667{)}^2=0.111$; $(3-1.667{)}^2=1.778$; $(0-1.667{)}^2=2.778$.
  • Tổng $=4.667$; phương sai mẫu $=4.667/(3-1)=2.333$; độ lệch chuẩn $=\sqrt{2.333}=1.528$.
• Đáp án: ước lượng sai số chuẩn của trung vị $\approx 1.53\mathrm{\%}$.
• Đọc kết quả: bootstrap cho ra sai số chuẩn cho cả thống kê (trung vị) không có công thức giải tích — chỉ cần rút lại nhiều lần và đo độ phân tán của thống kê qua các mẫu. Ba mẫu chỉ để minh họa cơ chế; thực tế dùng hàng nghìn mẫu thì ước lượng mới ổn định.

Bài 3.2 — Bootstrap so với jackknife (ví dụ tự dựng, ý theo quiz Schweser)

• Đề: trong các kỹ thuật cải thiện độ chính xác khoảng tin cậy của một thống kê, kỹ thuật nào nặng tính toán nhất — (A) jackknife; (B) lấy mẫu hệ thống (systematic); (C) bootstrap?
• Cách làm: jackknife chỉ bỏ-một-quan-sát có hệ thống, đúng $n$ lần — nhẹ. Bootstrap rút ngẫu nhiên có hoàn lại rất nhiều mẫu cùng kích thước từ tập lớn — nặng hơn hẳn. "Lấy mẫu hệ thống" không phải kỹ thuật resampling chuẩn ở đây.
• Đáp án: (C) bootstrap — nặng tính toán nhất, đổi lại linh hoạt hơn (xử lý được thống kê phức tạp, không có dạng giải tích).

Bài 3.3 — Thế mạnh của bootstrap (ví dụ tự dựng, ý theo quiz Schweser)

• Đề: phát biểu nào đúng nhất là một thế mạnh của bootstrap — (A) cho một bức tranh tốt về đặc tính thống kê của tổng thể; (B) chỉ cho ước lượng thống kê, không phải kết quả chính xác; (C) đầu vào có thể bị bó bởi phân phối các kết cục thực tế?
• Cách làm: (B) và (C) là hạn chế chứ không phải thế mạnh (chỉ ước lượng, không chính xác; bị bó trong dữ liệu lịch sử). (A) đúng là thế mạnh — rút lại từ mẫu cho hình ảnh tốt về đặc tính thống kê của tổng thể.
• Đáp án: (A) — bootstrap cho bức tranh tốt về đặc tính thống kê của tổng thể, đó là thế mạnh; hai phương án còn lại là hạn chế.