Bài tập — cụm Statistical Measures

Đề + đáp án lấy từ Schweser 2025 L1 Reading 3 (answer key độc lập — không tự khớp với công thức trong concept.md). Mỗi bài chốt một node; đây cũng là mầm test cho vòng 2 (mỗi đáp án thành một assert).

Cách dùng: che phần Đáp án, tự giải theo công thức ở concept.md, rồi đối chiếu.

---

1. Xu hướng trung tâm

Bài 1.1 — Trung vị, số quan sát lẻ

• Đề: lợi nhuận 10 năm của 5 quỹ: $[30,15,25,21,23]\mathrm{\%}$. Trung vị?
• Cách làm:
  • Xếp giảm dần: $30,25,23,21,15$.
  • Lấy giá trị giữa (vị trí thứ 3).
• Đáp án: $23\mathrm{\%}$.

Bài 1.2 — Trung vị, số quan sát chẵn

• Đề: thêm quỹ thứ 6 lãi $28\mathrm{\%}$ vào bài 1.1. Trung vị?
• Cách làm:
  • Xếp giảm dần: $30,28,25,23,21,15$.
  • Không có giá trị giữa duy nhất → lấy trung bình hai giá trị giữa $25$ và $23$.
• Đáp án: $24\mathrm{\%}$.

Bài 1.3 — Mode

• Đề: dữ liệu $[30,28,25,23,28,15,5]\mathrm{\%}$. Mode?
• Cách làm: tìm giá trị xuất hiện nhiều lần nhất.
• Đáp án: $28\mathrm{\%}$ (xuất hiện hai lần).

---

3. Độ phân tán

Bốn bài dưới dùng chung một bộ dữ liệu: lợi nhuận 5 năm của 5 quỹ $[30,12,25,20,23]\mathrm{\%}$, trung bình $\overline{x}=22\mathrm{\%}$.

Bài 3.1 — Khoảng biến thiên (range)

• Cách làm: $x_{max}-x_{min}=30-12$.
• Đáp án: $18\mathrm{\%}$.

Bài 3.2 — Độ lệch tuyệt đối trung bình (MAD)

• Cách làm:
  • Sai lệch tuyệt đối tới $22$: $8,10,3,2,1$.
  • Trung bình: $(8+10+3+2+1)/5$.
• Đáp án: $4.8\mathrm{\%}$ — trung bình mỗi quỹ lệch $\pm 4.8\mathrm{\%}$ so với mức $22\mathrm{\%}$.

Bài 3.3 — Phương sai và độ lệch chuẩn mẫu

• Cách làm:
  • Bình phương sai lệch tới $22$: $64,100,9,4,1$ → tổng $178$.
  • Phương sai mẫu: $178/(5-1)=44.5$ (phần trăm bình phương).
  • Độ lệch chuẩn: $\sqrt{44.5}$.
• Đáp án: phương sai $44.5$; độ lệch chuẩn $6.67\mathrm{\%}$.

Bài 3.4 — Độ lệch xuống dưới mục tiêu (target downside deviation)

• Đề: tính cho hai mục tiêu $B=22\mathrm{\%}$ và $B=24\mathrm{\%}$.
• Cách làm:
  • $B=22$ → chỉ $12$ và $20$ nằm dưới: $\sqrt{(100+4)/4}$.
  • $B=24$ → thêm $23$ nằm dưới: $\sqrt{(144+16+1)/4}$.
  • Lưu ý mẫu số vẫn là $n-1=4$ dù tử số bỏ bớt quan sát.
• Đáp án: $B=22\to 5.10\mathrm{\%}$; $B=24\to 6.34\mathrm{\%}$.

Bài 3.5 — Hệ số biến thiên (CV)

• Đề: T-bill (trung bình $0.25\mathrm{\%}$, lệch $0.36\mathrm{\%}$) so với S&P 500 (trung bình $1.09\mathrm{\%}$, lệch $7.30\mathrm{\%}$).
• Cách làm: $\text{CV}=s/\overline{x}$ cho từng tài sản.
• Đáp án: T-bill $1.44$; S&P 500 $6.70$ → T-bill ít rủi ro hơn trên mỗi đơn vị lợi nhuận.

---

5. Đồng biến

Bài 5.1 — Tương quan từ phương sai và hiệp phương sai

• Đề: $\text{var}(A)=0.0028$, $\text{var}(B)=0.0124$, $\text{cov}(A,B)=0.0058$. Tương quan?
• Cách làm: $\rho ={\displaystyle \frac{\text{cov}}{\sqrt{\text{var}(A)}\cdot \sqrt{\text{var}(B)}}}={\displaystyle \frac{0.0058}{\sqrt{0.0028}\cdot \sqrt{0.0124}}}$.
• Đáp án: $\rho \approx 0.98$ — đồng biến gần như hoàn hảo.